Seminarium „Kładki dla pieszych. Architektura, projektowanie, realizacja, badania”

Wrocław, 29-30 listopada 2007

Danuta BRYJA

1

Marta KNAWA

2

Dawid PROKOPOWICZ

2

Anna WOSZCZYNA

2

ZASTOSOWANIE TECHNIKI PODSTRUKTUR

DO MODELOWANIA KŁADEK PODWIESZONYCH

1. Wstęp

W kompleksowej analizie dynamicznej obiektów inżynierskich najczęściej stosuje

się obecnie metodę elementów skończonych (MES). Jest to najpopularniejsza metoda
pozwalająca na analizowanie ustrojów o dowolnej geometrii, parametrach i obciążeniu.
Jednak w przypadku konstrukcji

o skomplikowanej geometrii, np. konstrukcji zawierających

elementy nośne o dużej krzywiźnie jak łuki i cięgna, wymagany jest dość gęsty podział na
elementy skończone w celu zminimalizowania błędów wynikających z dyskretyzacji.
W efekcie prowadzi to do znacznego powiększenia rozmiaru zadania oraz wydłużenia czasu
obliczeń. Alternatywnym podejściem jest tzw. technika podstruktur, która w swym

najogólniejszym ujęciu jest stosowana w wielu dziedzinach nauki. W mechanice konstrukcji
budowlanych metoda podziału na podstruktury, choć powszechnie znana, była do niedawna
rzadko stosowana, głównie z uwagi na dość historyczny zapis, trudny do komputerowej
realizacji. W ostatnich latach wielu autorów wraca do stosowania tej metody proponując jej
nowe, zalgorytmizowane ujęcie. Przykładem są prace Biondi i Muscolino [1, 2, 3], którzy
zastosowali technikę

podstruktur do modelowania i analizowania drgań mostów wiszących

obciążonych ruchomym taborem kolejowym. Konstrukcję mostu autorzy potraktowali jako
zespół wydzielonych podukładów (dźwigar, cięgna, wieszaki), dla których wyprowadzili
odrębnie równania ruchu z uwzględnieniem sił wzajemnej interakcji. Równania te,
uzupełnione równaniem układu modelującego tabor kolejowy, połączono w globalne
równanie całej struktury wykorzystując przy agregacji warunki ciągłości przemieszczeń
i warunki równowagi sił w punktach połączeń podukładów.

„Substructuring” jest pojęciem odnoszącym się nie tylko do podziału konstrukcji

na

podstruktury odpowiadające poszczególnym elementom nośnym układu, ale także do
zamiany układu dynamicznego o wielu stopniach swobody na podukłady modalne, za
pomocą metody transformacji własnej [4]. Ponieważ równania ruchu poszczególnych

1

dr hab. inż., Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej

2

mgr inż., Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej

D. Bryja, M. Knawa, D. Prokopowicz, A. Woszczyna

192

podukładów są wyprowadzane niezależnie, do sprzężenia ich w globalne równanie ruchu
całego układu stosuje się metodę superpozycji modalnej, znaną w literaturze pod nazwą
„Component Mode Synthesis” (CMS). Jako skuteczne narzędzie służące do redukcji liczby
stopni swobody obiektu złożonego z podstruktur, metodę CMS po raz pierwszy
zaprezentował w 1960 roku Hurty [5]. Metoda ta była konsekwentnie rozwijana
i modyfikowana, a jej warianty różnią się głównie w zakresie definiowania warunków
wzajemnej interakcji podukładów [6].

W niniejszej pracy technika podstruktur została wykorzystana do modelowania

konstrukcji podwieszonych, jakimi są między innymi kładki dla pieszych. W odróżnieniu od
metody prezentowanej przez autorów opracowań [1, 2, 3], przedstawiono możliwość
łączenia różnych typów modeli definiujących poszczególne, wyróżnione w sposób
arbitralny, elementy nośne konstrukcji. Ideę metody omówiono na przykładzie ogólnego
schematu podwieszonej kładki. Do modelowania cięgien zastosowano podejście
kontynualne, natomiast równania ruchu belki głównej i pylonów sformułowano przy użyciu
MES. Szczególną uwagę zwrócono na ciągły model cięgna, który sformułowano w sposób
możliwie ogólny [7], nadający się do analizowania dowolnych konstrukcji belkowo-
cięgnowych i dobrze dostosowany do techniki podstruktur. Przedstawiono przykład
numeryczny wyznaczania drgań liniowych i nieliniowych wymuszonych ruchomą siłą
skupioną. W podsumowaniu skupiono się głównie na zaletach i wadach omawianej metody.

