P

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ie

l

in

io

w

e

P

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ie

l

in

io

w

e

–

–

za

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

Z

k

a

ż

d

y

m

z

a

d

a

n

ie

m

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

w

p

o

st

a

ci

k

la

sy

cz

n

e

j

(

za

d

a

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

P

L

),

m

o

ż

n

a

z

w

ią

za

ć

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

ce

m

u

za

d

a

n

ie

d

u

a

ln

e

R

o

zp

a

tr

zm

y

,

zn

a

n

y

j

u

ż

p

rz

y

k

ła

d

z

a

d

a

n

ia

P

L

:

w

p

o

st

a

ci

k

la

sy

cz

n

e

j:

max

3

2

2

1

→

+

x

x

0

,

16

4

8

2

14

2

2

2

1

1

2

1

2

1

≥

≤

≤

+

≤

+

x
x

x

x

x

x

x

w

p

o

st

a

ci

k

la

sy

cz

n

e

j

w

p

o

st

a

ci

k

la

sy

cz

n

e

j:

c

x

→

m

a

x

A

x

≤

b

x

≥

0

w

p

o

st

a

ci

m

a

ci

e

rz

o

w

e

j:

w

p

o

st

a

ci

m

a

ci

e

rz

o

w

e

j:

[

]

3

2

c

=





















=

0

4

2

2

2

2

A





















=

16

8

14

b

 



 



=

2

1

x

x

x

O

zn

a

cz

m

y

p

rz

e

z

:

3

2

1

,
,

y

y

y

ce

n

y

w

y

k

o

rz

y

st

y

w

a

n

y

ch

s

u

ro

w

có

w

S

1

,

S

2

,

i

S

3

i

p

o

tr

a

k

tu

jm

y

j

e

j

a

k

o

z

m

ie

n

n

e

d

e

cy

zy

jn

e

M

o

ż

e

m

y

z

a

te

m

z

b

u

d

o

w

a

ć

n

o

w

y

m

o

d

e

l

m

a

te

m

a

ty

cz

n

y

,

k

tó

re

g

o

r

o

zw

ią

za

n

ie

p

o

zw

o

li

o

k

re

ś

lić

,

ja

k

ie

p

o

w

in

n

y

b

y

ć

w

a

rt

o

ś

c

i

ty

ch

z

m

ie

n

n

y

ch

a

b

y

z

m

in

im

a

li

z

o

w

a

ć

w

a

rt

o

ś

ci

p

o

si

a

d

a

n

y

ch

ś

ro

d

k

ó

w

.

Z

a

ło

ż

e

n

ie

m

o

cz

y

w

is

ty

m

j

e

st

,

ż

e

w

a

rt

o

ść

su

ro

w

có

w

w

y

k

o

rz

y

st

a

n

y

ch

d

o

w

y

tw

o

rz

e

n

ia

j

e

d

n

e

j

je

d

n

o

st

k

i

p

ro

d

u

k

tu

P

1

i

p

ro

d

u

k

tu

P

2

są

n

ie

m

n

ie

js

ze

o

d

z

y

sk

u

o

si

ą

g

n

ię

te

g

o

z

w

y

tw

o

rz

e

n

ia

j

e

d

n

o

st

k

i

p

ro

d

u

k

tó

w

(

o

d

p

o

w

ie

d

n

io

P

1

i

P

2

)

3

2

Z

Y

S

K

1

6

0

4

S

3

8

2

1

S

2

1

4

2

2

S

1

Z

A

S

O

B

Y

P

2

P

1

O

g

ó

ln

a

w

a

rt

o

ś

ć

p

o

si

a

d

a

n

y

ch

s

u

ro

w

có

w

:

3

2

1

16

8

14

y

y

y

+

+

W

a

rt

o

ść

su

ro

w

có

w

p

o

tr

ze

b

n

a

d

o

w

y

tw

o

rz

e

n

ia

:

p

ro

d

u

k

tu

P

1

3

2

1

4

2

y

y

y

+

+

p

ro

d

u

k

tu

P

2

2

1

2

2

y

y

+

Z

a

d

a

n

ie

m

in

im

a

liz

a

cj

i

w

a

rt

o

ś

ci

z

a

st

o

so

w

a

n

y

ch

s

u

ro

w

có

w

d

o

p

ro

d

u

k

cj

i

w

y

ro

b

ó

w

P

1

i

P

2

p

rz

y

o

g

ra

n

ic

ze

n

ia

ch

n

a

w

a

rt

o

ś

ci

t

y

ch

s

u

ro

w

có

w

z

a

p

is

ze

m

y

n

a

st

ę

p

u

ją

co

:

min

16

8

14

3

2

1

→

+

+

y

y

y

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,
,

3

2

1

≥
y
y
y

Z

a

d

a

n

ie

t

o

m

o

ż

n

a

z

a

p

is

a

ć

w

p

o

s

ta

c

i

m

a

c

ie

rz

o

w

e

j:

O

k

re

ś

la

ją

c

w

e

k

to

r

zm

ie

n

n

y

ch

d

e

cy

zy

jn

y

ch

j

a

k

o

y

=

[

y

1

,

y

2

,

y

3

]

o

tr

zy

m

a

m

y

:

y

b

→

m

in

y

A

≥

c

y

≥

0

je

st

t

o

za

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

d

o

u

p

rz

e

d

n

io

p

rz

e

d

st

a

w

io

n

e

g

o

za

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

za

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

Z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

i

d

u

a

ln

e

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

c

h

a

ra

k

te

ry

zu

ją

si

ę

n

a

st

ę

p

u

ją

cy

m

i

w

ła

sn

o

ś

ci

a

m

i:

1

.

