Seminarium „Kładki dla pieszych. Architektura, projektowanie, realizacja, badania” 

Wrocław, 29-30 listopada 2007 

 
 
 
 
 
 
 

 

Wojciech PAKOS

1

  

Zbigniew WÓJCICKI

2

 

Jacek GROSEL

3

 

 
 
 

WPŁYW ZMIANY NACIĄGU WANT  

NA ZAGADNIENIE WŁASNE KŁADEK 

 

 

1. Wprowadzenie  

 

Kładki dla pieszych, ze względu na specyficzny rodzaj obciążenia – ruch pieszych –  

są na ogół konstrukcjami dość wiotkimi, a tym samym są podatnymi na działania 
dynamiczne. Do wymuszeń dynamicznych zaliczyć możemy wiatr, ruch pojazdów, ruch 
pieszych a niekiedy umyślne wzbudzenie drgań. Opis tych zjawisk jest bardzo 
skomplikowany i wciąż niepełny, a niekiedy otrzymane wyniki z przeprowadzanych analiz 
odbiegają od rzeczywistej pracy obiektu. Jednym ze stosowanych metod redukcji 
nadmiernych drgań mostów i kładek jest stosowanie urządzeń w postaci pasywnych lub 
półaktywnych tłumików lub eliminatorów drgań. Są one zazwyczaj dostrojone tylko do 
jednej częstości własnej, co ze względu na dużą różnorodność wymuszeń dynamicznych, 
stanowi ich dużą wadę.

 

W niniejszej pracy analizowany jest wpływ zmian naciągu want na 

zagadnienie własne, który ma być punktem wyjścia do dalszej pracy związanej z redukcją 
drgań przez dynamiczne sterowanie napięciem want. Jest to nowe podejście do problemu 
ograniczenia drgań. Problem ten był rozważany przez autorów w pracy [1], gdzie badano 
wpływ zmiany napięcia want uzyskiwany dzięki jednostkowej zmianie temperatury w jednej 
z want. W niniejszej pracy analizowano podobne zagadnienie ale przy jednostkowej zmianie 
siły w jednej wancie. 
 

2. Opis analizowanego obiektu  

 

Analizowanym obiektem jest kładka dla pieszych usytuowana nad rzeką Dunajec, 

która stanowi element przeprawy element przeprawy transgranicznej pomiędzy 
miejscowościami Sromowce Niżne (Rzeczpospolita Polska) i Czerwony Klasztor (Republika 
Słowacka). Kładka jest konstrukcją podwieszaną składającą się z przęsła nurtowego 
rozpiętości 90m i dwóch przęseł nabrzeżnych 2 x 10,5m. Rozstaw zakotwień podwieszenia 
wynosi 15,0m zaprojektowane jako T15 o przekroju 150mm2 i wytrzymałości na 

                                                 

1

 mgr inż., Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej 

2

 dr hab. inż. Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej 

3

 dr inż. Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej 

W. Pakos, Z. Wójcicki, J. Grosel

 

200 

rozciąganie 1770MPa. Dwie wewnętrzne pary want podwieszających zaprojektowano jako 
3T15S a pozostałe – 7T15S. Wanty odciągowe – 12T15S zakotwione w niszach podpory 
skrajnej. Dźwigary pomostu zaprojektowano z drewna klejonego sosnowego KL39 
o wysokości 1,6m i szerokości 0,3m. Całkowita długość  dźwigarów klejonych wynosi 
112,0m. Pylon wykonano z rur stalowych o średnicy 508/30mm, który pochylony jest nad 
konstrukcję przęsła pod kątem 75,0%. Materiał konstrukcyjny to stal 18G2A. Konstrukcję 
pomostu oparto na podporach za pomocą  łożysk stycznych. Zaprojektowano dwa łożyska 
stałe i sześć łożysk przegubowo przesuwnych [2]. 
 

3. Sformułowanie problemu 

 

W punkcie tym rozważa się wrażliwość zagadnienia własnego ze względu na 

parametr projektowy p, którym jest siła napięcia w wancie. Wrażliwość rozwiązań równania 
różniczkowego jest to obliczenie pochodnych jego rozwiązania ze względu na parametr 
projektowy (tutaj siła naciągu w wancie), od którego zależy rozwiązanie równania. 
Wyjściowym równaniem jest równanie ruchu, które przy pominięciu tłumienia układu i sił 
wymuszających przybierze postać 
 

0

q

K

q

B

=

+

&&

                                                       (1) 

