1 

Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych. 

K.Lubnauer 

Czêœã 2 

Zmienna losowa 

Teoria 

Definicja 1 

Niech  





P

F ,

,



 bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹. Zmienn¹ losow¹ nazywamy 

ka¿d¹ funkcjê rzeczywist¹ X  speùniaj¹c¹ jeden z poni¿szych warunków: 

(i) 

dla dowolnego 

R

a 

 mamy 

 





F

a

X













:

 

(ii) 

dla dowolnego 

R

a 

 mamy 

 





F

a

X













:

 

(iii) 

dla dowolnego 

R

a 

 mamy 

 





F

a

X













:

 

(iv) 

dla dowolnego 

R

a 

 mamy 

 





F

a

X













:

 

(v) 

dla dowolnego 

 

R

A





 mamy 

 

F

A

X



1

,  

gdzie 

 

R



  



-ciaùo zbiorów borelowskich na R. 

 

Uwaga 



-ciaùo zbiorów borelowskich na R to najmniejsze 



-ciaùo zawieraj¹ce wszystkie 

przedziaùy. 

 

Definicja 2 (Rozkùad zmiennej losowej) 

Rozkùadem zmiennej losowej  X okreœlonej na przestrzeni  





P

F ,

,



  nazywamy miarê 

prawdopodobieñstwa okreœlon¹ wzorem: dla dowolnego 

 

R

A





  

 

 

 





 





A

X

P

A

X

P

A

P

X

1

:

















. 

 

Przykùad 1 

Rzucamy 3 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów. Znajdêmy rozkùad X. 



 

 

 

 

 

 

 







r

r

r

r

r

o

r

o

r

o

r

r

o

o

r

o

r

o

r

o

o

o

o

o

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,





. Mamy do 

czynienia z modelem klasycznym czyli 

 





A

A

P

, gdzie 

8





. Zmienna X przyjmuje 

wartoœci 





3

,

2

,

1

,

0

 odpowiednio z prawdopodobieñstwem: 

 

 





 





















8

1

,

,

0

0

0

1











r

r

r

P

X

P

P

P

X

X

 

 

 

 

 

 







 

 











8

3

,

,

,

,

,

,

,

,

1

1

1

1











r

r

o

r

o

r

o

r

r

P

X

P

P

P

X

X

 

 

 





 











 

 











8

3

,

,

,

,

,

,

,

,

2

2

2

1











o

r

o

r

o

o

o

o

r

P

X

P

P

P

X

X

 

 

 





 





















8

1

,

,

3

3

3

1











o

o

o

P

X

P

P

P

X

X

. 

 

Co mo¿emy zapisaã te¿ w tabeli: 

 

id443477 pdfMachine by Broadgun Software  - a great PDF writer!  - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com  http://www.broadgun.com 

 

2 

i

x

 

0 

1 

2 

3 

 

i

X

x

P

 

8

1

 

8

3

 

8

3

 

8

1

 

 

 

Twierdzenie 1 

Rozkùad zmiennej losowej jest miar¹ prawdopodobieñstwa na 

 





R

R



,

. 

 

Dowód 

Niech  

X

P

 rozkùad zmiennej losowej  X okreœlonej na przestrzeni  





P

F ,

,



  okreœlony 

wzorem dla dowolnego 

 

R

A





  

 

 

 





 





A

X

P

A

X

P

A

P

X

1

:

















.  

Poka¿emy, ¿e speùnia on aksjomaty z definicji 2 z czêœci 1. 

(i) 

oczywistym jest z definicji i¿ dla dowolnego 

 

R

A





 mamy 

 

 





0

1







A

X

P

A

P

X

. 

(ii) 

policzmy teraz 

 

 





 

1

1











P

X

P

P

X

R

R

, 

(iii) 

Niech 

 

,...

3

,

2

,

1

,





i

A

i

R



oraz 







j

i

A

A

dla 

j

i 

,(czyli s¹ parami 

rozù¹czne)  to z wùasnoœci przeciwobrazu ( przeciwobraz sumy zbiorów 

równy jest sumie przeciwobrazów i przeciwobrazy zbiorów rozù¹cznych s¹ 

rozù¹czne )  oraz z wùasnoœci P mamy  

 

 





 































































































1

1

1

1

1

1

1

1

i

i

X

i

i

n

i

i

i

i

i

i

X

A

P

A

X

P

A

X

P

A

X

P

A

P







. 

 

 

Pokazaliœmy, ¿e rozkùad jest miar¹ probabilistyczn¹ na 

 





R

R



,

, rodzi siê pytanie 

odwrotne: czy ka¿da miara unormowana na 

 





R

R



,

. jest rozkùadem pewnej zmiennej 

losowej? 

Okazuje siê, ¿e odpowiedê jest pozytywna. 

