37

4. WERYFIKACJA HIPOTEZ

4.1. Wiadomości wstępne

Niech dana będzie próbka

n

x

x ...,

,

1

z rozkładu absolutnie ciągłego P o gęstości

nieznanej

)

( y

f

. Wektor losowy

)

...,

,

(

1

n

x

x



x

będziemy nazywali wektorem obser-

wacji, a zbiór jego wszystkich możliwych wartości X – przestrzenią próbek. Naszym
celem jest sprawdzanie (weryfikacja) hipotezy głównej (zerowej)

0

H

, polegającej na

tym, że

)

(

)

(

0

y

f

y

f



, gdzie

)

(

0

y

f

jest daną z góry gęstością (tj.

0

)

(

0



y

f

,









 1

)

(

0

dy

y

f

). Hipoteza zerowa może być określona także w inny sposób. Ponieważ

ZL

i

x

są niezależne, to gęstość wektora losowego x jest równa



)

(x

f

)

(

)...

(

)

(

2

1

n

x

f

x

f

x

f



. A więc hipoteza zerowa polega na tym, że w przestrzeni pró-

bek X wektor x spełnia rozkład o gęstości

)

(

)

...,

,

(

)

(

0

1

x

x

f

x

x

f

f

n





, gdzie

)

(

)...

(

)

(

)

(

0

2

0

1

0

0

n

x

f

x

f

x

f

f



x

. Symbolicznie hipotezę zerową będziemy, więc, zapi-

sywali w postaci

:

0

H

)

(

)

(

0

y

f

y

f



, albo w postaci

:

0

H

)

(

)

(

0

x

x

f

f



.

Rozpatrywana hipoteza zerowa jest prosta, ponieważ rozkład o gęstości

)

(

0

y

f

jest określony jednoznacznie. W tym przypadku, gdy hipoteza

0

H

wyraża ten fakt,

że rozkład o gęstości nieznanej

)

( y

f

należy do pewnej klasy zawierającej więcej niż

jeden rozkład, nazywamy ją hipotezą złożoną. Np. hipoteza polegająca na tym, że
próbka

n

x

x ...,

,

1

należy do rozkładu normalnego, jest złożona, ponieważ klasa roz-

kładów normalnych jest zbiorem wszystkich rozkładów o gęstości





)

(

2

,

y

f

a

2

2

2

)

(

2

1











a

y

e

, gdzie

R



a

,

0





.

Załóżmy, że chcemy zweryfikować hipotezę prostą

0

H

przeciw hipotezy alter-

natywnej

1

H

. Zakładamy również, że prawdziwa jest jedna i tylko jedna z hipotez

0

H

i

1

H

. Najpierw zbadamy przypadek prostych hipotez

:

0

H

)

(

)

(

0

x

x

f

f



(

)

(

)

(

0

y

f

y

f



) i

:

1

H

)

(

)

(

1

x

x

f

f



(

)

(

)

(

1

y

f

y

f



). Tu

)

(

1

y

f

jest pewną gęstością

różną od

)

(

0

y

f

,

)

(

)...

(

)

(

)

(

1

2

1

1

1

1

n

x

f

x

f

x

f

f



x

.

Budowa kryterium dla weryfikacji hipotezy zerowej polega na wyborze w prze-

strzeni próbek obszaru krytycznego K, takiego, że jeżeli wektor obserwacji x

K



, to

hipotezę

0

H

odrzucamy (czyli przyjmujemy hipotezę alternatywną

1

H

). Natomiast,

jeżeli

K

X

K

\





x

, to przyjmujemy hipotezę

0

H

(odrzucamy

1

H

).

38

Przyjmując albo odrzucając hipotezę zerową możemy popełnić błędy dwóch ro-

dzajów.

1. Błąd pierwszego rodzaju popełniamy w przypadku, gdy odrzucamy prawdzi-

wą hipotezę zerową

0

H

. Prawdopodobieństwo błędu pierwszego rodzaju wynosi











K

d

f

H

K

x

x

x

P

)

(

}

prawdziwa

jest

{

0

0

.

Błąd pierwszego rodzaju nazywa się również poziomem istotności kryterium.
2.

Błąd drugiego rodzaju popełniamy w przypadku, gdy przyjmujemy hipotezę

zerową

0

H

, chociaż nie jest ona prawdziwa. Prawdopodobieństwo błędu drugiego

rodzaju wynosi











K

d

f

H

K

x

x

x

P

)

(

}

prawdziwa

jest

{

1

1

.

