Analiza matematyczna 1
Notatki do wykªadu
Mateusz Kwa±nicki
1 Indukcja matematyczna
Przykªad 1. Pewnego popoªudnia Kubu± Puchatek kupiª pust¡ beczk¦, która mie±ci 20 sªoików
miodu, i wlaª do niej wszystkie swoje zapasy. Co dzie« rano Prosiaczek przynosi Kubusiowi
nowy sªoik miodu, który Kubu± dolewa do beczki (a sªoik oddaje Prosiaczkowi). Co dzie«
wieczorem Kubu± zjada 5% zawarto±ci beczki.
Popoªudniami Mi± o Bardzo Maªym Rozumku zastanawia si¦, czy kiedy± zabraknie mu
miejsca w beczce. Czy umiesz mu pomóc?
Rozwi¡zanie. W chwili, gdy Kubu± kupiª beczk¦, miejsca nie brakowaªo. Je±li którego± popªud-
nia beczka nie jest przepeªniona i zawiera x sªoików miodu (x ≤ 20), to w nocy jest tam
95
100
x
sªoików, a nast¦pnego popoªudnia
95
100
x + 1
sªoików. Skoro x ≤ 20, to
95
100
x + 1 ≤
95
100
· 20 + 1 = 19 + 1 = 20,
czyli po upªywie jednego dnia beczka równie» nie jest przepeªniona. A wi¦c beczka wystarczy
na Kubusiowe potrzeby.
Zastosowany powy»ej argument nosi nazw¦ indukcji matematycznej. W skrócie: je±li
pewne twierdzenie: (1) jest prawdziwe pewnego dnia; oraz (2) jest prawdziwe jutro, je±li jest
prawdziwe dzisiaj; to automatycznie jest prawdziwe zawsze (od owego pocz¡tkowego dnia).
Gdy ponumerujemy dni liczbami naturalnymi, otrzymamy nast¦puj¡ce zupeªnie ±cisªe sformu-
ªowanie.
Zasada indukcji matematycznej. Je±li pewne twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej (kon-
kretnej) liczby naturalnej k, oraz dla dowolnego n ≥ k z prawdziwo±ci twierdzenia dla liczby n
wynika jego prawdziwo±¢ dla liczby n + 1, to twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb
naturalnych nie mniejszych od k.
Zasad¦ indukcji matematycznej zwykle uznaje si¦ za aksjomat (czyli zdanie prawdziwe, któ-
rego si¦ nie dowodzi) w teorii liczb naturalnych. Przedstawimy teraz kilka wa»nych zastosowa«.
Przykªad 2 (Wie»e z Hanoi). Trzy pionowe pr¦ty s¡ przytwierdzone do podªo»a. Na lewy
naªo»one jest jeden na drugim osiem kr¡»ków o coraz mniejszych ±rednicach. Zadanie polega na
przeniesieniu wszystkich kr¡»ków na prawy pr¦t przy zachowaniu dwóch zasad: (1) w jednym
ruchu wolno przenie±¢ tylko jeden kr¡»ek; oraz (2) wi¦kszy kr¡»ek nie mo»e znale¹¢ si¦ na
mniejszym. Ile ruchów jest potrzebnych do przeniesienia caªej wie»y?
Uwaga. Powy»sza ªamigªówka zostaªa sformuªowana przez francuskiego matematyka Edouarda
Lucasa w 1883 roku. Za Matematyk¡ konkretn¡:
Lucas ubarwiª swoje zadanie legend¡ o znacznie wy»szej Wie»y Brahmy, która miaªa
mie¢ 64 kr¡»ki z czystego zªota spoczywaj¡ce na 3 diamentowych igªach. U zarania
czasu Bóg umie±ciª te zªote kr¡»ki na pierwszej z igieª i poleciª grupie mnichów,
aby przeªo»yli je na igª¦ trzeci¡ zgodnie z podanymi reguªami. Mnisi pracuj¡ bez
wytchnienia dzie« i noc. Kiedy sko«cz¡, wie»a rozsypie si¦ i nast¡pi koniec ±wiata.