 

Twierdzenie 2 

Ka¿da miara unormowana na 

 





R

R



,

  jest rozkùadem pewnej zmiennej losowej. 

 

Dowód 

Niech 

P

pewna miara unormowana (probabilistyczna) na  

 





R

R



,

, przyjmijmy teraz 

 

R

R









F

,

 oraz X zmienna losowa okreœlona wzorem 

 







X

. Oczywiœcie 

R





:

X

 oraz mamy dla dowolnego 

 

R

A





 : 

 

 









 

A

P

A

P

A

X

P

A

P

X



























:

:

. St¹d 

X

P

P 

, czyli P rozkùad 

pewnej zmiennej losowej X 

 

Uwaga  

Dlatego miary probabilistyczne na 

 





R

R



,

 nazywamy rozkùadami. 

 

Definicja 3(Dystrybuanta rozkùadu) 

 

3 

Niech P rozkùad na 

 





R

R



,

, dystrybuant¹ rozkùadu P nazywamy funkcjê F okreœlon¹ 

nastêpuj¹co: 

 

1

,

0

:



X

F

, 

 









x

P

x

F

,







, 

R

x 

. 

 

Przykùad 2 

Rzucamy 2 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów, 

  



2

,

1

,

0





X

 i mamy:  

 

 

 

4

1

2

,

2

1

1

,

4

1

0







X

X

X

P

P

P

, st¹d 

 



































2

,

1

2

1

,

2

1

4

1

1

0

,

4

1

0

,

0

x

x

x

x

x

F

. 

Jest to przykùad dystrybuanty rozkùadu dyskretnego (patrz definicja 4), przykùad 

dystrybuanty dla przypadku ci¹gùego(definicja 5) mamy po Twierdzeniu 5 

 

Twierdzenie 3 ( wùasnoœci dystrybuanty ) 

Dystrybuanta F rozkùadu prawdopodobieñstwa P na 

 





R

R



,

 ma nastêpuj¹ce 

wùasnoœci: 

(i) 

F niemalej¹ca, 

(ii) 

F lewostronnie ci¹gùa, 

(iii) 

 

 

1

lim

,

0

lim













x

F

x

F

x

x

. 

 

Dowód 

(i) 

Niech 

2

1

x

x 

 wtedy 









2

1

,

,

x

x











 i z monotonicznoœci P mamy: 

 

















 

2

2

1

1

,

,

x

F

x

P

x

P

x

F















, czyli F niemalej¹ca. 

(ii) 

Poka¿emy, ¿e 

 





O

x

x

x

F

x

F

O







lim

, Poniewa¿ F niemalej¹ca wiêc 

granica

 

x

F

O

x

x





lim

 istnieje i mo¿emy wzi¹ã  dowolny rosn¹cy ci¹g 

n

x

 zbie¿ny 

lewostronnie do 

O

x

 i zbadaã czy granica 









O

n

x

x

x

F

x

F

O

n







lim

. Zauwa¿my, ¿e 





























O

O

n

n

n

x

x

n

x

x

x

F

x

P

x

P

x

P

x

F

O

n

O

n















































,

,

,

lim

lim

1



 z 

ci¹gùoœci P. 

(iii) 

Poniewa¿ F monotoniczna i ograniczona wiêc niew¹tpliwie posiada 

skoñczone granice w 









i

, policzymy je wiêc dla ustalonych ci¹gów 

















 

0

,

,

lim

lim

1



















































P

n

P

n

P

n

F

n

n

n



 i analogicznie 

 













 

1

,

,

lim

lim

1













































P

n

P

n

P

n

F

n

n

n



. 

 

Wùasnoœã 

F jako funkcja niemalej¹ca i ograniczona ma skoñczon¹ liczbê punktów nieci¹gùoœci. 

 

Dowód 

 

4 

Rzeczywiœcie, niech dla 

 

 

























n

x

F

x

F

x

E

n

n

1

:

,

R

N

 (gdzie 

 



x

F

 oznacza 

granicê prawostronn¹ w punkcie x), wtedy 

n

E

n



. Istotnie przypuœãmy ¿e 

n

m

E

n





, 

wtedy mielibyœmy dla 

m

x

x

x

x









...

3

2

1

 nale¿¹cych do 

n

E

: 

 

 





























1

1

...

1

1

....

1

2

2

1

1































n

n

n

x

F

x

F

x

F

x

F

x

F

x

F

m

m

 bo 

n

m 

, 

czyli otrzymujemy sprzecznoœã. Tak wiêc 

n

E

n



, zatem 









1

n

n

E

E

 jest przeliczalny. 

Zauwa¿my jeszcze, ¿e E to zbiór punktów nieci¹gùoœci F i mamy tezê. 

