Wytrzymałość

Wytrzymałość
materiałów

materiałów

1

1

Hipotezy wytrzymałościowe

Hipotezy wytrzymałościowe

Podstawy wymiarowania

Podstawy wymiarowania
w stanie granicznym no

ś

no

ś

ci

w stanie granicznym no

ś

no

ś

ci

Wymiarowanie konstrukcji polega na doborze wymiarów i kształtu
przekrojów elementów.

Podstaw

ą

doboru jest porównanie:

wytrzymało

ść

materiału - napr

ęż

enie zredukowane

lub

no

ś

no

ść

przekroju - sił wewn

ę

trzne

W stanie granicznym korzystamy z wielko

ś

ci obliczeniowych.

Obliczeniowa wytrzymało

ść

materiału

gdzie:

R

k

-

wytrzymało

ść

charakterystyczna,

γ

m

-

współczynnik bezpiecze

ń

stwa (

γ

m

≥

1.0) a

R

≤

R

k

m

k

R

R

γ

=

Podstawy wymiarowania

Podstawy wymiarowania
w stanie granicznym no

ś

no

ś

ci

w stanie granicznym no

ś

no

ś

ci

Wymiarowanie konstrukcji polega na doborze wymiarów i kształtu
przekrojów elementów.

Podstaw

ą

doboru jest porównanie:

wytrzymało

ść

materiału - napr

ęż

enie zredukowane

lub

no

ś

no

ść

przekroju - sił wewn

ę

trzne

Napr

ęż

enia

(lub

siły

wewn

ę

trzne)

s

ą

wywołane

zewn

ę

trznymi

obci

ąż

eniami obliczeniowymi

Obci

ąż

enie obliczeniowe

gdzie:

F

k

–

obci

ąż

enie charakterystyczne,

γ

f

-

współczynnik bezpiecze

ń

stwa (

γ

f

≥

1.0) a

F

≥

F

k

k

f

F

F

γ

=

Napr

ęż

enia zredukowane

Napr

ęż

enia zredukowane

Napr

ęż

enie zredukowane jest to napr

ęż

enie normalne zast

ę

pcze, które

mo

ż

e

by

ć

porównywane

z

wytrzymało

ś

ci

ą

materiału

w

stanie

jednoosiowego

rozci

ą

gania.

Napr

ęż

enie

zredukowane

zale

ż

y

od

wszystkich składowych tensora napr

ęż

e

ń

:

lub

- napr

ęż

enia główne.

Napr

ęż

enia zredukowane (zast

ę

pcze) s

ą

wyznaczane na podstawie

hipotez, nazywanych hipotezami wytrzymało

ś

ciowymi.

(

)

zy

xz

xy

zz

yy

xx

red

f

τ

τ

τ

σ

σ

σ

=

σ

,

,

,

,

,

(

)

33

22

11

,

,

σ

σ

σ

=

σ

f

red

33

22

11

,

,

σ

σ

σ

Hipotezy wytrzymało

ś

ciowe

Hipotezy wytrzymało

ś

ciowe

Napr

ęż

enia mog

ą

tworzy

ć

osie układu współrz

ę

dnych.

Hipotezy wytrzymało

ś

ciowe, opisuj

ą

funkcje powierzchni granicznych,

ograniczaj

ą

cych

obszary,

w

których

nie

wyst

ę

puje

przekroczenie

wytrzymało

ś

ci materiału.

wytrzymało

ś

ci materiału.

- napr

ęż

enia główne.

33

22

11

,

,

σ

σ

σ

Hipoteza najwi

ę

kszego napr

ęż

enia

Hipoteza najwi

ę

kszego napr

ęż

enia

normalnego

normalnego

Hipoteza najwi

ę

kszego napr

ęż

enia rozci

ą

gaj

ą

cego jest pierwsz

ą

hipotez

ą

podan

ą

przez Galileusza.