2. Ogólna idea techniki podstruktur

Główną zasadą proponowanej przez autorów metody jest rozważenie analizowanej

konstrukcji jako zespołu współpracujących ze sobą podukładów. Konstrukcję belkowo-
cięgnową, przedstawioną schematycznie na rys. 1, dzieli się na podstruktury: I – dźwigar,
II – pylony, III – wanty.

Rys. 1. Schemat podziału kładki na podstruktury: I – dźwigar, II – pylony,

III – zespół want

Dla każdej wydzielonej podstruktury, która jest zespołem elementów nośnych tego

samego typu, wyprowadza się niezależnie równania ruchu korzystając z dowolnej, ale
optymalnej z punktu widzenia opisu danego podukładu, metody. W rozważanym w pracy
przypadku autorzy uznali za celowe wykorzystanie MES do modelowania dźwigara
(pomostu) i pylonów, natomiast do opisu drgań cięgien proponuje się zastosowanie ciągłego
modelu wstępnie napiętego cięgna o dowolnie nachylonej cięciwie, przedstawionego
w pracy [7]. Model ten uwzględnia dowolny zwis statyczny spowodowany rozłożonym
ciężarem własnym oraz wpływ dużych przemieszczeń, zatem jest on nieliniowy.

Zastosowanie techniki podstruktur do modelowania kładek podwieszonych

193

Bardzo ważną cechą modelu jest uwzględnienie kinematycznego wymuszenia drgań
spowodowanego ruchem punktów połączeń cięgna z innymi elementami konstrukcji. Taki
opis cięgna dobrze wpisuje się w technikę podstruktur, a dodatkowo, ze względu na ogólnie
postawione założenia dotyczące geometrii, może być stosowany do modelowania cięgien
stanowiących elementy różnych konstrukcji belkowo-cięgnowych, nie tylko kładek
podwieszonych ale i wiszących, o płaskim lub przestrzennym systemie podwieszenia.

Równania ruchu podukładów można zapisać w następującej ogólnej postaci

III

I

II

I

I

I

I

I

I

I

I

R

R

F

q

K

q

C

q

B

+

+

=

+

+

&

&&

, (1)

III
II

I
II

II

II

II

II

II

II

II

R

R

F

q

K

q

C

q

B

+

+

=

+

+

&

&&

, (2)

II
III

I
III

III

III

III

III

III

III

III

R

R

F

q

K

q

C

q

B

+

+

=

+

+

&

&&

, (3)

gdzie

B

I

,

B

II

,

B

III

to macierze bezwładności kolejnych podstruktur,

C

I

,

C

II

,

C

III

– macierze

tłumienia,

K

I

,

K

II

,

K

III

– macierze sztywności.

F

I

,

F

II

,

F

III

są wektorami uogólnionych sił

wzbudzających, natomiast

R

I

II

,

R

I

III

,

R

II

I

,

R

II

III

,

R

III

I

,

R

III

II

to uogólnione oddziaływania

między podstrukturami w punktach ich połączeń. Jeśli nie ma wzajemnych oddziaływań
między pylonami i dźwigarem, to

R

I

II

=

0

,

R

II

I

=

0

. Wektory

q

I

,

q

II

,

q

III

zawierają

współrzędne uogólnione opisujące ruch kolejnych podukładów – są to współrzędne lokalne
z punktu widzenia całej konstrukcji. Globalne równanie ruchu konstrukcji otrzymuje się
poprzez agregację równań (1) – (3) z uwzględnieniem warunków równowagi sił interakcji
między podukładami w punktach połączeń oraz warunków ciągłości przemieszczeń.
Te ostatnie można wyrazić określając transformację niezależnych współrzędnych
uogólnionych

q

,

obranych dla całego układu, na współrzędne lokalne podukładów

y =

col(

q

I

,

q

II

,

q

III

) według zależności

y

=

Aq

, gdzie

A

jest macierzą transformacji określonej

jako przekształcenie liniowe. Zapisując łącznie równania podstruktur w postaci

y

y

y

y

y

R

F

y

K

y

C

y

B

+

=

+

+

&

&&

,

(4)

gdzie

)

