Analiza matematyczna 1

Notatki do wykªadu

Mateusz Kwa±nicki

3 Przestrzenie metryczne

Jedn¡ z najwa»niejszych funkcji rzeczywistych jest warto±¢ bezwzgl¦dna:

|a| =

(

a

je±li a ≥ 0,

−a

je±li a < 0.

Warto±¢ bezwzgl¦dna liczby x to odlegªo±¢ punktu x od 0 na osi liczbowej. Ta interpretacja

przydaje si¦ do szybkiego rozwi¡zywania prostych nierówno±ci.
Przykªad 1. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ |x − 2| < |x|.
Rozwi¡zanie. Rozwi¡zaniem jest zbiór tych x, które bli»sze s¡ 2 ni» 0. S¡ to oczywi±cie wszyst-

kie liczby wi¦ksze od 1.

Korzystaj¡c z denicji warto±ci bezwzgl¦dnej, musieliby±my rozwa»y¢ trzy przypadki: x < 0, 0 ≤ x < 2

oraz 2 ≤ x. Byªoby to mo»e rozwi¡zanie bardziej formalne, ale dªu»sze i mniej intuicyjne.

Uogólnieniem odlegªo±ci na osi liczbowej, uwzgl¦dniaj¡cym tak»e odlegªo±¢ na pªaszczy¹nie,

w przestrzeni i wiele innych przykªadów, jest poj¦cie metryki.
Denicja. Niech X b¦dzie niepustym zbiorem. Metryk¡ na zbiorze X nazywamy dowoln¡

funkcj¦ d : X × X → [0, ∞), speªniaj¡c¡ nast¦puj¡ce warunki:

d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y

(x, y ∈ X)

(

warunek to»samo±ci);

(1)

d(x, y) = d(y, x)

(x, y ∈ X)

(

warunek symetrii);

(2)

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

(x, y, z ∈ X)

(

warunek trójk¡ta).

(3)

Zbiór X wraz z metryk¡ d tworzy przestrze« metryczn¡.

Metryki najcz¦±ciej oznacza si¦ literami d, %, δ.

Przykªad 2. Metryka moduª ró»nicy: Niech d : R × R → [0, ∞), d(x, y) = |x − y|. Spraw-

dzenie warunków metryki jest prostym ¢wiczeniem.

Przez R

n

oznaczamy zbiór wszystkich n-elementowych ci¡gów liczb rzeczywistych. Ele-

menty tego zbioru oznaczamy (a

1

, a

2

, ..., a

n

)

itp.

Przykªad 3. Metryka euklidesowa w przestrzeni n-wymiarowej: d : R

n

× R

n

→ [0, ∞)

,

d((a

1

, a

2

, ..., a

n

), (b

1

, b

2

, ..., b

n

)) =

p

(a

1

− b

1

)

2

+ (a

2

− b

2

)

2

+ ... + (a

n

− b

n

)

2

.

Sprawdzamy warunki metryki. Warunek to»samo±ci:

d((a

1

, a

2

, ..., a

n

), (b

1

, b

2

, ..., b

n

)) = 0 ⇐⇒ (a

1

− b

1

)

2

+ (a

2

− b

2

)

2

+ ... + (a

n

− b

n

)

2

= 0

⇐⇒ a

1

− b

1

= a

2

− b

2

= ... = a

n

− b

n

= 0

⇐⇒ (a

1

, a

2

, ..., a

n

) = (b

1

, b

2

, ..., b

n

);

skorzystali±my tu z faktu, »e suma liczb nieujemnych jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy

ka»da z tych liczb jest równa zero. Warunek symetrii:

d((a

1

, a

2

, ..., a

n

), (b

1

, b

2

, ..., b

n

)) = d((b

1

, b

2

, ..., b

n

), (a

1

, a

2

, ..., a

n

))

1

wynika z równo±ci (a

j

− b

j

)

2

= (b

j

− a

j

)

2

. Warunek trójk¡ta:

d((a

1

, a

2

, ..., a

n

), (c

1

, c

2

, ..., c

n

)) ≤ d((a

1

, a

2

, ..., a

n

), (b

1

, b

2

, ..., b

n

)) + d((b

1

, b

2

, ..., b

n

), (c

1

, c

2

, ..., c

n

)

zapiszmy, podstawiaj¡c a

j

− b

j

= p

j

, b

j

− c

j

= q

j

, a

j

− c

j

= p

j

+ q

j

:

p

(p

1

+ q

1

)

2

+ (p

2

+ q

2

)

2

+ ... + (p

n

+ q

n

)

2

≤

q

p

2

1

+ p

2

2

+ ... + p

2

n

+

q

q

2

1

+ q

2

2

+ ... + q

2

n

.