 

gdzie 

B

, 

K 

– to odpowiednio macierz bezwładności i sztywności układu w bazie 

współrzędnych uogólnionych. Uwzględniając teorię drugiego rzędu, macierz sztywności 

K

 

można przedstawić w postaci sumy dwóch macierzy [3] 
 

           

G

E

K

K

K

+

=

                                                     (2) 

 
Pierwsza macierz nazywana jest macierzą sztywności sprężystej i nie zależy od siły osiowej, 
a druga nazywana jest macierzą sztywności geometrycznej i uwzględnia wpływ sił 
normalnych na sztywność giętną. Przewidując rozwiązanie harmoniczne zakłada się 
 

              

q

q

2

ω

−

=

&&

                                                         (3) 

 
Wtedy równanie ruchu przybiera postać 
 

          

0

q

B

K

=

−

)

(

2

ω

                                                   (4) 

 
Jest to układ liniowych jednorodnych równań algebraicznych, który, jak wiadomo, może 
mieć niezerowe rozwiązanie, tylko wtedy gdy spełniony jest warunek 
 

        

0

q

B

K

=

−

)

det(

2

ω

                                                (5) 

 
gdzie: 

d

ω

ω

ω

,...

,

2

1

  są kołowymi częstościami własnymi, a ich liczba jest równa liczbie 

stopni swobody. Każdej częstości 

i

ω odpowiada takie rozwiązanie wektorowe 

i

w

q

=

, że 

 

          

0

w

B

K

=

−

i

i

)

(

2

ω

                                                 (6) 

 

Wpływ zmiany naciągu want na zagadnienie własne kładek 

201 

gdzie 

i

w  jest 

i

-tym wektorem własnym. Zbiór wektorów własnych tworzy macierz własną 

 

             

[

]

K

,

2

1

,

w

w

W

=

                                                (7) 

 
Relację (5) można przedstawić kompleksowo w formie 
 

             

{ }

2

ω

BW

KW

=

                                               (8) 

gdzie:  

      

{ }

)

,...,

,

(

2

1

d

diag

ω

ω

ω

ω =

                                       (9) 

 
jest diagonalną macierzą widmową. Mnożąc równanie (8) lewostronnie przez 

1

−

B

 otrzymuje 

się 
 

          

{ }

2

1

ω

W

KW

B

=

−

                                            (10) 

 
Jeżeli symbolem 

T

L

 oznaczy się macierz odwrotną do macierzy 

W, to musi być spełniony 

warunek  
 

      

I

W

L

=

T

                                                  (11) 

 
oraz po pomnożeniu lewostronnie równania (10) przez lewostronną macierz własną 

T

L

 

(

0

det

≠

L

) otrzymuje się zależność 

 

          

{ }

KW

B

L

1

2

−

=

T

ω

                                             (12) 

 
Mnożąc prawostronnie równanie (12) przez macierz 

T

L

 otrzymamy ostatecznie 

 

                        

{ }

K

B

L

L

1

2

−

=

T

T

ω

                                            (13) 

 
Dla jednej częstości własnej równanie (13) można przedstawić w postaci 
 

            

(

)

T

i

T

i

0

I

K

B

l

=

−

−

2

1

ω

                                        (14) 

 
Gdzie 

T

i

l  jest wierszem macierzy 

T

L

 odpowiadającym częstości własnej 

i

ω . Z zależności 

(14) wynika, że 

T

i

l  jest lewostronnym wektorem własnym a macierz 

T

L

 jest lewostronną 

macierzą  własną. Obliczając pochodne obu stron równania (10) ze względu na parametr 
projektowy 

p jakim jest siła naciągu w wancie otrzymuje się wyrażenie 

 

                

{ } ( )

{ }

2

1

1

2

ω

ω

W

L

W

K

B

L

W

K

B

L

′

−

′

+

′

=

′

−

−

T

T

T

                     (15) 

 
Formuła (15) określa sposób obliczenia pochodnej wartości własnej 

i

ω  zagadnienia 

własnego (4) ze względu na parametr projektowy jakim jest siła naciągu w wancie 

p. 

W. Pakos, Z. Wójcicki, J. Grosel

 

202 

Odpowiednio przekształcając i uwzględniając zależność (14) można formułę (15) 
przedstawić (patrz [1]) w uproszczonej postaci 
 

       

( ) ( )

i

T

i

i

w

K

B

l

′

=

′

−1

2

ω

                                             (16) 

 
Jest to użyteczną formuła na pochodną częstości własnej (kwadratu częstości własnej) ze 
względu na parametr projektowy 

p. 