K

a

ż

d

e

m

u

w

a

ru

n

k

o

w

i

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

m

u

j

e

d

n

e

g

o

z

p

ro

b

le

m

ó

w

o

d

p

o

w

ia

d

a

zm

ie

n

n

a

d

e

cy

zy

jn

a

d

ru

g

ie

g

o

Z

m

ie

n

n

a

t

ę

n

a

zy

w

a

m

y

zm

ie

n

n

zm

ie

n

n

ą

ą

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

ą

ą

d

o

d

a

n

e

g

o

w

a

ru

n

k

u

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

g

o

Z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

i

d

u

a

ln

e

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

c

h

a

ra

k

te

ry

zu

ją

si

ę

n

a

st

ę

p

u

ją

cy

m

i

w

ła

sn

o

ś

ci

a

m

i:

1

.

K

a

ż

d

e

m

u

w

a

ru

n

k

o

w

i

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

m

u

j

e

d

n

e

g

o

z

p

ro

b

le

m

ó

w

o

d

p

o

w

ia

d

a

zm

ie

n

n

a

d

e

cy

zy

jn

a

d

ru

g

ie

g

o

Z

m

ie

n

n

a

t

ę

n

a

zy

w

a

m

y

zm

ie

n

n

zm

ie

n

n

ą

ą

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

ą

ą

d

o

d

a

n

e

g

o

w

a

ru

n

k

u

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

g

o

W

z

a

d

a

n

iu

d

u

a

ln

y

m

z

m

ie

n

n

y

m

i

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

m

i

d

o

p

ie

rw

sz

e

g

o

,

d

ru

g

ie

g

o

i

tr

ze

ci

e

g

o

w

a

ru

n

k

u

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

g

o

z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

s

ą

,

o

d

p

o

w

ie

d

n

io

,

zm

ie

n

n

e

n

a

to

m

ia

st

w

z

a

d

a

n

iu

p

ry

m

a

rn

y

m

z

m

ie

n

n

y

m

i

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

m

i

d

o

p

ie

rw

sz

e

g

o

i

d

ru

g

ie

g

o

w

a

ru

n

k

u

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

g

o

z

a

d

a

n

iu

d

u

a

ln

e

g

o

s

ą

,

o

d

p

o

w

ie

d

n

io

,

zm

ie

n

n

e

3

2

1

,
,

y

y

y

2

1

i

x

x

Z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

i

d

u

a

ln

e

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

c

h

a

ra

k

te

ry

zu

ją

si

ę

n

a

st

ę

p

u

ją

cy

m

i

w

ła

sn

o

ś

ci

a

m

i:

1

.

K

a

ż

d

e

m

u

w

a

ru

n

k

o

w

i

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

m

u

j

e

d

n

e

g

o

z

p

ro

b

le

m

ó

w

o

d

p

o

w

ia

d

a

zm

ie

n

n

a

d

e

cy

zy

jn

a

d

ru

g

ie

g

o

Z

m

ie

n

n

a

t

ę

n

a

zy

w

a

m

y

zm

ie

n

n

zm

ie

n

n

ą

ą

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

ą

ą

d

o

d

a

n

e

g

o

w

a

ru

n

k

u

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

g

o

2

.

K

a

ż

d

e

j

n

ie

u

je

m

n

e

j

zm

ie

n

n

e

j

d

e

cy

zy

jn

e

j

je

d

n

e

g

o

z

p

ro

b

le

m

ó

w

o

d

p

o

w

ia

d

a

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

d

ru

g

ie

g

o

.

W

a

ru

n

e

k

t

e

n

n

a

zy

w

a

m

y

w

a

ru

n

k

ie

m

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

m

w

a

ru

n

k

ie

m

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

m

d

o

d

a

n

e

j

zm

ie

n

n

e

j

d

e

cy

zy

jn

e

j

Z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

i

d

u

a

ln

e

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

c

h

a

ra

k

te

ry

zu

ją

si

ę

n

a

st

ę

p

u

ją

cy

m

i

w

ła

sn

o

ś

ci

a

m

i:

1

.

K

a

ż

d

e

m

u

w

a

ru

n

k

o

w

i

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

m

u

j

e

d

n

e

g

o

z

p

ro

b

le

m

ó

w

o

d

p

o

w

ia

d

a

zm

ie

n

n

a

d

e

cy

zy

jn

a

d

ru

g

ie

g

o

Z

m

ie

n

n

a

t

ę

n

a

zy

w

a

m

y

zm

ie

n

n

zm

ie

n

n

ą

ą

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

ą

ą

d

o

d

a

n

e

g

o

w

a

ru

n

k

u

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

g

o

2

.