 

Twierdzenie 4 

Ka¿da funkcja speùniaj¹ca warunki (i)-(iii) jest dystrybuant¹ pewnego, i jednego 

rozkùadu na 

 





R

R



,

. 

 

Dowód 

Poniewa¿ przedziaùy postaci 





x

,





 generuj¹ 

 

R



 wiêc mo¿emy zdefiniowaã miarê 

jednoznacznie na 

 





R

R



,

 wzorem 









 

x

F

x

P







,

. 

 

Wùasnoœci dystrybuanty: 

Niech F bêdzie dystrybuant¹ rozkùadu P. Dla dowolnych 

b

a

b

a





,

,

R

 mamy: 

(i) 









 

b

F

b

P







,

, 

(ii) 









 









b

F

b

P

,

, 

(iii) 









 

a

F

a

P







1

,

, 

(iv) 









 









a

F

a

P

1

,

, 

(v) 









 

 

a

F

b

F

b

a

P





,

, 

(vi) 









 

 







a

F

b

F

b

a

P

,

, 

(vii) 









 

 

a

F

b

F

b

a

P







,

, 

(viii) 









 

 

a

F

b

F

b

a

P







,

, 

(ix) 

 





 

 

a

F

a

F

a

P







. 

Wùasnoœci te s¹ proste do wykazania i pozostawiam do samodzielnego dowodzenia. 

 

Definicja 4 

Rozkùad P nazywamy rozkùadem dyskretnym lub  typu skokowego je¿eli istnieje zbiór 

przeliczalny (mo¿e byã skoñczony) taki, ¿e 

 

1





E

P

i

E

R

. 

Je¿eli 





,....

,

,

3

2

1

x

x

x

E 

 to aby zdefiniowaã rozkùad dyskretny wystarczy podaã 

wartoœci P dla zbiorów jednopunktowych zawieraj¹cych elementy z E. 

Jeœli 

 





i

i

p

x

P



 to oczywiœcie 

1

1









i

i

p

. 

 

Definicja 5 

 

5 

Rozkùad P nazywamy rozkùadem ci¹gùym lub typu ci¹gùego je¿eli istnieje taka funkcja 

nieujemna f, 

 

1





R

dt

t

f

, zwana gêstoœci¹ rozkùadu P taka, ¿e dystrybuanta F rozkùadu 

P wyra¿a siê wzorem: 

 

 









x

dt

t

f

x

F

  

lub równowa¿nie  dla dowolnego 

 

R





A

 mamy: 

 

 

 





A

dt

t

f

A

P

. 

Zauwa¿my, ¿e gêstoœã nie jest wyznaczona jednoznacznie i jest to pewna klasa funkcji 

równych sobie poza zbiorem miary 0. 

 

 

Podstawowe rozkùady prawdopodobieñstwa: 

Dyskretne: 

a.  rozkùad jednopunktowy.  

 





1

,





a

P

a

R

. Wtedy 

 













A

a

A

a

A

P

,

0

,

1

. 

b.  rozkùad dwupunktowy. 

 





 





1

,

,

,

,











q

p

q

b

P

p

a

P

b

a

R

. Rodzajem rozkùadu dwupunktowego 

jest rozkùad 0-1 (zero-jedynkowy), gdy a=1, b=0 

c.  rozkùad dwumianowy, Bernouliego. 

N



n

, dla dowolnego 

n

k

,...,

2

,

1

,

0



 mamy 

 

 

k

n

k

n

q

p

k

n

k

P

k

P





















, gdzie 

1



 q

p

 oraz zwyczajowo p nazywamy prawdopodobieñstwem sukcesu, a q 

pora¿ki, zaœ 

 

k

P

n

 oznacza prawdopodobieñstwo k sukcesów w n próbach 

(doœwiadczeniach). Oczywiœcie 

 

1

0







n

k

n

k

P

. 

d.  rozkùad Poissona z parametrem 

0





. 

Dla dowolnego 

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy 

 

!

k

e

k

P

k









. Oczywiœcie 

 

1

0









k

k

P

. 

e.  geometryczny. 

Dla dowolnego 

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy 

 

p

q

k

P

k



, gdzie 

1



 q

p

. 

 

k

P

 oznacza 

prawdopodobieñstwo k  pora¿ek poprzedzaj¹cych pierwszy sukces. Oczywiœcie 

 

1

0









k

k

P

. 

Ci¹gùe:  

f.  rozkùad jednostajny nad odcinkiem 





b

a,

. 

Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: 

 


























b

a

x

b

a

x

a

b

x

f

,

,

0

,

,

1

. 

g.  rozkùad Couchiego. 

 

6 

Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: 

 





2

1

1

x

x

f







. 

 

h.  rozkùad normalny, Gaussa z parametrami 







,

m

.(







,

m

N

) 

Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f: 

 





2

2

2

2

1





m

x

e

x

f









. 