Jest to tzw.

nierówno±¢ Minkowskiego, któr¡ udowodnimy, korzystaj¡c z nierówno±ci

Cauchy'ego-Buniakowskiego-Schwarza. Obie strony nierówno±ci Minkowskiego s¡ nieujemne,

wi¦c jest ona równowa»na nierówno±ci:

(p

1

+ q

1

)

2

+ (p

2

+ q

2

)

2

+ ... + (p

n

+ q

n

)

2

≤ p

2
1

+ p

2
2

+ ... + p

2
n

+ q

2

1

+ q

2

2

+ ... + q

2

n

+ 2

q

p

2

1

+ p

2

2

+ ... + p

2

n

·

q

q

2

1

+ q

2

2

+ ... + q

2

n

.

Po redukcji, otrzymujemy równowa»nie:

p

1

q

1

+ p

2

q

2

+ ... + p

n

q

n

≤

q

p

2

1

+ p

2

2

+ ... + p

2

n

·

q

q

2

1

+ q

2

2

+ ... + q

2

n

.

Jest to nierówno±¢ Cauchy'ego-Schwarza-Buniakowskiego.
Uwaga. Dla n = 1 metryka euklidesowa jest równa metryce moduª ró»nicy. Dla n = 2 oraz
n = 3

jest to zwykªa odlegªo±¢ odpowiednio na pªaszczy¹nie i w przestrzeni trójwymiarowej.

Przykªad 4. Dla punktów x, y na sferze (tj. na powierzchni kuli) niech d(x, y) oznacza dªugo±¢

najkrótszego ªuku ª¡cz¡cego x i y w caªo±ci zawartego w sferze, a %(x, y) dªugo±¢ odcinka

ª¡cz¡cego x i y. Mo»na dowie±¢, »e d i % s¡ metrykami oraz »e %(x, y) ≤ d(x, y) ≤ π %(x, y).
Przykªad 5. Niech d b¦dzie metryk¡ moduª ró»nicy na R i niech % b¦dzie tzw. metryk¡

dyskretn¡: %(x, y) = 0 je±li x = y oraz %(x, y) = 1 w przeciwnym przypadku. Wówczas

nie istniej¡ liczby dodatnie m i M takie, »e m %(x, y) ≤ d(x, y) dla wszystkich x, y ∈ R lub
d(x, y) ≤ M %(x, y)

.

Poj¦cie metryki ma odpowiada¢ odlegªo±ci. Warunek to»samo±ci mówi, »e odlegªo±¢ mi¦-

dzy ró»nymi punktami jest zawsze dodatnia. Warunek symetrii mo»na rozumie¢ nast¦puj¡co:

mierzona jest odlegªo±¢ mi¦dzy dwoma punktami, a nie odlegªo±¢ z jednego punktu do drugiego.

W wielu przypadkach z »ycia ten warunek nie jest speªniony, np. odlegªo±ci podawane na szla-

kach górskich cz¦sto zale»¡ od kierunku, w którym szlak jest przemierzany. Warunek trójk¡ta

oznacza, »e (najkrótsza) droga z punktu x do punktu z nie mo»e by¢ dªu»sza od najkrótszej

drogi z x do z przechodz¡cej dodatkowo przez y.

Z warunków (1)(3) wynika wiele innych wªasno±ci.

Wniosek. Je±li d jest metryk¡ na zbiorze X, to dla wszystkich x, y, z zachodzi

d(x, y) ≥ |d(x, z) − d(y, z)| .

Dowód. Wobec warunku trójk¡ta (i symetrii),

d(x, y) ≥ d(x, z) − d(y, z)

oraz

d(x, y) ≥ d(y, z) − d(x, z).

St¡d i z denicji warto±ci bezwzgl¦dnej wynika teza.

Teoria przestrzeni metrycznych jest cz¦±ci¡ topologii, dziedziny matematyki zajmuj¡cej si¦

przeksztaªceniami ci¡gªymi. Obszerniejsze wprowadzenie do tej dziedziny wymagaªoby zbyt

du»o czasu. Przestrzenie metryczne b¦d¡ dla nas kontekstem do rozwa»a« o granicy, ci¡gªo±ci

funkcji rzeczywistych itp.

