cwiczenie C1

background image

Określenie niepewności maksymalnych wielkości mierzonych pośrednio

Uwaga:
W przykładach zamieszczonych poniżej wszystkie dane są zaczerpnięte ze sprawozdań
studentów, którzy wykonywali dane ćwiczenia we wcześniejszych latach. Nie należy się
sugerować ani wynikami pomiarów, ani uzyskanymi w przykładach wynikami obliczeń.
Przykłady te służą wyłącznie zademonstrowaniu użycia rzeczywistych wyników
eksperymentalnych do opracowania wyników doświadczenia.

W większości pomiarów mamy do czynienia z pomiarem pośrednim, tzn. poszukiwana
wielkość fizyczna jest funkcja jednej lub kilku wielkości mierzonych bezpośrednio
y=f(u,v,...,z). W tym przypadku niepewności wielkości mierzonych bezpośrednio u

∆ , v

∆ , ...,

z

∆ określa się według reguł dla pomiarów bezpośrednich a następnie przy pomocy tych

niepewności oraz zależności funkcyjnej y=f(u,v,...,z) określa się niepewność maksymalną

y

∆ .

Metoda różniczki zupełnej

Metoda ta opiera się na tym, że zmianę wartości funkcji spowodowanej niewielką

zmianą jej zmiennych można przedstawić za pomocą różniczki zupełnej:

dz

z

f

dv

v

f

du

u

f

dy

+

+

+

=

K

Jeżeli różniczki du, dv, ..., dz zastąpimy niepewnościami pomiarowymi u

∆ , v

∆ , ..., z

∆ to tak

obliczona wielkość wyrazi maksymalną niepewność y

∆ wielkości y:

z

z

f

v

v

f

u

u

f

y

+

+

+

=

K

Wzięto wartości bezwzględne po to, by otrzymana w ten sposób niepewność była
rzeczywiście niepewnością maksymalną.

PRZYKŁAD 1:


Wyznaczanie ciepła topnienia lodu przy pomocy kalorymetru (ćwiczenie C1):

Przypuśćmy, że wykonując ćwiczenie C1 student otrzymał następujące wyniki:

m

k

[kg]

c

k

[

K

kg

J

]

m

w

[kg]

c

w

[

K

kg

J

]

T

0

[K]

T

1

[K]

T

2

[K]

m

l

[kg]

0.0927

896

0.141

4190

273

291

288

0.0045


Czcionką wytłuszczoną zaznaczono wielkości mierzone bezpośrednio.
Niepewności pomiarowe:
∆m

k

=10

-4

kg

∆m

w

=

∆m

l

=2

⋅10

-4

kg

∆T

1

=

∆T

2

=1 K


Ciepło topnienia lodu obliczamy korzystając ze wzoru:

background image

)

(

)

)(

(

0

2

2

1

T

T

c

m

T

T

c

m

c

m

c

w

l

w

w

k

k

l

+

=

Podstawiając dane z tabeli otrzymujemy:

]

[

386383

)

273

288

(

4190

0045

.

0

)

288

291

)(

4190

141

.

0

896

0927

.

0

(

kg

J

c

l

=

+

=




Określamy niepewność pomiaru metodą różniczki zupełnej:

2

2

1

1

T

T

c

T

T

c

m

m

c

m

m

c

m

m

c

c

l

l

l

l

l

w

w

l

k

k

l

l

+

+

+

+

=

Obliczamy różniczki cząstkowe:

l

k

k

l

m

T

T

c

m

c

)

(

2

1

=

l

w

w

l

m

T

T

c

m

c

)

(

2

1

=

2

2

1

)

)(

(

l

k

k

w

w

l

l

m

T

T

c

m

c

m

m

c

+

=

l

w

w

k

k

l

m

c

m

c

m

T

c

+

=

1

w

l

w

w

k

k

l

c

m

c

m

c

m

T

c

+

=

2

Biorąc pod uwagę powyższe zależności oraz wartości niepewności pomiarowych

∆m

k

,

∆m

w

,

∆m

l

,

∆T

1

,

∆T

2

obliczamy

∆c

l

.

kg

J

c

l

324263

3

.

153934

3

.

149744

9

.

19965

7

.

558

7

.

59

1

)

4190

0045

.

0

4190

141

.

0

896

0927

.

0

(

1

0045

.

0

4190

141

.

0

896

0927

.

0

10

2

0045

.

0

3

)

896

0927

.

0

141

.

0

4190

(

10

2

0045

.

0

3

4190

10

0045

.

0

3

896

4

2

4

4

=

+

+

+

+

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

UWAGA!

Jest to przykład, w którym oszacowana niepewność pomiaru jest prównywalna z uzyskaną w
doświadczeniu wartością c

l

. W sprawozdaniu należałoby więc przeprowadzić wnikliwą

dyskusję otrzymanych wyników ze wskazaniem źródeł popełnionych błędów.






background image

PRZYKŁAD 2:

Wyznaczanie współczynnika lepkości metodą Stokesa (ćwiczenie M6).