K

a

ż

d

e

j

n

ie

u

je

m

n

e

j

zm

ie

n

n

e

j

d

e

cy

zy

jn

e

j

je

d

n

e

g

o

z

p

ro

b

le

m

ó

w

o

d

p

o

w

ia

d

a

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

d

ru

g

ie

g

o

.

W

a

ru

n

e

k

t

e

n

n

a

zy

w

a

m

y

w

a

ru

n

k

ie

m

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

m

w

a

ru

n

k

ie

m

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

m

d

o

d

a

n

e

j

zm

ie

n

n

e

j

d

e

cy

zy

jn

e

j

W

r

o

zp

a

tr

y

w

a

n

y

m

z

a

d

a

n

iu

p

ry

m

a

rn

y

m

z

m

ie

n

n

y

m

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

e

w

a

ru

n

k

i

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

:

p

ie

rw

sz

y

i

d

ru

g

i

za

d

a

n

ia

d

u

a

ln

e

g

o

,

n

a

to

m

ia

st

z

m

ie

n

n

y

m

w

z

a

d

a

n

iu

d

u

a

ln

y

m

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

e

w

a

ru

n

k

i

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

:

p

ie

rw

sz

y

,

d

ru

g

i

i

tr

ze

ci

z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

3

2

1

,
,

y

y

y

2

1

i

x

x

Z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

i

d

u

a

ln

e

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

c

h

a

ra

k

te

ry

zu

ją

si

ę

n

a

st

ę

p

u

ją

cy

m

i

w

ła

sn

o

ś

ci

a

m

i:

1

.

K

a

ż

d

e

m

u

w

a

ru

n

k

o

w

i

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

m

u

j

e

d

n

e

g

o

z

p

ro

b

le

m

ó

w

o

d

p

o

w

ia

d

a

zm

ie

n

n

a

d

e

cy

zy

jn

a

d

ru

g

ie

g

o

Z

m

ie

n

n

a

t

ę

n

a

zy

w

a

m

y

zm

ie

n

n

zm

ie

n

n

ą

ą

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

ą

ą

d

o

d

a

n

e

g

o

w

a

ru

n

k

u

o

g

ra

n

ic

za

ją

ce

g

o

2

.

K

a

ż

d

e

j

n

ie

u

je

m

n

e

j

zm

ie

n

n

e

j

d

e

cy

zy

jn

e

j

je

d

n

e

g

o

z

p

ro

b

le

m

ó

w

o

d

p

o

w

ia

d

a

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

d

ru

g

ie

g

o

.

W

a

ru

n

e

k

t

e

n

n

a

zy

w

a

m

y

w

a

ru

n

k

ie

m

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

m

w

a

ru

n

k

ie

m

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

m

d

o

d

a

n

e

j

zm

ie

n

n

e

j

d

e

cy

zy

jn

e

j

3

.

W

e

k

to

r

w

sp

ó

łc

zy

n

n

ik

ó

w

p

rz

y

f

u

n

k

cj

i

ce

lu

w

j

e

d

n

y

m

z

a

d

a

n

iu

s

ta

je

s

ię

w

e

k

to

re

m

w

y

ra

zó

w

w

o

ln

y

ch

w

d

ru

g

im

,

i

o

d

w

ro

tn

ie

,

w

e

k

to

r

w

y

ra

zó

w

w

o

ln

y

ch

w

j

e

d

n

y

m

z

a

d

a

n

iu

j

e

st

w

e

k

to

re

m

w

sp

ó

łc

zy

n

n

ik

ó

w

p

rz

y

f

u

n

k

cj

i

ce

lu

w

d

ru

g

i.

4

.

K

ie

ru

n

k

i

o

p

ty

m

a

liz

a

cj

i

d

la

z

a

d

a

ń

d

u

a

ln

y

ch

s

ą

p

rz

e

ci

w

n

e

.

O

i

le

z

a

d

a

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

j

e

st

z

a

d

a

n

ie

m

m

a

k

sy

m

a

liz

a

cj

i,

t

o

w

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

cy

m

m

u

za

d

a

n

iu

d

u

a

ln

y

m

f

u

n

k

cj

e

c

e

lu

m

in

im

a

liz

u

je

m

y

.

5

.

Z

w

ro

ty

n

ie

ró

w

n

o

ś

ci

w

w

a

ru

n

k

a

ch

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

ch

z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

s

ą

p

rz

e

ci

w

n

e

d

o

z

w

ro

tó

w

n

ie

ró

w

n

o

ś

ci

w

a

ru

n

k

ó

w

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

ch

z

a

d

a

n

iu

d

u

a

ln

e

g

o

.