Rozpatrywane całki tu rozumiemy jako n-krotne, tj.

n

dx

dx

d

...

1



x

.

Kryterium dla weryfikacji hipotezy byłoby idealne, gdyby prawdopodobieństwa

błędów obu rodzajów były równe 0. Niestety nie jest to możliwe wobec niepewności
spowodowanej przypadkowością wyników prowadzonych doświadczeń. Zmniejsza-
jąc prawdopodobieństwo błędu 1-go rodzaju przy ustalonej liczności próbki, my jed-
nocześnie zwiększamy prawdopodobieństwo błędu 2-go rodzaju, odwrotnie, zmniej-
szając prawdopodobieństwo błędu 2-go rodzaju, jednocześnie zwiększamy prawdo-
podobieństwo błędu 1-go rodzaju. Istotnie, zmniejszenie np. prawdopodobieństwa
błędu 1-go rodzaju jest równoważne zmniejszeniu obszaru K, co prowadzi do zmniej-
szenia pierwszej z wypisanych całek. W takich warunkach jednak zwiększa się ob-
szar

K

X

K

\



, co z kolei prowadzi do zwiększenia drugiej całki. Otrzymana

sprzeczność wymaga oczywiście rozstrzygnięcia kompromisowego, tj. takiego, przy
którym oba prawdopodobieństwa byłyby niezbyt duże. Podejście klasyczne polega na
wyborze obszaru krytycznego K w taki sposób, aby prawdopodobieństwo błędu 2-go
rodzaju było minimalne pod warunkiem, że prawdopodobieństwo błędu 1-go rodzaju
(poziom istotności) nie przekracza pewnego poziomu krytycznego

0



.

Definicja 1. Liczba



















K

d

f

H

K

H

K

x

x

x

P

x

P

)

(

}

prawdziwa

jest

{

}

prawdziwa

jest

{

1

1

1

1

1

nazywa się mocą kryterium. Kryterium, którego moc jest maksymalna, nazywa się
kryterium o największej mocy.

Minimalizacja prawdopodobieństwa błędu 2-go rodzaju jest oczywiście równo-

ważna do maksymalizacji mocy kryterium.

Zagadnienie znalezienia kryterium o największej mocy da się rozwiązać bardzo

rzadko. Dlatego w ciągu dalszym zajmiemy się prostymi zagadnieniami, które nie
uwzględniają pojęcia błędu 2-go rodzaju.

39

4.2. Testy istotności. Kryterium χ

2

Pearsona

Jeżeli mamy tylko hipotezę zerową i nie ma żadnej alternatywy lub alternatywa

jest bardzo złożona, to można zapomnieć o prawdopodobieństwie błędu 2-go rodzaju
i budować kryterium, biorąc pod uwagę wyłącznie prawdopodobieństwo błędu 1-go
rodzaju. Ponieważ, jak wiemy, prawdopodobieństwo błędu 1-go rodzaju nazywa się
poziomem istotności, w rozpatrywanym przypadku hipoteza do sprawdzania nazywa
się hipotezą istotności, a odpowiednie kryteria dla jej weryfikacji – testami istotności.
Takie kryteria są oczywiście niezawodne w mniejszym stopniu niż kryteria o naj-
większej mocy. Wybierając poziom istotności



(najczęściej

05

,

0





lub

01

,

0





),

znajdujemy obszar krytyczny K korzystając z warunku







}

{

0

H

K

x

P

,

gdzie

0

H

jest hipotezą do sprawdzania. Jeżeli obecne dane statystyczne (wartości

próbki x) są takie, że

K



x

, to przy założeniu, że hipoteza

0

H

jest prawdziwa, uwa-

żamy, że otrzymane dane próbki stanowią zdarzenie o bardzo małym prawdopodo-
bieństwie



. Stąd wynika, że nie możemy uwierzyć w prawdziwość hipotezy

0

H

, tj.

hipotezę

0

H

należy odrzucić. Jeżeli natomiast okaże się, że

K



x

, to przy założeniu

prawdziwości

0

H

otrzymano, iż dane próbki x stanowią zdarzenie mające duże

prawdopodobieństwo





1

. Wówczas dochodzimy do wniosku, że otrzymane dane

statystyczne nie są sprzeczne z hipotezą

0

H

. Nie oznacza to, że wskazaną hipotezę

należy przyjąć. Aby mieć pewność, co do jej prawdziwości, należy sprawdzić ją na
dostatecznie wielkiej ilości próbek. Jeżeli wszystkie otrzymane wyniki nie stanowią
sprzeczności z

0

H

, to hipotezę tę można przyjąć. Na tym polega główna wada rozpa-

trywanego podejścia, związana z ignorowaniem prawdopodobieństwa błędu 2-go ro-
dzaju.

