Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, semestr letni 2009/10 P.Woźniak

Plan wykładu

System sterujący jako system przetwarzania
informacji

Charakterystyki odpowiedź impulsowa i
jednostkowa
Stan układu dynamicznego
Modelowanie

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, semestr letni 2009/10 P.Woźniak

System sterujący jako system
przetwarzania informacji.

Repetytorium modeli liniowych układów dynamicznych

•

liniowe równanie różniczkowe,

•

równania stanu,

•

transmitancja operatorowa,

•

odpowiedzi układu.

1.

Sterowanie układem dynamicznym

•

układ otwarty i zamknięty.

2.

Sygnały

•

uchyby.

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

3

Podstawowe pojęcia i definicje

Sterowaniem nazywamy celowe oddziaływa-

nie na przebieg procesów dynamicznych.

Przykład (sterowania ręcznego) :

prowadzenie samochodu.

Sterowanie automatyczne - sterowanie

realizowane za pomocą odpowiednich
urządzeń sterujących.

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

4

Regulacja

Regulacja - sterowanie w układzie

zamkniętym.

Regulacja jest więc pojęciem węższym od sterowania.

Regulacja automatyczna - sterowanie w

układzie zamkniętym realizowane
samoczynnie (bez udziału człowieka) za
pomocą odpowiednich urządzeń
sterujących.

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

5

Zamknięty układ regulacji

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

6

Sygnały – wymuszenia, odpowiedzi

Wymuszenia dzielimy na wielkości sterujące

(sterowania) i wielkości zakłócające

(zakłócenia).

Wielkości sterujące – wielkości, które dla

osiągnięcia pożądanych zachowań układu są

zmieniane celowo. Oznaczenie u(t).

Wielkości zakłócające - wielkości podlegające

zmianom przypadkowym. Oznaczenie z(t).

Odpowiedzi - wielkości charakteryzujące

oddziaływanie układu na środowisko (inaczej

sygnały wyjściowe układu). Oznaczenie y(t).

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

7

Sygnały dla układu wielowymiarowego

z

2

(t)

z

p

(t)

z

1

(t)

u

1

(t)

Układ

dynamiczny

. .
.

u

2

(t)

u

r

(t)

y

1

(t)

y

2

(t)

y

q

(t)

W

ielko

ści steruj

ące

Odpowiedzi

Wielkości zakłócające

Uwaga : sygnały, nawet wtedy gdy są wielkościami fizykalnymi lub
fizykalnie wyobrażalnymi, nie zawsze można w danym układzie
wyznaczyć i nie zawsze można oddziaływać na nie za pomocą
sygnałów sterujących.

[A.Dębowski „Automatyka” Rys.1.2]

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

8

Sygnały

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, semestr letni 2009/10 P.Woźniak

Plan wykładu

System sterujący jako system przetwarzania
informacji

Charakterystyki odpowiedź impulsowa i
jednostkowa

Stan układu dynamicznego
Modelowanie

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

10

Odpowiedź impulsowa i jednostkowa

{ }

( )

1

t

δ

=

L

( )

( )

u t

t

δ

=

{ }

( )

( )

( )

( )

Y s

G s

t

G s

δ

=

⋅

=

L

( )

( )

u t

t

= 1

{ }

1

( )

t

s

=

1

L

1

( )

( )

( )

Y s

G s

H s

s

=

=

Funkcja Heaviside’a

Odpowiedź jednostkowa

Odpowiedź impulsowa

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

11

Odpowiedź na dowolny sygnał

u(t)

( )

( )

( )

Y s

G s U s

=

⋅

{

}

1

( )

( )

( )

( ) * ( )

y t

G s U s

g t u t

−

=

⋅

=

L

Splot funkcji

Odpowiedź impulsowa

{

}

{

}

1

1

( )

( ) 1

( )

g t

G s

G s

−

−

=

⋅ =

L

L

0

0

( ) * ( )

(

(

(

)

(

)

)

)

t

t

g t

g t u t

g

u t

d

u

d

τ

τ

τ

τ τ

τ

⋅

=

− ⋅

=

−

∫

∫

( )

