2010-04-24

1

SI

SI

Ł

Ł

A

A

TARCIA

TARCIA

–

–

siła przeciwdziałająca ruchowi dwóch stykających się

siła przeciwdziałająca ruchowi dwóch stykających się

ciał.

ciał.

Siła tarcia jest styczna do powierzchni dwóch ciał i
skierowana przeciwnie do ich możliwego ruchu.

SI

SI

Ł

Ł

A

A

TARCIA

TARCIA

Na wartość siły tarcia ma wpływ:

•chropowatość stykających się powierzchni,
•rodzaj i struktura ciał,
•właściwości fizyczne i mechaniczne materiałów.

Prawa

Prawa

Coulomba

Coulomba

:

:

1. Siła tarcia jest niezależna od wielkości powierzchni

stykających się ciał i zależy jedynie od ich rodzaju.

2010-04-24

2

Prawa

Prawa

Coulomba

Coulomba

:

:

2. Wartość siły tarcia dla ciała znajdującego się w

spoczynku może zmieniać się od zera do granicznej
wartości proporcjonalnej do całkowitego nacisku
normalnego.

Prawa

Prawa

Coulomba

Coulomba

:

:

3. W przypadku, gdy ciało ślizga się po pewnej

powierzchni, siła tarcia jest zawsze skierowana
przeciwnie do kierunku ruchu i jest mniejsza od
granicznej wartości.

WARUNKI R

WARUNKI R

Ó

Ó

WNOWAGI Z UWZGL

WNOWAGI Z UWZGL

Ę

Ę

DNIENIEM SI

DNIENIEM SI

Ł

Ł

TARCIA

TARCIA

∑

=

−

=

0

T

P

P

ix

∑

=

−

=

0

Q

N

P

iy

Q

N

=

P

T

=

2010-04-24

3

WARUNKI R

WARUNKI R

Ó

Ó

WNOWAGI Z UWZGL

WNOWAGI Z UWZGL

Ę

Ę

DNIENIEM SI

DNIENIEM SI

Ł

Ł

TARCIA

TARCIA

0

≤ ≤

α ρ

o

r

T

T

≤

WARUNKI R

WARUNKI R

Ó

Ó

WNOWAGI Z UWZGL

WNOWAGI Z UWZGL

Ę

Ę

DNIENIEM SI

DNIENIEM SI

Ł

Ł

TARCIA

TARCIA

α

⋅

=

tg

N

T

0

≤ ≤

α ρ

o

α

o

o

r

N

tg

N

T

µ

⋅

=

ρ

⋅

=

r

T

T

≤

WARUNKI R

WARUNKI R

Ó

Ó

WNOWAGI Z UWZGL

WNOWAGI Z UWZGL

Ę

Ę

DNIENIEM SI

DNIENIEM SI

Ł

Ł

TARCIA

TARCIA

o

N

T

µ

⋅

≤

współczynnik tarcia statycznego:

µ

o

=tg

ρρρρ

0000

2010-04-24

4

warto

warto

ś

ś

ci wsp

ci wsp

ó

ó

ł

ł

czynnik

czynnik

ó

ó

w tarcia

w tarcia

Materiał

µ

o

Stal po stali
ś

eliwo po żeliwie

Stal po żeliwie
Metal po drewnie
Kamień po kamieniu
Drewno po drewnie
Skóra po żeliwie
Skóra po drewnie
Stal po lodzie

0,15
0,22
0,16

0,40÷0,62
0,60÷0,70
0,40÷0,70

0,28
0,47

0,027÷0,090

tarci

tarci

e

e

ś

ś

lizgowe

lizgowe

(kinetyczne)

(kinetyczne)

Przy ruchu - ślizganiu się ciał siłę tarcia ślizgowego skierowaną przeciwnie do wektora
prędkości względnej ciał oblicza się z równania:

gdzie µ jest dynamicznym -kinetycznym współczynnikiem tarcia, przy czym µ<µ

o

T N

= ⋅ µ

µ

Ο

µ

µ

v

Współczynnik µ zależy od rodzaju materiału, sposobu obróbki powierzchni, stanu trących
powierzchni itp., a oprócz tego od prędkości ruchu. W obliczeniach technicznych przyjmuje
się, że µ nie zależy od względnej prędkości poślizgu

STO

ś

EK TARCIA

STO

ś

EK TARCIA

tarcie rozwinięte

tarcie nierozwinięte

2010-04-24

5

Przyk

Przyk

ł

ł

ad

ad

:

:

R

R

ó

ó

wnowaga cia

wnowaga cia

ł

ł

a na

a na

szorstkiej

szorstkiej

r

r

ó

ó

wni pochy

wni pochy

ł

ł

ej

ej

.

.

po odpowiednich przekształceniach :

Warunki równowagi dla F

max

0

sin

cos

0

sin

cos

max

4

1

=

i

iy

max

4

1

=

i

ix

=

+

−

=

=

−

−

=

∑

∑

β

α

α

β

F

G

N

F

G

T

F

F

(

)

(

)

F

G

o

o

max

= ⋅

+
−

sin

cos

α ρ

β ρ

o

N

T

µ

⋅

=

Przyk

Przyk

ł

ł

ad

ad

:

:

R

R

ó

ó

wnowaga cia

wnowaga cia

ł

ł

a na

a na

szorstkiej

szorstkiej

r

r

ó

ó

wni pochy

wni pochy

ł

ł

ej

ej

.

