2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1.

        

0

b

    

0

b

m

kul czarnych.

Powtarzamy n -

     

1.

  
   jej do urny;

2. wrzucamy do urny 1

  !

Niech

n

p

               



1



n

-

 "  !

(A)

1

0

)

/

1

(

1



n

n

m

b

p

(B)

n

n

m

m

b

p

)

/

1

1

)(

/

1

(

1

0



(C) )

/(

)

(

0

n

m

b

n

p

n







(D) )]

/(

][

/

)

[(

/

0

0

m

n

n

m

b

m

m

b

p

n







(E) )

/(

)

(

1

2

0

n

m

b

m

p

n





      

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2.

Niech



tZ

N

X

exp





, gdzie

N

        
  

parametrem

, Z

         



2

,



N

,

  #N, t    !$ 



2

)

(

)

(

X

E

X

Var

.

(A)

)

exp(

)

exp(

1

2

2

2

2

t

t





(B)

1

)

exp(

)

exp(

2

2

2

2



t

t



(C)

1

)

exp(

)

exp(

1

2

2

2

2



t

t



(D)

1

)

exp(

)

2

exp(

1

2

2

2

2



t

t



(E)

1

)

2

exp(

)

exp(

1

2

2

2

2



t

t



      

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3.

%&#  # 

9

2

1

,...,

,

X

X

X

    &    "



2

,



N

z

nieznanymi parametrami

 i

2

!
'(   )  * 

 na poziomie

95

.

0

1



         -Studenta.

 #     " 

2

     

1.

       &       * 

 

2

,

0

dla wariancji, na poziomie

95

.

0

1



;

2.

   # 









9

96

.

1

,

9

96

.

1

X

X

       

dla w

      " 
   !

$ *  *















9

96

.

1

9

96

.

1

Pr



X

X

p

.

(A) 9

.

0

)

1

(

2







p

(B) 9975

.

0

1

2







p

(C) 95

.

0

1







p

 '( 

(D) prawdopodobie

   p          

nieznanych parametrów

(E) 99

.

0



p

      

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4.

Niech

1

W i

2

W

    #         

     "  

w

e

w

f







)

(

, dla

0



w

! $  " 

   "

















t

W

W

t

W

W

t

2

1

2

1

2

)

,

min(

Pr

lim

.

(A) 1/3

(B)

2

/

1

(C) 1

(D)

)

1

/(







(E) 0

      

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5.

  # 

W

X

Y



2

, gdzie X i

W

  #     X ma





2

3

,

0

N

i

W





2

2

,

0

N

!+     

U

Y

X



 

i zmienne Y i

U

  #  

(A)

2

/

1



(B)

20

/

9



(C)

1



(D)

0



(E)

2

/

1





      

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6.

R

# "

,...

,...,

1

n

X

X

  #   

normalnym



1

,

0

N

. Niech

1

1

3

2

2

1

...













n

n

n

n

n

X

X

X

X

X

X

X

X

S

Wybierz zdanie prawdziwe:


(A)

      " 

n

c

  # 



)

(

/

Pr

lim

a

a

c

S

n

n

n











# " a

(B)



)

(

/

Pr

lim

a

a

n

S

n

n











# " a

(C)



)

(

/

Pr

lim

a

a

n

S

n

n











# " a

(D)



)

(

2

/

Pr

lim

a

a

n

S

n

n











# " a

(E)



)

(

/

Pr

a

a

n

S

n







# " a  # " n

      " "

)

1

,

0

(

N

.

Wskazówka:

+  

10000

S

usuniemy co setny wyra

   ,,


  zmiennych losowych.

      

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7.

-#      

N

X

X ,...

1

! %  #    

i

X

 

    #    #    

N

!  # #  

i

X

  "  

x

e

x

f









)

(

, dla

0



x

. Zmienna

N

ma


   

. Zarówno

0



jak i

0





  !

Obserwujemy tylko

 & 

N

X

X ,...

1

, które

   ),!. 

             !

) #   /   ,

15, 23, 11, 32, 19.

Na podstawie tych danych oblicz


  
  parametrów

i

 .

(A)

e

5

ˆ 



,

1

.

0

ˆ



(B)

e

5

ˆ 



,

05

.

0

ˆ



(C) 5

ˆ 



,

2

.

0

ˆ



(D) 50

ˆ 



,

50

/

)

10

(ln

ˆ





(E) 10

ˆ 



,

2

ˆ



 e



      

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8.

Niech K

    # 



10

/

1

Pr



 k

K

dla

10

,...,

2

,

1



k

. Niech













.

0

;

1

k

K

gdy

k

K

gdy

X

k

5

4

3

2

1

5

X

X

X

X

X

S











Oblicz

)

,

(

5

1

S

X

Cov

.

(A) 5

/

1

)

,

(

5

1



S

X

Cov

(B) 10

/

1

)

,

(

5

1



S

X

Cov

(C) 0

)

,

(

5

1



S

X

Cov

(D) 20

/

1

)

,

(

5

1



S

X

Cov

(E) 20

/

1

)

,

(

5

1



S

X

Cov

      

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9.

Niech

m

n

n

X

X

X

X

,...,

,

,...,

1

1

 & "



2

,



N

z nieznanymi

parametrami

 i

2

. Obserwujemy zmienne

n

X

X ,...,

1

      

zmiennych:







m

i

i

m

X

m

X

1

1

!%0 

m

n

c

,

 #    





n

i

m

i

m

n

X

X

c

1

2

,

)

(

1

  #      

2

.

(A) )]

/(

2

1

[

,

n

m

n

c

m

n





(B) 1

,

 m

c

m

n

(C)

2

2

,

/

)

(

1

m

n

m

n

c

m

n





(D)













m

n

c

m

n

1

1

,

(E)

m

n

n

c

m

n

/

1

/

1

1

,





      

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10.

Zmienne losowe

9

1

,...X

X

    # 

i

X





1

,

i

N



dla

9

,...,

2

,

1



i

!-#     

0

:

0





H

i

0

:

1





H

.

1 )      23+.45    

0

H przeciw

alternatywie

1

H

      

025

.

0



.

(A) TJNM nie istnieje

(B) TJNM odrzuca

0

H wtedy i tylko wtedy, gdy

0228

.

19

/

9

1

2







i

X

i

i

(C) TJNM odrzuca

0

H wtedy i tylko wtedy, gdy

88

.

5

9

1







i

i

X

(D) TJNM odrzuca

0

H wtedy i tylko wtedy, gdy

285

96

.

1

9

1







i

i

X

i

(E) TJNM odrzuca

0

H wtedy i tylko wtedy, gdy

45

96

.

1

9

1







i

i

X

i

      

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

11

Egzamin dla Aktuariuszy z 2 czerwca 2001 r.

      

Arkusz odpowiedzi

*

'    .................. K L U C Z O D P O W I E D Z I ........................................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

$ 0 Punktacja

1 B

2 C

3 E

4 E

5 B

6 B

7 A

8 E

9 D

10 E

*

           Arkuszu odpowiedzi.