( ) * ( )

y t

g t u t

=

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, semestr letni 2009/10 P.Woźniak

Plan wykładu

System sterujący jako system przetwarzania
informacji
Charakterystyki odpowiedź impulsowa i
jednostkowa

Stan układu dynamicznego

Modelowanie

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

13

Stan układu dynamicznego

Stan układu - najmniejszy liczebnie zbiór wielkości,

dla których znajomość wartości w chwili

początkowej t

0

oraz znajomość wymuszeń w

przedziale (y

0

, t] pozwala wyznaczyć zachowanie

układu (odpowiedź) w dowolnej chwili t

≥ t

0

.

Wielkości te w przypadku układów

†

mechanicznych to zwykle pozycja, prędkość i

przyspieszenie,

†

elektrycznych to prądy, napięcia, ładunek

elektryczny itp.

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

14

Opis układów dynamicznych

Liniowe układy dynamiczne o jednym wejściu i

jednym wyjściu można opisywać na różne sposoby

†

Do najczęściej stosowanego opisu zaliczamy

opis za pomocą równań (w tym różniczkowych)

wynikających z praw fizyki.

†

Możemy model uprościć i otrzymać równanie

różniczkowe odpowiedniego rzędu.

†

Możemy też, wybierając odpowiednią liczbę

zmiennych, równania te zapisać w postaci układu

równań różniczkowych pierwszego rzędu.

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

15

Synteza sterowania

Prawo
sterowania

Prawa fizyki

Symulacja

abstrakcja

Zadanie

Zadanie

uproszczone

Sterowanie

Rozwiązanie

zadania

wspomagane

komputerowo

Model

matematyczny

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, semestr letni 2009/10 P.Woźniak

Plan wykładu

System sterujący jako system przetwarzania
informacji
Charakterystyki odpowiedź impulsowa i
jednostkowa
Stan układu dynamicznego

Modelowanie

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

17

Przykład - wyprowadzenie modeli

1

1 1

1

2 2

2

2 2

1

2

0

0

(M0)

0

d

dt

C

d

C

dt

e

R i

L i

R i

e

u

R i

i

i

C u

−

−

−

=

+

−

=

− −

=

Model fizyczny z praw Kirchoffa.

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

18

Modele dynamiki przykładu (1)

1

1 1

1

2 2

2

2 2

1

2

0

0

0

d

dt

C

d

C

dt

e

R i

L i

R i

e

u

R i

i

i

C u

−

−

−

=

+

−

=

− −

=

Eliminując z (M0) prąd i

2

oraz napięcie u

c

,

otrzymamy Model 1 w postaci równania
różniczkowego opisującego zmiany w
czasie prądu i

1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

(M1)

d

d

d

d

dt

dt

dt

dt

R

R

i

i

i

e

e

e

L

R C

LC

R

L C

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

+

+

=

−

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

(M2)

d

d

d

d

dt

dt

dt

dt

R

R

R

i

i

i

e

e

e

L

R C

LC

R

R

LC

L

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

+

+

=

−

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

Z kolei eliminując z (M0) prąd i

1

oraz napięcie u

c

, otrzymamy Model 2

opisujący zmiany w czasie prądu i

2

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

19

Modele dynamiki przykładu (2)

1

1 1

1

2 2

2

2 2

1

2

0

0

0

d

dt

C

d

C

dt

e

R i

L i

R i

e

u

R i

i

i

C u

−

−

−

=

+

−

=

− −

=

Eliminując z (M0) prądy i

1

i i

2

otrzymamy

Model 3 opisujący zmiany w czasie prądu u

c

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

(M3)

d

d

C

C

C

dt

dt

d

dt

R

R

u

u

u

L

R C

LC

R

R

e

e

e

C L

L

R

R

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

+

+

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎛

⎞

⎛

⎞

=

−

+

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

W modelach M1-M3 lewe strony równań mają taką samą postać, która nie
zależy od wielkości którą opisujemy.