Kryteria porównania parametrów dwóch próbek. Niech

1

...,

,

1

n

x

x

oraz

2

...,

,

1

n

y

y

będą dwoma próbkami niezależnymi z rozkładów

2

1

1

, 

a

N

i

2

2

2

, 

a

N

od-

powiednio (próbki te są niezależne na mocy niezależności ZL

1

...,

,

1

n

x

x

,

2

...,

,

1

n

y

y

).

1) Niech

2

1



i

2

2



są znane. Należy zweryfikować hipotezę

2

1

0

:

a

a

H



.

Ponieważ ZL

x

i

y

są niezależne i mają rozkłady

1

2

1

1

,

n

a



N

i

2

2

2

2

,

n

a



N

od-

powiednio, to ZL



y

x

ma rozkład normalny z parametrami

1

2

)

(

a

a

x

y







E

,

2

2

2

1

2

1

)

(

n

n

x

y

x

y















D

D

D

, tj.



y

x

ma rozkład

2

2

2

1

2

1

1

2

,

n

n

a

a









N

. Wów-

czas ZL

2

2

2

1

2

1

1

2

)

(

n

n

a

a

x

y

















ma rozkład

1

,

0

N

. Przy założeniu prawdziwości

0

H

40

otrzymujemy, więc, że ZL

2

2

2

1

2

1

0

0

n

n

x

y

H

















ma rozkład

1

,

0

N

. Jest jasne, że

im bliżej siebie są wartości

1

a

i

2

a

, tym mniejsza jest wartość bezwzględna statystyki



. Jako obszar krytyczny należy, więc, wybrać zbiór

}

|

|

|

:

{

0

H

C

K





 x

. Jeżeli



jest poziomem istotności kryterium, to stałą C wybieramy z warunku

































))

(

1

(

2

}

|

{|

1

}

|

{|

}

|

{|

}

{

1

,

0

0

0

0

0

C

C

C

H

C

H

K

P

P

P

x

P

,

skąd korzystając z tablic znajdujemy C jako pierwiastek równania

2

1

)

(

1

,

0









C

.

Kryterium weryfikacji

0

H

ma, więc, postać następującą:

jeżeli

C



 |

|

0

, to hipotezę

0

H

odrzucamy,

jeżeli

C



 |

|

0

, to hipoteza

0

H

nie jest sprzeczna względem wyników doświad-

czeń (danych próbki).

2) Niech

1

a

i

2

a

są nieznane. Należy zweryfikować hipotezę

2

2

2

1

0

:







H

.

Dla estymatorów wariancji nieobciążonych











1

1

2

1

2

0

)

(

1

1

n

i

i

x

x

x

n

s

i











2

1

2

2

2

0

)

(

1

1

n

i

i

y

y

y

n

s

mamy

1

1

2

1

2

1

2

0

1











n

s

n

x

,

1

2

2

1

2

2

2

0

2











n

s

n

y

.

Przedstawione tu ZL są niezależne, ponieważ odnoszą się do niezależnych pró-

bek. Wówczas przy założeniu prawdziwości hipotezy

0

H

stosunek

1

1

2

2

1

1

2

1

2

0

2

0

2

1















n

n

s

s

n

n

y

x

ma rozkład Fishera o

1

1



n

,

1

2



n

stopniach swobody (patrz p. 3.2), a stosunek

1

1

1

2

1

2

2

1

2

0

2

0

1

2















n

n

s

s

n

n

x

y

ma rozkład Fishera o

1

2



n

,

1

1



n

stopniach swobody. Przyjęto jest w jakości staty-

styki kryterium korzystać ze stosunku, w którym licznik jest większy niż mianownik.