P

o

d

st

a

w

o

w

e

t

w

ie

rd

ze

n

ia

o

d

u

a

ln

o

P

o

d

st

a

w

o

w

e

t

w

ie

rd

ze

n

ia

o

d

u

a

ln

o

ś

ś

ci

ci

T

W

I

E

R

D

Z

E

N

I

E

1

Je

ż

e

li

x

i

y

s

ą

d

o

w

o

ln

ym

i

ro

zw

i

ą

za

n

ia

m

i

d

o

p

u

sz

cz

a

ln

ym

i,

o

d

p

o

w

ie

d

n

io

,

za

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

i

d

u

a

ln

e

g

o

,

to

w

a

rt

o

ś

ci

f

u

n

kc

ji

ce

lu

w

t

yc

h

z

a

d

a

n

ia

ch

sp

e

ł

n

ia

j

ą

za

le

ż

n

o

ść

:

c

x

≤

y

b

T

W

I

E

R

D

Z

E

N

I

E

2

(

o

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

o

ś

ci

)

Je

ż

e

li

x

i

y

s

ą

ro

zw

i

ą

za

n

ia

m

i

o

p

ty

m

a

ln

ym

i,

o

d

p

o

w

ie

d

n

io

,

za

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

i

d

u

a

ln

e

g

o

,

to

z

a

ch

o

d

z

ą

zw

i

ą

zk

i:

y

(

b

–

A

x

)

=

0

z

w

ią

ze

k

(

1

)

x

(

y

A

-

c

)

=

0

z

w

ią

ze

k

(

2

)

T

W

I

E

R

D

Z

E

N

I

E

3

D

la

r

o

zw

i

ą

za

ń

o

p

ty

m

a

ln

yc

h

x

i

y

o

d

p

o

w

ie

d

n

io

,

za

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

i

d

u

a

ln

e

g

o

z

a

ch

o

d

zi

z

w

i

ą

ze

k:

c

x

=

y

b

P

rz

y

k

ła

d

z

a

s

to

s

o

w

a

n

ia

tw

ie

rd

z

e

n

ia

o

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

o

tw

ie

rd

z

e

n

ia

o

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

o

ś

ś

c

i

c

i

ro

zp

is

zm

y

z

w

ią

ze

k

(1

)

y

(

b

–

A

x

)

=









































−

−

−

−

−

=





















 



 

 ⋅





















−





















=

1

2

1

2

1

2

1

3

2

1

4

16

2

8

2

2

14

0

4

2

1

2

2

16

8

14

]
,
,
[

x

x

x

x

x

x

x

y
y
y

(

)

(

)

(

)

0

4

16

2

8

2

2

14

1

3

2

1

2

2

1

1

=

−

+

−
−

+

−

−

=

x

y

x

x

y

x

x

y

ro

zp

is

zm

y

z

w

ią

ze

k

(2

)

(y

A

-

c

)

x

[

]

=

 



 

 ⋅

 



 



 



 



−

+

−

+

+

=

 



 

 ⋅





















 



 



−





















⋅

=

2

1

2

1

3

2

1

2

1

3

2

1

3

2

2

2

4

2

3

2

0

4

2

1

2

2

,
,

x

x

y

y

y

y

y

x

x

y
y
y

0

)

3

2

2(

)

2

4

2(

2

2

1

1

3

2

1

=

−

+

+

−

+

+

=

x

y

y

x

y

y

y

(

)

(

)

(

)

0

4

16

2

8

2

2

14

1

3

2

1

2

2

1

1

=

−

+

−
−

+

−

−

x

y

x

x

y

x

x

y

ze

z

w

ią

zk

u

(

1

)

(

)

(

)

(

)

0

4

16

2

8

2

2

14

1

3

2

1

2

2

1

1

=

−

+

−
−

+

−

−

x

y

x

x

y

x

x

y

1

s

k

ła

d

n

ik

2

s

k

ła

d

n

ik

3

s

k

ła

d

n

ik

ze

z

w

ią

zk

u

(

1

)

(

)

(

)

(

)

0

4

16

2

8

2

2

14

1

3

2

1

2

2

1

1

=

−

+

−
−

+

−

−

x

y

x

x

y

x

x

y

1

s

k

ła

d

n

ik

2

s

k

ła

d

n

ik

3

s

k

ła

d

n

ik

su

m

a

t

y

ch

s

k

ła

d

n

ik

ó

w

m

a

d

a

ć

w

a

rt

o

ś

ć

ze

ro

+

+

ze

z

w

ią

zk

u

(

1

)

(

)

(

)

(

)

0

4

16

2

8

2

2

14

1

3

2

1

2

2

1

1

=

−

+

−
−

+

−

−

x

y

x

x

y

x

x

y

1

s

k

ła

d

n

ik

2

s

k

ła

d

n

ik

3

s

k

ła

d

n

ik

su

m

a

t

y

ch

s

k

ła

d

n

ik

ó

w

m

a

d

a

ć

w

a

rt

o

ś

ć

ze

ro

+

+

W

y

n

ik

a

s

tą

d

,

ż

e

k

a

ż

d

y

s

k

ła

d

n

ik

t

e

j

su

m

y

m

u

si

b

y

ć

ró

w

n

y

z

e

ru

.

ze

z

w

ią

zk

u

(

1

)

(

)

(

)

(

)

0

4

16

2

8

2

2

14

1

3

2

1

2

2

1

1

=

−

+

−
−

+

−

−

x

y

x

x

y

x

x

y

1

s

k

ła

d

n

ik

2

s

k

ła

d

n

ik

3

s

k

ła

d

n

ik

su

m

a

t

y

ch

s

k

ła

d

n

ik

ó

w

m

a

d

a

ć

w

a

rt

o

ś

ć

ze

ro

+

+

W

y

n

ik

a

s

tą

d

,

ż

e

k

a

ż

d

y

s

k

ła

d

n

ik

t

e

j

su

m

y

m

u

si

b

y

ć

ró

w

n

y

z

e

ru

.

