Algebra z geometri
ą
2013-01-12
1
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
w R
w R
3
3
1
MiNI PW
2
Definicja
Powierzchnią obrotową nazywamy
powierzchnię utworzoną przez obrót krzywej
wokół prostej zwanej osią obrotu.
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
2
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
3
x
y
z
r(t)
MiNI PW
4
Niech
L
:
=
=
=
)
(
)
(
)
(
3
2
1
t
f
z
t
f
y
t
f
x
,
t
∈
[
t
0
, t
1
]
będzie przedstawieniem parametrycznym krzywej w
R
3
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
Jeśli za oś obrotu przyjmiemy oś
Oz
to każdy punkt krzywej
L
zakreśla okrąg
o promieniu
)
(
)
(
)
(
2
2
2
1
t
f
t
f
t
r
+
=
, którego równanie możemy napisać w postaci:
)
2
,
0
[
)
(
sin
)
(
cos
)
(
3
π
α
α
α
∈
=
=
=
t
f
z
t
r
y
t
r
x
Stąd układ równań
definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej
L
wokół osi
Oz
=
+
=
+
)
(
)
(
)
(
3
2
2
2
1
2
2
t
f
z
t
f
t
f
y
x
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
3
MiNI PW
5
Paraboloida obrotowa
Paraboloida obrotowa
y
x
z
MiNI PW
6
Przykład
Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej z obrotu paraboli
L
:
=
=
0,
2
x
y
z
dookoła osi
OZ.
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
Postać parametryczna równań paraboli
K
:
R
t
t
z
t
y
x
∈
=
=
=
2
0
Podstawiając do wzoru otrzymujemy
R
t
t
z
t
y
x
∈
=
+
=
+
2
2
2
2
2
0
Eliminując z układu t dostajemy równanie paraboloidy obrotowej
2
2
y
x
z
+
=
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
4
MiNI PW
7
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
Obracaj
ą
c dookoła osi OZ parabol
ę
:
otrzymamy równanie powierzchni stopnia drugiego:
− paraboloid
ę
obrotow
ą
pz
y
x
2
2
2
=
+
=
=
0
2
2
x
pz,
y
Paraboloida eliptyczna
Paraboloida eliptyczna
8
Uogólnieniem tej powierzchni jest
paraboloida eliptyczna o równaniu:
pz
b
y
a
x
2
2
2
2
2
=
+
MiNI PW
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
5
MiNI PW
9
Przekroje paraboloidy eliptycznej płaszczyznami prostopadłymi do osi
Oz
są elipsami.
Przekroje paraboloidy eliptycznej płaszczyznami zawierającymi oś
Oz
są parabolami.
Szczególnym przypadkiem paraboloidy eliptycznej jest paraboloida
obrotowa, powstała przez obrót paraboli wokół osi symetrii.
Paraboloida eliptyczna
MiNI PW
10
Układ równań
=
+
=
+
)
(
)
(
)
(
2
2
3
2
1
2
2
t
f
y
t
f
t
f
z
x
definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej
L
wokół osi
Oy.
Natomiast układ równań
=
+
=
+
)
(
)
(
)
(
1
2
3
2
2
2
2
t
f
x
t
f
t
f
z
y
definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej
L
wokół osi
Ox.
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
6
MiNI PW
11
Wyznaczy
ć
równanie powierzchni powstałej z obrotu
elipsy dookoła osi OZ.
równanie elipsoidy obrotowej:
1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
c
z
b
y
b
x
Z równania elipsy
zast
ę
puj
ą
c
y
2
sum
ą
x
2
+ y
2
otrzymujemy:
1
2
2
2
2
=
+
c
z
b
y
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
Elipsoida
Elipsoida
12
Ogólne równanie elipsoidy ma posta
ć
:
1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
c
z
b
y
a
x
x
z
y
MiNI PW
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
7
MiNI PW
13
Elipsoida
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
a
b
c
+
+
=
Elipsoida
Elipsoida
Elipsoida
Wszystkie przekroje płaskie elipsoidy s
ą
elipsami.
Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa,
powstała przez obrót elipsy wokół jednej z osi symetrii:
–
je
ś
li a = b to obrotowa o osi obrotu Oz,
–
je
ś
li a = c to obrotowa o osi obrotu Oy,
–
je
ś
li b = c to obrotowa o osi obrotu Ox.
