Lista 1 LICZBY ZESPOLONE,

Informatyka in˙z., sem. II, 2007/2008

1.

Wykonaj podane dzia lania:

a) (1 −

√

3i) + (1 +

√

2i);

b) (3i − 2) − (1 − 2i);

c) (1 + 2i)(−3 + 4i);

d)

4+5i

2−i

;

e) z · w,

z

2

w

,

z−w
z+w

,

Re z+iIm z

z+w

dla z = 2 − 5i, w = −4 + 3i.

2.

Znajd´

z liczby rzeczywiste x, y spe lniaj

,

ace podane r´

ownania:

a) x(2 + 3i) + y(5 − 2i)) = −8 + 7i;

b) (2 + yi) · (x − 3i) = 7 − i;

c)

1+yi
x−2i

= 3i − 1;

d)

x+yi
x−yi

=

9−2i
9+2i

.

3.

W zbiorze liczb zespolonych rozwi

,

a˙z r´

ownania: a) z

2

= 4z;

b)

1+i

z

=

2−3i

z

;

c) z

2

−4z +13 = 0;

d) (z +2)

2

= (z +2)

2

;

e) 2z +z = 6−5i;

f) (1 + i)z + 3(z − i) = 0;

g)

2+i

z−1+4i

=

1−i

2z+i

.

4.

Na p laszczy´

znie zespolonej narysuj zbiory liczb z spe lniaj

,

acych podane

warunki:
a) Re(iz + 2) ≥ 0;

b) Im z

2

< 0;

c) z − i = z − 1;

d)

4
z

= z;

f)

1+iz
1−iz

= 1.

5.

Niech u =

z+4

z−2i

, v =

z

iz+4

, gdzie z ∈ C. Naszkicuj zbi´or wszystkich

liczb zespolonych z, dla kt´

orych: a) liczba u jest rzeczywista;

b) liczba v jest

czysto urojona.

6.

Oblicz modu ly podanych liczb zespolonych:

a) −

√

3i;

b) 6 − 8i;

c)

4

√

2 − i

4

√

3;

d) 1 + itg α; α ∈ (−

π

2

,

π

2

);

e)

1+3i
3−4i

;

f)

(3−i

√

3)

2

(

√

2+2i)

3

.

7. Podaj interpretacj

,

e geometryczn

,

a modu lu r´

o˙znicy liczb zespolonych. Ko-

rzystaj

,

ac z tej interpretacji narysuj zbiory liczb zespolonych z spe lniaj

,

acych

podane warunki:
a) |z − 3 + 4i| = 1;

b) |

z−2i

z+1

| = 1;

c) 2 ≤ |iz − 5| < 3;

d) |z + 1 − 2i| ≥ 3 oraz |z − 3| < 4;

e) |

z+i

z

2

+1

| ≥ 1.

8.

Podane liczby zespolone zapisz w postaci trygonometrycznej:

a) 7 + 7i;

b)

√

3 − i;

c) −5 + 5

√

3i;

d) −

1
2

−

√

3

2

i;

e) −27i.

9. Podaj w postaci algebraicznej warto´

sci nast

,

epuj

,

acych wyra˙ze´

n:

a) (1 − i)

12

;

b) (1 + i

√

3)

8

;

c) (2

√

3 − 2i)

30

;

d) (cos

π

4

− i sin

π

4

)

10

;

e)

(1+i)

22

(1−i

√

3)

6

;

f) (sin

π

6

+ i cos

π

6

)

24

.

10.

Narysuj zbiory liczb zespolonych spe lniaj

,

acych podane warunki:

a) Im (z

3

) < 0;

b) Re (z

4

) ≥ 0;

c) Im (z

2

) ≥ Re (z)

2

;

d) Im

(1+i)z
(1−i)z

≥ 0.

11. Stosuj

,

ac posta´

c wyk ladnicz

,

a liczby zespolonej rozwi

,

a˙z podane r´

ownania:

a) z

7

= z;

b) (z

4

) = z

2

|z

2

|;

c) (z)

2

|z

2

| =

4

z

2

.

12. Oblicz i narysuj na p laszczy´

znie zespolonej podane pierwiastki:

a)

p

−1 + i

√

3;

b)

3

√

−27i;

c)

4

√

−4;

d)

6

√

−64;

e)

5

√

32i;

f)

3

√

−1 + i;

g)

8

√

1;

4

q

−

1
2

+

√

3

2

i.

13. Odgaduj

,

ac jeden z element´

ow podanych pierwiastk´

ow oblicz pozosta le

elementy:
a)

p(5 − 4i)

4

;

b)

4

p(−2 + 3i)

4

;

c)

3

p(2 − i)

6

;

3

p(2 − 2i)

9

.

14.

Rozwi

,

a˙z r´

ownania:

a) z

4

= (1 − i)

4

;

b) (z − 1)

6

= (i − z)

6

;

c) z

6

= (1 + 2i)

12

.