b

o

g

d

yb

y

ch

o

ć

je

d

e

n

z

t

yc

h

s

k

ł

a

d

n

ik

ó

w

b

y

ł

d

o

d

a

tn

i,

t

o

p

rz

yn

a

jm

n

ie

j

je

d

e

n

m

u

si

a

ł

b

y

p

rz

yj

ą

ć

w

a

rt

o

ś

ć

u

je

m

n

ą

a

t

o

n

ie

j

e

st

m

o

ż

liw

e

ze

z

w

ią

zk

u

(

1

)

o

tr

zy

m

a

m

y

z

a

le

ż

n

o

ś

ci

:

z

a

le

ż

n

o

ś

ć

(1

a

)

0
)

2

2

14(

2

1

1

=

−

−

x

x

y

z

a

le

ż

n

o

ś

ć

(1

b

)

0
)

2

8(

2

1

2

=

−
−

x

x

y

z

a

le

ż

n

o

ś

ć

(1

c

)

0
)
4

16(

1

3

=

−

x

y

(

)

(

)

(

)

0

4

16

2

8

2

2

14

1

3

2

1

2

2

1

1

=

−

+

−

−

+

−

−

x

y

x

x

y

x

x

y

z

r

z

r

ó

ó

w

n

a

n

ia

(

1

)

w

n

a

n

ia

(

1

)

→

→

→

→

W

a

ru

n

e

k

(

1

a

)

Je

ż

e

li,

t

o

O

zn

a

cz

a

t

o

,

ż

e

p

rz

y

z

a

d

a

n

iu

p

ry

m

a

rn

y

m

p

ie

rw

s

z

y

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

z

a

ją

c

y

,

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

d

o

z

m

ie

n

n

e

j

,

m

u

si

b

y

ć

sp

e

łn

io

n

y

j

a

k

o

r

ó

w

n

a

n

ie

.

Je

ż

e

li

(c

zy

li

w

z

a

d

a

n

iu

p

ry

m

a

rn

y

m

p

ie

rw

s

z

y

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

z

a

ją

c

y

je

st

s

p

e

łn

io

n

y

j

a

k

o

n

ie

ró

w

n

o

ść

o

st

ra

)

–

to

z

m

ie

n

n

a

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

a

0

1

>
y

0

2

2

14

2

1

=

−

−

x

x

0

1

>
y

0

2

2

14

2

1

>

−

−

x

x

0

1

=
y

o

tr

zy

m

a

m

y

z

a

le

ż

n

o

ś

ci

:

z

a

le

ż

n

o

ś

ć

(2

a

)

0

)

2

4

2(

1

3

2

1

=

−

+

+

x

y

y

y

z

a

le

ż

n

o

ś

ć

(2

b

)

0

)

3

2

2(

2

2

1

=

−

+

x

y

y

→

→

→

W

a

ru

n

e

k

(

2

a

)

Je

ż

e

li,

co

o

zn

a

cz

a

ż

e

p

ie

rw

sz

y

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

w

z

a

d

a

n

iu

d

u

a

ln

y

m

j

e

st

s

p

e

łn

io

n

y

j

a

k

o

o

s

tr

a

n

ie

ró

w

n

o

ś

ć

),

t

o

z

m

ie

n

n

a

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

a

Je

ż

e

li

t

o

O

zn

a

cz

a

t

o

,

ż

e

p

ie

rw

sz

y

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

w

z

a

d

a

n

iu

d

u

a

ln

y

m

,

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

d

o

z

m

ie

n

n

e

j

m

u

si

b

y

ć

sp

e

łn

io

n

y

j

a

k

o

ró

w

n

a

n

ie

0

2

4

2

3

2

1

>
−

+

+

y

y

y

0

1

=
x

0

2

4

2

3

2

1

=
−

+

+

y

y

y

0

1

>
x

0

)

3

2

2(

)

2

4

2(

2

2

1

1

3

2

1

=

−

+

+

−

+

+

x

y

y

x

y

y

y

z

r

z

r

ó

ó

w

n

a

n

ia

(

2

)

w

n

a

n

ia

(

2

)

=

0

=

0

U

o

g

ó

ln

ie

n

ie

p

rz

e

d

s

ta

w

io

n

y

c

h

w

a

ru

n

k

ó

w

1

.

Je

ż

e

li

d

o

w

o

ln

a

z

m

ie

n

n

a

w

r

o

zw

ią

za

n

iu

o

p

ty

m

a

ln

y

m

z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

lu

b

d

u

a

ln

e

g

o

j

e

st

d

o

d

a

tn

ia

d

o

d

a

tn

ia

,

to

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

cy

j

e

j

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

sp

e

łn

io

n

y

j

e

st

j

a

k

o

r

r

ó

ó

w

n

a

n

ie

w

n

a

n

ie

2

.