Hipoteza najwi

ę

kszego napr

ęż

enia normalnego

Według tej hipotezy, opracowanej przez Lamego i Rankine’a, napr

ęż

enia

Według tej hipotezy, opracowanej przez Lamego i Rankine’a, napr

ęż

enia

nie niszcz

ą

ce musz

ą

spełnia

ć

nast

ę

puj

ą

ce warunki:

r

c

R

R

<

σ

<

11

r

c

R

R

<

σ

<

22

r

c

R

R

<

σ

<

33

Hipoteza najwi

ę

kszego napr

ęż

enia

Hipoteza najwi

ę

kszego napr

ęż

enia

normalnego

normalnego

Powierzchnie graniczne:

Stan płaski napr

ęż

enia

Przestrzenny
stan napr

ęż

enia

Wad

ą

hipotezy jest zaniedbanie sytuacji, gdy napr

ęż

enia normalne s

ą

mniejsze ni

ż

styczne, które przyjmuj

ą

warto

ść

maksymaln

ą

i s

ą

wi

ę

ksze od wytrzymało

ś

ci materiału na

ś

cinanie.

Hipoteza najwi

ę

kszego napr

ęż

enia

Hipoteza najwi

ę

kszego napr

ęż

enia

stycznego (Coulomba

stycznego (Coulomba--Treski)

Treski)

Według tej hipotezy, opracowanej przez Coulomba i Tresk

ę

,

o

zniszczeniu materiału decyduje przekroczenie wytrzymało

ś

ci materiału

przez

napr

ęż

enia styczne, wytrzymało

ś

ci materiału na rozci

ą

ganie i

ś

ciskanie s

ą

sobie równe.

R

R

R

s

r

=

=

Maksymalne

napr

ęż

enia

styczne

przy

jednoosiowym

rozci

ą

ganiu

wynosz

ą

:

2

11

max

σ

=

τ

natomiast według hipotezy powinny spełnia

ć

warunek:

2

2

max

R

R

<

τ

<

−

Hipoteza najwi

ę

kszego napr

ęż

enia

Hipoteza najwi

ę

kszego napr

ęż

enia

stycznego (Coulomba

stycznego (Coulomba--Treski)

Treski)

W przestrzennym stanie napr

ęż

e

ń

hipoteza opisana jest zale

ż

no

ś

ciami:

R

R

<

σ

−

σ

<

−

22

11

R

R

<

σ

−

σ

<

−

33

22

R

R

<

σ

−

σ

<

−

33

11

W płaskim stanie napr

ęż

e

ń

hipoteza opisana jest zale

ż

no

ś

ciami:

R

R

<

σ

−

σ

<

−

22

11

R

R

<

σ

<

−

22

R

R

<

σ

<

−

11

Hipoteza najwi

ę

kszej energii

Hipoteza najwi

ę

kszej energii

odkształcenia postaciowego

odkształcenia postaciowego

Hipoteza ta została opracowana przez Hubera i Misesa. Według tej
hipotezy wyt

ęż

enia w przypadku zło

ż

onego stanu napr

ęż

e

ń

i przy

rozci

ą

ganiu jednoosiowym b

ę

d

ą

jednakowe, je

ż

eli odpowiednie warto

ś

ci

jednostkowej energii odkształcenia w tych stanach b

ę

d

ą

sobie równe.

(

) (

) (

)

2

33

11

2

22

33

2

22

11

2

1

σ

−

σ

+

σ

−

σ

+

σ

−

σ

=

σ

red

Na podstawie tej hipotezy napr

ęż

enia zredukowane wynosz

ą

:

lub

(

) (

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

6

2

1

xz

yz

xy

zz

xx

yy

zz

yy

xx

red

τ

+

τ

+

τ

+

σ

−

σ

+

σ

−

σ

+

σ

−

σ

=

σ

Hipoteza najwi

ę

kszej energii

Hipoteza najwi

ę

kszej energii

odkształcenia postaciowego

odkształcenia postaciowego

Napr

ęż

enia zredukowane w płaskim stanie napr

ęż

e

ń

:

lub

22

11

2
22

2

11

σ

σ

−

σ

+

σ

=

σ

red

lub

2

2

2

3

xy

yy

xx

yy

xx

red

τ

+

σ

σ

−

σ

+

σ

=

σ

W przypadku elementów pr

ę

towych:

2

2

3

xy

xx

red

τ

+

σ

=

σ

Hipoteza

Hipoteza Hubera

Hubera--Misesa

Misesa

w spoinach

w spoinach -- przykład

przykład

Dwie blachy s

ą

ze sob

ą

poł

ą

czone

spoin

ą

czołow

ą

. Wyznaczy

ć

napr

ęż

enia zredukowane w spoinie.

Zało

ż

ono,

ż

e blacha pionowa jest

niesko

ń

czenie sztywna czyli blacha pozioma

jest sztywno zamocowana i tworzy wspornik
z siłami wewn

ę

trznymi pokazanymi na

wykresach.

Hipoteza

Hipoteza Hubera

Hubera--Misesa

Misesa

w spoinach

w spoinach -- przykład

przykład

Wykresy napr

ęż

e

ń

przy

mocowaniu w pr

ę

cie:

kPa

m

kNm

W

M

J

My

48

.

12000

10

33

.

83

1

3

6

max

max

=

⋅

=

=

=

=

σ

−

kNm

M

1

=

(

)

4

8

3

3

10

67

.

416

12

1

.

0

05

.

0

12

m

m

m

bh

J

−

⋅

=

⋅

=

=

3

6

4

8

10

33

.

83

1

.

0

5

.

0

10

67

.

416

5

.

0

m

m

m

h

J

W

−

−

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

=

( )

kPa

m

m

m

kNm

Jg

S

T

300

05

.

0

10

67

.

416

10

5

.

62

1

0

ˆ

4

8

3

6

max

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

τ

−

−

kN

T

1

=

( )

(

)

3

6

2

10

5

.

62

8

1

.

0

05

.

0

4

2

0

ˆ

m

m

m

h

h

b

S

−

⋅

=

⋅

=

=

Hipoteza

Hipoteza Hubera

Hubera--Misesa

Misesa

w spoinach

w spoinach -- przykład

przykład

Wykresy napr

ęż

e

ń

w spawie:

kNm

M

1

=

4

8

10

67

.

416

m

J

−

⋅

=

kN

T

1

=

kPa

m

kNm

W

M

J

My

48

.

12000

10

33

.

83

1

3

6

max

max

=

⋅

=

=

=

σ

−

4

8

10

67

.

416

m

J

−

⋅

=

3

6

10

33

.

83

m

W

−

⋅

=

kPa

m

m

kNm

bh

T

xy

200

05

.

0

1

.

0

1

max

=

⋅

=

=

τ

=

τ

Spaw nie jest belk

ą

, poddan

ą

działaniu zginania. Jest to krótki fragment na

który działa siła tn

ą

ca i w takim przypadku napr

ęż

enia styczne s

ą

równe:

Natomiast napr

ęż

enia normalne rozkładaj

ą

si

ę

tak samo jak w belce:

Hipoteza

Hipoteza Hubera

Hubera--Misesa

Misesa

w spoinach

w spoinach -- przykład

przykład

Maksymalne
warto

ś

ci napr

ęż

e

ń

w spoinie:

Zgodnie z hipotez

ą

Hubera-Misesa:

2

2

3

xy

xx

red

τ

+

σ

=

σ

kPa

xy

200

max

=

τ

=

τ

kPa

xx

48

.

12000

max

=

σ

=

σ

(

)

(

)

kPa

kPa

kPa

kPa

kPa

red

126000

210000

6

.

0

48

.

12005

200

3

48

.

12000

2

2

=

⋅

<

=

⋅

+

=

σ

kPa

kPa

R

dop

123000

205000

6

.

0

=

⋅

=

Dla stali S235:

dop

red

R

<

σ

Koniec

Koniec