Miªo±nicy Beskidu S¡deckiego z pewno±ci¡ zetkn¦li si¦ z t¡ ªamigªówk¡ w Schronisku na Niemco-
wej, gdzie znajduj¡ si¦ drewniane wie»e z Hanoi z siedmioma pi¦trami (do nabycia u bazowego!).
1
Rozwi¡zanie. W pewnym momencie trzeba przesun¡¢ najwi¦kszy kr¡»ek wówczas caªa wie»a
bez najwi¦kszego kr¡»ka musi spoczywa¢ na trzecim, niewykorzystywanym pr¦cie. St¡d ªatwo
wywnioskowa¢, »e optymalnym rozwi¡zaniem jest
•
przeniesienie caªej wie»y bez najwi¦kszego kr¡»ka na ±rodkowy pr¦t;
•
przeniesienie najwi¦kszego kr¡»ka na prawy pr¦t;
•
przeniesienie wie»y ze ±rodkowego pr¦ta na prawy.
W ten sposób zredukowali±my zadanie do przeniesienia wie»y o jeden poziom mniejszej.
Wygl¡da wi¦c na to, »e wygodnie jest utrudni¢ rozwa»ane zadanie: niech na lewym pr¦cie
spoczywa nie 8, a n kr¡»ków. Oznaczmy najmniejsz¡ mo»liw¡ liczb¦ ruchów przez h
n
. Zgodnie
z powy»sz¡ strategi¡, h
n+1
= h
n
+ 1 + h
n
= 2h
n
+ 1
i oczywi±cie h
1
= 1
. St¡d h
2
= 3
, h
3
= 7
itd.; ªatwo policzy¢, »e h
8
= 255
. A co z indukcj¡?
Po chwili namysªu mo»na zgadywa¢, »e h
n
= 2
n
− 1
. Jak to udowodni¢? Indukcyjnie:
• h
1
= 1 = 2
1
− 1
, wi¦c twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1;
•
je±li h
n
= 2
n
− 1
, to
h
n+1
= 2h
n
+ 1 = 2 (2
n
− 1) + 1 = 2
n+1
− 1.
Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla ka»dego n ≥ 1.
W szczególno±ci z powy»szego rozumowania wynika, »e mnisi z Brahmy b¦d¡ musieli wyko-
na¢ a» 2
64
− 1 = 18 446 744 073 709 551 615
ruchów.
Przykªad 3. Dla dowolnego n ≥ 1 zachodzi
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2
=
n (n + 1) (2n + 1)
6
.
Dowód. Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1, bowiem
1
2
=
1 · 2 · 3
6
.
Zaªó»my, »e twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego n. Wówczas
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2
+ (n + 1)
2
=
n (n + 1) (2n + 1)
6
+ (n + 1)
2
=
n + 1
6
n (2n + 1) + 6(n + 1)
=
n + 1
6
(2n
2
+ 7n + 6)
=
(n + 1) (n + 2) (2n + 3)
6
,
czyli twierdzenie jest prawdziwe dla liczby n + 1. To ko«czy dowód na mocy zasady indukcji
matematycznej.
Przykªad 4 (wzór dwumianowy Newtona). Niech a, b b¦d¡ liczbami rzeczywistymi. Wiadomo,
»e
(a + b)
2
= a
2
+ 2 a b + b
2
,
(a + b)
3
= a
3
+ 3 a
2
b + 3 a b
2
+ b
3
,
(a + b)
4
= a
4
+ 4 a
3
b + 6 a
2
b
2
+ 4 a b
3
+ b
4
,
...
2
Mo»na zatem przypuszcza¢, »e
(a + b)
n
=
n
0
a
n
+
n
1
a
n−1
b +
n
2
a
n−2
b
2
+
n
3
a
n−3
b
3
+ ... +
n
n − 1
a b
n−1
+
n
n
b
n
,
gdzie
n
k
s¡ odpowiednimi wspóªczynnikami. Okazuje si¦, »e tak jest w istocie i ponadto
n
k
=
n!
k! (n − k)!
,
0 ≤ k ≤ n.
Przypominamy, »e 0! = 1 oraz (n + 1)! = (n + 1) · n! dla n ≥ 0.