Dla rozkùadu Gaussa nie jesteœmy w stanie podaã wzoru na dystrybuantê, a 

wartoœci dystrybuanty rozkùadu standardowego 





1

,

0

N

 dla poszczególnych 

punktów mo¿emy znaleêã w tablicach matematycznych. Aby móc z tego 

skorzystaã zauwa¿my, ¿e jeœli X ma rozkùad 







,

m

N

 to zmienna 



m

X

Y





ma 

rozkùad 





1

,

0

N

 i dziêki temu korzystamy z tablic dla dowolnego rozkùadu 

Gaussa. Proces powy¿szy nazywamy standaryzacj¹ rozkùadu Gaussa.  

 

 

Czasami stoimy przed odwrotnym problemem, zamiast na podstawie gêstoœci szukaã 

dystrybuanty musimy znaj¹c dystrybuantê znaleêã gêstoœã, wtedy w okreœlonych 

przypadkach mo¿emy zastosowaã wiedzê z analizy i otrzymujemy reguùê: 

 

Twierdzenie 5 
Je¿eli dystrybuanta F rozkùadu P jest funkcj¹ ci¹gù¹, ró¿niczkowaln¹ poza skoñczon¹ 

iloœci¹ punktów i jej pochodna jest ci¹gùa w swojej dziedzinie to funkcja 

F

f





 

prawie wszêdzie (czyli poza zbiorem miary zero).  

 

Dowód 

Twierdzenie to jest wnioskiem z teorii caùki i pozostawiam je bez dowodu. 

 

Przykùad 3 
Z odcinka (-3,3) losujemy punkt. Niech zmienna X odlegùoœã punktu od 0. 

Rys 1 

 

 

 Policzymy dystrybuantê zmiennej X i o ile istnieje jej gêstoœã. Zauwa¿my, ¿e 





 

 

 

 



















A

A

P

F

,

,

3

,

3

R

, czyli mamy do czynienia z prawdopodobieñstwem 

 

7 

geometrycznym. Policzmy teraz 

 

 









 




















































3

,

1

3

0

,

,

0

,

0

:

3

,

3

:

t

dla

t

dla

t

t

P

t

dla

t

x

X

x

P

t

X

P

t

F





 





































































3

,

1

3

0

,

6

2

0

,

0

3

,

1

3

0

,

3

,

3

,

0

,

0

t

dla

t

dla

t

t

dla

t

dla

t

dla

t

t

t

dla





 

 

 

Zauwa¿my, ¿e funkcja F jest ci¹gùa i ró¿niczkowalna poza zbiorem {0,3}, liczymy jej 

pochodn¹: 

 


























3

,

0

,

3

1

3

0

,

0

t

dla

t

t

dla

t

F

 czyli jest ona ci¹gùa w dziedzinie i 

 
























3

,

0

,

3

1

3

0

,

0

t

dla

t

t

dla

t

f

. Uzupeùniùam funkcjê tak aby byùa okreœlona na caùym 

R

. 

  

Definicja 6 

Wartoœci¹ oczekiwan¹ zmiennej losowej X nazywamy 

 

 





R

x

d

xP

X

E

X

, o ile 

 







R

x

d

P

x

X

. 

My jednak bêdziemy korzystaã z wzorów wynikaj¹cych z tej definicji odnosz¹cych siê 

jednak bezpoœrednio do zmiennych  typu  dyskretnego lub typu ci¹gùego. 

Przypadek dyskretny:  

Niech taki, ¿e 

 

1





E

P

i

E

R

. 

Je¿eli 





,....

,

,

3

2

1

x

x

x

E 

 taki, ¿e 

 





i

i

p

x

P



  i  

1

1









i

i

p

, wtedy mamy 

 

 







,....

2

,

1

k

k

k

p

x

X

E

 pod warunkiem, ¿e 









,....

2

,

1

k

k

k

p

x

. 

 

Przypadek ci¹gùy: 

Niech f gêstoœã rozkùadu zmiennej X, mamy wtedy 

 

   





R

x

d

x

xf

X

E

, o ile 

   







R

x

d

x

f

x

. 

 

Inne przypadki nie bêd¹ nas interesowaã. 

 

Wùasnoœci wartoœci oczekiwanej 

(i) 

Jeœli 

c

X 

 z prawdopodobieñstwem 1 to 

 

c

X

E



. 

 

8 

(ii) 

Jeœli istnieje 

 

X

E

 oraz a dowolna staùa rzeczywista to istnieje 





aX

E

 i 

mamy równoœã: 





 

X

aE

aX

E



. 

(iii) 

Jeœli istniej¹ 

 

X

E

oraz  

 

Y

E

to istnieje 





Y

X

E



 i mamy równoœã: 





 

 

Y

E

X

E

Y

X

E







. 

