LISTA ZADA‹ EGZAMINACYJNYCH IV

1. Jak¡ powierzchni¦ w przestrzeni trójwymiarowej wyznacza podane równanie.

Sporz¡dzi¢ szkic.

A)

y

2

4

+ z

2

= 1

;

B) x

2

− y

2

+ z

2

= 1

;

C) z = x

2

− 2y

2

.

2. Wyznaczy¢ i naszkicowa¢ dziedzin¦ funkcji.

A) f(x, y) =

p

4 − x

2

+ 4y

2

+ ln(9 − x

2

)

;

B) f(x, y) =

√

4 + x − y

arcsin(y − x

2

)

;

C) f(x, y) = ln(x − y

3

) + arcsin

−x−y

2

.

3. A) Wyznaczy¢ pochodne I rz¦du funkcji f(x, y) =

−2x

2

y

tg(2x

3

y

2

−3x+2y sin x)

.

B) Wyznaczy¢ warto±ci pochodnych II rz¦du funkcji f(x, y) =

e

x

2

−2y

xy

w punkcie

(x

0

, y

0

) = (1, −1)

.

C) Sprawdzi¢, czy funkcja z =

√

x sin

y
x

speªnia równanie 2x

∂z
∂x

+ 2y

∂z
∂y

= z

.

4. Wyznaczy¢ ekstrema lokalne podanych funkcji.

A) f(x, y) = x

2

+ xy + y

2

− 2x − y

;

B) f(x, y) = x

3

+ y

3

+ 3xy

;

C) f(x, y) = e

x

(x + y

2

)

.

5. Napisa¢ równanie pªaszczyzny stycznej do powierzchni w podanym punkcie.

A) z =

√

x + 2y

, P (2, 1);

B) z = x

3

− 2xy

2

− 1

, P (−1, 1);

C) z = 2 sin x cos y + xe

y

+ tg x

, P (0, 0).

6. Obliczy¢ caªki.

A)

R

3

−2

dy

R

5

y

2

−4

(x + 2y)dx

;

B)

R

π

2

−

π

2

dϕ

R

3 cos ϕ

0

r

2

sin

2

ϕdr

;

C)

R

2

0

dx

R

x

0

dy

R

x+y

0

24xyz dz

.

7. Zapisa¢ caªk¦ wielokrotn¡ w postaci caªki iterowanej.

A)

RR

D

(2x − 4y)dxdy

, gdzie D jest obszarem pªaskim ograniczonym liniami

2x = y

2

, y = x − 4.

B)

RR

D

2xydxdy

, gdzie D jest obszarem pªaskim, w którym speªnione s¡ nie-

równo±ci x ≥ 0, y ≤ 9 oraz y ≥ x

3

+ 1

.

C)

RRR

V

(x − y + 2z)dxdydz

, gdzie V jest bryª¡ w przestrzeni trójwymiarowej

ograniczon¡ powierzchniami x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 2 oraz z = x

2

+ y

2

.

8. Zmieni¢ porz¡dek caªkowania.

A)

R

1

0

dx

R

1

x

2

(2y − e

x

)dy

;

B)

R

4

0

dy

R

√

y

1
2

y

(2x − y)dx

;

C)

R

2

1

dx

R

2x

x

xdy

y

.

1

2

LISTA ZADA‹ EGZAMINACYJNYCH IV

9. A) Obliczy¢ obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierchniami y = 0, y = 1 − x

2

,

z = 1

oraz z = x

2

− y

2

.

B) Obliczy¢ obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzchniami z = 2 − x

2

− y

2

,

z = x

2

+ y

2

.

C) Obliczy¢ pole fragmentu pªaszczyzny x + y + z = 2 znajduj¡cego si¦ nad

obszarem D ⊂ OXY ogranicznym liniami y = x

2

, x = y

2

.

10. Stosuj¡c wspóªrz¦dne biegunowe obliczy¢ caªki.

A)

RR

D

xdxdy

, gdzie D jest koªem x

2

+ y

2

≤ 2

.

B)

RR

D

y(x

2

+ y

2

)dxdy

, gdzie D jest poªówk¡ koªa x

2

+ y

2

≤ 4

, y ≥ 0.

C)

RR

D

cos

p

x

2

+ y

2

dxdy

, gdzie D jest obszarem, w którym speªnione s¡ nie-

równo±ci x ≤ 0, y ≥ 0 oraz

π

2

4

≤ x

2

+ y

2

≤ π

2

.

11. Rozwi¡za¢ równania ró»niczkowe.

A)

dy
dx

√

1 − x

2

= y − 2

;

B)

½

y

0

cos y + 2x sin y = 0,

y(0) =

π

2

;

C)

dy
dx

=

3y + 5x

x

.

12. Rozwi¡za¢ równania ró»niczkowe.

A)

dy
dx

+ 2xy = 3x

2

e

−x

2

;

B)

½

y

0

+ 2y = 6x + 1,

y(1) = 2;

C)







y

00

− 3y

0

+ 2y = 3e

2x

,

y(0) = 1,
y

0

(0) = 2.