Je

ż

e

li

d

o

w

o

ln

y

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

d

la

r

o

zw

ią

za

n

ia

o

p

ty

m

a

ln

e

g

o

z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

l

u

b

d

u

a

ln

e

g

o

s

p

e

łn

io

n

y

j

e

st

j

a

k

o

o

st

ra

n

ie

r

o

st

ra

n

ie

r

ó

ó

w

n

o

w

n

o

ść

ść

,

to

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

ca

t

e

m

u

w

a

ru

n

k

o

w

i

zm

ie

n

n

a

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

a

p

rz

y

jm

u

je

w

a

rt

o

ść

ze

ro

ze

ro

.

P

rz

y

k

ła

d

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

–

z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

max

3

2
)
,
(

2

1

2

1

→

+

=

x

x

x
x
f

14

2

2

2

1

≤

+

x

x

8

2

2

1

≤

+

x

x

16

4

1

≤
x

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

2

,

4

2

1

=

=

x

x

min

16

8

14
)
,
,
(

3

2

1

3

2

1

*

→

+

+

=

y

y

y

y
y
y
f

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,

2

1

≥
x
x

0

y,
,

3

2

1

≥

y
y

P

rz

y

k

ła

d

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

–

z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

max

3

2
)
,
(

2

1

2

1

→

+

=

x

x

x
x
f

14

2

2

2

1

≤

+

x

x

8

2

2

1

≤

+

x

x

16

4

1

≤
x

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

2

,

4

2

1

=

=

x

x

min

16

8

14
)
,
,
(

3

2

1

3

2

1

*

→

+

+

=

y

y

y

y
y
y
f

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,

2

1

≥
x
x

0

y,
,

3

2

1

≥

y
y

P

o

n

ie

w

a

ż

zm

ie

n

n

e

0

,

2

1

≥
x
x

w

ię

c

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

ce

i

m

w

a

ru

n

k

i

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

e

m

u

sz

ą

b

y

ć

sp

e

łn

io

n

e

j

a

k

o

r

ó

w

n

a

n

ia

2

4

2

3

2

1

=

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

=

+

y

y

U

o

g

ó

ln

ie

n

ie

p

rz

e

d

s

ta

w

io

n

y

c

h

w

a

ru

n

k

ó

w

1

.

Je

ż

e

li

d

o

w

o

ln

a

z

m

ie

n

n

a

w

r

o

zw

ią

za

n

iu

o

p

ty

m

a

ln

y

m

z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

lu

b

d

u

a

ln

e

g

o

j

e

st

d

o

d

a

tn

ia

d

o

d

a

tn

ia

,

to

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

cy

j

e

j

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

sp

e

łn

io

n

y

j

e

st

j

a

k

o

r

r

ó

ó

w

n

a

n

ie

w

n

a

n

ie

2

.

Je

ż

e

li

d

o

w

o

ln

y

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

d

la

r

o

zw

ią

za

n

ia

o

p

ty

m

a

ln

e

g

o

z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

l

u

b

d

u

a

ln

e

g

o

s

p

e

łn

io

n

y

j

e

st

j

a

k

o

o

st

ra

n

ie

r

o

st

ra

n

ie

r

ó

ó

w

n

o

w

n

o

ść

ść

,

to

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

ca

t

e

m

u

w

a

ru

n

k

o

w

i

zm

ie

n

n

a

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

a

p

rz

y

jm

u

je

w

a

rt

o

ść

ze

ro

ze

ro

.

P

rz

y

k

ła

d

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

–

z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

max

3

2
)
,
(

2

1

2

1

→

+

=

x

x

x
x
f

14

2

2

2

1

≤

+

x

x

8

2

2

1

≤

+

x

x

16

4

1

≤
x

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

2

,

4

2

1

=

=

x

x

min

16

8

14
)
,
,
(

3

2

1

3

2

1

*

→

+

+

=

y

y

y

y
y
y
f

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,

2

1

≥
x
x

0

y,
,

3

2

1

≥

y
y

P

o

n

ie

w

a

ż

zm

ie

n

n

e

0

,

2

1

≥
x
x

w

ię

c

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

ce

i

m

w

a

ru

n

k

i

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

e

m

u

sz

ą

b

y

ć

sp

e

łn

io

n

e

j

a

k

o

r

ó

w

n

a

n

ia

2

4

2

3

2

1

=

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

=

+

y

y

P

rz

y

k

ła

d

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

–

z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

max

3

2
)
,
(

2

1

2

1

→

+

=

x

x

x
x
f

14

2

2

2

1

≤

+

x

x

8

2

2

1

≤

+

x

x

16

4

1

≤
x

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

2

,

4

2

1

=

=

x

x

min

16

8

14
)
,
,
(

3

2

1

3

2

1

*

→

+

+

=

y

y

y

y
y
y
f

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,

2

1

≥
x
x

0

y,
,

3

2

1

≥

y
y

2

4

2

3

2

1

=

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

=

+

y

y

S

p

ra

w

d

ź

m

y

t

e

ra

z,

k

tó

re

z

w

a

ru

n

k

ó

w

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

ch

z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

s

ą

sp

e

łn

io

n

e

j

a

k

o

n

ie

ró

w

n

o

ś

c

i

o

s

tr

e

.