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

20

Modele dynamiki przykładu (3)

1

1 1

1

2 2

2

2 2

1

2

0

0

0

d

dt

C

d

C

dt

e

R i

L i

R i

e

u

R i

i

i

C u

−

−

−

=

+

−

=

− −

=

Przyjmując za zmienne stanu napięcie u

c

oraz prąd i

1

otrzymamy z M0 Model 4.

Musimy tylko wyeliminować i

2

.

1

2

2

1

1

2

1

1

1

1

0

(M4)

1

1

1

C

C

u

u

e

d

R C

C

R C

i

i

e

dt

R

L

L

L

L

⎡

⎤

⎡

⎤

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

+

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎣ ⎦

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

21

Model dynamiki stanu dla przykładu

Przyjmując za zmienne stanu u

c

oraz i

1

mamy sterowanie napięciowe e

1

e

2

.

Mamy wektor stanu x oraz sterowania u oraz macierze współczynników

1

2

2

1

1

2

1

1

1

1

0

1

1

1

C

C

u

u

e

d

R C

C

R C

i

i

e

dt

R

L

L

L

L

⎡

⎤

⎡

⎤

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

+

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎣ ⎦

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

2

2

1

1

1

1

0

;

1

1

1

R C

C

R C

A

B

R

L

L

L

L

⎡

⎤

⎡

⎤

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

1

1

2

;

C

u

e

x

u

i

e

⎡ ⎤

⎡ ⎤

=

=

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎣ ⎦

Określamy macierz stanu A i macierz wejścia B

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

22

Model dynamiki stanu dla przykładu

1

1 1

2

2

1

2 2

1

2

2

0

(M0)

0

0

C

d

dt

d

C

dt

e

R i

L i

R i

i

i

C

u

R i

u

e

−

−

−

=

+

− −

=

=

−

Aby wyznaczyć z M4 opis
wyeliminowanego prądu i

2

układamy równanie wyjścia.

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

0

1

1

1

C

C

u

e

i

u

d

R C

C

R C

i

dt

R

L

L

L

L

e

⎡

⎤

⎡

⎤

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎡ ⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣ ⎦

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎡ ⎤

⎡ ⎤

+

⎢

⎣

⎦

⎥

⎢ ⎥

⎦

⎣ ⎦

2

2

2

2

1

1

1

1

0

1

1

;

;

0 ;

0

1

1

1

R C

C

R C

A

B

c

d

R

R

R

L

L

L

L

⎡

⎤

⎡

⎤

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

=

=

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

Kompletny model stanu uzupełniają macierz wyjścia c i macierz przejścia d

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

0

0

C

C

i

e

u

R

R

u

e

i

i

e

R

R

=

+

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡ ⎤

⎡ ⎤

=

+

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

23

Model w przestrzeni stanów

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

d

dt

x t

x t

x t

Ax t

Bu t

y t

cx t

du t

=

⎧⎪

=

+

⎨

=

+

⎪⎩

.

.

Oznaczmy

Model stanu

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

24

Transmitancje dla modelu M1

2

2

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

2

2

2

1

1

1

1

1

, (0)

0, (0)

0,

(0)

0

(M1)

d

d

d

d

dt

dt

dt

dt

R

R

i

i

i

e

e

e

i

e

e

L

R C

LC

R

L C

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

+

+

=

−

−

=

=

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

2

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

( )

( )

1

( )

( )

( )

( )

R

R

s I s

sI s

I s

E s

sE s

sE s

L

R C

LC

R

L C

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

+

+

=

−

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

1

1

12

2

2

1

1

0

2

2

1

1

( )

( )

( )

1

1

1

E

s

I s

L

LC

G s

E s

R

R

s

s

L

R C

LC

R

=

−

+

=

=

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

2

1

11

2

1

1

1

0

2

2

1

1

( )

( )

( )

1

1

1

E

s

I s

L

LC

G s

E s

R

R

s

s

L

R C

LC

R

=

−

+

=

=

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

25

Transmitancje dla modelu M3

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

, (0)

0, (0)

0,

(0)