Dowód. Dla n = 0 twierdzenie jest prawdziwe, bowiem
(a + b)
0
= 1 =
0
0
a
0
b
0
,
cho¢ mo»na mie¢ w¡tpliwo±ci, co je±li a = 0, b = 0 lub a + b = 0. Zacznijmy wi¦c od n = 1:
(a + b)
1
=
1
0
a +
1
1
b.
Zaªó»my, »e wzór dwumianowy Newtona zachodzi dla pewnego n. Wówczas:
(a + b)
n+1
= (a + b)
n
0
a
n
+
n
1
a
n−1
b +
n
2
a
n−2
b
2
+
n
3
a
n−3
b
3
+ ... +
n
n
b
n
=
n
0
a
n+1
+
n
1
a
n
b +
n
2
a
n−1
b
2
+
n
3
a
n−2
b
3
+ ... +
n
n
a b
n
+
+
n
0
a
n
b +
n
1
a
n−1
b
2
+
n
2
a
n−2
b
3
+ ... +
n
n−1
a b
n
+
n
n
b
n+1
=
n
0
a
n+1
+
n
0
+
n
1
a
n
b +
n
1
+
n
2
a
n−1
b
2
+ ... +
n
n−1
+
n
n
a b
n
+
n
n
b
n+1
.
Wystarczy teraz sprawdzi¢, »e:
n
0
= 1 =
n + 1
0
,
n
n
= 1 =
n + 1
n + 1
,
oraz
n
k − 1
+
n
k
=
n + 1
k
,
1 ≤ k ≤ n,
(1)
i teza wynika z zasady indukcji matematycznej.
Uwaga. Krócej wzór dwumianowy mo»na zapisa¢ nast¦puj¡co:
(a + b)
n
=
n
X
k=0
n
k
a
n−k
b
k
,
o ile zgodzimy si¦ wyj¡tkowo przyj¡¢, »e 0
0
= 1
.
wiczenie 1. Zapisa¢ dowód wzoru dwumianowego korzystaj¡c z notacji P.
wiczenie 2. Uzasadni¢ wzór (1).
wiczenie 3. Wywnioskowa¢ ze wzoru dwumianowego, »e:
n
0
+
n
1
+
n
2
+ ... +
n
n
= 2
n
;
n
0
−
n
1
+
n
2
−
n
3
+ ... + (−1)
n
n
n
= 0;
3
Przykªad 5. Dla dowolnego n ≥ 1, ostatnia cyfra zapisu dziesi¦tnego liczby 15
n
+ (−9)
n
to 6.
Dowód. Dla n = 1 rozwa»ana liczba to 6, ok. Zaªó»my, »e 15
n
+ (−9)
n
ko«czy si¦ szóstk¡.
Wyliczamy:
15
n+1
+ (−9)
n+1
= 15 · 15
n
− 9 · (−9)
n
= (15
n
+ (−9)
n
) + 14 · 15
n
− 10 · (−9)
n
= (15
n
+ (−9)
n
) + 210 · 15
n−1
− 10 · (−9)
n
,
a wi¦c liczba 15
n+1
+ (−9)
n+1
ma t¦ sam¡ ostatni¡ cyfr¦, co 15
n
+ (−9)
n
. Teza wynika z zasady
indukcji matematycznej.
2 Liczby rzeczywiste
Liczby naturalne (caªkowite dodatnie, ozn. N), caªkowite (ozn. Z) i wymierne (ozn. Q) s¡
stosunkowo proste w opisie i do±¢ ªatwo je skonstruowa¢ (b¦dzie to by¢ mo»e zrobione na kursie
Logika i struktury formalne). Zakªadamy, »e czytelnik zna podstawowe fakty z teorii liczb.
Liczby rzeczywiste (ozn. R) to du»o bardziej skomplikowany zbiór. Zwykle wyobra»a si¦, »e R
to o± liczbowa z zaznaczonymi punktami 0 i 1. Jest to bardzo dobra intuicja, ale na formaln¡
de nicj¦ si¦ nie nadaje. S¡ dwa podej±cia: konstruktywne (np. konstrukcja Dedekinda) i
aksjomatyczne (np. to przedstawione poni»ej).