 

Powy¿sze wùasnoœci wynikaj¹ z podstawowych  wùasnoœci caùki. 

Ponadto oczywistymi ale przydatnymi wzorami s¹ wzory na wartoœã oczekiwan¹ 

funkcji zmiennych losowych 

 





X

g

E

 mamy wtedy: 

dla przypadku dyskretnego: 

 















,....

2

,

1

k

k

k

p

x

g

X

f

E

 pod warunkiem, ¿e 













,....

2

,

1

k

k

k

p

x

g

. 

dla przypadku ci¹gùego: 

 

     





R

x

d

x

f

x

g

X

E

, o ile 

     







R

x

d

x

f

x

g

. 

 

Wartoœci oczekiwane podstawowych rozkùadów: 

Dyskretne: 

a.  rozkùad jednopunktowy.  

 





1

,





a

P

a

R

. 

 

a

X

E



 

b.  rozkùad dwupunktowy. 

 





 





1

,

,

,

,











q

p

q

b

P

p

a

P

b

a

R

. 

 

bq

ap

X

E





, dla rozkùadu 0-1 

mamy 

 

p

X

E



. 

c.  rozkùad dwumianowy, Bernouliego. 

N



n

, dla dowolnego 

n

k

,...,

2

,

1

,

0



 mamy 

 

 

k

n

k

n

q

p

k

n

k

P

k

P





















, 

 

 

.

0

k

n

k

n

k

n

k

q

kp

X

E









. Policzmy: 

 

 





n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

q

p











0

, ró¿niczkuj¹c teraz stronami po p mamy: 

 





1

1

0















n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

n

q

kp

, mno¿¹c teraz przez p otrzymujemy: 

 





1

0













n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

np

q

kp

   st¹d 

 

np

X

E



, bo 





1



 q

p

. 

d.  rozkùad Poissona z parametrem 

0





. 

Dla dowolnego 

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy 

 

!

k

e

k

P

k









. Policzmy 

 

























































































e

e

k

e

k

e

k

e

k

ke

X

E

k

k

k

k

k

k

k

k

0

1

1

1

0

!

!

1

!

1

!

, czyli 

 





X

E

. 

e.  geometryczny. 

Dla dowolnego 

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy 

 

p

q

k

P

k



, gdzie 

1



 q

p

. ãwiczenie dla 

studentów. 

Ci¹gùe:  

 

9 

f.  rozkùad jednostajny nad odcinkiem 





b

a,

. 

Funkcja gêstoœci f: 

 


























b

a

x

b

a

x

a

b

x

f

,

,

0

,

,

1

. Policzmy  

 

   





2

2

1

2

2

a

b

a

b

a

b

dx

a

b

x

x

d

x

xf

X

E

b

a





















R

. 

g.  rozkùad Couchiego.  

Gêstoœã  

 





2

1

1

x

x

f







. Brak wartoœci oczekiwanej bo 





 











R

x

d

x

x

2

1

1

 

 

h.  rozkùad normalny, Gaussa z parametrami 







,

m

.(







,

m

N

) 

Funkcja gêstoœci f: 

 





2

2

2

2

1





m

x

e

x

f









. Po dùu¿szych wyliczeniach caùkowaniu 

przez podstawienie i przez czêœci otrzymujemy 

 

m

X

E



. 

Mo¿na te¿ policzyã dla X standardowego (otrzymamy 

 

0



X

E

). A nastêpnie 

dla dowolnego 







,

m

N

 mamy 

m

X

Y







 st¹d 

 

 

m

m

X

E

Y

E









. 

 

Definicja 7 

Wariancj¹ zmiennej losowej X posiadaj¹cej wartoœã oczekiwan¹ 

 

X

E

 definiujemy 

wzorem: 

 

 





2

2

X

E

X

E

X

D





.  

Odchyleniem standardowym nazywamy 

 

X

D

2





. 

 

£atwo widaã, ¿e 

 





 





2

2

2

X

E

X

E

X

D





. Znowu zajmiemy siê tylko przypadkami: 

dyskretnym i ci¹gùym.  

 

Przypadek dyskretny:  

Niech taki, ¿e 

 

1





E

P

i

E

R

. 

Je¿eli 





,....

,

,

3

2

1

x

x

x

E 

 taki, ¿e 

 





i

i

p

x

P



  i  

1

1









i

i

p

, wtedy mamy 

 

 

2

,....

2

,

1

,....

2

,

1

2

2





























k

k

k

k

k

k

p

x

p

x

X

D

. 

 

Przypadek ci¹gùy: 

Niech f gêstoœã rozkùadu zmiennej X, mamy wtedy 

 

   

   

2

2

2

























R

R

x

d

x

xf

x

d

x

f

x

X

D

. 

