Seminarium „Kładki dla pieszych. Architektura, projektowanie, realizacja, badania”

Wrocław, 29-30 listopada 2007

Wojciech PAKOS

1

Zbigniew WÓJCICKI

2

Jacek GROSEL

3

WPŁYW ZMIANY NACIĄGU WANT

NA ZAGADNIENIE WŁASNE KŁADEK

1. Wprowadzenie

Kładki dla pieszych, ze względu na specyficzny rodzaj obciążenia – ruch pieszych –

są na ogół konstrukcjami dość wiotkimi, a tym samym są podatnymi na działania
dynamiczne. Do wymuszeń dynamicznych zaliczyć możemy wiatr, ruch pojazdów, ruch
pieszych a niekiedy umyślne wzbudzenie drgań. Opis tych zjawisk jest bardzo
skomplikowany i wciąż niepełny, a niekiedy otrzymane wyniki z przeprowadzanych analiz
odbiegają od rzeczywistej pracy obiektu. Jednym ze stosowanych metod redukcji
nadmiernych drgań mostów i kładek jest stosowanie urządzeń w postaci pasywnych lub
półaktywnych tłumików lub eliminatorów drgań. Są one zazwyczaj dostrojone tylko do
jednej częstości własnej, co ze względu na dużą różnorodność wymuszeń dynamicznych,
stanowi ich dużą wadę.

W niniejszej pracy analizowany jest wpływ zmian naciągu want na

zagadnienie własne, który ma być punktem wyjścia do dalszej pracy związanej z redukcją
drgań przez dynamiczne sterowanie napięciem want. Jest to nowe podejście do problemu
ograniczenia drgań. Problem ten był rozważany przez autorów w pracy [1], gdzie badano
wpływ zmiany napięcia want uzyskiwany dzięki jednostkowej zmianie temperatury w jednej
z want. W niniejszej pracy analizowano podobne zagadnienie ale przy jednostkowej zmianie
siły w jednej wancie.

2. Opis analizowanego obiektu

Analizowanym obiektem jest kładka dla pieszych usytuowana nad rzeką Dunajec,

która stanowi element przeprawy element przeprawy transgranicznej pomiędzy
miejscowościami Sromowce Niżne (Rzeczpospolita Polska) i Czerwony Klasztor (Republika
Słowacka). Kładka jest konstrukcją podwieszaną składającą się z przęsła nurtowego
rozpiętości 90m i dwóch przęseł nabrzeżnych 2 x 10,5m. Rozstaw zakotwień podwieszenia
wynosi 15,0m zaprojektowane jako T15 o przekroju 150mm2 i wytrzymałości na

1

mgr inż., Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej

2

dr hab. inż. Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej

3

dr inż. Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej

W. Pakos, Z. Wójcicki, J. Grosel

200

rozciąganie 1770MPa. Dwie wewnętrzne pary want podwieszających zaprojektowano jako
3T15S a pozostałe – 7T15S. Wanty odciągowe – 12T15S zakotwione w niszach podpory
skrajnej. Dźwigary pomostu zaprojektowano z drewna klejonego sosnowego KL39
o wysokości 1,6m i szerokości 0,3m. Całkowita długość dźwigarów klejonych wynosi
112,0m. Pylon wykonano z rur stalowych o średnicy 508/30mm, który pochylony jest nad
konstrukcję przęsła pod kątem 75,0%. Materiał konstrukcyjny to stal 18G2A. Konstrukcję
pomostu oparto na podporach za pomocą łożysk stycznych. Zaprojektowano dwa łożyska
stałe i sześć łożysk przegubowo przesuwnych [2].