Je±li nie jest powiedziane inaczej, w zbiorze liczb rzeczywistych zawsze mówimy o metryce

moduª ró»nicy. Ogólniej: w przestrzeni R

n

naturaln¡ metryk¡ jest metryka euklidesowa.

2

4 Ci¡gi i zbie»no±¢

Denicja. Ci¡giem elementów zbioru X nazywamy dowoln¡ funkcj¦ a : N → X. Czasem

przez ci¡g b¦dziemy rozumieli funkcj¦ a : {k, k + 1, k + 2, k + 3, ...} → X, gdzie k jest dowoln¡

liczb¡ caªkowit¡. Wielko±¢ a(n) nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu a i oznaczamy a

n

. Cz¦sto

zamiast ci¡g a mówimy ci¡g (a

n

)

, ci¡g (a

n

: n ∈ N)

 lub po prostu ci¡g a

n

. Zbiór

wszystkich ci¡gów elementów X oznaczamy przez X

N

.

Ci¡gi mog¡ by¢ zadane jawnym wzorem (np. a

n

= 2

n

−1

), rekurencyjnie (np. a

n+1

= 2a

n

+1

dla n ≥ 1, a

1

= 1

) lub w dowolny inny sposób (np. a

n

to minimalna liczba ruchów, by przenie±¢

wie»¦ wysoko±ci n w ªamigªówce wie»e z Hanoi).

Denicja. Ci¡g liczb rzeczywistych nazywamy ci¡giem liczbowym. Mówimy, »e (a

n

)

to:

•

ci¡g arytmetyczny, je±li ró»nica a

n+1

− a

n

nie zale»y od n;

•

ci¡g geometryczny: je±li a

n

6= 0

oraz iloraz

a

n+1

a

n

nie zale»y od n;

•

ci¡g staªy, je±li warto±¢ a

n

nie zale»y od n;

•

ci¡g rosn¡cy lub ci¡g ±ci±le rosn¡cy, je±li a

n+1

> a

n

dla ka»dego n;

•

ci¡g malej¡cy lub ci¡g ±ci±le malej¡cy, je±li a

n+1

< a

n

dla ka»dego n;

•

ci¡g niemalej¡cy lub ci¡g rosn¡cy w szerszym sensie, je±li a

n+1

≥ a

n

dla ka»dego n;

•

ci¡g nierosn¡cy lub ci¡g malej¡cy w szerszym sensie, je±li a

n+1

≤ a

n

dla ka»dego n;

•

ci¡g monotoniczny, je±li jest ci¡giem niemalej¡cym lub ci¡giem nierosn¡cym;

•

ci¡g ±ci±le monotoniczny, je±li jest ci¡giem rosn¡cym lub ci¡giem malej¡cym;

•

ci¡g ograniczony (ogr. z góry, ogr. z doªu), je±li zbiór wyrazów {a

n

: n ∈ N}

jest

ograniczony (ogr. z góry, ogr. z doªu).

Przykªad 6.

•

Ci¡g (a

n

)

dany wzorem a

n

= 2n+3

jest ci¡giem arytmetycznym, rosn¡cym,

ograniczonym z doªu.

•

Ci¡g (a

n

)

dany wzorem a

n

= 3 · 2

−n

jest ci¡giem geometrycznym, malej¡cym, ograniczo-

nym.

•

Ci¡g (a

n

)

dany wzorem a

n

= (−10)

n

jest ci¡giem geometrycznym, niemonotonicznym,

nieograniczonym.

•

Ka»dy ci¡g arytmetyczny jest ci¡giem staªym, rosn¡cym lub malej¡cym.

Przykªad 7 (ci¡g Fibonacciego). Leonardo Fibonacci rozwa»aª w opublikowanym w 1202 roku

dziele Liber abaci nast¦puj¡cy uproszczony model rozmna»ania si¦ królików. W pierwszym

miesi¡cu jest jedna mªoda para królików i nie ma dojrzaªych królików. Mªode króliki dojrzewaj¡

w ci¡gu jednego miesi¡ca, dorosªe umieraj¡ po kolejnym miesi¡cu, a ka»da para co miesi¡c

wydaje na ±wiat par¦ mªodych.

Niech a

n

oznacza liczb¦ mªodych par w n-tym roku, a b

n

 liczb¦ par dorosªych. Wówczas

a

1

= 1,

a

n+1

= a

n

+ b

n

,

b

1

= 0,

b

n+1

= a

n

.

