Kolokwium II

rok 2012/2013

Zadanie 1 :

a) Sformułować kryterium porównawcze.

b)

Zbadać zbieżność szeregu

∑

n=1

∞

ns i n

2

2
n

t g

4
n

c) Wykazać, że :

lim

n→ ∞

a

n

=

0

jeżeli 0≤a

n

<b

n

i

lim

n→ ∞

n

√

b

n

=

0.1

Rozwiązanie:

a)

Kryterium porównawcze:

Niech dane będą szeregi

∑

n=1

∞

a

n

i

∑

n=1

∞

b

n

takie, że

∃

n

0

ϵ R

∀

n≥n

0

0≤a

n

≤b

n

. Wówczas:

-ze zbieżności szeregu

∑

n=1

∞

b

n

wynika zbieżność szeregu

∑

n=1

∞

a

n

-z rozbieżności szeregu

∑

n=1

∞

a

n

wynika rozbieżność szeregu

∑

n=1

∞

b

n

b)

Zbadać zbieżność szeregu:

c)

∑

n=1

∞

ns i n

2

2
n

t g

4
n

Badać zbieżność tego szeregu będę za pomocą kryterium porównawczego. Przydatne tu będą
zależności sinusa i tangensa:

2
π

α≤s i n α≤α   d l a   α∈[0 ;

π

2

]

α≤t g α≤2 α   d l a   α∈[ 0 ;

π

2

]

Szukam b

n

większego od naszego szeregu zgodnie z zależnościami wypisanymi na górze:

n s i n

2

2
n

t g

4
n

≤

n ∙

2
n

∙

2
n

∙

4
n

∙ 2=32∙

1

n

2

Szereg

∑

n=1

∞

1

n

2

jest harmoniczny o

α=2

co oznacza, że jest on zbieżny.

Ze zbieżności szeregu

32 ∙

∑

n=1

∞

1

n

2

wynika zbieżność szeregu

∑

n=1

∞

ns i n

2

2
n

t g

4
n

Odpowiedź do podpunktu b:

Szereg

∑

n=1

∞

ns i n

2

2
n

t g

4
n

jest zbieżny.

c) Wykazać, że :

lim

n→ ∞

a

n

=

0

jeżeli 0≤a

n

<b

n

i

lim

n→ ∞

n

√

b

n

=

0.1

lim

n→ ∞

n

√

b

n

=

0.1

– jest to warunek Cauchy’ego. Skoro

lim

n→ ∞

n

√

b

n

<

1

to oznacza, że szereg b

n

jest

zbieżny

Jeśli zachodzi zależność, że 0≤a

n

<b

n

to z kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu

∑

n=1

∞

b

n

wynika zbieżność szeregu

∑

n=1

∞

a

n

- a to oznacza, że musi

zaistnieć

lim

n→ ∞

a

n

=

0 z warunku

koniecznego zbieżności: jeżeli szereg jest zbieżny, to jego wyraz ogólny dąży do zera.

Autor:

Aleksandra Kasprzak

grupa

2

24.01.2014