Zanim omówimy podstawowe wªasno±ci liczb rzeczywistych, podkre±lmy, »e ich formalnie
poprawna konstrukcja powstaªa dopiero w XX w., natomiast poprawnie posªugiwano si¦ tym
poj¦ciem co najmniej kilkadziesi¡t lat wcze±niej. Wniosek: dobre intuicje s¡ w matematyce co
najmniej równie wa»ne, co formalne dowody.
Przede wszystkim w zbiorze liczb rzeczywistych mo»na wykonywa¢ dodawanie. W zbiorze
R
jest wyró»niona liczba 0. Dodawanie ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:
dla wszystkich a, b, c : (a + b) + c = a + (b + c)
(ª¡czno±¢),
(2)
dla wszystkich a, b : a + b = b + a
(przemienno±¢),
(3)
dla wszystkich a : a + 0 = a,
(4)
dla ka»dego a istnieje b takie, »e : a + b = 0.
(5)
W zbiorze liczb rzeczywistych mo»na równie» mno»y¢. Wyró»niona jest liczba 1, ró»na od 0.
Mno»enie ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:
dla wszystkich a, b, c : (a · b) · c = a · (b · c)
(ª¡czno±¢),
(6)
dla wszystkich a, b : a · b = b · a
(przemienno±¢),
(7)
dla wszystkich a : a · 1 = a,
(8)
dla ka»dego a 6= 0 istnieje b takie, »e : a · b = 1.
(9)
Zachodzi prawo rozdzielno±ci:
dla wszystkich a, b, c : (a + b) · c = a · c + b · c.
(10)
Ponadto liczby rzeczywiste uporz¡dkowane s¡ przez relacj¦ bycia mniejszym, która ma nast¦-
puj¡ce wªasno±ci:
dla wszystkich a, b : a = b lub a < b lub b < a,
(11)
dla wszystkich a, b : je±li a < b, to nieprawda, »e b < a,
(12)
dla wszystkich a, b, c : je±li a < b oraz b < c, to a < c,
(13)
dla wszystkich a, b, c : je±li a < b, to a + c < b + c,
(14)
dla wszystkich a, b, c : je±li a < b oraz 0 < c, to a · c < b · c.
(15)
4
Wreszcie ostatnia wªasno±¢, nazywana zasad¡ ci¡gªo±ci
ka»dy niepusty i ograniczony z góry zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny;
ka»dy niepusty i ograniczony z doªu zbiór liczb rzeczywistych ma kres dolny.
(16)
Wyja±nienie: zbiór A nazywamy ograniczonym z góry, je±li istnieje liczba m taka, »e a ≤ m
dla wszystkich a ∈ A; liczb¦ m nazywamy ograniczeniem górnym. Kres górny zbioru A to
najmniejsze z ogranicze« górnych (o ile najmniejsza taka liczba istnieje). Analogicznie okre±la
si¦ poj¦cie zbioru ograniczonego z doªu i kresu dolnego. Zbiór nazywamy ograniczonym, je±li
jest ograniczony z doªu i z góry.
Kres górny zbioru A oznaczamy przez sup A, a kres dolny przez inf A. Gdy A jest nieogra-
niczony z góry, to zapisujemy to w postaci sup A = ∞; analogicznie gdy A jest nieograniczony
z doªu, to piszemy inf A = −∞. Podkre±lmy, »e ∞ oraz (−∞) nie s¡ liczbami.
Uwaga. Kres górny to co innego ni» element najwi¦kszy! Kresem górnym zbioru {x : x < 0}
jest 0, cho¢ nie ma on elementu najwi¦kszego.
Przypomnijmy, »e je±li a < b lub a = b, to piszemy a ≤ b. Je±li b < a, to piszemy a > b;
analogicznie je±li b ≤ a, to piszemy a ≥ b. T¦ liczb¦ b, dla której a + b = 0, oznaczamy
(−a)
. Odejmowanie de niujemy poprzez a − b = a + (−b). Analogicznie gdy a 6= 0, to t¦
liczb¦ b, dla której a · b = 1, oznaczamy a
−1
, za± dzielenie de niujemy wzorem a/b = a · b
−1
.