3

Dla n ≥ 3 mamy wi¦c:

a

n

= a

n−1

+ b

n−1

= a

n−1

+ a

n−2

i ponadto a

1

= 1

, a

2

= 1

. Rosn¡cy ci¡g liczb caªkowitych (a

n

)

nazywany jest ci¡giem Fibo-

nacciego (byª on jednak badany du»o wcze±niej przez matematyków hinduskich).
Denicja. Ci¡g (b

n

)

nazywamy podci¡giem ci¡gu (a

n

)

, je±li istnieje rosn¡cy ci¡g liczb natu-

ralnych (k

n

)

taki, »e b

n

= a

k

n

dla wszystkich n.

Przykªad 8. Je±li a

n

= 2

n

, b

n

= 4

n

, to b

n

= a

2n

, wi¦c (b

n

)

jest podci¡giem (a

n

)

. Podci¡g

ci¡gu rosn¡cego jest rosn¡cy, analogiczn¡ wªasno±¢ maj¡ ci¡gi niemalej¡ce, malej¡ce, nierosn¡ce,

monotoniczne, ograniczone. Podci¡g (c

n

)

podci¡gu (b

n

)

ci¡gu (a

n

)

sam jest podci¡giem ci¡gu

(a

n

)

; je±li bowiem c

n

= b

l

n

, b

n

= a

k

n

, to c

n

= a

k

ln

.

Denicja. Mówimy, »e twierdzenie zachodzi dla prawie wszystkich liczb naturalnych,

je±li jest ono nieprawdziwe dla sko«czenie wielu liczb naturalnych. Równowa»nie: twierdzenie

zachodzi dla prawie wszystkich liczb naturalnych, je±li istnieje N ∈ N takie, »e twierdzenie

zachodzi dla wszystkich n ≥ N.
Przykªad 9. Dla wszystkich liczb naturalnych n zachodzi 2

n

≥ n

, za± dla prawie wszystkich

2

n

≥ n

2

(wyj¡tkiem jest n = 3). Równie» dla prawie wszystkich n mamy 2

n

> n

3

 nierówno±¢

ta jest faªszywa tylko dla n ∈ {2, 3, ..., 9}. Ogólniej mo»na udowodni¢, »e

dla ka»dego k, dla prawie wszystkich n ∈ N zachodzi 2

n

≥ n

k

.

Warto podkre±li¢, »e kwantykatora dla ka»dego nie mo»na zamieni¢ miejscami z kwantyka-

torem dla prawie wszystkich, bowiem zdanie

dla prawie wszystkich n ∈ N, dla ka»dego k zachodzi 2

n

≥ n

k

jest faªszywe  dla dowolnego n > 1 znajdziemy k (np. k = n + 1) takie, »e 2

n

< n

k

.

Denicja. Niech (a

n

)

b¦dzie ci¡giem elementów przestrzeni metrycznej X z metryk¡ d. Mó-

wimy, »e ci¡g (a

n

)

jest zbie»ny do granicy g ∈ X, co zapisujemy w postaci

lim

n→∞

a

n

= g

lub

a

n

→ g

gdy n → ∞,

je±li speªniony jest nast¦puj¡cy warunek:

dla ka»dego ε > 0, warunek d(a

n

, g) < ε

zachodzi dla prawie wszystkich n.

(4)

Równowa»nie,

dla ka»dego ε > 0 istnieje N ∈ N takie, »e dla n ≥ N zachodzi d(a

n

, g) < ε,

(5)

lub symbolicznie:

^

ε>0

_

N ∈N

^

n≥N

d(a

n

, g) < ε.

Je±li ci¡g nie jest zbie»ny, mówimy, »e jest rozbie»ny.
Uwaga. Cz¦sto wygodnie jest wprost podkre±li¢ zale»no±¢ N od ε, tj. zapisa¢ denicj¦ zbie»no±ci

ci¡gu (a

n

)

do g w postaci:

lim

n→∞

a

n

= g

⇐⇒

istnieje funkcja N taka, »e

^

ε>0

^

n≥N (ε)

d(a

n

, g) < ε.

(6)

4

Twierdzenie. Ka»dy ci¡g ma co najwy»ej jedn¡ granic¦.
Dowód. Je±li g i h s¡ granicami ci¡gu (a

n

)

, to dowolnego ε > 0, dla prawie wszystkich n:

d(g, h) ≤ d(g, a

n

) + d(a

n

, h) < ε + ε = 2ε.