.

po odpowiednich przekształceniach :

Warunki równowagi dla F

min

0

sin

cos

0

sin

cos

min

4

1

=

i

iy

min

4

1

=

i

ix

=

+

−

=

=

−

+

=

∑

∑

β

α

α

β

F

G

N

F

G

T

F

F

(

)

(

)

o

o

G

F

ρ

β

ρ

α

+

−

⋅

=

cos

sin

min

o

N

T

µ

⋅

=

(

)

(

)

(

)

(

)

G

F G

o

o

o

o

⋅

−
+

≤ ≤ ⋅

+
−

sin

cos

sin

cos

α ρ

β ρ

α ρ

β ρ

Tarcie ci

Tarcie ci

ę

ę

gien

gien

2010-04-24

6

Tarcie ci

Tarcie ci

ę

ę

gien

gien

warunki równowagi :

dla tarcia rozwiniętego:

d

d

T

N

=

⋅

µ

0

d

-

2

sin

2

d

sin

d

2

d

sin

,

0

d

2

cos

2

d

cos

d

2

d

cos

S

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

−

⋅

−

⋅

+

⋅

N

S

S

S

T

d

S

S

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

d

TARCIE CI

TARCIE CI

Ę

Ę

GIEN

GIEN

d

d

S

S

= ⋅

µ ϕ

0

d

2

d

sin

d

2

d

sin

2

,

0

d

2

d

cos

d

=

−

⋅

+

⋅

=

−

⋅

N

S

S

T

S

ϕ

ϕ

ϕ

1

2

d

cos

2

d

2

d

sin

≈

ϕ

ϕ

≈

ϕ

TARCIE CI

TARCIE CI

Ę

Ę

GIEN

GIEN

ln

e

S

S

S

S

o

o

= ⋅

= ⋅

µ ϕ

µϕ

lub

Z warunku brzegowego S(0)=S

0

:

ln S

0

=ln C, zatem:

Całkując obustronnie:

ln

C

S

= ⋅ +

µ ϕ

ln

2010-04-24

7

TARCIE CI

TARCIE CI

Ę

Ę

GIEN

GIEN

µα

e

1

⋅

=

o

S

S

e

e

−

≤

≤

µα

µα

S

S

o

Dla kąta opasania

α

αα

α

:

.

Przy możliwym ruchu w kierunku przeciwnym:

µα

−

⋅

=

e

1

o

S

S

Przedział

wartości siły

S

1

, dla którego możliwa

jest równowaga, określa nierówność:

Przykład 5.4

Przykład 5.4

1

2

S

S

>

max

Q

2010-04-24

8

Przykład 5.4

1

2

S

S

<

min

Q

Przykład 5.4

Przykład 5.3

2010-04-24

9

Przykład 5.3

Tarcie przy toczeniu

Tarcie przy toczeniu

Doświadczenie wykazuje, że jeżeli do osi walca o ciężarze G znajdującego się na
poziomej płaszczyźnie przyłoży się czynną siłę F, to walec pozostanie w
spoczynku, dopóki siła ta nie osiągnie pewnej granicznej wartości.

Opór ten nosi

nazwę tarcia toczenia.

T

G

G

G

A

(a)

(b)

(c)

A

B

f

O

O

α

α

N

R

R

F

F

F

r

Odległość

f

wynikająca z odkształcalności stykających się ciał nazywa się

stałą tarcia

potoczystego

,

zwaną

również

współczynnikiem

tarcia

przy

toczeniu

lub

współczynnikiem oporu toczenia

.

Stała ta ma wymiar długości i podawana jest w cm.

Tarcie przy toczeniu

Tarcie przy toczeniu

Warunek pozostawania ciała w spoczynku:

G

F

⋅

≤

r

f

T

G

G

G

A

(a)

(b)

(c)

A

B

f

O

O

α

α

N

R

R

F

F

F

r

F

r

- wartość graniczna siły F, przy której możliwa jest jeszcze równowaga układu.

G

F

f

G

r

F

r

⋅

=

⋅

=

⋅

r

f

r

lub

2010-04-24

10

WARUNEK TOCZENIA BEZ POŚLIZGU

Warunek toczenia bez poślizgu wymaga, by siła F

r

nie była

większa od siły tarcia rozwiniętego T

r

=

µµµµ

N=

µµµµ

G, co można

ująć nierównością:

G

T

G

F

r

r

⋅

µ

=

≤

⋅

=

r

f

µ

⋅

≤

⋅

G

G

r

f

µ

≥

f

r

TOCZENIE BEZ POŚLIZGU

Iloraz

f/r

dla większości materiałów jest znacznie mniejszy od

współczynnika tarcia posuwistego µ, dlatego w układach
mechanicznych, jeśli tylko jest to możliwe, tarcie posuwiste
zamienia się na tarcie toczenia, stosując koła, samotoki,
łożyska kulkowe itp. Nie dotyczy to tarcia hydraulicznego.

Rodzaj ciała toczonego i podłoża

f

[cm]

Drewno po drewnie - drewno dębowe
Stal hartowana po stali w łożyskach
kulkowych
Miękka stal po stali
Guma po terenie trawiastym

0,018

0,001

÷

0,005

0,005

1,0÷1,5

Przykład 5.5

2010-04-24

11

Przykład 5.5

Przykład 5.6

Przykład 5.6

2010-04-24

12

Przykład 5.6

Przykład 5.6

Przykład 5.6

2010-04-24

13

Przykład 5.6

Dziękuję za uwagę

Dziękuję za uwagę