U

o

g

ó

ln

ie

n

ie

p

rz

e

d

s

ta

w

io

n

y

c

h

w

a

ru

n

k

ó

w

1

.

Je

ż

e

li

d

o

w

o

ln

a

z

m

ie

n

n

a

w

r

o

zw

ią

za

n

iu

o

p

ty

m

a

ln

y

m

z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

lu

b

d

u

a

ln

e

g

o

j

e

st

d

o

d

a

tn

ia

d

o

d

a

tn

ia

,

to

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

cy

j

e

j

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

y

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

sp

e

łn

io

n

y

j

e

st

j

a

k

o

r

r

ó

ó

w

n

a

n

ie

w

n

a

n

ie

2

.

Je

ż

e

li

d

o

w

o

ln

y

w

a

ru

n

e

k

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

d

la

r

o

zw

ią

za

n

ia

o

p

ty

m

a

ln

e

g

o

za

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

l

u

b

d

u

a

ln

e

g

o

s

p

e

łn

io

n

y

j

e

st

j

a

k

o

o

st

ra

n

ie

r

o

st

ra

n

ie

r

ó

ó

w

n

o

w

n

o

ść

ść

,

to

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

ca

t

e

m

u

w

a

ru

n

k

o

w

i

zm

ie

n

n

a

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

a

p

rz

y

jm

u

je

w

a

rt

o

ść

ze

ro

ze

ro

.

P

rz

y

k

ła

d

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

–

z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

max

3

2
)
,
(

2

1

2

1

→

+

=

x

x

x
x
f

14

2

2

2

1

≤

+

x

x

8

2

2

1

≤

+

x

x

16

4

1

≤
x

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

2

,

4

2

1

=

=

x

x

min

16

8

14
)
,
,
(

3

2

1

3

2

1

*

→

+

+

=

y

y

y

y
y
y
f

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,

2

1

≥
x
x

0

y,
,

3

2

1

≥

y
y

2

4

2

3

2

1

=

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

=

+

y

y

S

p

ra

w

d

ź

m

y

t

e

ra

z,

k

tó

re

z

w

a

ru

n

k

ó

w

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

ch

z

a

d

a

n

ia

p

ry

m

a

rn

e

g

o

s

ą

sp

e

łn

io

n

e

j

a

k

o

n

ie

ró

w

n

o

ś

c

i

o

s

tr

e

.

P

o

d

st

a

w

ia

ją

c

o

tr

zy

m

a

m

y

:

2

,

4

2

1

=

=

x

x

14

2
2

4
2

14

2

2

2

1

<

⋅
+

⋅

≤

+

x

x

8

2
2

4
8

2

2

1

=

⋅
+

≤

+

x

x

16

4
4

16

4

1

=

⋅

≤
x

n

ie

ró

w

n

o

ść

o

st

ra

P

rz

y

k

ła

d

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

–

z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

max

3

2
)
,
(

2

1

2

1

→

+

=

x

x

x
x
f

14

2

2

2

1

≤

+

x

x

8

2

2

1

≤

+

x

x

16

4

1

≤
x

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

2

,

4

2

1

=

=

x

x

min

16

8

14
)
,
,
(

3

2

1

3

2

1

*

→

+

+

=

y

y

y

y
y
y
f

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,

2

1

≥
x
x

0

y,
,

3

2

1

≥

y
y

2

4

2

3

2

1

=

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

=

+

y

y

P

o

n

ie

w

a

ż

p

ie

rw

sz

y

z

w

a

ru

n

k

ó

w

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

ch

w

z

a

d

a

n

iu

p

ry

m

a

rn

y

m

j

e

st

sp

e

łn

io

n

y

j

a

k

o

n

ie

ró

w

n

o

ść

o

st

ra

,

P

rz

y

k

ła

d

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

–

z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

max

3

2
)
,
(

2

1

2

1

→

+

=

x

x

x
x
f

14

2

2

2

1

≤

+

x

x

8

2

2

1

≤

+

x

x

16

4

1

≤
x

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

2

,

4

2

1

=

=

x

x

min

16

8

14
)
,
,
(

3

2

1

3

2

1

*

→

+

+

=

y

y

y

y
y
y
f

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,

2

1

≥
x
x

0

y,
,

3

2

1

≥

y
y

2

4

2

3

2

1

=

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

=

+

y

y

P

o

n

ie

w

a

ż

p

ie

rw

sz

y

z

w

a

ru

n

k

ó

w

o

g

ra

n

ic

za

ją

cy

ch

w

z

a

d

a

n

iu

p

ry

m

a

rn

y

m

j

e

st

sp

e

łn

io

n

y

j

a

k

o

n

ie

ró

w

n

o

ść

o

st

ra

,

w

ię

c

o

d

p

o

w

ia

d

a

ją

ca

m

u

w

z

a

d

a

n

iu

d

u

a

ln

y

m

zm

ie

n

n

a

k

o

m

p

le

m

e

n

ta

rn

a

0

1

=

y

P

rz

y

k

ła

d

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

–

z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

max

3

2
)
,
(

2

1

2

1

→

+

=

x

x

x
x
f

14

2

2

2

1

≤

+

x

x

8

2

2

1

≤

+

x

x

16

4

1

≤
x

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

2

,

4

2

1

=

=

x

x

min

16

8

14
)
,
,
(

3

2

1

3

2

1

*

→

+

+

=

y

y

y

y
y
y
f

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,

2

1

≥
x
x

0

y,
,

3

2

1

≥

y
y

2

4

2

3

2

1

=

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

=

+

y

y

0

1

=

y

P

o

d

st

a

w

ia

ją

c

d

o

u

k

ła

d

u

r

ó

w

n

a

ń

w

a

rt

o

ść

o

tr

zy

m

u

je

m

y

P

rz

y

k

ła

d

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

–

z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

max

3

2
)
,
(

2

1

2

1

→

+

=

x

x

x
x
f

14

2

2

2

1

≤

+

x

x

8

2

2

1

≤

+

x

x

16

4

1

≤
x

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

2

,

4

2

1

=

=

x

x

min

16

8

14
)
,
,
(

3

2

1

3

2

1

*

→

+

+

=

y

y

y

y
y
y
f

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,

2

1

≥
x
x

0

y,
,

3

2

1

≥

y
y

2

4

2

3

2

1

=

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

=

+

y

y

0

1

=

y

P

o

d

st

a

w

ia

ją

c

d

o

u

k

ła

d

u

r

ó

w

n

a

ń

w

a

rt

o

ść

o

tr

zy

m

u

je

m

y

2

4

3

2

=

+

y

y

3

2

2

=
y

P

rz

y

k

ła

d

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

–

z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

max

3

2
)
,
(

2

1

2

1

→

+

=

x

x

x
x
f

14

2

2

2

1

≤

+

x

x

8

2

2

1

≤

+

x

x

16

4

1

≤
x

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

2

,

4

2

1

=

=

x

x

min

16

8

14
)
,
,
(

3

2

1

3

2

1

*

→

+

+

=

y

y

y

y
y
y
f

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,

2

1

≥
x
x

0

y,
,

3

2

1

≥

y
y

2

4

2

3

2

1

=

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

=

+

y

y

0

1

≥

y

P

o

d

st

a

w

ia

ją

c

d

o

u

k

ła

d

u

r

ó

w

n

a

ń

w

a

rt

o

ść

o

tr

zy

m

u

je

m

y

2

4

3

2

=

+

y

y

3

2

2

=
y

z

te

g

o

u

k

ła

d

u

w

y

lic

za

m

y

d

w

ie

p

o

zo

st

a

łe

s

k

ła

d

o

w

e

ro

zw

ią

za

n

ia

o

p

ty

m

a

ln

e

g

o

z

a

d

a

n

ia

d

u

a

ln

e

g

o

125,

0

;

5,

1

3

2

=

=

y

y

P

rz

y

k

ła

d

p

ro

g

ra

m

o

w

a

n

ia

l

in

io

w

e

g

o

–

z

a

g

a

d

n

ie

n

ia

d

u

a

ln

e

max

3

2
)
,
(

2

1

2

1

→

+

=

x

x

x
x
f

14

2

2

2

1

≤

+

x

x

8

2

2

1

≤

+

x

x

16

4

1

≤
x

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

p

ry

m

a

rn

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

za

g

a

d

n

ie

n

ie

d

u

a

ln

e

2

,

4

2

1

=

=

x

x

min

16

8

14
)
,
,
(

3

2

1

3

2

1

*

→

+

+

=

y

y

y

y
y
y
f

2

4

2

3

2

1

≥

+

+

y

y

y

3

2

2

2

1

≥

+

y

y

0

,

2

1

≥
x
x

0

y,
,

3

2

1

≥

y
y

0

1

=

y

125,

0

;

5,

1

3

2

=

=

y

y

Z

a

u

w

a

ż

m

y

,

ż

e

d

o

d

a

tn

ie

c

e

n

y

d

u

a

ln

e

d

la

ś

ro

d

k

ó

w

S

2

i

S

3

p

o

ci

ą

g

a

ją

za

s

o

b

ą

ca

łk

o

w

it

e

z

u

ż

y

ci

e

t

y

ch

z

a

so

b

ó

w

p

rz

y

r

e

a

liz

a

cj

i

p

la

n

y

m

a

k

sy

m

a

liz

a

cj

i

zy

sk

u

,

n

a

to

m

ia

st

n

ie

p

e

łn

e

z

u

ż

y

ci

e

ś

ro

d

k

a

S

1

w

p

la

n

ie

o

p

ty

m

a

ln

y

m

p

o

w

o

d

u

je

t

o

,

ż

e

c

e

n

a

d

u

a

ln

a

t

e

g

o

s

u

ro

w

ca

j

e

st

r

ó

w

n

a

z

e

ru

.

2

3

=
x

D

u

a

ln

a

m

e

to

d

a

s

im

p

le

k

s

D

u

a

ln

a

m

e

to

d

a

s

im

p

le

k

s

–

p

ro

b

le

m

d

o

p

rz

e

st

u

d

io

w

a

n

ia

w

l

it

e

ra

tu

rz

e