Dla a ∈ R i n ∈ N oznaczamy przez a
n
iloczyn n liczb a, tj. a
1
= a
oraz a
n+1
= a · a
n
.
Ponadto oznaczamy a
−n
= (a
−1
)
n
= (a
n
)
−1
. Je±li a 6= 0, to przyjmujemy a
0
= 1
. Nie nadajemy
znaczenia symbolowi 0
0
.
Zbiór z dziaªaniami speªniaj¡cymi (2)(10) nazywamy ciaªem liczbowym. Je±li speªnione s¡ warunki (2)(15),
to mamy do czynienia z uporz¡dkowanym ciaªem liczbowym. Przykªadem uporz¡dkowanego ciaªa liczbowego jest
zbiór liczb wymiernych; nie speªnia on jednak warunku (16). Uporz¡dkowane ciaªo liczbowe speªniaj¡ce
zasad¦ ci¡gªo±ci musi by¢ identyczne ze zbiorem liczb rzeczywistych. Bardzo istotne w dowodzie tego
faktu jest nast¦puj¡ce, z pozoru banalne twierdzenie.
Twierdzenie (o g¦sto±ci liczb wymiernych). Niech A b¦dzie zbiorem dodatnich liczb wymiernych. Wówczas
inf A = 0
.
Dowód. Niech a = inf A. Oczywi±cie a ≥ 0, wi¦c a+a ≥ a. Ponadto dla ka»dej liczby wymiernej q > 0 zachodzi
a ≤
q
2
, a wi¦c a + a ≤ q. St¡d wynika, »e a + a ≤ sup A = a. Ostatecznie a + a = a, sk¡d a = 0.
Przykªad 6. Zasada ci¡gªo±ci pozwala udowodni¢, »e istnieje pierwiastek z dwóch, tj. taka
liczba a > 0, »e a · a = 2.
Dowód. Wystarczy okre±li¢
a = sup {b : b · b ≤ 2
oraz b > 0} .
Dla dowolnej liczby wymiernej q > 0 istnieje liczba wymierna r > 0 taka, »e 2 − q ≤ r · r ≤ 2 (jak j¡ znale¹¢?).
Wobec de nicji a, zachodzi a ≥ r, sk¡d a · a ≥ r · r ≥ 2 − q, czyli 2 − a · a ≤ q. Z twierdzenia o g¦sto±ci liczb
wymiernych wynika wi¦c, »e 2 − a · a ≤ 0.
Z drugiej strony dla dowolnej liczby wymiernej q > 0 istnieje liczba wymierna r > 0 taka, »e 2 ≤ r·r ≤ 2+q.
Je±li teraz b · b ≤ 2 i b > 0, to b · b ≤ r · r, sk¡d b ≤ r. Wynika st¡d, »e r jest ograniczeniem górnym zbioru,
którego supremum wynosi a, czyli a ≤ r. St¡d a · a ≤ r · r ≤ 2 + q, czyli a − 2 ≤ q. Z twierdzenia o g¦sto±ci
liczb wymiernych wynika, »e a − 2 ≤ 0.
Ostatecznie stwierdzamy, »e 0 ≤ a − 2 ≤ 0, czyli a = 2.
Analogicznie mo»na okre±li¢ pot¦gowanie dodatnich liczb rzeczywistych. Wygodniej b¦dzie jednak wprowa-
dzi¢ inn¡ de nicj¦ znacznie pó¹niej, w rozdziale o szeregach.
Jak wiadomo,
√
2
nie jest liczb¡ wymiern¡. Istotnie, gdyby byªo, to mieliby±my
√
2 =
m
n
dla pewnych m, n bez wspólnego czynnika pierwszego (tj. wzgl¦dnie pierwszych). Ale wtedy
m
2
= 2n
2
, czyli m jest podzielne przez 2, i wobec tego n
2
= 2(
m
2
)
2
, czyli n te» jest parzyste.
Sprzeczno±¢.
5
Przykªad 7. Wyznaczymy kres dolny zbioru
A =
m
n
+
n
n+m
: n, m ∈ N
.
