Przepływy płynów
ProwadzÄ…cy:
dr inż. Magdalena Zielińska
Przepływ płynów w przewodach
Przepływ płynów w aparatach przemysłowych
Obliczanie oporów podczas przepływu płynów w przewodach
Obliczanie czasu oprózniania zbiorników
Obliczanie predkosci przepływu płynów w przewodach
Pojęcia podstawowe
Płynami nazywamy ciała, których cząsteczki odznaczają sie dużą
ruchliwosciÄ…, co pozwala na dowolnÄ… zmiane postaci
geometrycznej płynu, wywołanej znikomo małymi siłami.
Do płynów zaliczamy ciecze i gazy.
Ciecze w odróżnieniu od gazów posiadają określoną, samoistną
objętość i nie przejawiają tendencji do nieograniczonego
rozszerzania siÄ™.
Gazy są bardzo ściśliwe, tzn. w znacznym stopniu zmieniają
swoją objętość pod działaniem sił zewnętrznych. Gaz wypełnia
całą objętość dowolnego kształtu naczynia lub przestrzeni, w
której się znajduje.
Uwzględniając spośród cech fizycznych płynów rzeczywistych ściśliwość i
lepkość, można wyróżnić następujące modele płynów:
ciecz doskonała jako płyn nielepki i nieściśliwy, między cząsteczkami
cieczy doskonałej nie działają żadne siły, nie występuje więc tarcie
węwnetrzne, a cząsteczki cieczy są idealnie ruchliwe
ciecz rzeczywista jako płyn lepki nieściśliwy, który nie spełnia
warunków przypisywanych cieczy doskonałej
gaz doskonały jako płyn nielepki ściśliwy,
gaz rzeczywisty jako płyn lepki i ściśliwy.
Zależność lepkości dynamicznej gazów od temperatury bezwzględnej T
ujmuje wyprowadzony przez Sutherlanda i powszechnie stosowany wzór:
gdzie:
S  stalą Sutherlanda, określana doświadczalnie albo wyznaczana z
przybliżonego wzoru S = 1,47 Tb, przy czym Tb oznacza temperaturę
wrzenia danej substancji pod ciÅ›nieniem atmosferycznym wyrażonÄ… w °K,
·Go  lepkość dynamiczna gazu w temp. 273°K.
Prawa statyki płynów, które znajdują szersze zastosowanie w
operacjach jednostkowych:
1) prawo Eulera, stwierdzające niezależność wartości ciśnienia
w dowolnym punkcie nieruchomego płynu od orientacji
powierzchni przechodzÄ…cej przez ten punkt,
2) zasada Archimedesa, która określa wielkość siły wyporu,
działającej na ciała zanurzone w płynie,
3) prawo Pascala ustalające fakt równomiernego rozchodzenia się
ciśnienia w płynach we wszystkich kierunkach.
Prawo Pascala stwierdza, że gdyby na ciecz działały tylko siły
powierzchniowe, to ciśnienie miałoby jedną i tę samą wartość w każdym
punkcie cieczy.
W całym obszarze masy ciekłej ciśnienie rozchodzi się z jednakową wartością
(równomiernie) we wszystkich kierunkach.
Prawo to zostało zdefiniowane dla cieczy nieważkiej, tj. takiej, której
cząsteczki nie podlegają działaniu siły ciężkości. A zatem prawo jest
prawdziwe wtedy, gdy można pominąć siły grawitacji i inne siły masowe
oraz ciśnienia wywołane przepływem płynu.
Ciecz w spoczynku znajduje się wyłącznie pod wpływem siły ciężkości,
jako jedynej siły masowej.
Siła ciężkości jest przyczyną niejednostajności ciśnienia w cieczy
będącej w spoczynku. Cząsteczki cieczy położone głębiej unoszą na
sobie cząsteczki położone nad nimi, wskutek czego ciśnienie panujące
w warstwach dolnych jest większe niż w górnych.
Różnica ciśnień wyraża się wzorem:
Zakładając stałość gęstości otrzymamy:
Jeżeli nad zwierciadłem cieczy znajduje się powietrze o ciśnieniu p0, to ciśnienie w dowolnym
punkcie w głębi cieczy oddalonym o h od zwierciadła równa się:
Z równania wynika, że ciśnienie w dowolnym punkcie cieczy równa się ciśnieniu nad
zwierciadłem cieczy powiększonemu o ciężar słupa cieczy o podstawie jednostkowej, o
wysokości odpowiadającej głębokości zanurzenia punktu.
Gdyby ciecz była nieważka, to na zasadzie prawa Pascala w całym obszarze objętości cieczy
ciśnienie byłoby jednakowe i równe ciśnieniu nad zwierciadłem cieczy p0.
Ciągłość strumienia cieczy doskonałej w ruchu ustalonym

Przewód o osi poziomej i zmiennej
średnicy, przez który odbywa się
izotermiczny przepływ cieczy
doskonałej.