3. Sformułowanie problemu

W punkcie tym rozważa się wrażliwość zagadnienia własnego ze względu na

parametr projektowy p, którym jest siła napięcia w wancie. Wrażliwość rozwiązań równania
różniczkowego jest to obliczenie pochodnych jego rozwiązania ze względu na parametr
projektowy (tutaj siła naciągu w wancie), od którego zależy rozwiązanie równania.
Wyjściowym równaniem jest równanie ruchu, które przy pominięciu tłumienia układu i sił
wymuszających przybierze postać

0

q

K

q

B

=

+

&&

(1)

gdzie

B

,

K

– to odpowiednio macierz bezwładności i sztywności układu w bazie

współrzędnych uogólnionych. Uwzględniając teorię drugiego rzędu, macierz sztywności

K

można przedstawić w postaci sumy dwóch macierzy [3]

G

E

K

K

K

+

=

(2)

Pierwsza macierz nazywana jest macierzą sztywności sprężystej i nie zależy od siły osiowej,
a druga nazywana jest macierzą sztywności geometrycznej i uwzględnia wpływ sił
normalnych na sztywność giętną. Przewidując rozwiązanie harmoniczne zakłada się

q

q

2

ω

−

=

&&

(3)

Wtedy równanie ruchu przybiera postać

0

q

B

K

=

−

)

(

2

ω

(4)

Jest to układ liniowych jednorodnych równań algebraicznych, który, jak wiadomo, może
mieć niezerowe rozwiązanie, tylko wtedy gdy spełniony jest warunek

0

q

B

K

=

−

)

det(

2

ω

(5)

gdzie:

d

ω

ω

ω

,...

,

2

1

są kołowymi częstościami własnymi, a ich liczba jest równa liczbie

stopni swobody. Każdej częstości

i

ω odpowiada takie rozwiązanie wektorowe

i

w

q

=

, że

0

w

B

K

=

−

i

i

)

(

2

ω

(6)

Wpływ zmiany naciągu want na zagadnienie własne kładek

201

gdzie

i

w jest

i

-tym wektorem własnym. Zbiór wektorów własnych tworzy macierz własną

[

]

K

,

2

1

,

w

w

W

=

(7)

Relację (5) można przedstawić kompleksowo w formie

{ }

2

ω

BW

KW

=

(8)

gdzie:

{ }

)

,...,

,

(

2

1

d

diag

ω

ω

ω

ω =

(9)

jest diagonalną macierzą widmową. Mnożąc równanie (8) lewostronnie przez

1

−

B

otrzymuje

się

{ }

2

1

ω

W

KW

B

=

−

(10)

Jeżeli symbolem

T

L

oznaczy się macierz odwrotną do macierzy

W, to musi być spełniony

warunek

I

W

L

=

T

(11)

oraz po pomnożeniu lewostronnie równania (10) przez lewostronną macierz własną

T

L

(

0

det

≠

L

) otrzymuje się zależność

{ }

KW

B

L

1

2

−

=

T

ω

(12)

Mnożąc prawostronnie równanie (12) przez macierz

T

L

otrzymamy ostatecznie

{ }

K

B

L

L

1

2

−

=

T

T

ω

(13)

Dla jednej częstości własnej równanie (13) można przedstawić w postaci

(

)

T

i

T

i

0

I

K

B

l

=

−

−

2

1

ω

(14)

Gdzie

T

i

l jest wierszem macierzy

T

L

odpowiadającym częstości własnej

i

ω . Z zależności

(14) wynika, że

T

i

l jest lewostronnym wektorem własnym a macierz

T

L

jest lewostronną

macierzą własną. Obliczając pochodne obu stron równania (10) ze względu na parametr
projektowy

p jakim jest siła naciągu w wancie otrzymuje się wyrażenie

{ } ( )

{ }

2

1

1

2

ω

ω

W

L

W

K

B

L

W

K

B

L

′

−

′

+

′

=

′

−

−

T

T

T

(15)

Formuła (15) określa sposób obliczenia pochodnej wartości własnej

i

ω zagadnienia

własnego (4) ze względu na parametr projektowy jakim jest siła naciągu w wancie

p.

W. Pakos, Z. Wójcicki, J. Grosel

202

Odpowiednio przekształcając i uwzględniając zależność (14) można formułę (15)
przedstawić (patrz [1]) w uproszczonej postaci

( ) ( )

i

T

i

i

w

K

B

l

′

=

′

−1

2

ω

(16)

Jest to użyteczną formuła na pochodną częstości własnej (kwadratu częstości własnej) ze
względu na parametr projektowy

p.

