www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM ROZSZERZONY

12

MARCA

2011

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

1

(5

PKT

.)

Wykres funkcji homograficznej f

(

x

) =

ax

+

3

x

+

b

+

1

mo ˙zna otrzyma´c przesuwaj ˛ac wykres funkcji

g

(

x

) =

7

x

, a dziedzina funkcji f

(

x

)

jest tym samym zbiorem co jej zbiór warto´sci. Wyznacz

współczynniki a i b.

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

2

(4

PKT

.)

Długo´sci boków prostok ˛ata ABCD spełniaj ˛a warunki: 2

|

AD

| 6 |

CD

|

i

|

CD

| =

3. Na boku

CD

wybrano punkty E i F w ten sposób, ˙ze

|

DE

| = |

FC

| = |

AD

|

. Punkt G jest takim punk-

tem odcinka AE, ˙ze

|

AG

|

:

|

GE

| =

2 : 1. Oblicz długo´s´c boku AD prostok ˛ata, dla której pole

trójk ˛ata FGB jest najwi˛eksze.

3

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

3

(5

PKT

.)

Rozwi ˛a˙z równanie 3 sin

2

x

=

2

√

3 sin x cos x

+

3 cos

2

x

w przedziale

h

0, π

i

.

4

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

4

(5

PKT

.)

W trójk ˛acie równoramiennym ABC, gdzie

|

AB

| = |

BC

|

, podstawa ma długo´s´c 6. Punkt P

jest punktem przeci˛ecia wysoko´sci wychodz ˛acych z wierzchołków A i B. Oblicz pole tego
trójk ˛ata, je´sli

|

CP

| =

4.

5

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

5

(6

PKT

.)

Ci ˛agi

(

a

, b, c

)

i

(

a

−

2, b

−

2, c

−

1

)

s ˛a ci ˛agami geometrycznymi o wyrazach dodatnich, a ci ˛ag

(

3a

+

2, 3b, c

+

13

)

jest ci ˛agiem arytmetycznym. Wyznacz a, b, c.

6

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

7

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

6

(4

PKT

.)

Udowodnij, ˙ze suma długo´sci wysoko´sci ´scian bocznych ostrosłupa pi˛eciok ˛atnego jest nie
wi˛eksza ni ˙z suma długo´sci jego kraw˛edzi bocznych.

8

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

7

(6

PKT

.)

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których równanie 4x

4

+

4mx

2

+

4m

+

5

=

0

ma cztery ró ˙zne pierwiastki rzeczywiste spełniaj ˛ace warunek

x

4

1

+

x

4

2

+

x

4

3

+

x

4

4

6

−

31
18

m

.

9

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

10

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

8

(5

PKT

.)

O zdarzeniach losowych A i B wiadomo, ˙ze P

(

A

∪

B

) =

0, 9, P

(

A

∩

B

) =

0, 3 i P

(

A

∪

B

′

) =

0, 5. Oblicz P

(

A

′

∪

B

)

.

11

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

9

(5

PKT

.)

Punkt A

= (

1, 2

√

3

)

jest wierzchołkiem trójk ˛ata równobocznego ABC. Bok BC jest zawarty

w prostej o równaniu 3y

=

√

3x

−

√

3. Oblicz współrz˛edne wierzchołków B i C trójk ˛ata.

12

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

13

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

10

(5

PKT

.)

Trzy wychodz ˛ace z jednego wierzchołka kraw˛edzie równoległo´scianu s ˛a równe a, b i c. Kra-
w˛edzie a i b s ˛a prostopadłe, a kraw˛ed´z c tworzy z ka ˙zd ˛a z nich k ˛at ostry α. Oblicz obj˛eto´s´c
równoległo´scianu.

14