Równanie elipsoidy o
ś
rodku w punkcie (
x
0
, y
0
, z
0
), osiach
równoległych do osi układu i półosiach długo
ś
ci
a, b, c
ma
posta
ć
:
14
1
)
(
)
(
)
(
2
2
0
2
2
0
2
2
0
=
−
+
−
+
−
c
z
z
b
y
y
a
x
x
MiNI PW
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
8
MiNI PW
15
Uwaga
Dla
a = b = c
, otrzymujemy równanie sfery.
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
16
Obracaj
ą
c dookoła osi OZ hiperbol
ę
Γ
:
otrzymamy równanie powierzchni stopnia drugiego:
=
=
−
,
x
,
c
z
b
y
0
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
=
−
+
c
z
b
y
x
Hiperboloid
ę
jednopowłokow
ą
obrotow
ą
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
9
MiNI PW
17
Ogólne równanie
hiperboloidy
jednopowłokowej
ma posta
ć
:
1
2
2
2
2
2
2
=
−
+
c
z
b
y
a
x
MiNI PW
18
Obracaj
ą
c t
ę
sam
ą
hiperbol
ę
Γ
:
dookoła osi OX,
otrzymamy równanie:
=
=
−
0
1
2
2
2
2
x
,
c
z
b
y
1
2
2
2
2
2
=
+
−
c
z
x
b
y
Hiperboloidy
dwupowłokowej
obrotowej
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
10
Hiperboloida dwupowłokowa
Hiperboloida dwupowłokowa
19
Ogólne równanie
ma posta
ć
:
1
2
2
2
2
2
2
−
=
−
+
c
z
b
y
a
x
1
2
2
2
2
2
2
=
+
−
−
c
z
b
y
a
x
czyli równowa
ż
nie:
1
2
2
2
2
2
2
=
−
−
b
y
a
x
c
z
MiNI PW
MiNI PW
20
Obracając prostą przecinającą oś OZ otrzymamy
stożek obrotowy.
2
2
2
2
2
c
z
b
y
x
=
+
Równanie
2
2
2
2
2
2
x
y
z
a
b
c
+
=
j
est równaniem stożka eliptycznego.
Sto
ż
ek
Sto
ż
ek
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
11
MiNI PW
ALGEBRA
21
Obracając prostą równoległą do osi OZ otrzymamy
walec obrotowy:
1
2
2
2
2
=
+
a
y
a
x
Walec eliptyczny
ma równanie:
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
y
z
x
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
MiNI PW
ALGEBRA
22
Walec hiperboliczny
1
2
2
2
2
=
−
b
y
a
x
;
x
y
z
O
Powierzchnie walcowe
Powierzchnie walcowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
12
MiNI PW
ALGEBRA
23
Walec paraboliczny
x
2
= 2py
Powierzchnie walcowe
Powierzchnie walcowe
x
O
y
z
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
Obracaj
ą
c prost
ą
równoległ
ą
do osi OZ otrzymali
ś
my walec.
Obracaj
ą
c prost
ą
przecinaj
ą
c
ą
o
ś
OZ otrzymali
ś
my sto
ż
ek.
A co uzyskamy obracaj
ą
c
prost
ą
sko
ś
n
ą
do osi OZ ?
Hiperboloid
ę
jednopowłokow
ą
24
MiNI PW
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
13
MiNI PW
25
Przykład
Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej z obrotu prostej
R
t
t
z
y
t
x
∈
=
=
=
1
dookoła osi
OZ.
Powierzchnie obrotowe
Powierzchnie obrotowe
Podstawiając do wzoru otrzymujemy
R
t
t
z
t
y
x
∈
=
+
=
+
2
2
2
2
1
Eliminując z układu
t
dostajemy równanie obrotowej hiperboloidy
jednopowłokowej
1
2
2
2
=
−
+
z
y
x
Identyczne równanie otrzymamy z obrotu prostej
R
t
t
z
t
y
x
∈
=
=
=
1
Zauważmy, że obie proste przechodzą przez
punkt (1,1,1) należący do hiperboloidy.
MiNI PW
26
Hiperboloida jednopowłokowa
2
2
2
2
2
2
1
x
y
z
a
b
c
+
−
=
(Wikipedia)
Powierzchnie prostokre
ś
lne
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
14
Powierzchnie
Powierzchnie prostokre
ś
lne
prostokre
ś
lne
UWAGA:
Płaszczyzny walcowe i sto
ż
kowe s
ą
powierzchniami prostokre
ś
lnymi.