Wiedząc, że macierz bezwładności

B i macierz sztywności sprężystej

E

K

nie

zależą od siły osiowej naciągu w wancie, czyli od parametru projektowego

p, można na

podstawie związków (2) oraz (16) napisać

( ) (

)

i

G

T

i

i

w

K

B

l

′

=

′

−1

2

ω

(17)

gdzie

G

K

jest macierzą sztywności geometrycznej i uwzględnia wpływ sił normalnych na

sztywność giętną. Ponieważ macierz geometryczna (zwana też macierzą naprężeń
początkowych) zależy liniowo od wartości siły osiowej, można napisać dla

i-tej siły napięcia

w wancie

i

N

i

i

G

N

K

K

⋅

=

(18)

gdzie

i

N

K

oznacza macierz sztywności geometrycznej odpowiadającą jednostkowej

wartości siły napięcia w wancie. Ostatecznie po uwzględnieniu (25) można napisać

(

)

i

N

i

N

i

i

G

N

K

K

K

=

′

⋅

=

′

(19)

Dla i-tej częstości otrzymamy

(

)

i

i

N

T

i

i

i

w

K

B

l

1

2

1

−

=

′

ω

ω

(20)

Logarytmiczna funkcja wrażliwości pierwszego rzędu przybierze wtedy postać

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

N

N

N

N

ω

ω

ω

ω

ω

′

=

∂

∂

⋅

=

∂

∂

=

ln

ln

s

(21)

Podstawiając do wyrażenia (27) formułę (26) otrzymuje się ostatecznie

(

)

i

i

N

T

i

i

i

i

N

w

K

B

l

s

1

2

2

−

=

ω

(22)

W opracowaniu powyższego algorytmu korzystano z [3], [4], [5], [6].

Wpływ zmiany naciągu want na zagadnienie własne kładek

203

4. Analiza sformułowanego problemu

Do analizy wyżej zaproponowanego algorytmu przyjęto model kładki w układzie

płaskim zob. (rys. 1) przyjmując dane materiałowe i geometrię zgodnie z opisem
w punkcie 2.

Rys. 1. Schemat obliczeniowy kładki

Obliczenia przeprowadzono wykorzystując program FSW wersja 1.04P, Cosmos/M,

w których uzyskano macierze sztywności i bezwładności oraz program Mathematica 5.0,
w którym przeprowadzono dalszą część obliczeń. Wyniki uzyskane na podstawie wzoru (29)

dla trzech pierwszych częstości kołowych

]

/

[

400

,

4

1

s

rad

=

ω

,

]

/

[

367

,

8

2

s

rad

=

ω

,

]

/

[

908

,

13

3

s

rad

=

ω

zestawiono w (tab. 1).

Tablica 1. Zestawienie funkcji wrażliwości

i

s wanta 1 wanta 2 wanta 3 wanta 4 wanta 5 wanta 6 wanta 7 wanta 8 wanta 9

1

ω

0,8915 4,1715 3,9978 0,0956 0,0037 7,7681 7,1775 0,0024 0,0028

2

ω

0,0682 1,1769 1,2593 0,0158 0,0076 2,7133 2,5070 -0,0010 -0,0012

3

ω

0,0606 1,4116 1,4818 0,0024 0,0032 3,2275 2,9821 0,0008 0,0009

Rysunki (Rys. 2), (Rys. 3) oraz (Rys. 4) przedstawiają odpowiednio pierwszą formę dla
częstości własnej

1

ω

, drugą formę dla częstości własnej

2

ω

oraz trzecią formę dla

częstości własnej

3

ω

.

Rys. 2. Pierwsza forma własna

W. Pakos, Z. Wójcicki, J. Grosel

204

Rys. 3. Druga forma własna

Rys. 4. Trzecia forma własna

5. Wnioski

W pracy tej przedstawiono metodę analizy wrażliwości zagadnienia własnego

kładki podwieszanej ze względu na parametr projektowy p, którym jest siła napięcia
w wancie. Postępowanie takie umożliwia teoretyczne określenie jaka zmiana napięcia
i w której wancie spowoduje największą zmianę odpowiedniej częstości własnej układu.
W praktyce znajomość takiej zależności może być przydatna przy eliminacji stanów
rezonansowych układu przez starowanie napięciem w wantach.