Wielkościami mierzonymi bezpośrednio w ćwiczeniu M6 są: r, s, t i m (masa kulki).
Współczynnik lepkości obliczamy ze wzoru:

)

4

.

2

1

(

9

)

(

2

2

R

r

s

t

g

r

p

k

+

=

ρ

ρ

η

gdzie

3

3

4

r

m

k

k

π

ρ =

Po podstawieniu i przekształceniach otrzymamy:

)

4

.

2

(

)

4

3

(

18

3

r

R

sr

t

r

m

R

g

p

k

+

=

ρ

π

π

η

2

m

Ns

Zakładając, że otrzymano następujące wyniki (średnie wartości z kilku pomiarów):
m

k

=0.341 g, R=0.042 m, s=28 cm, r=4.11

⋅10

-3

m, t=5.43 s otrzymamy wartość współczynnika

lepkości dla parafiny (zakładamy, że gęstość parafiny wynosi 800 kg/m

3

):

2

3

3

3

3

3

20

.

1

)

10

11

.

4

4

.

2

042

.

0

(

10

11

.

4

28

.

0

43

.

5

)

800

)

10

11

.

4

(

4

10

341

.

0

3

(

042

.

0

18

81

.

9

m

Ns

=

+

=

π

π

η

Obliczamy niepewność

η

:

s

s

t

t

R

R

r

r

m

m

k

k

+

+

+

+

=

η

η

η

η

η

η

Obliczamy kolejne różniczki cząstkowe:

kg

10

21

.

11455

18

)

10

11

.

4

4

.

2

042

.

0

(

10

11

.

4

28

.

0

43

.

5

042

.

0

3

18

)

4

.

2

(

3

18

6

3

3

=

==

+

=

=

+

=

k

k

m

g

g

r

R

sr

Rt

g

m

π

π

π

η

m

10

07

.

132804

18

10

57

.

4

060

.

0

18

052

.

0

10

69

.

1

)

062

.

0

10

7206

.

1

052

.

0

800

10

69

.

1

12

(

43

.

5

042

.

0

18

)

4

.

2

(

))

8

.

4

)(

4

3

(

)

4

.

2

(

12

(

18

5

8

2

5

3

5

2

2

3

2

=

=

=

=

+

=

=



+

+

+

+

=

r

g

g

g

r

R

r

r

R

r

m

r

R

r

Rt

g

r

p

k

p

π

π

π

π

ρ

π

ρ

π

π

η

m

10

576

.

5

18

)

10

11

.

4

4

.

2

042

.

0

(

28

.

0

43

.

5

4

.

2

)

800

)

10

11

.

4

(

4

10

341

.

0

3

(

18

)

4

.

2

(

4

.

2

)

4

3

(

18

3

2

3

3

3

3

2

3

=

=

=

+

=

+

=

R

g

g

r

R

s

t

r

m

g

R

p

k

π

π

π

ρ

π

π

η

background image

s

2

.

0

231

.

0

18

)

10

11

.

4

4

.

2

042

.

0

(

10

11

.

4

28

.

0

)

800

)

10

11

.

4

(

4

10

341

.

0

3

(

042

.

0

18

)

4

.

2

(

)

4

3

(

18

3

3

3

3

3

3

=

=

=

+

=

+

=

t

g

g

r

R

sr

r

m

R

g

t

p

k

π

π

π

ρ

π

π

η

m

10

10

355

.

3

18

)

10

11

.

4

4

.

2

042

.

0

(

28

.

0

43

.

5

)

800

)

10

11

.

4

(

4

10

341

.

0

3

(

042

.

0

18

)

4

.

2

(

)

4

3

(

18

3

3

3

2

3

3

3

2

3

=

=

=

+

=

+

=

s

g

g

r

R

s

t

r

m

R

g

s

p

k

π

π

π

ρ

π

π

η


Ostatecznie:

(

)

2

3

3

5

6

24

.

0

10

018

.

0

2

.

0

231

.

0

10

576

.

5

10

07

.

132804

10

21

.

11455

18

81

.

9

m

Ns

=

=

+

+

+

+

=

π

η


Zatem:

2

)

24

.

0

20

.

1

(

m

Ns

±

=

η


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Ćwiczenie C1 doc
3 ćwiczenia BADANIE asfaltów
Ćwiczenie7
Cwiczenia 2
Ćwiczenia V
metody redukcji odpadów miejskich ćwiczenia
Ćwiczenia1 Elektroforeza
cwiczenia 9 kryzys
Ćwiczenia 1, cz 1
Ćwiczenie 8
9 ćwiczenie 2014

więcej podobnych podstron