LISTA 4.

(na 2 ćwiczenia)

Równania różniczkowe zwyczajne

4.1. Sprawdzić, czy podana funkcja jest rozwiązaniem równania różniczkowego na wskazanym
przedziale.

(a) y(t) =

sin t

t

,

ty

0

+ y = cos t,

(0, +∞);

(b) y(t) = t

2

+ t,

ty

0

+ y = 3t

2

− 4,

(0, +∞);

(c) y(t) = −

√

4 − t

2

,

yy

0

= −t,

(−2, 2).

4.2. Wyznaczyć wartości stałej C ∈ R, dla których podana funkcja jest rozwiązaniem równania
różniczkowego na wskazanym przedziale.

(a) y(t) = Ce

−2t

+ e

t

,

y

0

+ 2y = 3e

t

,

(−∞, +∞);

(b) y(t) = Cte

−t

2

,

y

0

+ 2ty = e

−t

2

,

(−∞, +∞);

(c) y(t) = C sin 2t,

y

0

+ y = sin 2t,

(−∞, +∞).

4.3. Scałkować równanie różniczkowe.

(a) y

0

= 2ty

2

,

(b) y

0

= 1 + t + y + ty,

(c) t(y

2

− 1)dt + y(t

2

− 1)dy = 0.

4.4. Rozwiązać zagadnienie początkowe.

(a) y

0

= y

2

(1 + 3t

2

),

y(0) = 1;

(b) e

y

(y

0

− 1) = 1,

y(0) = 0;

(c) t(y + 1)y

0

= y,

y(e) = 1.

4.5. Rozwiązać równanie różniczkowe.

(a) y

0

− 2y = t,

(b) ty

0

− 2y = t

4

cos t,

(c) y

0

+ 2ty = −2t

3

.

4.6. Rozwiązać zagadnienie początkowe i podać przedział, na którym rozwiązanie jest określone
jednoznacznie.

(a) y

0

+ 3y = 3t,

y(0) = 1;

(b) 2(t

2

− 1)y

0

+ ty = 3t(1 − t

2

),

y(0) = 2;

(c) y

0

+ yctgt = 4 cos

3

t,

y(

π

2

) = 1.

4.7.

(a) Prędkość rozpadu pierwiastka promieniotwórczego jest proporcjonalna do masy substancji,

która jeszcze nie uległa rozpadowi. Ułożyć równanie różniczkowe opisujące proces rozpadu
promieniotwórczego. Wyznaczyć zależność masy pierwiastka od czasu, jeśli okres połowicz-
nego rozpadu jest równy 100 lat. Ile procent masy początkowej pierwiastka pozostanie po
10, 50, 200 latach?

(b) Ułożyć równanie różniczkowe opisujące rozwój populacji, w której prędkość wzrostu jej li-

czebności jest do niej proporcjonalna. Po ilu latach liczba osobników w populacji potroi się,
jeśli uległa podwojeniu w ciągu 5 lat?

(c) Basen o pojemności 10.000 litrów jest napełniony do połowy czystą wodą. Do basenu wlewa

się woda zawierająca 50% zanieczyszczeń z prędkością 20 litrów na minutę, jednocześnie
ciecz wylewa się ze zbiornika z prędkością 10 litrów na minutę. Ile procent zawartości pełnego
zbiornika będą stanowiły zanieczyszczenia?

4.8. Sprawdzić, że funkcje {y

1

(t), y

2

(t)} tworzą na podanym przedziale fundamentalny układ

rozwiązań równania różniczkowego. Wyznaczyć rozwiązanie równania z podanymi warunkami po-
czątkowymi.

(a) y

1

(t) = t, y

2

(t) = e

t

;

(−∞, 1);

(t − 1)y

00

− ty

0

+ y = 0;

y(0) = 1, y

0

(0) = 3;

(b) y

1

(t) = ln t, y

2

(t) = t;

(0, e);

t

2

(1 − ln t)y

00

+ ty

0

− y = 0;

y(1) = 2, y

0

(1) = 1;

(c) y

1

(t) =

sin t

t

, y

2

(t) =

cos t

t

;

(0, ∞);

ty

00

+ 2y

0

+ ty = 0;

y



π

2



= 1, y

0



π

2



= 1.

4.9. Rozwiązać zagadnienie początkowe.

(a) y

00

+ y

0

− 6y = 0;

y(0) = 5, y

0

(0) = 0;

(b) y

00

− 9y = 0;

y(0) = −1, y

0

(0) = 9;

(c) 4y

00

+ y

0

= 0;

y(0) = 6, y

0

(0) = −1;

(d) 4y

00

− 4y

0

+ y = 0;

y(2) = e, y

0

(2) = 2e;

(e) y

00

+ 6y

0

+ 13y = 0;

y(0) = 1, y

0

(0) = −2;

(f) y

00

+ 25y = 0;

y(

π

5

) = 1, y

0

(

π

5

) = 1.

4.10. Podać przewidywaną postać (nie obliczać współczynników) rozwiązania szczególnego rów-
nania różniczkowego.

(a) y

00

+ 2y

0

+ y = t

2

+ 1,

(b) y

00

+ 2y

0

= t + 3,

(c) y

00

+ 2y

0

+ y = 2te

3t

,

(d) y

00

+ 2y

0

+ y = −te

−t

,

(e) y

00

+ 2y

0

= t

2

e

t

,

(f) y

00

+ 25y = 3e

−t

sin 5t,

(g) y

00

+ 25y = π cos 5t,

(h) y

00

− 2y

0

+ 10y = e

t

sin 2t,

(i) y

00

− 2y

0

+ 10y = e

t

cos 3t + 2e

t

sin 3t.

4.11. Rozwiązać zagadnienie początkowe.

(a) y

00

+ 4y = 2(1 − t);

y(0) = 2, y

0

(0) = −3;

(b) y

00

− y

0

− 2y = 130 cos 3t;

y(0) = 0, y

0

(0) = 0;

(c) y

00

+ 4y = sin 2t;

y(0) = 0, y

0

(0) = 11;

(d) y

00

− y = t + sin t;

y(0) = 1, y

0

(0) = 1;

(e) y

00

− 4y

0

+ 5y = e

t

− 4e

2t

;

y(0) = 1, y

0

(0) = −2.

Podobne zadania (z rozwiązaniami lub odpowiedziami) można znaleźć w skrypcie:
M.Gewert, Z.Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna
Wydawnicza GiS, Wrocław 2005, rozdziały 1-2.

Jolanta Sulkowska