,

,

(

diag

III

II

I

B

B

B

B

=

y

, )

,

,

(

diag

III

II

I

C

C

C

C

=

y

, )

,

,

(

diag

III

II

I

K

K

K

K

=

y

, ,

(

diag

I

F

F

=

y

)

,

III

II

F

F

, )

,

,

(

diag

II
III

I
III

III
II

I
II

III
I

II
I

R

R

R

R

R

R

R

+

+

+

=

y

, otrzymujemy po podstawieniu y = Aq

i po lewostronnym pomnożeniu przez A

T

, globalne równanie ruchu całego układu

F

Kq

q

C

q

B

=

+

+ &

&&

. (5)

3. Przykład zastosowania techniki podstruktur

Przedstawiona powyżej ogólna idea techniki podstruktur wymaga uszczegóło-

wienia, zatem w dalszym ciągu zostanie dokładnie omówiony przykład jej zastosowania.
Przykład będzie dotyczył stosunkowo prostej, płaskiej struktury belkowo-cięgnowej, co
umożliwi przejrzyste opisanie kolejnych kroków proponowanej procedury. Przedmiotem
rozważań będzie kładka podwieszona, której schemat przedstawiono na rys. 2a. Schemat
kładki stanowi dwuprzęsłowa belka podwieszona za pośrednictwem dwóch wiotkich cięgien
(want) do nieodkształcalnego pylonu. Analizowane będą płaskie nieliniowe drgania układu,
spowodowane siłą

P

poruszającą się ze stałą prędkością wzdłuż podwieszonej belki.

D. Bryja, M. Knawa, D. Prokopowicz, A. Woszczyna

194

Rys. 2. Schematy: a) podwieszonej kładki, b) oddziaływań cięgna na węzeł belki

Rozważany układ podzielono na dwa podukłady: I – dźwigar i II – zespół want.

Numery want są zgodne z numerami węzłów kontaktowych

j

= 1, 2. Dla obu podukładów

wyprowadzono niezależnie równania ruchu. Równanie opisujące drgania belki
wyprowadzono za pomocą MES z użyciem elementów belkowych Eulera-Bernoulliego,
w ujęciu przedstawionym w monografii [8]. Równie ruchu belki ma postać

2

1

c
b

c
b

b

b

b

b

b

b

b

R

R

F

q

K

q

C

q

B

+

+

=

+

+

&

&&

, (6)

gdzie macierze B

b

, C

b

, K

b

i wektor F

b

nie wymagają komentarza, gdyż są zbudowane

według ogólnie znanych zasad, natomiast wektory uogólnionych oddziaływań cięgien na
belkę R

b

c1

, R

b

c2

można obliczyć na podstawie formuły

)

,

(

)

,

(

t

l

N

W

t

l

N

U

L

j

zj

j

j

xj

j

j

∆

∆

−

−

=

, (7)

określającej pracę oddziaływań cięgna na przemieszczeniach węzła

j

. Oddziaływania cięgna

na belkę

∆N

xj

(

l

j

,

t

),

∆N

zj

(

l

j

,

t

) są brzegowymi składowymi dynamicznego przyrostu siły

osiowej w cięgnie,

l

j

oznacza długość cięciwy cięgna. Składowe przemieszczenia węzła

kontaktowego,

U

j

,

W

j

, mierzone w lokalnym układzie współrzędnych

x

j

z

j

związanym

z cięciwą cięgna, wynikają z transformacji kątowej określonej relacją (por. rys. 2b)

bj

j

j

j

j

j

j

j

j

j

j

w

u

W

U

q

A

r

=

























−

=













=

θ

θ

θ

θ

cos

sin

sin

cos

. (8)