Ciecz wypełnia całkowicie przewód.

Ilość cieczy dopływającej w określonym
czasie do danego przekroju jest równa
ilości cieczy odpływającej z tego
przekroju (przepływ ciągły),

natężenie przepływu cieczy W(kg/s)
jest stałe dla wszystkich przekrojów.
Ciągłość strumienia cieczy doskonałej w ruchu ustalonym
Ciecz między rozważanymi przekrojami nie gromadzi się ani nie zanika, można
zatem napisać:
Masę przepływającej cieczy w jednostce czasu można wyrazić jako iloczyn
objętościowego natężenia przepływu cieczy U przez jej gęstość gL
Objętościowe natężenie przepływającej cieczy można wyrazić jako iloczyn
prędkości przepływu cieczy przez pole przekroju:
Zatem równanie określające masę przepływającej cieczy w jednostce czasu
(natężenie przepływu) przyjmie postać:
Ciągłość strumienia cieczy doskonałej w ruchu ustalonym
Zakładając stałość gęstości cieczy doskonałej
równanie upraszcza się do postaci:
Biorąc pod uwagę 2 dowolne człony (np. pierwszy i drugi) równania
otrzymamy:
Wniosek: liniowa prędkość przepływu cieczy jest odwrotnie
proporcjonalna do przekroju przewodu albo do kwadratu jego średnicy.
Ciągłość strumienia cieczy doskonałej w ruchu ustalonym
Prędkość masowa strumienia cieczy to stosunek natężenia przepływu
cieczy do pola przekroju przewodu, przez który następuje przepływ.
Z równania wynika, że dla każdego przekroju przewodu masowa
prędkość przepływu cieczy jest różna, ponieważ w każdym przekroju
liniowa prędkość cieczy jest różna.
Wymiar fizyczny prędkości masowej:

S1, S2 przekroje poprzeczne;

z1 i z2 odległości (wysokości) punktów
1 i 2 względem poziomu przyjętego za
zerowy;

U1 i U2 liniowa prędkość przepływu
cieczy przez przekrój S1 i S2;

Á=const dla przepÅ‚ywu cieczy
doskonałej.
Równanie Bernoulliego dla cieczy doskonałej
A zatem w różniczkowym okresie czasu następuje:

zmiana energii kinetycznej różniczkowych elementów
objętościowych cieczy;

zmiana energii potencjalnej ciśnienia wskutek pracy sił
cisnących na powierzchnie czołowe strugi;

zmiana energii potencjalnej położenia.
Równanie Bernoulliego dla cieczy doskonałej
Dla 2 wybranych przekrojow równanie można zapisać w postaci:
Suma 3 wysokości:
wysokości odpowiadającej ciśnieniu dynamicznemu U2/2g,
wysokoÅ›ci odpowiadajÄ…cej ciÅ›nieniu statycznemu p/Ág,
wysokości niwelacyjnej (odniesienia) z
jest w każdym przekroju przewodu wielkością stałą dla jednostki masy
strugi cieczy.
Równanie Bernoulliego dla cieczy doskonałej
Równanie Bernoulliego dla cieczy doskonałej
Suma wysokosci odpowiadajacych: energii kinetycznej, cisnienia i polozenia jest
stala dla 3 wybranych i wszystkich pozostalych przekrojow.
Uogólnione równanie Bernoulliego
Przemiany energetyczne przy przepływie płynów rzeczywistych
określa uogólnione prawo Bernoulliego, nastepujacych postaci:
Opory podczas przepływu
płynu przez przewody
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Z uogólnionego równania Bernoulliego dla ustalonego przepływu płynu
rzeczywistego wynika, że wskutek występowania oporów tarcia następuje
spadek energii płynu w kierunku przepływu.
Opór wynika wyłącznie z tarcia wewnętrznego cieczy (płynów) rzeczywistych, a
spadek ciśnienia nie jest wywołany innego rodzaju oporami.
Straty ciśnienia są funkcją następujących wielkości:
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Spadek ciśnienia w przewodzie można obliczyć z
równania Darcy  Weisbacha:
gdzie:
dr inż. Magdalena Zielińska
Kryterium Reynoldsa
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Wspolczynnik oporu dla ruchu uwarstwionego
Założenie:
W przewodzie prostym o poprzecznym przekroju kołowym o średnicy d i
długości L ciecz płynie z prędkością u ruchem uwarstwionym.
Objętościowe natężenie przepływu można wyrazić równaniami:
Porównując prawe strony równań otrzymamy:
Obliczony z ostatniego równania spadek ciśnienia "P wynosi:
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Wspolczynnik oporu dla ruchu uwarstwionego
Spadek ciśnienia można obliczyć z równania Darcy  Weisbacha, jak i Hagena 
Poiseuille a:
Porównując prawe strony równań otrzymamy:
Poszukiwana wartość współczynnika oporu  dla przewodu kołowego:
Postać ogólna równania dla przewodu o przekroju innym niż kołowy:
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Wspolczynnik oporu dla ruchu uwarstwionego
Zależność Darcy  Weisbacha
dla ruchu uwarstwionego:

Dla przewodu o przekroju
poprzecznym kołowym:

Dla przewodu o przekroju
poprzecznym niekołowym:
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Wspolczynnik oporu dla ruchu burzliwego
Dla burzliwego przepływu w przewodzie współczynnik oporu  jest wyznaczany
doświadczalnie. Zależy on od liczby Re oraz od charakteru powierzchni
przewodu.
Współczynnik oporu  można wyznaczyć z równania w ogólnej postaci:
gdzie a, b, n są stałymi, charakterystycznymi dla różnych zakresów liczby
Reynoldsa.

dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Wspolczynnik oporu dla ruchu burzliwego
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Wspolczynnik oporu dla ruchu burzliwego
Ruch burzliwy (rura szorstka)
Przy przepływie burzliwym  jest funkcją nie tylko liczby Re, ale i
chropowatości ścianek rury. Chropowatość rur ocenia się na
podstawie wielkoÅ›ci chropowatoÅ›ci wzglÄ™dnej µ, równej stosunkowi
chropowatości bezwzględnej do średnicy rury d.
Wartości średniej umownej chropowatości bezwzględnej
wyznaczone doświadczalnie:
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Wspolczynnik oporu dla ruchu burzliwego
Ruch burzliwy (rura szorstka)
Dla przepływu burzliwego wartość  można obliczyć z ogólnego wzoru:
Przy wartościach liczby Re < 105 chropowatość ma mały wpływ na opór zatem
składnik ten można pominąć:
Dla wartości liczby Re > 105, gdy wpływ chropowatości rur na opór jest wyraz
ny,
a współczynnik tarcia przestaje zależeć od Re, wzór przyjmuje postać:
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Opory lokalne
Strata ciśnienia wskutek zmian prędkości przepływu
strumienia zarówno co do jej wielkości jak i kierunku
występuje w wyniku oporów miejscowych (lokalnych).
Do oporów tych należą:
Wlot i wylot strumienia z rury;
Zwężenia i rozszerzenia rur;
Kolana;
Odgałęzienia;
Trójniki;
Kryzy;
UrzÄ…dzenia zamykajÄ…ce i regulujÄ…ce (kurki, zawory, zasuwy).
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Opory lokalne
Straty występują nie wzdłuż całej drogi przepływu, jak to
zachodziło w przypadku spadku ciśnienia wywołanego tarciem
wewnętrznym w płynie, ale tylko w określonych miejscach, w
których znajdują się, np. kurki, zawory, zasuwy, nagłe zmiany
przekroju przewodu (opory miejscowe lub lokalne).
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Opory lokalne
Stratę ciśnienia występującą w toku pokonywania oporów lokalnych uzależnia
się od energii kinetycznej płynu.
Zatem straty ciśnienia oporu miejscowego "p, można obliczyć ze wzoru:
Stosunek straty ciśnienia w miejscu oporu hstr do panującego w nim ciśnienia
dynamicznego u2l2g nazywa się współczynnikiem oporu miejscowego śn, który
zależy od charakteru oporu.
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Opory lokalne
Opory lokalne
Sumaryczny spadek ciśnienia płynu spowodowany oporami lokalnymi:
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Opory lokalne
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Opory lokalne
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Opory lokalne
Metodą umożliwiającą wyznaczenie spadku ciśnienia spowodowanego oporami
lokalnymi jest wprowadzenie do równania Darcy-Weisbacha długości zastępczej
przewodu Le.
Długość zastępcza przewodu Le wywołuje taki sam spadek ciśnienia co dany opór
lokalny, przy czym zależy ona nie tylko od charakteru oporu miejscowego, ale
również od średnicy przewodu d.
dr inż. Magdalena Zielińska
Opory podczas przepływu płynu przez przewody
Opory lokalne
Dla szeregu oporów otrzymujemy zależność:
Równanie Darcy  Weisbacha przybiera wówczas postać:
gdzie Le stanowi sumę długości rzeczywistej przewodu i długości zastępczej (Le=
L e+L).
dr inż. Magdalena Zielińska
Całkowity opór podczas przepływu płynu przez przewody
Sumaryczny spadek ciśnienia płynu spowodowany oporami lokalnymi:
Spadek ciśnienia wywołany tarciem wewnętrznym płynu można ująć
zmodyfikowanym równaniem Darcy-Weisbacha:
gdzie
Całkowity spadek ciśnienia wywołany tarciem wewnętrznym jak i oporami
lokalnymi można napisać zapisać w postaci wzoru:
dr inż. Magdalena Zielińska
Zastosowanie prawa Bernoulliego
w zagadnieniach wypływu przez otwory i przystawki
Wypływ cieczy ze zbiorników
1) wypływ cieczy ze zbiorników przez otwór o małych
wymiarach;
2) wpływ przystawek na wypływ cieczy;
3) wypływ cieczy przez otwór zatopiony;
4) wyznaczanie czasu częściowego lub całkowitego opróżniania
zbiorników lub aparatów.
Szczególne przypadki przepływu
Wypływ cieczy doskonałej przez mały otwór w dnie zbiornika

