Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Prowadzący: dr hab. inż. Krzysztof KALIŃSKI, prof. nadzw. PG

Katedra Mechaniki i Mechatroniki

109 WM, [e-mail]

Konsultacje: wtorek 15:00 – 16:00

czwartek 15:00 – 16:00

Wiadomości organizacyjne

1.Wykład

30 godzin – zalecana obecność

2.Ćwiczenia audytoryjne 15 godzin – obecność obowiązkowa

3.Ćwiczenia laboratoryjne 15 godzin – obecność obowiązkowa

4. Zaliczenie ćwiczeń i laboratorium

5. Egzamin: teoria + zadania

– obejmuje materiał wykładów oraz ćwiczeń

– warunek konieczny – zaliczone ćwiczenia i laboratorium

– zwolnienie z części zadaniowej – ocena z ćwiczeń ≥ 4

Materiały z wykładów:

https://sites.google.com/a/mech.pg.gda.pl/krzysztof-kalinski/

Literatura:

1.Misiak J.: Mechanika techniczna. Statyka i wytrzymałość materiałów. WNT, Warszawa 1996

2.Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.: Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe. WNT, Warszawa 1996

3.Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów.

WNT, Warszawa, t. I 1996, t. II1997

4.Walczyk Z.: Wytrzymałość materiałów. Wyd. PG, Gdańsk t. I 2000, t. II 2001

5.Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego. WNT, Warszawa 2001

Złożone przypadki wytrzymałości pręta prostego

Superpozycja elementarnych przypadków wytrzymałości pręta.

Złożony przypadek wytrzymałości pręta – w jego przekroju działają co najmniej dwie spośród sześciu możliwych składowych sił

wewnętrznych.

Traktując pręt jako ciało liniowo-sprężyste, naprężenia,

odkształcenia i przemieszczenia wywołane siłami wewnętrznymi podlegać mogą superpozycji.

Superponować można jedynie takie same naprężenia normalne lub styczne, działające na tej samej płaszczyźnie i w tym samym

kierunku. Dotyczy to również składowych stanu odkształcenia i wektora przemieszczeń.

Rozpatrywanie przypadku ogólnego (w przekroju pręta sześć

składowych sił wewnętrznych) jest kłopotliwe, ponieważ

elementarna teoria skręcania jest ważna tylko dla prętów o przekroju kołowym, a wzór Żurawskiego przy ścinaniu obowiązuje jedynie dla siły poprzecznej, działającej wzdłuż osi symetrii przekroju prostokątnego lub o łagodnie zmiennej szerokości.

Zginanie wraz z rozciąganiem lub ściskaniem pręta.

Jako przykład mimośrodowego ściskania pręta rozważmy poniższy rysunek.

Pręt obciążony jest dwoma równymi i przeciwnie zwróconymi siłami ściskającymi, o liniach działania równoległych do osi pręta. Dowolny przekrój pręta odległy o x od jego lewego końca ma główne centralne osie bezwładności y, z.

x

z

z

S

S

z

S

x

F

F

F

(yP, zP)

y

σ

y

y

r max

linia

obojętna

Mg

A(yA,zA)

z

M

Mg

gy

F

S

m

σ

F x

Mgz

c max

n

y,z

F

a (N = -F)

z

y

F (y

P zP

P, zP)

B(yB,zB)

y

y

Dodajemy dwie równe i przeciwnie zwrócone siły o wartości F, w środku geometrycznym przekroju S, a następnie zastąpimy siły, które tworzą parę (zaznaczone kreską), wektorem momentu. Siły wewnętrzne

w przekroju reprezentuje siła normalna N = - F oraz moment gnący Mg =

Fa. Jest on prostopadły do odcinka łączącego punkt przyłożenia siły zewnętrznej F o współrzędnych yP, zP ze środkiem geometrycznym przekroju S i nie pokrywa się z żadną z głównych centralnych osi bezwładności przekroju y lub z. Mamy więc do czynienia ze zginaniem ukośnym, czyli złożonym. Wektor momentu gnącego Mg rozkładamy na dwie składowe w kierunku osi głównych y i z: M

= − Fz

M

= Fy

gy

p

gz

p

Pręt podlega jednocześnie zginaniu prostemu momentem gnącym Mgy oraz Mgz i ściskaniu siłą N. Każda z tych sił wewnętrznych wywołuje w dowolnym punkcie przekroju o współrzędnych y, z naprężenie normalne, które w wyniku superpozycji wynosi:

σ ( y, z) N M z M y

gy

gz

=

+

−

A

I

I

y

z

Po uwzględnieniu sił wewnętrznych pochodzących od obciążenia F: σ (

F

zz

yy

y, z)







p

p 

= − 1+

+

2

2



A 

i

i

y

z



W trakcie odkształcenia pręta jego przekrój dokonuje obrotu wokół osi y oraz z i przemieszcza się w kierunku osi x. Ślad przecięcia się płaszczyzn przekroju po i przed odkształceniem wyznacza linię obojętną, która jest miejscem geometrycznym punktów przekroju, w których naprężenie normalne równa się zero. Równanie lini obojętnej otrzymujemy dla (σ = 0

y = y

z = z

0

0 ) w celu wyznaczenia punktów

przekroju:

z z

y y

1

p

0

p

0

+

+

= 0

2

2

i

i

y

z

Powyższe równanie można przedstawić w postaci:

y

z

0

0

+

=1

m

n

2

i 2

iy

z

m = −

,

n = −

gdzie:

y

z odcinki odcięte przez linię obojętną na

p

p

osiach y i z.

Położenie lini obojętnej zależy jedynie od współrzędnych yp, zp punktu przyłożenia obciążenia i promieni bezwładności iy, iz. Linia obojętna dzieli przekrój na strefę rozciąganą i ściskaną.

Kryteria wytrzymałości pręta rozciąganego (ściskanego) i zginanego.

Naprężenia normalne są liniową funkcją odległości punktu od linii obojętnej. O wytrzymałości pręta decydują maksymalne co do wartości naprężenia rozciągające σ r max i ściskające σ c max, zgodnie z kryteriami wytrzymałości. Naprężenia te oblicza się podstawiając do wzoru współrzędne punktów najbardziej odległych od linii obojętnej (A i B).

Każdej linii obojętnej stycznej do konturu przekroju pręta odpowiada określone położenie punktu przyłożenia siły:

l. 0.2

3

1

z

4

2

l. 0.4

l. 0.1

l. 0.3

y

Zbiór punktów przyłożenia siły odpowiadających wszystkim liniom obojętnym stycznym do konturu przekroju pręta ogranicza obszar zwany rdzeniem przekroju. Jest to miejsce geometryczne punktów przyłożenia siły, dla których naprężenia w całym przekroju mają jednakowy znak.

Ma to istotne znaczenie dla materiału o dużej wytrzymałości na ściskanie i znikomej na rozciąganie.

Przykład 1

Zaprojektować średnicę d pręta, z którego należy wykonać ogniwa łańcucha, obciążonego siłą F = 791,3 kN. Założyć, że naprężenia w przekrojach BB pochodzą tylko od siły normalnej, czyli pominąć występujący tam również niewielki moment

d

gnący. Dane: a = 70 mm, σ dop = 140 Mpa.

a

Obliczy

ć zmniejszenie się nośności łańcucha

F

F

B

w przypadku pęknięcia na wskroś jednego

z przekrojów BB.

B

Średnicę d pręta należy wyliczyć z kryterium wytrzymałości pręta na rozciąganie:

F

2 F

≤ σ

⇒ d ≥

= 6 cm

d 2

dop

π

πσ dop

2

4

W przypadku pęknięcia ogniwa należy zastosować kryterium

wytrzymałości pręta na rozciąganie wraz ze zginaniem:

F ′

F a

′

N

M

+

≤ σ

g

+

≤ σ

2

3

dop

π

π

dop

d

d

A

W

czyli

4

32

Ponieważ σ dop jest jednakowe można przyrównać lewe strony powyższych nierówności:

F

F ′

F ′ a

F ′

=

+

⇒

=

d

= ,

0 048

2

2

3

d

π

d

π

d

π

F

2 d + 16 a

2

4

4

32

Zatem nośność łańcucha z pękniętym ogniwem F’ nie osiąga 5%

nośności pierwotnej F.

Przykład 2

Wyznaczyć rdzeń przekroju przedstawionego na poniższym rysunku.

z

b

A

10/9 b

2

a

1

2b

S

1

3

4

y

S2 1

C

8/9 b

a2

D

B

2b

σr max

+

-

linia obojętna

σcmax

Wyznaczenie środka geometrycznego:

1 1

2

b b

2

1

1

a

Moment statyczny = 0

a + a = b −

b

2 = b

1

2 2

=

1

2

3

3

a

b b

2

2

1

2

a = b

a =

b

1

9

2

9

Równanie linii obojętnej:

z z

y y

0

p

0

−

−

p =

1 1

1

2

=

+

=

A

b 2 b

2

b 2 b

3 b

2

2

i

i

y

z

2 2

26

5

4

4

=

=

Geometryczne momenty bezwładno

I

b

I

b

ści y

27

z

8

I

26

5

2

y

I z

=

2 =

2

2

2

2

=

=

a nast

i

i

i

b

i

b

ępnie

y

A

z

A

czyli

y

81

z

24

Jeśli w równaniu linii obojętnej wstawimy z 0 = const y 0 = const ,

równanie będzie można przedstawić prostą ze względu na yp, zp.