41

Niech

)

,

max(

2

0

2

0

2

01

y

x

s

s

s



,

)

,

min(

2

0

2

0

2

02

y

x

s

s

s



. Wprowadźmy ZL

2

02

2

01

s

s





. Przy za-

łożeniu prawdziwości hipotezy

0

H

ZL

0

0

H







ma rozkład

2

1

, k

k

F

, gdzie

1

k

1

1



 n

,

2

k

1

2



 n

, gdy

2

0

2

0

y

x

s

s



, oraz

1

k

1

2



 n

,

2

k

1

1



 n

, gdy

2

0

2

0

x

y

s

s



. Wy-

bierzmy liczby

1

F

i

2

F

(korzystając z tablicy rozkładu Fishera) tak, aby spełniony

był warunek

2

}

{

}

{

2

0

1

0















F

F

P

P

,

gdzie



jest poziomem istotności kryterium. Jest oczywiste, że ZL

0

1 

ma rozkład

1

2

, k

k

F

, skąd wynika, że

2

1

1

}

{

1

0

1

0



























F

F

P

P

.

Korzystając z tablicy rozkładu Fishera, znajdujemy

2

F

i

1

1 F

jako odpowiednie

kwantyle:

















2

,

,

2

1

2

k

k

F

F

,

















2

,

,

1

1

2

1

k

k

F

F

.

Wybierzmy obszar krytyczny:

}

albo

:

{

2

1

,

2

1

F

F

K

K

F

F













x

.

Mamy wówczas

























}

albo

{

}

albo

{

}

{

2

0

1

0

0

2

1

0

F

F

H

F

F

H

K

P

P

x

P

























2

2

}

{

}

{

2

0

1

0

F

F

P

P

.

Kryterium weryfikacji hipotezy

2

2

2

1

0

:







H

ma, więc, postać:

jeżeli

1

0

F





albo

2

0

F





, to hipotezę

0

H

odrzucamy;

jeżeli

2

0

1

F

F







, to hipoteza

0

H

nie jest sprzeczna względem danych próbki.

Kryterium χ

2

Pearsona w schemacie wielomianowym. Rozważmy n iden-

tycznych doświadczeń niezależnych, w każdym z których zachodzi jedno i tylko jed-
no z k zdarzeń rozłącznych

k

A

A ...,

,

1

. Prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń w po-

szczególnych doświadczeniach są równe

1

1

1

}

{

)

(

p

A

A

p



 P

, ...,

k

k

k

p

A

A

p





}

{

)

(

P

(

1

1







k

i

i

p

).

Oznaczmy przez

i



liczbę zajścia zdarzenia

i

A

w n doświadczeniach (

,

,

1 k

i 

n

k

i

i







1

). Utwórzmy statystykę













k

i

i

i

i

np

np

1

2

2

)

(

.

K. Pearson udowodnił twierdzenie, z którego wynika, że

42

}

{

}

{

lim

2

1

2

t

t

k

n

















P

P

,

gdzie

2

1





k

jest ZL, mająca rozkład

2



o

1



k

stopniach swobody.

Możemy, więc, uważać, że przy dużej liczności próbki n ZL

2



zachowuje się

w przybliżeniu tak samo, jak ZL

2

1





k

.

Załóżmy, że na podstawie wyników n niezależnych doświadczeń należy zwery-

fikować hipotezę

0

0

1

1

0

...,

,

:

k

k

p

p

p

p

H





,

gdzie

0

0

1

...,

,

k

p

p

są dane liczby nieujemne takie, że

1

...

0

0

1







k

p

p

. Ponieważ dla

dużych n na podstawie prawa wielkich liczb mamy

i

i

p

n





, tj.

0







i

i

np

, to przy

założeniu prawdziwości

0

H

wartości statystyki

2



nie mogą być zbyt duże. Obszar

krytyczny

p

K

należy, więc, wybrać w taki sposób, aby hipoteza

0

H

została odrzu-

cona gdy wartość statystyki

2



przekroczy pewną wielkość graniczną. Dlatego

wieźmy

}

:

{

2
kr.

2







 x

p

K

. Wybierzmy poziom istotności



. Niech









0

2

2
0

H











k

i

i

i

i

np

np

1

0

2

0

)

(

. Wybierzmy

2
kr.



w taki sposób, aby























}

{

}

{

}

{

2
kr.

2
0

0

2
kr.

2

0

P

P

x

P

H

H

K

p

.

Jak wynika z rezultatu K. Pearsona, ostatnią równość możemy zastąpić równo-

ścią przybliżoną













}

{

2
kr.

2

1

k

P

. Wówczas korzystając z tablic rozkładu

2



mo-

żemy znaleźć wartość przybliżoną

)

,

1

(

2

2
kr.











k

.