Przemieszczenia q

bj

= col(u

j

, w

j

) w kierunkach osi globalnego układu współrzędnych XZ

stanowią podzbiór przemieszczeń uogólnionych q

b

, ponieważ węzeł kontaktowy pokrywa się

z węzłem podziału belki na elementy skończone, co można zapisać wzorem q

bj

= A

bj

q

b

. Po

wprowadzeniu oznaczeń e

u

= col(1, 0), e

w

= col(0, 1) otrzymuje się

)

,

(

)

,

(

T

T

T

T

T

T

t

l

N

t

l

N

L

j

zj

w

j

bj

b

j

xj

u

j

bj

b

j

∆

∆

e

A

A

q

e

A

A

q

−

−

=

, (9)

)

,

(

)

,

(

grad

T

T

T

T

t

l

N

t

l

N

L

j

zj

w

j

bj

j

xj

u

j

bj

j

cj
b

b

∆

∆

e

A

A

e

A

A

R

q

−

−

=

=

. (10)

Równania ruchu cięgien sformułowano metodą Galerkina wykorzystując ciągły

model wstępnie napiętego cięgna o nachylonej cięciwie, opisany przez autorów w pracy [7].
Po dostosowaniu modelu do rozważanego w pracy zadania płaskiego, pominięciu wektora sił
wzbudzających i uwzględnieniu uogólnionych oddziaływań belki i pylonu na cięgno
w węzłach kontaktowych j = 1, 2 oraz i = 0, równanie cięgna przyjmuje postać

Zastosowanie techniki podstruktur do modelowania kładek podwieszonych

195

i
cj

j

cj

cj

cj

cj

cj

cj

cj

cj

R

R

q

K

K

q

C

q

B

+

=

+

+

+

)

(

N

&

&&

, (11)

gdzie:

∫

∫

′

′

′

+

′

′

′

+

′

′

′

+

′

′

+

′

′

+

′

′

=

j

j

l

w

w

u

w

w

u

u

u

c

c

l

w

w

u

u

j

cj

dx

z

z

z

A

E

dx

x

H

0

T

2

T

T

T

0

3

0

T

T

0

)

(

cos

)

)(

(

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

K

α

, (12)

)

,

(

)

(

)

,

(

)

(

t

l

N

l

t

l

N

l

j

zj

j

w

j

xj

j

u

j

cj

∆

∆

f

f

R

+

=

, )

,

0

(

)

0

(

)

,

0

(

)

0

(

t

N

t

N

zj

w

xj

u

i
cj

∆

∆

f

f

R

−

−

=

, (13)

dx

m

j

l

w

w

u

u

c

cj

∫

+

=

−

0

T

T

0

1

)

(

cos

f

f

f

f

B

α

,

2

/

1

2

0

)

1

(

cos

−

′

+

=

j

j

z

α

.

(14)

Macierz sztywności geometrycznej jest określona wzorem

dx

z

z

z

A

E

w

cj

u

cj

w

cj

u

cj

cj

w

cj

u

l

c

c

cj

j

]

)

(

)

(

)

[(

cos

2

1

T

T

T

T

T

T

T

0

0

3

N

E

f

q

f

q

f

q

f

q

E

E

q

f

q

f

K

′

′

+

′

+

′

′

+

′

+

′

′

+

′

=

∫

α

, (15)

w którym oznaczono

)

(

T

T

w

w

u

u

f

f

f

f

E

′

′

+

′

′

=

. Ponadto, we wzorach (12) – (15) wprowadzono

następujące oznaczenia: f

u

= col(e

u

(1–ξ), ξe

u

, s, 0), f

w

= col(e

w

(1–ξ), ξe

w

, 0, s), s = col(sinπξ,

sin2πξ,…), ξ = x

j

/l

j

oraz przyjęto, że oba cięgna mają jednakowe parametry: masę

jednostkową m

c

i sztywność osiową E

c

A

c

.