0

d

d

d

d

dt

dt

dt

dt

R

R

R

i

i

i

e

e

e

i

e

e

L

R C

LC

R

R

LC

L

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

+

+

=

−

−

=

=

=

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

2

2

1

1

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

( )

( )

1

( )

( )

( )

( )

R

R

R

s I s

sI s

I s

E s

sE s

s E s

L

R C

LC

R

R

LC

L

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

+

+

+

+

=

−

−

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎝

⎠

1

2

2

1

12

2

2

0

( )

1

1

( )

( )

( )

E

I s

R

G s

s

s

E s

R

L

M s

=

⎛

⎞

=

= −

+

⎜

⎟

⎝

⎠

2

2

11

1

2

0

( )

1

1

1

( )

( )

( )

E

I s

G s

E s

R LC M s

=

=

=

2

1

1

2

2

1

1

( )

1

R

R

M s

s

s

L

R C

LC

R

⎛

⎞

⎛

⎞

=

+

+

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

Niech

2

1

2

1

2

2

2

1

1

( ) ( )

( )

( )

( )

R

M s I s

E s

sE s

s E s

R

LC

L

⎛

⎞

=

−

−

⎜

⎟

⎝

⎠

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

26

Wyznaczanie macierzy transmitancji
z modelu stanu

Model stanu

( )

( )

( ), (0)

0

( )

( )

( )

x t

Ax t

Bu t x

y t

cx t

du t

⎧⎪

=

+

=

⎨

=

+

⎪⎩

.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

sX s

AX s

BU s

Y s

cX s

dU s

=

+

⎧

⎨

=

+

⎩

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

1

1

1

1

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

;

( )

sI A X s

BU s

X s

sI A

BU s

Y s

c sI A

BU s

dU s

Y s

c sI

A

B d U s

Y s

G s U s

G s

c sI A

B d

−

−

−

−

−

=

=

−

=

−

+

⎡

⎤

=

−

+

⎣

⎦

⎡

⎤

=

=

−

+

⎣

⎦

Macierz
transmitancji

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

27

Transmitancje dla modelu M3

2

2

1

2

2

1

1

1

0

;

;

1

1

1

1

1

0 ;

0

R C

C

R C

A

B

R

L

L

L

L

c

d

R

R

⎡

⎤

⎡

⎤

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

⎡

⎤

⎡

⎤

=

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

[

]

1

( )

G s

c sI A

B d

−

⎡

⎤

=

−

+

⎣

⎦

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

1

1

0

1

1

( )

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

s o

R C

C

R C

G s

s

R

R

R

L

L

L

L

s

R C

C

R C

R

R

R

s

L

L

L

L

−

−

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

=

−

+

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

−

−

−

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

⎣

⎦

⎡

⎤ ⎡

⎤

+

−

−

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥

=

+

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

−

+

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

28

Transmitancje dla modelu M3

[

]

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

0

1

1

( )

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

1

( )

1

1

( )

1

1

s

R C

C

R C

G s

c sI A

B d

R

R

R

s

L

L

L

L

R

s

L

C

R C

R

M s

R

s

R

L

R C

L

L

M s

s

s

L

R C

L

−

−

⎡

⎤ ⎡

⎤

+

−

−

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥

=

−

+

=

+

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

−

+

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

⎡

⎤ ⎡

⎤

+

−

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎡

⎛

⎞

=

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢

⎥

=

+

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

−

+

−

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

+

+

+

⎜

⎟

⎠

⎦

⎦

⎝

⎣

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

1

2

2

2

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

( )

( )

1

1

1

1

1

1

1

1

( )

1

R

R

R

R C

s

s

M s

R

L

R C

R

M s

LC

R C

L

LC

R

L

L

R

R

R

R

s

R

C

s

s

M s

LC

L

R C

R

LC

R C

L

R

⎡

⎤

−

⎢

⎥

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎛

⎞

⎡

⎤

⎛

⎞

⎛

⎞

⎢

⎥

=

+

+

=

−

+

+

+

=

⎢

⎥

⎜

⎟

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

⎝

⎠

⎣

⎦

⎣

⎦

−

⎢

⎥

⎣

⎦

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

=

+

+

+ +

−

+

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎛

⎞

⎛

⎞

+

⎜

⎟

⎜

⎟

⎠

⎝

⎝

⎠

⎝

⎠

⎠

2

1

2

1

1

1

1

( )