St¡d d(g, h) = 0, czyli g = h.
Twierdzenie. Podci¡g ci¡gu zbie»nego jest zbie»ny do tej samej granicy.

Przypomnijmy, »e je±li nie jest zaznaczone inaczej, dla ci¡gów liczbowych u»ywamy metryki

moduª ró»nicy. Zatem w tym przypadku:

lim

n→∞

a

n

= g

⇐⇒

^

ε>0

_

N ∈N

^

n≥N

|a

n

− g| < ε.

Przykªad 10. Ci¡g staªy (a

n

)

, gdzie a

n

= c

dla wszystkich n, jest zbie»ny do c w dowolnej

metryce.
Przykªad 11. Ci¡g (

1

n

)

, a wi¦c równie» ka»dy jego podci¡g, jest zbie»ny do zera.

Przykªad 12. Ci¡g (a

n

)

dany wzorem a

n

=

n

n+1

jest zbie»ny do 1. W istocie, niech ε > 0.

Zauwa»my, »e

d(a

n

, 1) =




n

n+1

− 1




=

1

n+1

.

Aby zachodziªo d(a

n

, 1) < ε

, wystarcza n + 1 >

1
ε

, zatem w denicji (6) wystaczy wzi¡¢ np.

N (ε) =



1
ε

− 1



(przez dxe oznaczamy najmniejsz¡ liczb¦ caªkowit¡ nie mniejsz¡ od x, czasem

nazywan¡ sutem liczby x).
Uwaga. W metryce dyskretnej ρ powy»szy ci¡g (a

n

)

nie jest zbie»ny do 1, bowiem ρ(a

n

, 1) = 1

.

Przykªad 13. Ci¡g (a

n

)

, gdzie a

n

=

n

√

3

, jest zbie»ny do 1. W istocie, a

n

≥ 1

, za± na mocy

nierówno±ci Bernoulliego,

a

n

=

n

√

3 =

n

r

1 + n ·

2

n

≤

n

s



1 +

2

n



n

= 1 +

2

n

.

St¡d |a

n

− 1| ≤

2

n

, wi¦c aby |a

n

− 1| < ε

wystarcza, »e n >

2
ε

.

Przykªad 14. Ci¡g (p

n

)

punktów pªaszczyzny R

2

, p

n

= (x

n

, y

n

)

, jest zbie»ny w metryce

euklidesowej do granicy g = (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

x

n

= a

oraz lim

n→∞

y

n

= b

.

Dowód. Niech ε > 0. Je±li d(p

n

, g) < ε

, to równie» |x

n

− a| < ε

oraz |y

n

− b| < ε

. To dowodzi

implikacji w jedn¡ stron¦. Podobnie, je±li |x

n

− a| < ε

oraz |y

n

− b| < ε

, to d(p

n

, g) <

√

2 ε

. Z

tego powodu zbie»no±¢ (x

n

)

do a oraz (y

n

)

do b poci¡ga zbie»no±¢ p

n

do g w metryce d.

Twierdzenie. Je±li a

n

= b

n

dla prawie wszystkich n, to (a

n

)

jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy,

gdy (b

n

)

jest zbie»ny, i w tym przypadku oba ci¡gi maj¡ t¦ sam¡ granic¦.

Twierdzenie. Ci¡g (a

n

)

jest zbie»ny do g w metryce d wtedy i tylko wtedy, gdy ci¡g liczbowy

(d(a

n

, g))

jest zbie»ny do zera.

Denicja. Ci¡g (a

n

)

nazywa si¦ ci¡giem podstawowym (lub ci¡giem Cauchy'ego b¡d¹

ci¡giem fundamentalnym), je±li

dla ka»dego ε > 0 istnieje N ∈ N takie, »e dla wszystkich k, l ≥ N zachodzi d(a

k

, a

l

) < ε.

Symbolicznie:

^

ε>0

_

N ∈N

^

k≥N

^

l≥N

d(a

k

, a

l

) < ε.

Twierdzenie. Ka»dy ci¡g zbie»ny jest ci¡giem podstawowym. Podci¡g ci¡gu podstawowego

jest ci¡giem podstawowym. Je±li ci¡g jest podstawowy i zawiera podci¡g zbie»ny do pewnej

granicy g, to caªy ci¡g jest zbie»ny do g.

5