Funkcja z

j

(x

j

) określa trasę cięgna w stanie

odniesienia ([7]). Wektor współrzędnych uogólnionych opisujących ruch cięgna
q

cj

= col(r

i

, r

j

, q

uj

, q

wj

) podzielono na bloki zawierające przemieszczenia brzegowe:

r

i

= col(U

i

, W

i

), r

j

= col(U

j

, W

j

), oraz bloki q

uj

, q

wj

zawierające współrzędne uogólnione

wynikające z aproksymacji drgań cięgna w kierunku cięciwy u

j

(x

j

, t) i drgań poprzecznych

w

j

(x

j

, t), por. [7]. W rozważanym zadaniu r

i

= 0, co wynika z przyjętego założenia

o nieodkształcalności pylonu. H

0j

(x

j

) = S

j

+ m

c

g

sinθ

j

(l

j

− x

j

) jest składową statycznego

napięcia cięgna w kierunku cięciwy w stanie odniesienia, w którym cięgno jest napięte
wstępnie siłą S

j

i obciążone ciężarem własnym.

W celu wyznaczenia globalnego równania ruchu należy najpierw określić zbiór

niezależnych współrzędnych uogólnionych q opisujących ruch całego układu. Po analizie
zbiorów współrzędnych lokalnych przyjęto q = col(q

b

, q

1

, q

2

), gdzie q

1

= col(q

u1

, q

w1

),

q

2

= col(q

u2

, q

w2

). Zgodnie z ogólną ideą metody omówioną w poprzednim punkcie,

podstawą agregacji równań (6) i (11) jest transformacja współrzędnych q na współrzędne
lokalne podstruktur zestawione w wektor łączny y = col(q

b

, q

c1

, q

c2

), gdzie q

c1

= col(r

0

, r

1

,

q

u1

, q

w1

) = col(r

0

, r

1

, q

1

), q

c2

= col(r

0

, r

2

, q

u2

, q

w2

) = col(r

0

, r

2

, q

2

). Transformację określa

wzór

Aq

q

q

q

I

0

0

0

0

A

A

0

0

0

0

I

0

0

0

A

A

0

0

0

0

0

I

q

r

r

q

r

r

q

q

q

q

y

=

































































=













































=





















=

2

1

2

2

1

1

2

2

0

1

1

0

2

1

b

c

b

c

b

b

b

c

c

b

, (16)

D. Bryja, M. Knawa, D. Prokopowicz, A. Woszczyna

196

w którym I

b

, I

c

są macierzami jednostkowymi. Po podstawieniu y = Aq i lewostronnym

pomnożeniu przez A

T

łącznego równania podstruktur (4), w którym B

y

= diag(B

b

,B

c1

,B

c2

),

C

y

= diag(C

b

,C

c1

,C

c2

), K

y

= diag(K

b

, K

c1

+K

c1

N

, K

c2

+K

c2

N

), R

y

= col(R

b

c1

+R

b

c2

, R

c1

0

+R

c1

1

,

R

c2

0

+R

c2

2

), F

y

= col(F

b

, 0, 0), otrzymuje się równanie ruchu

F

Kq

q

C

q

B

=

+

+ &

&&

, przy czym

B = A

T

B

y

A

, C = A

T

C

y

A

, K = A

T

K

y

A

, F = A

T

F

y

. Ponadto można wykazać, że A

T

R

y

= 0

.

4. Przykład numeryczny

Omówioną metodę zastosowano do wyznaczania liniowych i nieliniowych drgań

podwieszonej belki o schemacie przedstawionym na rys. 2, obciążonej ruchomą siłą
jednostkową P = 1. Wyznaczone w ten sposób przebiegi czasowe drgań liniowych
w wybranych przekrojach belki można traktować jak dynamiczne funkcje wpływu
przemieszczeń. Funkcje te porównano z odpowiednimi liniowymi rozwiązaniami quasi-
statycznymi, które z kolei są statycznymi funkcjami wpływowymi.

Rys. 3. Przebieg drgań pionowych w punkcie A i rozwiązanie quasi-statyczne

Rys. 4. Przebieg drgań pionowych w punkcie B i rozwiązanie quasi-statyczne

Do obliczeń przyjęto jednakowe rozpiętości przęseł: l

1

= l

2

= 40 m i wysokość

pylonu h = 25 m. Cięgna o tych samych parametrach: m

c

= 7

kg/m, E

c

A

c

= 180000

kN, są

połączone z belką w środku rozpiętości przęseł i są wstępnie napięte siłą S = 100

kN.

