2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1.

0

b

0

b

m

kul czarnych.

Powtarzamy n -

1.

jej do urny;

2. wrzucamy do urny 1

!

Niech

n

p

1

n

-

"!

(A)

1

0

)

/

1

(

1

n

n

m

b

p

(B)

n

n

m

m

b

p

)

/

1

1

)(

/

1

(

1

0

(C) )

/(

)

(

0

n

m

b

n

p

n

(D) )]

/(

][

/

)

[(

/

0

0

m

n

n

m

b

m

m

b

p

n

(E) )

/(

)

(

1

2

0

n

m

b

m

p

n

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2.

Niech

tZ

N

X

exp

, gdzie

N

parametrem

, Z

2

,

N

,

#N, t !$

2

)

(

)

(

X

E

X

Var

.

(A)

)

exp(

)

exp(

1

2

2

2

2

t

t

(B)

1

)

exp(

)

exp(

2

2

2

2

t

t

(C)

1

)

exp(

)

exp(

1

2

2

2

2

t

t

(D)

1

)

exp(

)

2

exp(

1

2

2

2

2

t

t

(E)

1

)

2

exp(

)

exp(

1

2

2

2

2

t

t

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3.

%&# #

9

2

1

,...,

,

X

X

X

& "

2

,

N

z

nieznanymi parametrami

i

2

!'()*

na poziomie

95

.

0

1

-Studenta.

#"

2

1.

& *

2

,

0

dla wariancji, na poziomie

95

.

0

1

;

2.

#

9

96

.

1

,

9

96

.

1

X

X

dla w

" !

$**

9

96

.

1

9

96

.

1

Pr

X

X

p

.

(A) 9

.

0

)

1

(

2

p

(B) 9975

.

0

1

2

p

(C) 95

.

0

1

p

'(

(D) prawdopodobie

p

nieznanych parametrów

(E) 99

.

0

p

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4.

Niech

1

W i

2

W

#

"

w

e

w

f

)

(

, dla

0

w

! $ "

"

t

W

W

t

W

W

t

2

1

2

1

2

)

,

min(

Pr

lim

.

(A) 1/3

(B)

2

/

1

(C) 1

(D)

)

1

/(

(E) 0

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5.

#

W

X

Y

2

, gdzie X i

W

# X ma

2

3

,

0

N

i

W

2

2

,

0

N

!+

U

Y

X

i zmienne Y i

U

#

(A)

2

/

1

(B)

20

/

9

(C)

1

(D)

0

(E)

2

/

1

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6.

R

#"

,...

,...,

1

n

X

X

#

normalnym

1

,

0

N

. Niech

1

1

3

2

2

1

...

n

n

n

n

n

X

X

X

X

X

X

X

X

S

Wybierz zdanie prawdziwe:


(A)

"

n

c

#

)

(

/

Pr

lim

a

a

c

S

n

n

n

#" a

(B)

)

(

/

Pr

lim

a

a

n

S

n

n

#" a

(C)

)

(

/

Pr

lim

a

a

n

S

n

n

#" a

(D)

)

(

2

/

Pr

lim

a

a

n

S

n

n

#" a

(E)

)

(

/

Pr

a

a

n

S

n

#" a #" n

""

)

1

,

0

(

N

.

Wskazówka:

+

10000

S

usuniemy co setny wyra

,,

zmiennych losowych.

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7.

-#

N

X

X ,...

1

! % #

i

X

##

N

! ##

i

X

"

x

e

x

f

)

(

, dla

0

x

. Zmienna

N

ma

. Zarówno

0

jak i

0

!

Obserwujemy tylko

&

N

X

X ,...

1

, które

),!.

!

) #/,

15, 23, 11, 32, 19.

Na podstawie tych danych oblicz

parametrów

i

.

(A)

e

5

ˆ

,

1

.

0

ˆ

(B)

e

5

ˆ

,

05

.

0

ˆ

(C) 5

ˆ

,

2

.

0

ˆ

(D) 50

ˆ

,

50

/

)

10

(ln

ˆ

(E) 10

ˆ

,

2

ˆ

e

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8.

Niech K

#

10

/

1

Pr

k

K

dla

10

,...,

2

,

1

k

. Niech

.

0

;

1

k

K

gdy

k

K

gdy

X

k

5

4

3

2

1

5

X

X

X

X

X

S

Oblicz

)

,

(

5

1

S

X

Cov

.

(A) 5

/

1

)

,

(

5

1

S

X

Cov

(B) 10

/

1

)

,

(

5

1

S

X

Cov

(C) 0

)

,

(

5

1

S

X

Cov

(D) 20

/

1

)

,

(

5

1

S

X

Cov

(E) 20

/

1

)

,

(

5

1

S

X

Cov

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9.

Niech

m

n

n

X

X

X

X

,...,

,

,...,

1

1

&"

2

,

N

z nieznanymi

parametrami

i

2

. Obserwujemy zmienne

n

X

X ,...,

1

zmiennych:

m

i

i

m

X

m

X

1

1

!%0

m

n

c

,

#

n

i

m

i

m

n

X

X

c

1

2

,

)

(

1

#

2

.

(A) )]

/(

2

1

[

,

n

m

n

c

m

n

(B) 1

,

m

c

m

n

(C)

2

2

,

/

)

(

1

m

n

m

n

c

m

n

(D)

m

n

c

m

n

1

1

,

(E)

m

n

n

c

m

n

/

1

/

1

1

,

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10.

Zmienne losowe

9

1

,...X

X

#

i

X

1

,

i

N

dla

9

,...,

2

,

1

i

!-#

0

:

0

H

i

0

:

1

H

.

1)23+.45

0

H przeciw

alternatywie

1

H

025

.

0

.

(A) TJNM nie istnieje

(B) TJNM odrzuca

0

H wtedy i tylko wtedy, gdy

0228

.

19

/

9

1

2

i

X

i

i

(C) TJNM odrzuca

0

H wtedy i tylko wtedy, gdy

88

.

5

9

1

i

i

X

(D) TJNM odrzuca

0

H wtedy i tylko wtedy, gdy

285

96

.

1

9

1

i

i

X

i

(E) TJNM odrzuca

0

H wtedy i tylko wtedy, gdy

45

96

.

1

9

1

i

i

X

i

2.06.2001

r.

___________________________________________________________________________

11

Egzamin dla Aktuariuszy z 2 czerwca 2001 r.

Arkusz odpowiedzi

*

' .................. K L U C Z O D P O W I E D Z I ........................................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

$0 Punktacja

1 B

2 C

3 E

4 E

5 B

6 B

7 A

8 E

9 D

10 E

*

Arkuszu odpowiedzi.