2010-04-24
1
SI
SI
Ł
Ł
A
A
TARCIA
TARCIA
–
–
siła przeciwdziałająca ruchowi dwóch stykających się
siła przeciwdziałająca ruchowi dwóch stykających się
ciał.
ciał.
Siła tarcia jest styczna do powierzchni dwóch ciał i
skierowana przeciwnie do ich moŜliwego ruchu.
SI
SI
Ł
Ł
A
A
TARCIA
TARCIA
Na wartość siły tarcia ma wpływ:
•chropowatość stykających się powierzchni,
•rodzaj i struktura ciał,
•właściwości fizyczne i mechaniczne materiałów.
Prawa
Prawa
Coulomba
Coulomba
:
:
1. Siła tarcia jest niezaleŜna od wielkości powierzchni
stykających się ciał i zaleŜy jedynie od ich rodzaju.
2010-04-24
2
Prawa
Prawa
Coulomba
Coulomba
:
:
2. Wartość siły tarcia dla ciała znajdującego się w
spoczynku moŜe zmieniać się od zera do granicznej
wartości proporcjonalnej do całkowitego nacisku
normalnego.
Prawa
Prawa
Coulomba
Coulomba
:
:
3. W przypadku, gdy ciało ślizga się po pewnej
powierzchni, siła tarcia jest zawsze skierowana
przeciwnie do kierunku ruchu i jest mniejsza od
granicznej wartości.
WARUNKI R
WARUNKI R
Ó
Ó
WNOWAGI Z UWZGL
WNOWAGI Z UWZGL
Ę
Ę
DNIENIEM SI
DNIENIEM SI
Ł
Ł
TARCIA
TARCIA
∑
=
−
=
0
T
P
P
ix
∑
=
−
=
0
Q
N
P
iy
Q
N
=
P
T
=
2010-04-24
3
WARUNKI R
WARUNKI R
Ó
Ó
WNOWAGI Z UWZGL
WNOWAGI Z UWZGL
Ę
Ę
DNIENIEM SI
DNIENIEM SI
Ł
Ł
TARCIA
TARCIA
0
≤ ≤
α ρ
o
r
T
T
≤
WARUNKI R
WARUNKI R
Ó
Ó
WNOWAGI Z UWZGL
WNOWAGI Z UWZGL
Ę
Ę
DNIENIEM SI
DNIENIEM SI
Ł
Ł
TARCIA
TARCIA
α
⋅
=
tg
N
T
0
≤ ≤
α ρ
o
α
o
o
r
N
tg
N
T
µ
⋅
=
ρ
⋅
=
r
T
T
≤
WARUNKI R
WARUNKI R
Ó
Ó
WNOWAGI Z UWZGL
WNOWAGI Z UWZGL
Ę
Ę
DNIENIEM SI
DNIENIEM SI
Ł
Ł
TARCIA
TARCIA
o
N
T
µ
⋅
≤
współczynnik tarcia statycznego:
µ
o
=tg
ρρρρ
0000
2010-04-24
4
warto
warto
ś
ś
ci wsp
ci wsp
ó
ó
ł
ł
czynnik
czynnik
ó
ó
w tarcia
w tarcia
Materiał
µ
o
Stal po stali
ś
eliwo po Ŝeliwie
Stal po Ŝeliwie
Metal po drewnie
Kamień po kamieniu
Drewno po drewnie
Skóra po Ŝeliwie
Skóra po drewnie
Stal po lodzie
0,15
0,22
0,16
0,40÷0,62
0,60÷0,70
0,40÷0,70
0,28
0,47
0,027÷0,090
tarci
tarci
e
e
ś
ś
lizgowe
lizgowe
(kinetyczne)
(kinetyczne)
Przy ruchu - ślizganiu się ciał siłę tarcia ślizgowego skierowaną przeciwnie do wektora
prędkości względnej ciał oblicza się z równania:
gdzie µ jest dynamicznym -kinetycznym współczynnikiem tarcia, przy czym µ<µ
o
T N
= ⋅ µ
µ
Ο
µ
µ
v
Współczynnik µ zaleŜy od rodzaju materiału, sposobu obróbki powierzchni, stanu trących
powierzchni itp., a oprócz tego od prędkości ruchu. W obliczeniach technicznych przyjmuje
się, Ŝe µ nie zaleŜy od względnej prędkości poślizgu
STO
ś
EK TARCIA
STO
ś
EK TARCIA
tarcie rozwinięte
tarcie nierozwinięte
2010-04-24
5
Przyk
Przyk
ł
ł
ad
ad
:
:
R
R
ó
ó
wnowaga cia
wnowaga cia
ł
ł
a na
a na
szorstkiej
szorstkiej
r
r
ó
ó
wni pochy
wni pochy
ł
ł
ej
ej
.
.
po odpowiednich przekształceniach :
Warunki równowagi dla F
max
0
sin
cos
0
sin
cos
max
4
1
=
i
iy
max
4
1
=
i
ix
=
+
−
=
=
−
−
=
∑
∑
β
α
α
β
F
G
N
F
G
T
F
F
(
)
(
)
F
G
o
o
max
= ⋅
+
−
sin
cos
α ρ
β ρ
o
N
T
µ
⋅
=
Przyk
Przyk
ł
ł
ad
ad
:
:
R
R
ó
ó
wnowaga cia
wnowaga cia
ł
ł
a na
a na
szorstkiej
szorstkiej
r
r
ó
ó
wni pochy
wni pochy
ł
ł
ej
ej
.
