rok 2012/2013
Zadanie 1 :
a) Sformułować kryterium porównawcze.
b) Zbadać zbieżność szeregu
∞
∑
4
ns i n 2 2 t g
n
n
n
=1
c) Wykazać, że :
lim a =0
n
n
jeżeli 0≤an<bn i lim √ bn=0.1
n→ ∞
n→ ∞
Rozwiązanie:
a) Kryterium porównawcze:
∞
∞
Niech dane będą szeregi ∑ a i ∑ b takie, że ∃ n ϵ R ∀ n≥ n 0≤an≤bn. Wówczas: n
n
0
0
n=1
n=1
∞
∞
-ze zbieżności szeregu ∑ b wynika zbieżność szeregu ∑ a n
n
n=1
n=1
∞
∞
-z rozbieżności szeregu ∑ a wynika rozbieżność szeregu ∑ b n
n
n=1
n=1
b) Zbadać zbieżność szeregu:
∞
c) ∑
4
ns i n 2 2 t g
n
n
n
=1
Badać zbieżność tego szeregu będę za pomocą kryterium porównawczego. Przydatne tu będą zależności sinusa i tangensa:
2
π
α≤ s i n α≤ α d l a α∈[0 ; ]
π
2
π
α≤ t g α≤2 α d l a α∈[ 0 ; ]
2
Szukam bn większego od naszego szeregu zgodnie z zależnościami wypisanymi na górze: 4
2 2 4
1
n s i n 2 2 t g ≤ n ∙ ∙ ∙
∙ 2=32 ∙
n
n
n n n
n 2
∞
Szereg ∑ 1 jest harmoniczny o α=2 co oznacza, że jest on zbieżny.
n=1 n 2
∞
∞
Ze zbieżności szeregu
1
4
32 ∙∑
wynika zbieżność szeregu ∑ nsin 2 2 t g n
n
n
=1 n 2
n=1
∞
Odpowiedź do podpunktu b: Szereg ∑
4
ns i n 2 2 t g jest zbieżny.
n
n
n
=1
c) Wykazać, że :
lim a =0
n
n
jeżeli 0≤an<bn i lim √ bn=0.1
n→ ∞
n→ ∞
n
n =0.1 – jest to warunek Cauchy’ego. Skoro lim √ bn <1 to oznacza, że szereg bn jest n→ ∞
n→ ∞
zbieżny
∞
Jeśli zachodzi zależność, że 0≤an<bn to z kryterium porównawczego ze zbieżności szeregu ∑ bn n=1
∞
lim a
wynika zbieżność szeregu
=0
∑ a - a to oznacza, że musi zaistnieć n
z warunku
n
n→ ∞
n=1
koniecznego zbieżności: jeżeli szereg jest zbieżny, to jego wyraz ogólny dąży do zera.
Autor: Aleksandra Kasprzak grupa 2
24.01.2014