 

Wùasnoœci wariancji: 

(i) 

 

c

X

X

D





 0

2

 z prawdopodobieñstwem 1. 

 

10 

(ii) 

Dla dowolnego 





 

X

D

a

aX

D

a

2

2

2

,



 R

. 

(iii) 

Dla dowolnych zmiennych losowych X,Y mamy 





 

 





   

Y

E

X

E

XY

E

Y

D

X

D

Y

X

D











2

2

2

 czyli gdy X,Y 

nieskorelowane. 

 

 

 Dowód 

(i) 

Niech 

c

X 

 z prawdopodobieñstwem 1, wtedy 

 

c

X

E



 oraz 

 

0





X

E

X

 

z prawdopodobieñstwem 1. St¹d 

 





 

0

0

2

2







E

X

E

X

E

. 

(ii) 

Niech 

,

R



a

mamy wtedy  













 





 









 









 

X

D

a

X

E

X

E

a

X

E

X

a

E

X

aE

aX

E

aX

E

aX

E

aX

D

2

2

2

2

2

2

2

2

2



















 

(iii) 





 

 

Y

D

X

D

Y

X

D

2

2

2







 Policzmy  





















 





   

 





 

 





   





Y

E

X

E

XY

E

Y

D

X

D

Y

E

Y

E

X

E

X

E

Y

XY

X

E

Y

X

E

Y

X

E

Y

X

D































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

 

i st¹d widzimy tezê. 

 

Wariancje podstawowych rozkùadów zmiennej losowej 

 

Dyskretne: 

a.  rozkùad jednopunktowy.  

 





1

,





a

P

a

R

. 

 

0

2



X

D

 

b.  rozkùad dwupunktowy. 

 





 





1

,

,

,

,











q

p

q

b

P

p

a

P

b

a

R

. 

 

q

b

p

a

X

D

2

2

2





, dla rozkùadu 0-1 

mamy 

 

p

X

D



2

. 

c.  rozkùad dwumianowy, Bernouliego. 

N



n

, dla dowolnego 

n

k

,...,

2

,

1

,

0



 mamy 

 

 

k

n

k

n

q

p

k

n

k

P

k

P





















, st¹d mamy 

 

 





2

2

0

2

np

q

p

k

X

D

k

n

k

n

k

n

k











. Policzmy: 

 

 





n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

q

p











0

, ró¿niczkuj¹c teraz stronami po p mamy: 

 





1

1

0















n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

n

q

kp

, mno¿¹c teraz przez p otrzymujemy: 

 





1

0













n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

np

q

kp

, ró¿niczkujemy jeszcze raz i mamy: 

 















1

2

1

2

0

1























n

n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

q

p

n

p

n

q

p

k

,mno¿¹c to jeszcze raz przez p i 

wstawiaj¹c  do wzoru na wariancjê otrzymujemy: 

 

11 

 

 











 











npq

p

np

np

p

np

np

np

n

p

np

np

q

p

k

X

D

k

n

k

n

k

n

k

































1

1

1

1

2

2

2

0

2

 

 

 

d.  rozkùad Poissona z parametrem 

0





. 

Dla dowolnego 

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy 

 

!

k

e

k

P

k









. Policzmy 

 



































































































































































































































2

2

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

1

2

1

2

0

2

2

!

2

!

1

1

!

1

!

1

1

!

1

!

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

e

k

e

e

k

k

e

k

k

k

e

k

ke

k

e

k

X

D

, 

 czyli 

 





X

D

2

. 

e.  geometryczny. 

Dla dowolnego 

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy 

 

p

q

k

P

k



, gdzie 

1



 q

p

. ãwiczenie dla 

studentów. 

Ci¹gùe:  

f.  rozkùad jednostajny nad odcinkiem 





b

a,

. 

Funkcja gêstoœci f: 

 


























b

a

x

b

a

x

a

b

x

f

,

,

0

,

,

1

. Policzmy  

 

   









12

2

3

2

1

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

dx

a

b

x

a

b

x

d

x

f

x

X

D

b

a































































R

. 

g.  rozkùad Couchiego.  

Gêstoœã  

 





2

1

1

x

x

f







. Brak wariancji, bo brak wartoœci oczekiwanej. 

 

h.  rozkùad normalny, Gaussa z parametrami 







,

m

.(







,

m

N

) 

Funkcja gêstoœci f: 

 





2

2

2

2

1





m

x

e

x

f









. Po dùu¿szych wyliczeniach caùkowaniu 

przez podstawienie i przez czêœci otrzymujemy 

 

2

2





X

D

. 

