Biotechnologia I rok

Lista 3 (estymacja)

!

!

1. 100 losowo wybranym osobom zadano pytanie na temat czasu oczekiwania na autobus
(min). Na podstawie uzyskanych odpowiedzi obliczono średnią = 10 i odchylenie stand. =2 .
a) Ile wynosi punktowe oszacowanie nieznanej wartości średniego czasu oczekiwania.
b) Oszacować przedziałowo ten parametr przy współczynniku ufności 0,9
c) Co się stanie gdy współczynnik ten zwiększymy do 0,95 – odpowiedzieć nie szacując

nowego przedziału.

!

2. W losowo wybranej grupie 20 inwestorów giełdowych stwierdzono, że średni wiek wynosi
34 lata, zaś odchylenie standardowe wieku 6 lat.
a) Jakie jest punktowe oszacowanie nieznanego średniego wieku ogółu inwestorów w tym

kraju?

b) Oszacować metodą przedziałową przeciętny wiek inwestorów. Przyjąć współczynnik

ufności 0,95. (odp : (31,2; 36,8) )

c) Jak można poprawić precyzję szacunku.

3. W oparciu o informacje z 25 losowo wybranych prywatnych szkół średnich ustalono, że
przeciętne czesne w tych szkołach wyniosło 500 zł, zaś odchylenie standardowe 146 zł.

Jaki współczynnik ufności zastosowano przy przedziałowej estymacji średniej wielkości
czesnego w szkołach średnich, jeśli maksymalny błąd szacunku stanowił 10% wartości
estymatora? (odp: 0,9 ).

!

4. Z szeregu badań wiadomo, że poziom leukocytów we krwi (tys/mm

3

) ma rozkład

normalny o odchyleniu standardowym 0,3. W pewnym instytucie doświadczalnym
postanowiono sprawdzić możliwość zastosowania w analizie krwi pewnego nowego aparatu
do badania przeciętnego poziomu leukocytów.
a) Jak liczna powinna być próba badanych osób, aby przy współczynniku ufności 0,95

maksymalny błąd szacunku wynosił 0,1 tys/ mm

3

?

b) Zbudować przedział ufności dla przeciętnego poziomu leukocytów we krwi (1-α = 0,95),

jeśli w próbie o liczebności wyznaczonej w punkcie a) średni poziom leukocytów
wynosił 8.

Odp : 35, (7,9; 8,1)

!

5. Roczne wydatki na promocję firm z pewnej branży mają rozkład normalny.
a) Ile wynosił współczynnik ufności przy przedziałowej estymacji średniej wysokości tych
wydatków dla wszystkich firm branży, jeśli na podstawie wyników 9-elementowej próby
przedsiębiorstw uzyskano przedział o długości 1500 zł, a odchylenie standardowe wydatków
w badanej próbie firm wyniosło 995 zł?
b) Jak liczna powinna być próba, aby z prawdopodobieństwem 0,95 oszacować odsetek firm
tej branzy reklamujących się w TV z maksymalnym błędem 0,02? Badanie pilotażowe
wskazuje, iż takich firm powinno być około 20 %.

Odp. . a) 0,95 b) 1537

!

6. W środowisku studenckim pewnej uczelni pojawiły się głosy na temat konieczności
zwiększenia liczby godzin z języków obcych. Oszacować punktowo i przedziałowo ( 1-α =
0,95) odsetek studentów popierających ten pogląd , jeśli w próbie 600 studentów 400
wypowiedziało się „za”. Jakie konsekwencje będzie miało zmniejszenie współczynnika

Biotechnologia I rok

Lista 3 (estymacja)

!

!

!

ufności do 0,9. Ile wynosi maksymalny błąd szacunku. Jak liczebność próby wpływa na
wielkość maksymalnego błędu szacunku

!

7. W badaniach opinii publicznej próba 1068-mio osobowa gwarantuje, że przy
współczynniku ufności 0,95 maksymalny błąd szacunku nie przekroczy 3 %. O ile należałoby
zwiększyć próbę, aby przy tym samym współczynniku ufności błąd wynosił tylko 2% ?
Odp. 1333

!

8. Jaki współczynnik ufności przyjęto przy przedziałowej estymacji odsetka miejsc zajętych
na spektaklu Romeo i Julia, jeżeli otrzymano przedział (50,8 % - 69,2%), oraz wiadomo,że na
losowo wybranym przedstawieniu stwierdzono obecność 80 osób w sali liczącej 133 miejsca.
Odp. 0,97

!

9. Towarzystwo Miłośników Poznania (TMP) chce przeforsować decyzję, aby poznańskie
„koziołki” na miejskim ratuszu pokazywały się częściej, a nie tylko w południe.
a) Jak liczną próbę należałoby wylosować dla oszacowania odsetka mieszkańców miasta

popierających ten pogląd przy założeniu, że współczynnik ufności wynosi 0,95, zaś
maksymalny błąd szacunku 5% (wcześniej takie szacunki nie były prowadzone).

b) Zbuduj właściwy przedział dla 1-α = 0,95 jeśli w wylosowanej próbie o liczebności

obliczonej w punkcie a) ¾ mieszkańców miasta zaakceptowało propozycję TMP.

Odp. a) 385 b) (0,707; 0,793)

!

10. Aby oszacować odsetek pracujących mieszkańców pewnego osiedla korzystających z
metra, pobrano losowo 200 osób i stwierdzono, że 72 spośród nich dojeżdża regularnie
metrem do pracy. Z jakim prawdopodobieństwem można oczekiwać, że przedział o końcach
29,3% - 42,7% pokrywać będzie nieznany procent osób dojeżdżających metrem do pracy
wśród wszystkich pracujących mieszkańców tego osiedla?
Odp. 0,95

!

11. Oszacuj metodą przedziałową (1-α= 0,95) częstość kupowania wybielającej pasty do

zębów. W próbie 200 osób, pastę taką kupiło 30% klientow.

Ile osób należałoby wylosować do próby, aby przy tej samej ufności uzyskać oszacowanie

częstości kupowania takiej pasty z wymaganym absolutnym błędem szacunku 2,5%.

Odp. (0,236; 0,364); 1291 lub 1537

!

PYTANIE TEORETYCZNE –wskaż prawdziwe odpowiedzi.
16. Przedziały ufności dla średniej w populacji normalnej, konstruowane przy tym samym
współczynniku ufności, ale w oparciu o różne, ale jednakowo liczne próby mają:

a) zawsze jednakowe długości przedziałów;
b) jednakowe długości przedziałów, ale tylko wtedy, gdy znane jest σ ;
c) przy nieznanym σ: różne długości zależne od wyników średnich arytmetycznych

otrzymanych z próby ;

d) przy nieznanym σ : różne długości zależne od wyników odchyleń standardowych

otrzymanych z próby.