Kryterium weryfikacji hipotezy

0

H

ma więc postać następującą:

jeżeli

)

,

1

(

2

2
0











k

, to hipotezę

0

H

odrzucamy;

jeżeli

)

,

1

(

2

2
0











k

, to hipoteza

0

H

nie jest sprzeczna wynikom doświad-

czeń.

Warto jeszcze raz podkreślić, że kryterium tę należy stosować tylko dla próbek

o dużej liczności.

4.3. Kryteria zgodności

Niech

n

x

x ...,

,

1

będzie próbką z rozkładu P o dystrybuancie nieznanej

)

(x

F

.

Należy zweryfikować hipotezę

)

(

)

(

:

0

0

x

F

x

F

H



, gdzie

)

(

0

x

F

jest daną z góry dys-

trybuantą (tj.

)

(

0

x

F

jest niemalejąca, lewostronnie ciągła oraz

0

)

(

0





F

,

1

)

(

0





F

). Hipoteza o takiej postaci nazywa się hipotezą zgodności, a kryteria jej

weryfikacji – kryteriami zgodności.

43

Najczęściej kryteria zgodności są budowane w sposób następujący. Jak wiemy,

dystrybuanta teoretyczna F i dystrybuanta empiryczna

*

n

F

są bliskie siebie przy du-

żych n. Wybierzmy pewną miarę odchylenia

)

...,

,

(

)

,

(

1

*

n

n

n

n

n

x

x

F

F











funkcji

*

n

F

od funkcji F. Wybór taki nie jest jednoznaczny, w zależności od sposobu wyboru

uzyskujemy różne kryteria zgodności. Załóżmy, że udało się znaleźć rozkład gra-
niczny ZL

n



gdy





n

. ZL o takim rozkładzie oznaczmy przez



. Obszar kry-

tyczny

F

K

wybieramy w sposób następujący:

}

:

{

kr.







 x

F

K

. Znając poziom

istotności



znajdziemy następnie

kr.



z równania

}

{

}

{

}

{

kr.

0

0

kr.

0



















P

P

x

P

H

H

K

F

,

gdzie

0

0

H







jest wartością miary granicznej przy warunku prawdziwości hipote-

zy

0

H

. Kryterium dla weryfikacji hipotezy

0

H

budujemy, więc, w sposób standar-

dowy:

jeżeli

kr.

0







, to hipotezę

0

H

odrzucamy;

jeżeli

kr.

0







, to uważamy, że hipoteza

0

H

odpowiada danym próbki.

Warto zauważyć, że kryteria zgodności stanowią przypadek szczególny testów

istotności, ponieważ nie uwzględniają prawdopodobieństwa błędu 2-go rodzaju.

Kryterium χ

2

Pearsona jako kryterium zgodności. Niech

n

x

x ...,

,

1

będzie

próbką z rozkładu P o dystrybuancie nieznanej

)

(x

F

. Należy zweryfikować hipotezę

)

(

)

(

:

0

0

x

F

x

F

H



, gdzie

)

(

0

x

F

jest daną z góry dystrybuantą. Dzielmy prostą rze-

czywistą R na k rozłącznych przedziałów

)

;

(

1

0

1

z

z









,

)

;

[

2

1

2

z

z





,

)

;

[

3

2

3

z

z





, ...,

)

;

[

1











k

k

k

z

z

. Oznaczmy przez

i

A

zdarzenie polegające na

tym, że wartość ZL teoretycznej



trafi do przedziału

i



, wówczas mamy



i

p

)

(

)

(

}

{

)

(

1

















i

i

i

i

z

F

z

F

A

p

P

,

k

i

,

1



. Oznaczmy przez

i



liczbę wartości

próbki co trafili do przedziału

i



, tj. liczbę zajścia zdarzenia

i

A

w n doświadcze-

niach.

Załóżmy, że hipoteza

0

H

jest prawdziwa, tj.

0

F

F 

. Tym bardziej więc praw-

dziwa jest hipoteza

0

0

1

1

0

...,

,

:

k

k

p

p

p

p

H







, gdzie

)

(

)

(

)

(

1

0

0

0

1

0

0

1

z

F

z

F

z

F

p







,

)

(

)

(

1

0

2

0

0

2

z

F

z

F

p





, ...,



0

k

p

)

(

1

)

(

)

(

1

0

1

0

0











k

k

k

z

F

z

F

z

F

.