Mo¿na te¿ policzyã dla X standardowego (otrzymamy 

 

1

2



X

D

). A nastêpnie 

dla dowolnego 







,

m

N

 mamy 

m

X

Y







 st¹d 









 

2

2

2

2

2

0

1





















m

D

X

D

m

X

D

 

 

 

12 

Zadania 

Zmienna losowa dyskretna 
 

 

1.  Rzucamy dwa razy kostk¹ do gry, niech zmienna losowa X to suma oczek w obu 

rzutach. Znajdê rozkùad zmiennej X. Podaj nastêpuj¹ce prawdopodobieñstwa: 

a) 





10

0



 X

P

 

b) 





5



X

P

 

c) 









7

/

8

,

5





X

X

P

 

Rozwi¹zanie 

Oczywiœcie 









36

,

6

,...,

2

,

1

,

,

,











y

x

y

x

 i mamy do czynienia z modelem 

klasycznym. Ponadto zmienna przyjmuje wartoœci 2,3,4,...,12 – tyle mo¿e wynosiã 

suma oczek. Teraz trzeba zastanowiã siê dla ilu wyników przyjmie poszczególne 

wartoœci: 

 

 

1

,

1

,

2









dla

X

, 

 



 



1

,

2

,

2

,

1

,

3









dla

X

, 

 



 

 



1

,

3

,

2

,

2

,

3

,

1

,

4









dla

X

, 

.... 

 





6

,

6

,

12









dla

X

, czyli poszczególne wartoœci przyjmuje z 

prawdopodobieñstwem, które zapiszemy w tabelce: 

 



X

 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

 

X

P

 

36

1

 

 

36

2

 

36

3

 

36

4

 

 

36

5

 

36

6

 

36

5

 

36

4

 

36

3

 

36

2

 

36

1

 

Sprawdzamy teraz czy suma prawdopodobieñstw wynosi 1, jeœli zgadza siê mo¿emy 

przejœã do liczenia prawdopodobieñstw z podpunktów a,b,c zadania: 

a) 









36

33

10

,

9

,

8

,

7

,

6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

10

0











X

P

X

P

 

b) 









36

26

12

,

11

,

10

,

9

,

8

,

7

,

6

5









X

P

X

P

 

c) 









7

/

8

,

5





X

X

P





















21

11

7

7

,

5

7

/

8

,

5













X

P

X

P

X

X

P

. 

2.  Rzucam 5 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów. Znajdê rozkùad zmiennej 

X. Policz prawdopodobieñstwo: 

a) 





3



X

P

 

b) 





2



X

P

 

3.  Na planszy szachowej w sposób losowy umieszczamy konia. Niech X iloœã pól pod 

jego biciem. Znajdê rozkùad zmiennej X. Podaj nastêpuj¹ce prawdopodobieñstwa: 

a) 





3



X

P

 

b) 





R

a

a

X

P





,

 

4.  Strzelec strzela do tarczy i trafia z prawdopodobieñstwem 

4

1



p

. Niech zmienna X 

iloœã strzaùów poprzedzaj¹cych trafienie. Znajdê rozkùad zmiennej X. 

 

13 

Rozwi¹zanie 

Jest to przykùad rozkùadu geometrycznego. 

 Dla dowolnego 

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy 

 

p

q

k

P

k



, gdzie 

4

3

,

4

1





q

p

.                        

 

k

P

 prawdopodobieñstwo przyjêcia przez zmienn¹ X wartoœci k i oznaczaj¹cej k 

pora¿ek poprzedzaj¹cych pierwszy sukces (trafienie). Ostatecznie 

 























4

1

4

3

k

k

P

 dla 

,....

2

,

1

,

0



k

. Oczywiœcie 

 

1

0









k

k

P

. 

 

5.  W urnie znajduje siê 10 kulek zielonych i 5 biaùych. Z urny losujemy 4 kule. 

Zmienna losowa X oznacza iloœã wylosowanych kul biaùych. Znajdê rozkùad zmiennej 

X. Znajdê jej wartoœã oczekiwan¹ i wariancjê. 

Rozwi¹zanie 

Zauwa¿my, ¿e X przyjmuje wartoœci 0,1,2,3,4. Niech 

 

k

P

X

 oznacza 

prawdopodobieñstwo przyjêcia przez zmienn¹ X wartoœci k. Mamy wiêc: 

 

273

42

4

15

4

10

0

5

0















































X

P

, 

 

273

120

4

15

3

10

1

5

1















































X

P

, 

 

273

90

4

15

2

10

2

5

2















































X

P

, 

 

273

20

4

15

1

10

3

5

3















































X

P

, 

 

273

1

4

15

0

10

4

5

4















































X

P

. 

Mo¿emy zapisaã to równie¿ w tabeli: 

 



X

 

0 

1 

2 

3 

4 

X

P

 

273

42

 

 

273

120

 

273

90

 

273

20

 

 

273

1

 

 

14 

Policzmy teraz wartoœã oczekiwan¹: 

 

 































.