Wiedząc,  że macierz bezwładności 

B  i macierz sztywności sprężystej 

E

K

 nie 

zależą od siły osiowej naciągu w wancie, czyli od parametru projektowego

  p, można na 

podstawie związków (2) oraz (16) napisać  
 

        

( ) (

)

i

G

T

i

i

w

K

B

l

′

=

′

−1

2

ω

                                          (17) 

 
gdzie 

G

K

 jest macierzą sztywności geometrycznej i uwzględnia wpływ sił normalnych na 

sztywność giętną. Ponieważ macierz geometryczna (zwana też macierzą naprężeń 
początkowych) zależy liniowo od wartości siły osiowej, można napisać dla 

i-tej siły napięcia 

w wancie 
 

          

i

N

i

i

G

N

K

K

⋅

=

                                                 (18) 

 

gdzie 

i

N

K

 oznacza macierz sztywności geometrycznej odpowiadającą jednostkowej 

wartości siły napięcia w wancie. Ostatecznie po uwzględnieniu (25) można napisać  
 
      

 

 

 

    

(

)

i

N

i

N

i

i

G

N

K

K

K

=

′

⋅

=

′

                                         (19) 

 
Dla i-tej częstości otrzymamy 
 

                 

(

)

i

i

N

T

i

i

i

w

K

B

l

1

2

1

−

=

′

ω

ω

                                         (20) 

 
Logarytmiczna funkcja wrażliwości pierwszego rzędu przybierze wtedy postać 
 

         

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

N

N

N

N

ω

ω

ω

ω

ω

′

=

∂

∂

⋅

=

∂

∂

=

ln

ln

s

                                      (21) 

 
Podstawiając do wyrażenia (27) formułę (26) otrzymuje się ostatecznie 
 

(

)

i

i

N

T

i

i

i

i

N

w

K

B

l

s

1

2

2

−

=

ω

                                           (22) 

 
W opracowaniu powyższego algorytmu korzystano z [3], [4], [5], [6]. 
 
 

Wpływ zmiany naciągu want na zagadnienie własne kładek 

203 

4. Analiza sformułowanego problemu 

 

Do analizy wyżej zaproponowanego algorytmu przyjęto model kładki w układzie 

płaskim zob. (rys. 1) przyjmując dane materiałowe i geometrię zgodnie z opisem 
w punkcie 2. 
 

 

Rys. 1. Schemat obliczeniowy kładki 

 

Obliczenia przeprowadzono wykorzystując program FSW wersja 1.04P, Cosmos/M, 

w których uzyskano macierze sztywności i bezwładności oraz program Mathematica 5.0, 
w którym przeprowadzono dalszą część obliczeń. Wyniki uzyskane na podstawie wzoru (29) 

dla trzech pierwszych częstości kołowych 

]

/

[

400

,

4

1

s

rad

=

ω

, 

]

/

[

367

,

8

2

s

rad

=

ω

, 

]

/

[

908

,

13

3

s

rad

=

ω

 zestawiono w (tab. 1).  

 

Tablica 1. Zestawienie funkcji wrażliwości 

i

s   wanta 1  wanta 2  wanta 3 wanta 4 wanta 5 wanta 6 wanta 7 wanta 8  wanta 9 

1

ω

  0,8915 4,1715 3,9978 0,0956 0,0037 7,7681 7,1775 0,0024 0,0028 

2

ω

  0,0682 1,1769 1,2593 0,0158 0,0076 2,7133 2,5070 -0,0010 -0,0012 

3

ω

  0,0606 1,4116 1,4818 0,0024 0,0032 3,2275 2,9821 0,0008 0,0009 

 
Rysunki (Rys. 2), (Rys. 3) oraz (Rys. 4) przedstawiają odpowiednio pierwszą formę dla 
częstości własnej 

1

ω

,  drugą formę dla częstości własnej 

2

ω

 oraz trzecią formę dla 

częstości własnej 

3

ω

. 

 

 

Rys. 2. Pierwsza forma własna 

W. Pakos, Z. Wójcicki, J. Grosel

 

204 

 

Rys. 3. Druga forma własna 

 
 

 

Rys. 4. Trzecia forma własna 

 

5.  Wnioski 

 

W pracy tej przedstawiono metodę analizy wrażliwości zagadnienia własnego 

kładki podwieszanej ze względu na parametr projektowy p, którym jest siła napięcia 
w wancie.  Postępowanie takie umożliwia teoretyczne określenie jaka zmiana napięcia 
i w której wancie spowoduje największą zmianę odpowiedniej częstości własnej układu. 
W praktyce  znajomość takiej zależności może być przydatna przy eliminacji stanów 
rezonansowych układu przez starowanie napięciem w wantach. 