Wówczas zagadnienie weryfikacji hipotezy

0

H

sprowadza się do weryfikacji

hipotezy sprawdzania odpowiednich prawdopodobieństw w schemacie wielomiano-

wym. Utwórzmy statystykę













k

i

i

i

i

np

np

1

2

2

)

(

, której rozkład graniczny przy





n

na mocy twierdzenia Pearsona zgadza się z rozkładem

2



o

1



k

stopniach

44

swobody. Obliczamy, więc,

)

(

)

(

1

0

0

0







i

i

i

z

F

z

F

p

,

k

i

,

1



, następnie obliczamy

wartość statystyki

2



przy założeniu prawdziwości hipotezy

0

H

:

















k

i

i

i

i

H

np

np

1

0

2

0

2

2
0

)

(

0

.

Znając poziom istotności



, znajdujemy korzystając z tablic rozkładu

2



od-

powiedni kwantyl

)

,

1

(

2





 k

. Kryterium weryfikacji hipotezy

0

H

wygląda, więc,

następującą:

jeżeli

)

,

1

(

2

2
0











k

, to hipotezę

0

H

odrzucamy;

jeżeli

)

,

1

(

2

2
0











k

, to uważamy, że hipoteza

0

H

odpowiada danym próbki.

Uwaga 1. W danym przypadku miarą odchylenia

*

n

F

od F służy

















k

i

i

i

i

n

np

np

F

F

1

2

*

2

)

(

)

,

(

.

Uwaga 2. Na ile części i w jaki sposób należy dzielić prostą rzeczywistą? Istnie-

je wiele rekomendacji co do tego pytania. M. Kendall i J. Stewart proponują skom-
plikowaną procedurą, w której przedziały wybierają w taki sposób, aby prawdopodo-

bieństwa teoretyczne

0

i

p

były równe siebie

k

p

p

k

1

...

0

0

1







. Zwykle postępują w

sposób prostszy, dzieląc przedział [

)

(

)

1

(

;

n

x

x

) na dostatecznie wielką liczbę przedzia-

łów o tej samej długości, następnie zakładają, że

2



, ...,

1





k

są częściami we-

wnętrznymi takiego podziału, jako

1



wybierają sumę przedziału

)

;

(

)

1

(

x



i pierw-

szego przedziału otrzymanego przy podziale [

)

(

)

1

(

;

n

x

x

), jako

n



wybierają sumę

ostatniego otrzymanego przy podziale [

)

(

)

1

(

;

n

x

x

) przedziału i przedziału

)

;

[





n

x

.

Polecono, aby dla każdego

i



była spełniona nierówność

5

0



i

np

. Należy,

więc, opracować algorytm zmiany podziału na

i



w tym przypadku, gdy podana nie-

równość nie jest spełniona dla wszystkich przedziałów. Podział prostej rzeczywistej i
wspomniany algorytm należy opracować przed tym, jak będą znane dane próbki. Sto-
sowanie podziału i algorytmy do konkretnej próbki prowadzi do tego, że końce z

i

otrzymanych przedziałów będą funkcjami od

n

x

x ...,

,

1

, tj. zmiennymi losowymi, na-

tomiast twierdzenie Pearsona jest prawdziwe tylko w przypadku podziału prostej z
ustalonymi końcami przedziałów (nie zależnie od danych próbki). Załóżmy, że po-
przednie prosta rzeczywista została podzielona w podany wyżej sposób. Przykładem

algorytmu prawidłowego podziału spełniającego warunek

5

0



i

np

jest następujący:

jeżeli wskazany warunek jest spełniony w przedziale

1



, ten przedział nie ulega

zmianie, w przypadku przeciwnym łączymy ten przedział z

2



. Jeżeli w nowym

45

otrzymanym przedziale dany warunek wciąż nie będzie spełniony, łączymy razem

1



,

2



i

3



itd. dopóki nierówność nie będzie spełniona. Otrzymujemy w końcu

danej procedury nowy przedział

1



. Dalej bierzemy następny przedział (po nowym

1



) i postępujemy w podobny sposób, łącząc go w razie potrzeby z następnymi prze-

działami, itd. Przy takim postępowaniu liczba przedziałów otrzymanych przy począt-
kowym podziale prostej albo zmniejsza się, albo zostanie bez zmian.

Zauważmy, że z kryterium

2



należy korzystać w przypadku próbek o dużej

liczności. Autorzy rozważne polecają korzystać z tego kryterium, gdy

150



n

. Bar-

dziej odważne autorzy korzystają z niego, gdy

30



n

.