Oznacza to, że jeśli linia obojętna obraca się przechodząc przez stały punkt ( y 0, z 0), to miejsce przyłożenia siły przesuwa się po prostej.

Poszukujemy zatem równania prostej, po której przesuwa się siła F, kiedy linie obojętne przechodzą przez punkt A i obracają się wokół tego punktu. Jest to jednocześnie jedna z prostych tworzących kontur rdzenia przekroju.

z

y

p

p

b

10

+

=1

=

= + =

2

2

i

i

y

,

z

b

a

b

A

A

y

z

2

1

9

−

−

z

yA

A

gdzie:

i 2

5

2 2

5

z

−

= −

b

= − b

y

24

b

12 odcinek odcięty na osi y

A

i 2 y

26 2 9

13

−

= −

b

= −

b

z

81

1 b

0

45 odcinek odcięty na osi z

A

z p

+ yp =1

13

5

−

b

−

b

45

12

Równanie prostej 1, która przechodzi przez punkty 1, 3.

Podobnie jak dla punktu A sformułujemy równanie prostej, po której przesuwa się siła F, kiedy linie obojętne przechodzą przez punkt B. Jest to jednocześnie jedna z prostych tworzących kontur rdzenia przekroju 8

=

= − + = −

y

b,

z

b

a

b

B

B

1

9

2

2

i

5

iy

13

− z = −

b

−

=

z

y

b

⇒

p

+

p

=1

y

24

z

36

13

5

B

B

b

−

b

36

24

czyli równanie prostej 2, która przechodzi przez punkty 2 i 3.

Rdzeń przekroju jest czworobokiem. Dwa wierzchołki leżą na osi z.

Trzeci i czwarty wierzchołek jest punktem przecięcia się prostych 1 i 2

(oraz prostych leżących symetrycznie po drugiej stronie osi z).

Współrzędne przecięcia się prostych 1 i 2 otrzymane z rozwiązania układu ich równań wynoszą:

15

13

= −

= −

y

b

z

b

p

p

56

126

Wierzchołki czworoboku tworzącego rdzeń mają współrzędne:



13 

 13 

 15

13



 15

13



1 ,

0 −

b 

2 ,

0

b 

3 −

b,−

b 

4

b,−

b 



45 



36 

 56

126 

 56

126 

Jeśli punkt przyłożenia siły leży na obszarze rdzenia przekroju, linia obojętna jest styczna lub leży poza przekrojem i dlatego występują w nim naprężenia jednakowego znaku. Jeśli punkt przyłożenia siły leży poza obszarem rdzenia przekroju, linia obojętna przecina przekrój, dzieląc go na strefę rozciąganą i ściskaną.

Przykład 3.

Pręt o przekroju z przykładu 2 jest obciążony mimoosiową siłą b

y = z = −

ściskającą F przyłożoną w punkcie C o współrzędnych p p

2 .

Obliczyć dopuszczalną wartość obciążenia F. Dane: σ dop = 100 MN/m2, b = 4 cm.

Równanie linii obojętnej ma postać:

y

z

0

0

+

=1

m

n

gdzie:

2

i

5

z

2 2

5

m = −

=

b

=

b

y

24

b

12

y

z

P

0

0

⇒

+

=1

2

iy

26 2 2

52

5

52

n = −

=

b

=

b

b

b

z

81

b

81

12

81

P

Maksymalne naprężenie rozciągające oraz ściskające panuje



b

10 



A y

,

A =

z A =

b 

odpowiednio w punkcie 

2

9

 oraz w punkcie



8 

D y

,

D = − b z D = −

b 



9 





F

y y

z z

p

p

F 

12 y

8 z

1 





σ = −

1 +

+

= −

1 −

−





2

2



A

i

i

b

3 2 

b

5

5 b

2 



z

y



F 

6

45 

F

σ

= σ = −

1 − −

 = ,

0 64

r max

A

2

2

3 b 

5

26 

b

F 

12

18 

F

σ

= σ = −

1 +

+

 = − 5

,

1 9

c max

D

2

2

3 b 

5

13 

b

Ponieważ wartość bezwzględna σ

σ

c max jest większa od

r max

2

F

b σ

σ

≤ σ ⇒ 5

,

1 9

≤ σ

⇒ F

dop

≤

=101 kN

c max

dop

b 2

dop

5

,

1 9