Problem ten był rozważany przez autorów w pracy [1], gdzie badano wpływ zmiany 

napięcia want uzyskiwany dzięki jednostkowej zmianie temperatury w jednej z want. 
W niniejszej pracy analizowano podobne zagadnienie ale przy jednostkowej zmianie siły 
w jednej wancie. W niniejszej pracy analizowany jest wpływ zmian naciągu want na 
zagadnienie własne, który ma być punktem wyjścia do dalszej pracy związanej z redukcją 
drgań przez dynamiczne sterowanie napięciem want. Jest to nowe podejście do problemu 
ograniczenia drgań. 

Na podstawie przeprowadzonej analizy  można  zauważyć, że (tab. 1): 

• 

zmiana naciągu wanty szóstej ma największy wpływ na wszystkie trzy częstość 
własne; 

• 

wpływ napięcia wanty szóstej i siódmej na wszystkie trzy częstości jest bardzo 
podobny; 

• 

znaczne zmiany wszystkich trzech częstości można również dokonać sterując 
napięciem wanty drugiej i trzeciej; 

• 

najmniejszy wpływ na zmianę wszystkich trzech częstości ma zmiana napięcia 
wanty ósmej; 

• 

wpływ napięcia wanty ósmej i dziewiątej na wszystkie trzy częstości jest 
bardzo podobny. 

Wpływ zmiany naciągu want na zagadnienie własne kładek 

205 

Ważną informacją jest znak przy wartościach funkcji wrażliwości 

i

s . Wartość 

dodatnia funkcji wrażliwości świadczy, że zwiększenie wartości naciągu spowoduje wzrost, 
a ujemna –  zmieszenie wartości częstości własnej układu.  
 

6. Podsumowanie 

 

Zaproponowana metoda została przetestowana na rzeczywistym modelu kładki, 

który został sprowadzony do prostego układu obliczeniowego. W przyszłości takie samo 
zadanie będzie zastosowane dla modelu przestrzennego, bardziej złożonego.   

Przedstawiony algorytm obliczeń ma prosty i krótki dowód teoretyczny i może być 

przydatny do analizy podobnych zagadnień. Nie jest także konieczna znajomość analitycznej 
postaci rozwiązania układu, której uzyskanie w przypadku dużych i skomplikowanych 
konstrukcji w zasadzie nie jest możliwe. Również obecne programy bazujące na metodzie 
elementów skończonych nie dają inżynierowi możliwości pogłębionej analizy dynamicznej. 
Przedstawiony algorytm wykorzystując dostępne dzisiaj programy komputerowe oparte 
o ideę MES (typu  COSMOS), może być efektywnym ich rozwinięciem i uzupełnieniem. 
 

Literatura 

 
[1] 

PAKOS W., WÓJCICKI Z., GROSEL J.: Analiza wrażliwości zagadnienia własnego 
ze względu na zmianę naciągu want w kładkach. Problemy naukowo- badawcze 
budownictwa, Tom II. Konstrukcje budowlane i inżynierskie. Wydawnictwo 
Politechniki Białostockiej, Białystok, 2007; s. 539-546. 

[2] 

GROSEL J., HAWRYSZKÓW P., WÓJCICKI Z.: Poziome parametryczne drgania 
rezonansowe podwieszonych kładek dla pieszych. Seminarium: Wrocławskie Dni 
Mostowe. Mosty podwieszone i wiszące. Wrocław, 2005; s. 135-143. 

[3] 

PRZEMIENIECKI J. S.: Theory of matrix structural analysis. McGraw-Hill Book 
Company, New York, 1968. 

[4] 

FRANK P.M.: Introduction to System Sensitivity Theory, Acad. Press, 1978 

[5] 

WÓJCICKI Z.: Dynamiczna eliminacja rezonansowych drgań parametrycznych. 
Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 2003. 

[6] 

LANGER J.: Dynamika budowli. Wrocław, Wydawnictwo Politechniki 
Wrocławskiej, 1980. 

 
 

INFLUENCE OF CABLE TENSION CHANGE ON THE 

EIGENPROBLEM OF FOOTBRIDGES 

 

Summary 

 

In this paper, the theoretical  analysis of the eigenproblem sensitivity in cable stayed 

footbridges is performed. In the future, the values of sensitivity functions may be used to 
reduce the resonant vibration of construction by steering the tension in cables. The method 
was tested on a simple model of real construction of footbridge. The presented algorithm 
contains a simple and short theoretical proof and can be useful in the analysis of similar 
problems.