Definicja
Powierzchnia prostokre
ś
lna to powierzchnia, przez której ka
ż
dy punkt
przechodzi prosta całkowicie zawarta w tej powierzchni.
Powierzchniami prostokre
ś
lnymi s
ą
:
powierzchnie walcowe
sto
ż
ek i inne powierzchnie sto
ż
kowe
płaszczyzna
(jest zarówno powierzchni
ą
walcow
ą
jak i sto
ż
kow
ą
)
hiperboloida jednopowłokowa
paraboloida hiperboliczna (
powierzchnia siodłowa
)
a tak
ż
e
helikoida
Powierzchnia jest podwójnie prostokre
ś
lna, gdy przez ka
ż
dy jej punkt
przechodz
ą
dwie ró
ż
ne proste.
Jedynymi powierzchniami podwójnie prostokre
ś
lnymi s
ą
płaszczyzna,
hiperboloida jednopowłokowa i paraboloida hiperboliczna.
27
MiNI PW
MiNI PW
28
Paraboloida hiperboliczna
(powierzchnia siodłowa)
2
2
2
2
x
y
z
a
b
=
−
przekroje płaszczyznami prostopadłymi do osi Oz s
ą
hiperbolami
(
z wyj
ą
tkiem płaszczyzny przechodz
ą
cej przez pocz
ą
tek układu współrz
ę
dnych
– wówczas cz
ęś
ci
ą
wspóln
ą
s
ą
dwie proste przecinaj
ą
ce si
ę
):
przekroje płaszczyznami prostopadłymi do osi Ox i Oy s
ą
parabolami
,
np.
Powierzchnie prostokre
ś
lne
0
2
2
=
=
x
przy
b
y
z
0
2
2
=
=
y
przy
a
x
z
0
,
0
=
+
=
−
b
y
a
x
b
y
a
x
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
15
MiNI PW
29
Paraboloida hiperboliczna
(powierzchnia siodłowa)
Przez każdy punkt powierzchni przechodzą dwie proste
nazywane tworzącymi.
Równanie
z
b
y
a
x
=
−
2
2
2
2
zapiszmy w postaci
z
b
y
a
x
b
y
a
x
=
−
+
.
Mamy więc albo
=
−
=
+
α
β
β
α
b
y
a
x
z
b
y
a
x
albo
=
−
=
+
z
b
y
a
x
b
y
a
x
γ
δ
δ
γ
przy założeniu
0
2
2
≠
+
β
α
Są to równania krawędziowe 2 prostych tworzących
powierzchnię paraboloidy hiperbolicznej i przecinających się.
Powierzchnie prostokre
ś
lne
MiNI PW
30
Hiperboliczna jednopowłokowa
Przez każdy punkt powierzchni przechodzą dwie proste
nazywane tworzącymi.
Równanie
1
2
2
2
2
2
2
=
−
+
c
z
b
y
a
x
zapiszmy w postaci
2
2
2
2
2
2
1
b
y
c
z
a
x
−
=
−
a następnie w postaci iloczynowej
−
+
=
−
+
b
y
b
y
c
z
a
x
c
z
a
x
1
1
.
Mamy więc
−
=
+
+
=
+
b
y
c
z
a
x
b
y
c
z
a
x
1
1
α
β
β
α
oraz
+
=
+
−
=
+
b
y
c
z
a
x
b
y
c
z
a
x
1
1
γ
δ
δ
γ
.
Są to równania krawędziowe 2 prostych tworzących
powierzchnię paraboloidy hiperbolicznej i przecinających się.
Powierzchnie prostokre
ś
lne
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
16
MiNI PW
31
Helikoida
Helikoida to powierzchnia, którą tworzy krzywa obracająca się wokół
prostej ze stałą prędkością kątową i jednocześnie przesuwająca się
równolegle do tej prostej ze stałą prędkością liniową.
Przykładami wykorzystania helikoidy mogą być:
•
wałek maszynki do mięsa
•
powierzchnia wiertła
•
powierzchnia śruby
•
spiralna klatka schodowa
Powierzchnie prostokre
ś
lne
MiNI PW
ALGEBRA
32
UZUPEŁNIENIE i ROZSZERZENIE
Ogólna postać powierzchni walcowych
i stożkowych w przestrzeni
R
3
.