Wypływ ustalony cieczy;

Ciśnienie na powierzchni zwierciadła cieczy i na poziomie wypływającej
strugi cieczy jest stałe choć różne;

zbiornik ma dużą pojemność i dużą powierzchnią zwierciadła S0.

S - przekrój otworu w dnie zbiornika,

p0 i p - ciśnienia w przekrojach S0 i S;

h0 - wysokość słupa cieczy w zbiorniku;

u0 - prędkość z jaką obniżałby się poziom cieczy, gdyby chwilowo zamknięty był
dopływ cieczy;

u - prędkość wypływu cieczy przez otwór w dnie zbiornika.
Szczególne przypadki przepływu
Wypływ cieczy doskonałej przez mały otwór w dnie zbiornika
Opierając się na równaniu Bernoulliego możemy napisać równanie
dla poziomu zwierciadła cieczy i dla poziomu wypływu cieczy w
dnie, przyjętego tu za poziom odniesienia (poziom zerowy):
Ponieważ zgodnie z założeniem h = 0, a z warunku ciągłości
strumienia cieczy wynika, że Souo = Su, stąd otrzymamy:
Szczególne przypadki przepływu
Wypływ cieczy doskonałej przez mały otwór w dnie zbiornika
Podstawiając otrzymujemy zależność:
Po przekształceniu otrzymamy:
Szczególne przypadki przepływu
Wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór
W czasie ustalonego wypływu cieczy doskonałej przez mały otwór w
dnie zbiornika prędkość wypływu równa jest:
gdzie H oznacza wysokość słupa cieczy w zbiorniku.
Szczególne przypadki przepływu
Wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór

Przekrój otworu w dnie zbiornika bardzo mały w porównaniu z poprzecznym
przekrojem zbiornika to S/S0 = 0.

Różnica wysokości między poziomem zwierciadła cieczy i poziomem
wypływu nie jest zbyt duża (np. nie jest wielometrowa), wtedy p0 = p i
równanie przyjmuje postać:
Szczególne przypadki przepływu
Wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór
Ciecz rzeczywista wypływa z mniejszą prędkością niż ciecz doskonała ze
względu na opory występujące podczas ruchu cieczy. Przejawiają się one w
w postaci zwężenia strumienia cieczy w stosunku do przekroju otworu oraz
dławienia strugi cieczy.
Rzeczywista prędkość wypływu cieczy wyrażona jest wzorem:
gdzie Ć =Ä…Ç  współczynnik wypÅ‚ywu;
ą  współczynnik prędkości,
Ç  współczynnik dÅ‚awienia strugi cieczy.
Po podstawieniu otrzymamy:
Szczególne przypadki przepływu
Wypływ cieczy ze zbiornika przez mały otwór
Współczynnik Ć zależy od:
-
Wymiaru i kształtu otworu;
-
Wielkości ciśnienia;
-
Sposobu wykonania otworu;
-
Położenia otworu względem ścian bocznych.
Szczególne przypadki przepływu
Wpływ przystawek na wypływ cieczy

Brak swobodnego wypływu strumienia cieczy
Nastepuje przewezenie strumienia cieczy oraz zasysanie powietrza z przestrzeni, w
miejscu przewężenia strumienia (dla H < 9 m).
Nastepuje zwiększenie prędkości wypływu cieczy (strumień cieczy w dalszej części
przystawki wypełnia całkowicie rurkę).

Swobodny wypływ strumienia cieczy
Nastepuje oderwanie strugi cieczy od przystawki
(dla H > 9 m).
Szczególne przypadki przepływu
Wypływ przez mały zatopiony otwór
Wartości współczynnika wyplywu dla wypływu przez otwór zatopiony są
niemal takie same, jak dla wypływu swobodnego w atmosferę, a wypływ
przez otwór boczny odbywa się tak samo, jak wypływ przez otwór w dnie
zbiornika.
Szczególne przypadki przepływu
Wyznaczanie czasu opróżniania zbiorników
Poprzeczny przekrój zbiornika jest stały
Czas opróżniania zbiornika można obliczyć ze wzoru:
dr inż. Magdalena Zielińska