Problem ten był rozważany przez autorów w pracy [1], gdzie badano wpływ zmiany

napięcia want uzyskiwany dzięki jednostkowej zmianie temperatury w jednej z want.
W niniejszej pracy analizowano podobne zagadnienie ale przy jednostkowej zmianie siły
w jednej wancie. W niniejszej pracy analizowany jest wpływ zmian naciągu want na
zagadnienie własne, który ma być punktem wyjścia do dalszej pracy związanej z redukcją
drgań przez dynamiczne sterowanie napięciem want. Jest to nowe podejście do problemu
ograniczenia drgań.

Na podstawie przeprowadzonej analizy można zauważyć, że (tab. 1):

•

zmiana naciągu wanty szóstej ma największy wpływ na wszystkie trzy częstość
własne;

•

wpływ napięcia wanty szóstej i siódmej na wszystkie trzy częstości jest bardzo
podobny;

•

znaczne zmiany wszystkich trzech częstości można również dokonać sterując
napięciem wanty drugiej i trzeciej;

•

najmniejszy wpływ na zmianę wszystkich trzech częstości ma zmiana napięcia
wanty ósmej;

•

wpływ napięcia wanty ósmej i dziewiątej na wszystkie trzy częstości jest
bardzo podobny.

Wpływ zmiany naciągu want na zagadnienie własne kładek

205

Ważną informacją jest znak przy wartościach funkcji wrażliwości

i

s . Wartość

dodatnia funkcji wrażliwości świadczy, że zwiększenie wartości naciągu spowoduje wzrost,
a ujemna – zmieszenie wartości częstości własnej układu.

6. Podsumowanie

Zaproponowana metoda została przetestowana na rzeczywistym modelu kładki,

który został sprowadzony do prostego układu obliczeniowego. W przyszłości takie samo
zadanie będzie zastosowane dla modelu przestrzennego, bardziej złożonego.

Przedstawiony algorytm obliczeń ma prosty i krótki dowód teoretyczny i może być

przydatny do analizy podobnych zagadnień. Nie jest także konieczna znajomość analitycznej
postaci rozwiązania układu, której uzyskanie w przypadku dużych i skomplikowanych
konstrukcji w zasadzie nie jest możliwe. Również obecne programy bazujące na metodzie
elementów skończonych nie dają inżynierowi możliwości pogłębionej analizy dynamicznej.
Przedstawiony algorytm wykorzystując dostępne dzisiaj programy komputerowe oparte
o ideę MES (typu COSMOS), może być efektywnym ich rozwinięciem i uzupełnieniem.

Literatura

[1]

PAKOS W., WÓJCICKI Z., GROSEL J.: Analiza wrażliwości zagadnienia własnego
ze względu na zmianę naciągu want w kładkach. Problemy naukowo- badawcze
budownictwa, Tom II. Konstrukcje budowlane i inżynierskie. Wydawnictwo
Politechniki Białostockiej, Białystok, 2007; s. 539-546.

[2]

GROSEL J., HAWRYSZKÓW P., WÓJCICKI Z.: Poziome parametryczne drgania
rezonansowe podwieszonych kładek dla pieszych. Seminarium: Wrocławskie Dni
Mostowe. Mosty podwieszone i wiszące. Wrocław, 2005; s. 135-143.

[3]

PRZEMIENIECKI J. S.: Theory of matrix structural analysis. McGraw-Hill Book
Company, New York, 1968.

[4]

FRANK P.M.: Introduction to System Sensitivity Theory, Acad. Press, 1978

[5]

WÓJCICKI Z.: Dynamiczna eliminacja rezonansowych drgań parametrycznych.
Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 2003.

[6]

LANGER J.: Dynamika budowli. Wrocław, Wydawnictwo Politechniki
Wrocławskiej, 1980.

INFLUENCE OF CABLE TENSION CHANGE ON THE

EIGENPROBLEM OF FOOTBRIDGES

Summary

In this paper, the theoretical analysis of the eigenproblem sensitivity in cable stayed

footbridges is performed. In the future, the values of sensitivity functions may be used to
reduce the resonant vibration of construction by steering the tension in cables. The method
was tested on a simple model of real construction of footbridge. The presented algorithm
contains a simple and short theoretical proof and can be useful in the analysis of similar
problems.