1
Wydział: WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach
" Równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach
an y(n) + an-1 y(n-1) + . . . + a1 y + a0 y = 0
Zakładamy, że funkcja postaci y(x) = erx , gdzie r jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną, jest
rozwiazaniem powyższego równania. Wówczas
an rn + an-1 rn-1 + . . . + a1 r + a0 = 0.
Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym równania liniowego jednorodnego a
jego pierwiastki nazywamy pierwiastkami charakterystycznymi tego równania.
 Jeżeli ri, rj są dwoma różnymi pierwiastkami rzeczywistymi równania charakterystyczne-
i j
go, to funkcje yi(x) = er x i yj(x) = er x są dwoma liniowo niezależnymi rozwiązaniami
rrlj.
 Jeżeli r jest rzeczywistym pierwiastkiem k-krotnym równania charakterystycznego, to
funkcje y(x) = erx , y(x) = xerx , . . . , y(x) = xk-1erx są liniowo niezależnymi
rozwiÄ…zaniami rrlj.
 Jeżeli r = Ä… + ²i jest pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego (tym
samym r = Ä… - ²i jest pierwiastkiem tego równania), to funkcje y1(x) = eÄ…x sin ²x i
Å»
y2(x) = eÄ…x cos ²x sÄ… dwoma liniowo niezależnymi rozwiÄ…zaniami rrlj.
 Jeżeli r = Ä…+²i jest k-krotnym pierwiastkiem zespolonym równania charakterystycznego
(tym samym r = Ä… - ²i jest k-krotnym pierwiastkiem tego równania), to funkcje y(x) =
Å»
eÄ…x sin ²x, y(x) = xeÄ…x sin ²x, . . . , y(x) = xk-1eÄ…x sin ²x i y(x) = eÄ…x cos ²x, y(x) =
xeÄ…x cos ²x, . . . , y(x) = xk-1eÄ…x cos ²x sÄ… liniowo niezależnymi rozwiÄ…zaniami rrlj.
" Metoda uzmienniania stałych dla równań rzędu drugiego
Rozważmy równanie
a2 y + a1 y + a0 y = f(x)
Wiadomo przy tym, że całka ogólna odpowiedniego równania jednorodnego ma postać:
y0 = C1 y1(x) + C2 y2(x),
gdzie C1, C2 są dowolnymi stałymi, a y1(x), y2(x) stanowią układ fundamentalny rozwiązań
równania jednorodnego.
Fakt Istnieje rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego postaci:
yS = C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x),
gdzie funkcje C1(x), C2(x) spełniają układ równań:


C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) = 0

C1(x) y1(x) + C2(x) y2(x) = f(x)
2
" Metoda przewidywań
 Jeżeli f(x) = Wn(x) eąx , to
yS = Qn(x) eÄ…x · xk,
gdzie Qn(x) jest dowolnym wielomianem stopnia n , a czynnik xk pojawia siÄ™ wtedy i
tylko wtedy, gdy ą jest k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego.
 Jeżeli f(x) = eÄ…x ( Wn(x) sin ²x + Pn(x) cos ²x ) , to
yS = eÄ…x ( Qn(x) sin ²x + Zn(x) cos ²x ) · xk,
gdzie Qn(x), Zn(x) sÄ… dowolnymi wielomianami stopnia n , a czynnik xk pojawia siÄ™
wtedy i tylko wtedy, gdy Ä… + ²i jest k-krotnym pierwiastkiem zespolonym równania
charakterystycznego.
 Jeżeli f(x) jest sumą kilku funkcji opisanych w poprzednich punktach, to dla każdej z
tych funkcji oddzielnie przewidujemy i obliczamy całkę szczególną, a następnie wszystkie
otrzymane całki szczególne sumujemy.