R

s

s

LC

R M s

LC

L

⎡

⎤

⎛

⎞

⎡

⎤

⎛

⎞

=

−

+

⎢

⎥

⎜

⎟

⎜

⎟

⎢

⎥

⎝

⎠

⎣

⎦

⎝

⎠

⎣

⎦

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

29

Porównanie wyników

2

1

2

1

1

1

( )

( )

R

G s

s

s

R M s

LC

L

⎡

⎤

⎛

⎞

=

−

+

⎜

⎟

⎢

⎥

⎝

⎠

⎣

⎦

1

2

2

1

12

2

2

0

( )

1

1

( )

( )

( )

E

I s

R

G s

s

s

E s

R

L

M s

=

⎛

⎞

=

= −

+

⎜

⎟

⎝

⎠

2

2

11

1

2

0

( )

1

1

1

( )

( )

( )

E

I s

G s

E s

R LC M s

=

=

=

Z modelu stanu

Z analizy przykładowego obwodu

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

30

Odpowiedzi układu

Dynamika liniowa

( )

u t

)

(t

y

1

1

( ) ...

( )

( )

( ) ...

( )

( )

n

m

n

o

m

o

n

m

d

d

d

d

a

y t

a

y t

a y t

b

u t

b

u t

b u t

dt

dt

dt

dt

n m

+ +

+

=

+ +

+

≥

Standardowe wymuszenia :

-

impuls Diraca

δ(t),

-

skok jednostkowy (funkcja Heaviside’a) 1(t),

-

przebiegi okresowe sinusoidalne.

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

31

Sterowanie układem dynamicznym

†

Układ otwarty – określenie zadania
podgrzewania

woda zimna

woda gorąca

1

p

2

p

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

32

Sterowanie układem dynamicznym

†

Układ otwarty – model uproszczony
(o różnym stopniu abstrakcji
elementów)

ϑ

P

Obiekt

regulacji

Urządzenie

sterujące

położenie

grzybka zaworu

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

33

Sterowanie układem dynamicznym

†

Układ zamknięty – model koncepcyjny

0

ϑ

ϑ

P

e

u

y

Obiekt

regulacji

Urządzenie

sterujące

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

34

Sterowanie układem dynamicznym

†

Układ zamknięty – model uproszczony

0

ϑ

ϑ

P

)

(t

e

)

(t

u

)

(t

y

Obiekt

regulacji

Urządzenie

sterujące

)

(t

z

+

-

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

35

Sterowanie układem dynamicznym

†

Układ zamknięty – model uproszczony
zadania podgrzewania automatycznego

woda zimna

woda gorąca

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

36

Sterowanie układem dynamicznym

†

Układ zamknięty – złożony układ

adaptacyjnego podgrzewania z

kompensacją zakłóceń

)

(t

e

)

(

0

t

y

Obiekt

regulacji

)

(t

z

Pomiar

)

(t

u

)

(t

y

Urządzenie

sterujące

Układ

kompensacji

+

-

+

+

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

37

W(s)

Sygnały ; transmitancje uchybowe

P(s)

D(s)

Y

z

(s)

Y (s)

Regulator

obiekt

N(s)

F(s)

V(s)

+

+

+

+

+

C(s)

E(s)

U(s)

( )

( )

( )

( )

,

( )

,

( )

( )

( )

( )

eyz

ed

en

z

E s

E s

E s

G

s

G s

G s

Y s

D s

N s

=

=

=

Automatyka, 02 66 0507 00, Elektrotechnika, sem.4, semestr zimowy 2009/10

P.Woźniak

styczeń 2010

Wykład 2

38

Transmitancja uchybowa

P(s)

Y

z

(s)

+

C(s)

E(s)

U(s)

( )

( )

( )

eyz

z

E s

G

s

Y s

=

Y(s)