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
17
MiNI PW
ALGEBRA
33
Niech
L
będzie pewną krzywą płaską (leżącą na
pewnej płaszczyźnie) w przestrzeni
R
3
.
Definicja
Powierzchnią walcową nazywamy powierzchnię
utworzoną przez rodzinę prostych równoległych do
danej prostej i przechodzących przez punkty
krzywej
L
.
Krzywą
L
nazywamy kierownicą.
Każdą prostą tej rodziny tworzącą powierzchni
walcowej.
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
MiNI PW
ALGEBRA
34
N
iech
L
będzie pewną krzywą płaską (leżącą na pewnej
płaszczyźnie) w przestrzeni
R
3
, zaś
W
ustalonym punktem tej
przestrzeni (
W
∉
L
).
Definicja
Powierzchnią stożkową nazywamy zbiór punktów
współliniowych z punktami
W
i
P
, gdzie
P
należy do
krzywej
L
(tzn. powierzchnię utworzoną przez rodzinę
prostych przechodzących przez punkt
W
i punkty krzywej
L)
.
Krzywą
L
nazywamy kierownicą.
Punkt
W
nazywamy wierzchołkiem stożka.
Każdą prostą tej rodziny tworzącą powierzchni stożkowej.
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
Powierzchnie walcowe i sto
ż
kowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
18
MiNI PW
ALGEBRA
35
Jeżeli krzywa
L
leżąca w pewnej płaszczyźnie ma przedstawienie parametryczne
L
:
=
=
=
)
(
)
(
)
(
3
2
1
t
f
z
t
f
y
t
f
x
,
t
∈
[
t
0
, t
1
]
zaś prosta
l jest równoległa do wektora
[
]
z
y
x
v
v
v
v
,
,
=
r
,
to równanie powierzchni walcowej ma postać
]
[
gdzie
)
(
)
(
)
(
1
0
3
2
1
t
,
t
t
v
t
f
z
v
t
f
y
v
t
f
x
z
y
x
∈
−
=
−
=
−
Powierzchnie walcowe
Powierzchnie walcowe
MiNI PW
ALGEBRA
36
Równanie powierzchni walcowej w postaci parametrycznej
+
=
∈
∈
+
=
+
=
s
v
t
f
z
R
s
t
,
t
t
s
v
t
f
y
s
v
t
f
x
z
y
x
)
(
,
]
[
)
(
)
(
3
1
0
2
1
]
,
,
[
z
y
x
v
v
v
kierownica
K
tworz
ą
ca
Powierzchnie walcowe
Powierzchnie walcowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
19
MiNI PW
ALGEBRA
37
Jeżeli krzywa
L
ma przedstawienie parametryczne
L
:
=
=
=
)
(
)
(
)
(
3
2
1
t
f
z
t
f
y
t
f
x
,
t
∈
[
t
0
, t
1
]
i
W(x
w
, y
w
, z
w
)
jest ustalonym punktem przestrzeni,
to równanie powierzchni stożkowej ma postać
]
[
gdzie
)
(
)
(
)
(
1
0
3
2
1
t
,
t
t
t
f
z
z
z
t
f
y
y
y
t
f
x
x
x
w
w
w
w
w
w
∈
−
−
=
−
−
=
−
−
Powierzchnie sto
ż
kowe
Powierzchnie sto
ż
kowe
MiNI PW
ALGEBRA
38
Równanie powierzchni stożkowej w postaci parametrycznej
−
+
=
∈
∈
−
+
=
−
+
=
s
t
f
z
z
z
R
s
t
,
t
t
s
t
f
y
y
y
s
t
f
x
x
x
))
(
(
,
]
[
))
(
(
))
(
(
3
0
0
1
0
2
0
0
1
0
0
kierownica
K
tworz
ą
ca
)]
(
),
(
),
(
[
3
0
2
0
1
0
t
f
z
t
f
y
t
f
x
−
−
−
wierzchołek
W
Powierzchnie sto
ż
kowe
Powierzchnie sto
ż
kowe
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
20
Sto
ż
ek
Sto
ż
ek
Przekroje sto
ż
ka płaszczyznami prostopadłymi do osi Oz s
ą
elipsami
(z wyj
ą
tkiem płaszczyzny przechodz
ą
cej przez pocz
ą
tek układu
współrz
ę
dnych – wówczas cz
ęś
ci
ą
wspóln
ą
jest punkt).