Sztywności belki wynoszą: EJ = 200000

kNm

2

, EA= 1500000 kN, masa jednostkowa

m

b

= 1162

kg/m. Częstość podstawowa drgań wynosi ω

1

= 10,239 rad/s (f

1

= 1,630 Hz).

Zastosowanie techniki podstruktur do modelowania kładek podwieszonych

197

Macierz tłumienia zdefiniowano wzorem C = µB na podstawie macierzy bezwładności B
określonej równaniem ruchu (5), zakładając model tłumienia masowego z parametrem
µ

= 2αω

1

i przyjmując liczbę tłumienia podstawowego układu modalnego α = 0,05.

Przykładowe przebiegi drgań i rozwiązania quasi-statyczne przedstawiono na rys. 3

i rys. 4, przy czym przyjęto, że siła jednostkowa porusza się ze stałą prędkością v = 25 m/s.
Maksymalne rzędne rozwiązań liniowych porównano z maksymalnymi rzędnymi
odpowiednich rozwiązań nieliniowych w tab. 1. W rozważanym zadaniu wpływ efektów
nieliniowych jest pomijalnie mały, ponieważ przemieszczenia cięgien są niewielkie –
wynikają wyłącznie z przemieszczeń punktów połączenia want z belką (por. rys. 3), które
muszą być małe, jeśli wanty mają spełniać swoją rolę. Przedstawiony przykład potwierdził
efektywność techniki podstruktur i jej przydatność do rozwiązywania zagadnień liniowej
i nieliniowej dynamiki konstrukcji podwieszonych.

Tablica 1. Maksymalne wartości przemieszczeń pionowych w wybranych punktach belki

Przemieszczenie

w

A

[m/N] Przemieszczenie

w

B

[m/N]

Rozwiązanie statyczne

Rozwiązanie statyczne

Położenie

siły

liniowe nieliniowe liniowe nieliniowe

0,2542 l

1

-

- 7,3054507

⋅

10

-7

7,3054502

⋅

10

-7

0,4706 l

1

2,8130250

⋅

10

-7

2,8130212

⋅

10

-7

- -

Rozwiązanie dynamiczne

Rozwiązanie dynamiczne

0,2756 l

1

-

- 10,5266770

⋅

10

-7

10,5266769

⋅

10

-7

0,3160 l

1

3,5561898

⋅

10

-7

3,5561884

⋅

10

-7

- -

5. Podsumowanie

W pracy zaproponowano metodę modelowania układów belkowo-cięgnowych

jakimi są podwieszone kładki dla pieszych. Przedstawiona metoda, w której wykorzystuje się
technikę podziału na podstruktury, stanowi w przypadku rozważanych układów dobrą
alternatywę w stosunku do MES. Główną zaletą proponowanego podejścia jest możliwość
znacznego skrócenia czasu obliczeń w trakcie wyznaczania przebiegów czasowych
odpowiedzi dynamicznych układu. Cel ten można osiągnąć różnymi sposobami, na przykład:
(i) przez redukcję stopni swobody za pomocą metody superpozycji modalnej, zastosowanej
tylko do wybranych podstruktur zamiast standardowo – do całego układu, (ii) przez
zastosowanie metod aproksymacji ciągłej (np. Galerkina, Ritza) do dyskretyzacji tych
podukładów dynamicznych, dla których metody te są dopuszczalne i bardziej efektywne od
MES, (iii) przez ograniczenie liczby operacji w każdym kroku czasowym obliczeń poprzez
aktualizację wyłącznie odpowiednich „lokalnych” równań ruchu, jeśli zmienne w czasie są
parametry tylko niektórych podukładów. Zastosowanie wymienionych technik jest możliwe
dzięki niezależnemu formułowaniu równań ruchu poszczególnych podstruktur.