.
po odpowiednich przekształceniach :
Warunki równowagi dla F
min
0
sin
cos
0
sin
cos
min
4
1
=
i
iy
min
4
1
=
i
ix
=
+
−
=
=
−
+
=
∑
∑
β
α
α
β
F
G
N
F
G
T
F
F
(
)
(
)
o
o
G
F
ρ
β
ρ
α
+
−
⋅
=
cos
sin
min
o
N
T
µ
⋅
=
(
)
(
)
(
)
(
)
G
F G
o
o
o
o
⋅
−
+
≤ ≤ ⋅
+
−
sin
cos
sin
cos
α ρ
β ρ
α ρ
β ρ
Tarcie ci
Tarcie ci
ę
ę
gien
gien
2010-04-24
6
Tarcie ci
Tarcie ci
ę
ę
gien
gien
warunki równowagi :
dla tarcia rozwiniętego:
d
d
T
N
=
⋅
µ
0
d
-
2
sin
2
d
sin
d
2
d
sin
,
0
d
2
cos
2
d
cos
d
2
d
cos
S
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
N
S
S
S
T
d
S
S
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
d
TARCIE CI
TARCIE CI
Ę
Ę
GIEN
GIEN
d
d
S
S
= ⋅
µ ϕ
0
d
2
d
sin
d
2
d
sin
2
,
0
d
2
d
cos
d
=
−
⋅
+
⋅
=
−
⋅
N
S
S
T
S
ϕ
ϕ
ϕ
1
2
d
cos
2
d
2
d
sin
≈
ϕ
ϕ
≈
ϕ
TARCIE CI
TARCIE CI
Ę
Ę
GIEN
GIEN
ln
e
S
S
S
S
o
o
= ⋅
= ⋅
µ ϕ
µϕ
lub
Z warunku brzegowego S(0)=S
0
:
ln S
0
=ln C, zatem:
Całkując obustronnie:
ln
C
S
= ⋅ +
µ ϕ
ln
2010-04-24
7
TARCIE CI
TARCIE CI
Ę
Ę
GIEN
GIEN
µα
e
1
⋅
=
o
S
S
e
e
−
≤
≤
µα
µα
S
S
o
Dla kąta opasania
α
αα
α
:
.
Przy moŜliwym ruchu w kierunku przeciwnym:
µα
−
⋅
=
e
1
o
S
S
Przedział
wartości siły
S
1
, dla którego moŜliwa
jest równowaga, określa nierówność:
Przykład 5.4
Przykład 5.4
1
2
S
S
>
max
Q
2010-04-24
8
Przykład 5.4
1
2
S
S
<
min
Q
Przykład 5.4
Przykład 5.3
2010-04-24
9
Przykład 5.3
Tarcie przy toczeniu
Tarcie przy toczeniu
Doświadczenie wykazuje, Ŝe jeŜeli do osi walca o cięŜarze G znajdującego się na
poziomej płaszczyźnie przyłoŜy się czynną siłę F, to walec pozostanie w
spoczynku, dopóki siła ta nie osiągnie pewnej granicznej wartości.
Opór ten nosi
nazwę tarcia toczenia.
T
G
G
G
A
(a)
(b)
(c)
A
B
f
O
O
α
α
N
R
R
F
F
F
r
Odległość
f
wynikająca z odkształcalności stykających się ciał nazywa się
stałą tarcia
potoczystego
,
zwaną
równieŜ
współczynnikiem
tarcia
przy
toczeniu
lub
współczynnikiem oporu toczenia
.
Stała ta ma wymiar długości i podawana jest w cm.
Tarcie przy toczeniu
Tarcie przy toczeniu
Warunek pozostawania ciała w spoczynku:
G
F
⋅
≤
r
f
T
G
G
G
A
(a)
(b)
(c)
A
B
f
O
O
α
α
N
R
R
F
F
F
r
F
r
- wartość graniczna siły F, przy której moŜliwa jest jeszcze równowaga układu.
G
F
f
G
r
F
r
⋅
=
⋅
=
⋅
r
f
r
lub
2010-04-24
10
WARUNEK TOCZENIA BEZ POŚLIZGU
Warunek toczenia bez poślizgu wymaga, by siła F
r
nie była
większa od siły tarcia rozwiniętego T
r
=
µµµµ
N=
µµµµ
G, co moŜna
ująć nierównością:
G
T
G
F
r
r
⋅
µ
=
≤
⋅
=
r
f
µ
⋅
≤
⋅
G
G
r
f
µ
≥
f
r
TOCZENIE BEZ POŚLIZGU
Iloraz
f/r
dla większości materiałów jest znacznie mniejszy od
współczynnika tarcia posuwistego µ, dlatego w układach
mechanicznych, jeśli tylko jest to moŜliwe, tarcie posuwiste
zamienia się na tarcie toczenia, stosując koła, samotoki,
łoŜyska kulkowe itp. Nie dotyczy to tarcia hydraulicznego.
Rodzaj ciała toczonego i podłoŜa
f
[cm]
Drewno po drewnie - drewno dębowe
Stal hartowana po stali w łoŜyskach
kulkowych
Miękka stal po stali
Guma po terenie trawiastym
0,018
0,001
÷
0,005
0,005
1,0÷1,5
Przykład 5.5
2010-04-24
11
Przykład 5.5
Przykład 5.6
Przykład 5.6
2010-04-24
12
Przykład 5.6
Przykład 5.6
Przykład 5.6
2010-04-24
13
Przykład 5.6
Dziękuję za uwagę
Dziękuję za uwagę