Uwaga 3. Podejrzewamy, że ZL teoretyczna



spełnia rozkład normalny, które-

go parametry są nieznane. Wtedy słuszna jest weryfikacja hipotezy

ZL

:

0



H

ma rozkład

2

0

, s

x

N

.

Czy możemy dla jej weryfikacji korzystać z kryterium

2



? Można dowieść, że

w tym przypadku całą procedura pozostaje w mocy z wyjątkiem tego, że wielkość

)

,

1

(

2





 k

należy zastąpić przez

)

,

3

(

2





 k

. W przypadku ogólnym, jeżeli prób-

kę tworzymy przy założeniu, że ZL teoretyczna ma rozkład o dystrybuancie

)

...,

,

(

1

0

m

x

F





, co zależy od m parametrów nieznanych, to najpierw należy wyzna-

czyć ich estymatory

m





ˆ

...,

,

ˆ

1

(np. za pomocą metody największej wiarygodności).

Następnie należy zweryfikować hipotezę

)

ˆ

...,

,

ˆ

(

)

(

:

1

0

0

m

x

F

x

F

H







. Wówczas re-

zultat Pearsona pozostaje w mocy z wyjątkiem tego, że rozkładem granicznym staty-
styki













k

i

i

i

i

np

np

1

2

2

)

(

będzie rozkład

2



o

1



 m

k

stopniach swobody. Kryterium Pearsona w danym

przypadku można, więc, stosować, tylko że liczba stopni swobody przy obliczaniu
odpowiedniej kwantyli zmniejsza się o m. Oczywiście, w przypadku tym liczba czę-
ści rozbicia prostej rzeczywistej k musi być większa niż m.

Kryterium zgodności ω

2

. Stosowanie kryterium

2



polega na podziale prostej

rzeczywistej na części w pewnym stopniu w sposób dowolny, co prowadzi do utraty
części informacji a więc do tego, że wynik stosowania danego kryterium może zale-
żeć od sposobu podziału. Rozważmy teraz kryterium swobodny od wskazanej wady.

Przez H. Cramera, R. Mizesa i N. V. Smirnova wprowadzono następującą miarę

odchylenia dystrybuanty empirycznej od dystrybuanty teoretycznej:

46















)

(

|

)

(

)

(

|

)

,

(

*

*

x

dK

x

F

x

F

F

F

n

n

,

gdzie

)

(x

K

jest w pewnym sensie dowolną funkcją niemalejącą. N. V. Smirnov w

jakości

)

(x

K

zaproponował wziąć funkcję

)

(x

F

, co prowadzi do miary















)

(

|

)

(

)

(

|

*

2

x

dF

x

F

x

F

n

.

Jeżeli w ostatni wzór podstawić postać dystrybuanty empirycznej









































,

gdy

,

1

.

..........

..........

..........

,

gdy

,

2

,

gdy

,

1

,

gdy

,

0

)

(

)

(

)

3

(

)

2

(

)

2

(

)

1

(

)

1

(

*

n

n

x

x

x

x

x

n

x

x

x

n

x

x

x

F

to po obliczeniach (oblicz samodzielnie) otrzymujemy



























n

k

k

n

k

x

F

n

n

1

2

)

(

2

2

2

1

2

)

(

1

12

1

.

N. V. Smirnov udowodnił, że w przypadku ciągłej funkcji

)

(x

F

dla

2



 n

W

n

istnieje granica

}

{

}

{

lim

x

W

x

W

n

n











P

P

,

której wartość nie zależy od F.

Istnieją tablicy rozkładu ZL granicznej W, z których możemy znając poziom

istotności



wyznaczyć punkt krytyczny



W

spełniający warunek









}

{

W

W

P

.

Niech poziom istotności



jest znany. Znajdziemy



W

. Następnie obliczamy





















































2

1

)

(

0

2

2

2
0

0

2

1

2

)

(

1

12

1

0

n

k

k

H

n

n

k

x

F

n

n

n

n

n

W

.

Kryterium weryfikacji hipotezy

0

H

wygląda następującą:

jeżeli



 W

W

n0

, to hipotezę

)

(

)

(

0

x

F

x

F



odrzucamy,

jeżeli



 W

W

n0

, to hipoteza

)

(

)

(

0

x

F

x

F



nie jest sprzeczna z danymi próbki.