Przekroje sto
ż
ka płaszczyznami prostopadłymi do osi Ox i Oy s
ą
hiperbolami, a gdy zawieraj
ą
o
ś
Oz par
ą
prostych, b
ę
d
ą
cych tworz
ą
cymi
sto
ż
ka.
Przekroje sto
ż
ka płaszczyznami równoległymi do tworz
ą
cej s
ą
parabolami.
Podane równanie (oraz rysunek) prezentuje powierzchni
ę
otwart
ą
wzdłu
ż
osi Oz.
Aby uzyska
ć
równanie sto
ż
ka otwartego wzdłu
ż
innej osi nale
ż
y
odpowiednio zmodyfikowa
ć
równanie. Zmienna przeniesiona na drug
ą
stron
ę
równania, dla zachowania tego samego znaku współczynników,
wskazuje o
ś
wzdłu
ż
której sto
ż
ek jest otwarty.
Przykładowo - sto
ż
ek otwarty wzdłu
ż
osi Ox ma równanie:
ALGEBRA
39
2
2
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y
=
+
MiNI PW
MiNI PW
ALGEBRA
40
Definicja (bardzo ogólna)
Powierzchni
ą
stopnia drugiego (kwadryk
ą
) nazywamy zbiór punktów
przestrzeni trójwymiarowej, spełniaj
ą
cych równanie
0
2
2
2
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
K
Iz
Hy
Gx
Fyz
Exz
Dxy
Cz
By
Ax
gdzie
A, B, …, K
s
ą
stałymi i przynajmniej jedna ze stałych
A, B, C, D, E, F
jest ró
ż
na od zera.
Równanie to nazywamy
ogólnym równaniem powierzchni drugiego
stopnia
.
Mo
ż
na wykaza
ć
,
ż
e istnieje takie przekształcenie płaszczyzny (zło
ż
enie
obrotu i przesuni
ę
cia) w wyniku którego otrzymamy tzw. posta
ć
kanoniczn
ą
równania powierzchni:
0
~
~
~
~
2
2
2
=
+
+
+
K
z
C
y
B
x
A
lub
0
~
~
~
~
2
2
=
+
+
+
K
z
C
y
B
x
A
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
21
MiNI PW
ALGEBRA
41
Spo
ś
ród 17 ró
ż
nych powierzchni stopnia drugiego, 9 to kwadryki wła
ś
ciwe.
Pozostałe to kwadryki zdegenerowane (niewła
ś
ciwe).
Kwadryki wła
ś
ciwe to:
−
elipsoida (w tym sfera),
−
hiperboloida jednopowłokowa,
−
hiperboloida dwupowłokowa,
−
sto
ż
ek,
−
paraboloida eliptyczna,
−
paraboloida hiperboliczna,
−
walec eliptyczny,
−
walec hiperboliczny,
−
walec paraboliczny,
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
MiNI PW
ALGEBRA
42
Przykłady kwadryk niewła
ś
ciwych:
−
Równanie
x
2
+
y
2
+
z
2
= 0
przedstawia punkt
O
(0,0,0),
−
Równanie
x
2
+
y
2
+
z
2
= −1
przedstawia zbiór pusty,
−
Równanie
x
2
+
y
2
= 0
przedstawia prost
ą (
o
ś
Oz
),
−
Równanie
x
2
−
y
2
= 0
przedstawia sum
ę
dwóch płaszczyzn
o równaniach
:
x
−
y
= 0
i
x
+
y
=0.
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
22
MiNI PW
ALGEBRA
43
Zmienna przed którą stoi znak minus wskazuje oś wzdłuż której
hiperboloida jest „otwarta” (oś symetrii dla hiperboloidy obrotowej).
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
MiNI PW
ALGEBRA
44
Hiperboloida dwupowłokowa
2
2
2
2
2
2
1
z
x
y
c
a
b
−
−
=
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego
Algebra z geometri
ą
2013-01-12
23
MiNI PW
ALGEBRA
45
Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi
Oz
są
elipsami.
Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi
Ox i
Oy
są hiperbolami.
Szczególnym przypadkiem hiperboloidy dwupowłokowej jest
hiperboloida obrotowa, powstała przez obrót hiperboli wokół osi
rzeczywistej.
Powierzchnie stopnia drugiego
Powierzchnie stopnia drugiego