Należy podkreślić fakt, że zaprezentowane przez autorów, hybrydowe ujęcie

techniki podstruktur umożliwia optymalne modelowanie konstrukcji podwieszonych. Ujęcie
to polega na połączeniu dwóch różnych metod modelowania: metody elementów
skończonych i podejścia kontynualnego. MES jest metodą „z wyboru” przy modelowaniu
pylonów, konstruowanych jako ramowe, kratowe lub w postaci krępych słupów o zmiennym
przekroju. Podobnie jest w przypadku modelowania pomostu, który często jest złożoną
konstrukcją belkową lub kratową, a także może być dźwigarem płytowym – zwykłym lub
użebrowanym. Natomiast podejście kontynualne, bazujące na różniczkowych równaniach
ruchu rozwiązywanych dowolną metodą aproksymacji ciągłej, jest metodą optymalną dla

D. Bryja, M. Knawa, D. Prokopowicz, A. Woszczyna

198

wstępnie napiętych want, szczególnie want o dużej rozpiętości, dla których wstępny zwis
statyczny spowodowany ciężarem własnym nie może być pominięty. Technika agregacji
równań ruchu wyprowadzonych z użyciem wymienionych metod została szczegółowo
omówiona w niniejszej pracy. Przedstawione ujęcie techniki podstruktur może być
stosowane do analiz dynamicznych kładek podwieszonych i mostów wantowych,

a po niewielkich modyfikacjach także do innych obiektów inżynierskich, takich jak kładki
i mosty wiszące, czy maszty z odciągami.

Literatura

[1]

BIONDI B., MUSCOLINO G., SOFI A., Dynamics of suspended bridges by
substructure approach. Proc. 4th Int. Symp. of Cable Dynamics. Montreal, Canada,
2001; s. 339-346.

[2]

BIONDI B., MUSCOLINO G., SOFI A., Analysis of dynamic interaction between
suspension bridges and running trains. Proc. 4th Int. Conf. on Structural Dynamics.
Munich, Germany, 2002; Vol. 2, s. 1041-1046.

[3]

BIONDI B., MUSCOLINO G., SOFI A., A substructure approach for dynamic
analysis of train-track-bridge system. Computers and Structures. 2005, No. 83,
s. 2271-2281.

[4]

CRAIG R.R.Jr., A brief tutorial on substructure analysis and testing. Proc. 18th Int.

[5]

Conf. on Structural Dynamics IMAC. San Antonio, Texas, 2000; s. 899-904.

[6]

HURTY W.C., Vibrations of structural systems by component-mode synthesis.
Journal of Engineering Mechanics ASCE. 1960, Vol. 86, s. 51-69.

[7]

BIONDI B., MUSCOLINO G., Component-mode synthesis method variants in the
dynamics of coupled structures. Meccanica. 2000, Vol. 35, No. 1, s.17-38.

[8]

BRYJA D., PROKOPOWICZ D., WOSZCZYNA A., Dynamiczny model wstępnie
napiętego cięgna i jego zastosowanie. Monografia: Problemy naukowo-badawcze
budownictwa. Białystok, Wydawnictwo Politechniki Białostockiej, 2007, Vol. 2,
s. 439-446.

[9]

LANGER J., Dynamika budowli. Wrocław, Wydawnictwo Politechniki
Wrocławskiej, 1980.

APPLICATION OF SUBSTRUCTURE TECHNIQUE FOR

MODELING OF

CABLE-STAYED FOOTBRIDGES

Summary

In this paper a new approach of substructure technique is introduced in order to

analyze dynamic problems of cable-stayed structures. On the basis of a cable-stayed
footbridge, idealized as the assemblage of cooperating substructures: the girder, pylons and
cables, the main idea of the method is presented. The equations of motion for each
substructure are derived independently using different methods (FEM for the girder and
pylons, continuum approach for cables). The equation of motion of assembled system is
obtained by aggregation that takes into account the displacement continuity conditions and
the equilibrium conditions of interaction forces between substructures. To demonstrate
following steps of the proposed procedure, an application example is presented for simple,
two-span cable-beam structure. Numerical analysis concerns linear and non-linear in-plane
vibrations of considered structure caused by single unit force moving with constant velocity.