Zauwa»my, »e
m
n
+
n
n+m
≥
m
n+m
+
n
n+m
= 1
, zatem A jest ograniczony z doªu i inf A ≥ 1. Ponadto
je±li przyjmiemy n = k m, to otrzymamy
m
k m
+
k m
m+k m
=
1
k
+
k
1+k
≤ 1 +
1
k
.
Wobec tego inf A ≤ 1 +
1
k
dla ka»dego k ∈ N. St¡d inf A ≤ 1 i ostatecznie inf A = 1.
Uwaga. Ostatni krok rozumowania formalnie powinien wygl¡da¢ nast¦puj¡co. Dla dowolnej liczby wymiernej
q > 0
istnieje k ∈ N taka, »e
1
k
< q
. Ponadto A zawiera element nie wi¦kszy od 1 +
1
k
≤ 1 + q
. Wobec tego
inf A ≤ 1 + q
, czyli inf A − 1 ≤ q. Z twierdzenia o g¦sto±ci liczb wymiernych wynika, »e inf A − 1 ≤ 0.
Przykªad 8. Zachodzi 0, 99999... = 1.
Dowód. atwo zawua»y¢, »e 0, 99999... ≥ 1 − q dla ka»dej liczby wymiernej q > 0. St¡d, wobec twierdzenia o
g¦sto±ci liczb pierwszych, 0, 99999... ≥ 1. Nierówno±¢ w drug¡ stron¦ jest oczywista.
Uwaga. cisªy sens nadamy symbolowi 0, 99999... pó¹niej, w rozdziale o szeregach.
Najwa»niejsz¡ nierówno±ci¡ jest x
2
≥ 0
(x ∈ R). Caªkiem elementarnie mo»na z niej
wywnioskowa¢ wiele interesuj¡cych twierdze«.
Przykªad 9. Rozwa»my trójmian kwadratowy p x
2
+ q x + r
(p > 0). Gdy q
2
− 4 p r < 0
to ,
za± p x
2
+ q x + r > 0
dla wszystkich x. Gdy q
2
− 4 p r = 0
, to p x
2
+ q x + r ≥ 0
dla wszystkich
x
. Gdy q
2
− 4 p r > 0
, to p x
2
+ q x + r
przyjmuje zarówno dodatnie, jak ujemne warto±ci.
Dowód. Teza wynika wprost z równo±ci p x
2
+ q x + r = p
(x +
q
2p
)
2
−
q
2
−4 p r
4p
oraz z najwa»-
niejszej nierówno±ci.
Liczba q
2
− 4 p r
nazywana jest wyró»nikiem trójmianu kwadratowego p x
2
+ q x + r
.
Przykªad 10 (nierówno±¢ Cauchy'ego-Schwarza-Buniakowskiego). Dla dowolnych liczb rze-
czywistych a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n
oraz y
1
, y
2
, y
3
, ..., y
n
zachodzi
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
+ ... + a
n
b
n
)
2
≤ (a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
+ ... + a
2
n
) (b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
+ ... + b
2
n
).
Dowód. Zachodzi:
0 ≤ (a
1
x − b
1
)
2
+ (a
2
x − b
2
)
2
+ (a
3
x − b
3
)
2
+ ... + (a
n
x − b
n
)
2
= (a
2
1
+ a
2
2
+ ... + a
2
n
) x
2
+ 2(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ ... + a
n
b
n
)x + (b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
+ ... + b
2
n
).
Oznacza to, »e wyró»nik trójmianu kwadratowego po prawej stronie jest niedodatni.
Wa»nymi pozdbiorami R s¡ przedziaªy. Je±li a < b, to oznaczamy:
(a, b) = {c : a < c < b} ,
[a, b] = {c : a ≤ c ≤ b} ,
[a, b) = {c : a ≤ c < b} ,
(a, b] = {c : a < c ≤ b} .
Ponadto de niujemy przedziaªy nieograniczone:
(a, ∞) = {c : a < c} ,
[a, ∞) = {c : a ≤ c} ,
(−∞, b) = {c : c < b} ,
(−∞, b] = {c : c ≤ b} .
6