4

,

3

,

2

,

1

,

0

3

1

1

273

364

273

1

4

273

20

3

273

90

2

273

120

1

273

42

0

k

k

kP

X

E

, 

oraz wariancjê: 

 

 

 





7

,

0

3

4

273

1

4

273

20

3

273

90

2

273

120

1

273

42

0

2

2

2

2

2

2

.

4

,

3

,

2

,

1

,

0

2

2

2











































k

X

E

k

P

k

X

D

 

6.  Znajdê rozkùad zmiennej 

4

3





X

Y

 dla zmiennej X z poprzedniego zadania. 

Rozwi¹zanie 

Wystarczy zauwa¿yã jak ta funkcja zmieni wartoœci zmiennej X. Zmienna Y przyjmie 

wartoœci -4,-1,2,5,8 a jej rozkùad przedstawia tabela: 

 



X

 

0 

1 

2 

3 

4 

 



Y

 

-4 

-1 

2 

5 

8 

X

P

 

273

42

 

 

273

120

 

273

90

 

273

20

 

 

273

1

 

7.  Znajdê rozkùad zmiennej 

2

X

Y 

 dla X z zadania 2. Znajdê wartoœã oczekiwan¹ i 

wariancjê zmiennej Y. 

Rozwi¹zanie 
Podobnie jak poprzednie zadanie. 

 



X

 

0 

1 

2 

3 

4 

 



Y

 

0 

1 

4 

9 

16 

X

P

 

273

42

 

 

273

120

 

273

90

 

273

20

 

 

273

1

 

 

8.  Niech 

,...

2

,

1

,

0

,

3

1

)

(















k

dla

c

k

P

k

, dla jakiego c jest to rozkùad pewnej zmiennej. 

Rozwi¹zanie 
Wystarczy sprawdziã dla jakiego c mamy: 

 

 

1

0









k

k

P

. 

Wynik: 

3

2



c

. 

9.  W urnie jest n kul spoœród, których jedna jest biaùa. Losujemy z urny po 1 kuli do 

momentu wylosowania kuli biaùej. Niech X iloœã losowañ. Znajdê rozkùad X jeœli: 

a) 

losujemy ze zwrotem, 

b) 

losujemy bez zwracania. 

 

Zmienna losowa ci¹gùa 

 

1.  Z odcinka 





5

,

3



losujemy liczbê. Niech zmienna losowa X bêdzie: 

a)  wybran¹ liczb¹, 

 

15 

b)  odlegùoœci¹ wybranej liczby od 5, 

c)  odlegùoœci¹ wybranej liczby od 0, 

d)  kwadratem wybranej liczby, 

e)  caùoœci¹ z wybranej liczby. 

W ka¿dym z powy¿szych przypadków znajdê rozkùad zmiennej X oraz gêstoœã rozkùadu 

( o ile istnieje). 

Rozwi¹zanie 

a) 

Proponuje narysowaã wykres funkcji X na 





5

,

3



, jest to po prostu funkcja 

liniowa, tylko na odcinku.  Policzymy dystrybuantê zmiennej X i o ile istnieje jej 

gêstoœã. Zauwa¿my, ¿e 





 

 

 

 



















A

A

P

F

,

,

5

,

3

R

, czyli mamy do 

czynienia z prawdopodobieñstwem geometrycznym. Policzmy teraz 

 

 









 






























































































































5

,

1

5

3

,

8

3

3

,

0

5

,

1

5

3

,

8

,

3

3

,

0

5

,

1

5

3

,

,

3

3

,

0

:

5

,

3

:

t

dla

t

dla

t

t

dla

t

dla

t

dla

t

t

dla

t

dla

t

dla

t

P

t

dla

t

x

X

x

P

t

X

P

t

F







 

 

Zauwa¿my, ¿e funkcja F jest ci¹gùa i ró¿niczkowalna poza zbiorem {-3,5}, 

liczymy jej pochodn¹: 

 






























5

,

3

,

8

1

5

3

,

0

t

dla

t

t

dla

t

F

 czyli jest ona ci¹gùa w dziedzinie i 

 




























5

,

3

,

3

1

5

3

,

0

t

dla

t

t

dla

t

f

. Uzupeùniùam funkcjê tak aby byùa okreœlona na caùym 

R

. 

b) 

podobnie jak podpunkt a). 

c) 

patrz przykùad z czêœci teoretycznej. 

d) 

Proponuje narysowaã wykres funkcji X na 





5

,

3



, jest to po prostu funkcja 

kwadratowa, tylko na odcinku.  Policzymy dystrybuantê zmiennej X i o ile istnieje 

jej gêstoœã. Zauwa¿my, ¿e 





 

 

 

 



















A

A

P

F

,

,

5

,

3

R

, czyli mamy do