1

Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych.

K.Lubnauer

Czêœã 2

Zmienna losowa

Teoria

Definicja 1

Niech





P

F ,

,



bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹. Zmienn¹ losow¹ nazywamy

ka¿d¹ funkcjê rzeczywist¹ X speùniaj¹c¹ jeden z poni¿szych warunków:

(i)

dla dowolnego

R

a 

mamy

 





F

a

X













:

(ii)

dla dowolnego

R

a 

mamy

 





F

a

X













:

(iii)

dla dowolnego

R

a 

mamy

 





F

a

X













:

(iv)

dla dowolnego

R

a 

mamy

 





F

a

X













:

(v)

dla dowolnego

 

R

A





mamy

 

F

A

X



1

,

gdzie

 

R





-ciaùo zbiorów borelowskich na R.

Uwaga



-ciaùo zbiorów borelowskich na R to najmniejsze



-ciaùo zawieraj¹ce wszystkie

przedziaùy.

Definicja 2 (Rozkùad zmiennej losowej)

Rozkùadem zmiennej losowej X okreœlonej na przestrzeni





P

F ,

,



nazywamy miarê

prawdopodobieñstwa okreœlon¹ wzorem: dla dowolnego

 

R

A





 

 





 





A

X

P

A

X

P

A

P

X

1

:

















.

Przykùad 1

Rzucamy 3 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów. Znajdêmy rozkùad X.



 

 

 

 

 

 

 







r

r

r

r

r

o

r

o

r

o

r

r

o

o

r

o

r

o

r

o

o

o

o

o

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,





. Mamy do

czynienia z modelem klasycznym czyli

 





A

A

P

, gdzie

8





. Zmienna X przyjmuje

wartoœci





3

,

2

,

1

,

0

odpowiednio z prawdopodobieñstwem:

 

 





 





















8

1

,

,

0

0

0

1











r

r

r

P

X

P

P

P

X

X

 

 

 

 

 







 

 











8

3

,

,

,

,

,

,

,

,

1

1

1

1











r

r

o

r

o

r

o

r

r

P

X

P

P

P

X

X

 

 





 











 

 











8

3

,

,

,

,

,

,

,

,

2

2

2

1











o

r

o

r

o

o

o

o

r

P

X

P

P

P

X

X

 

 





 





















8

1

,

,

3

3

3

1











o

o

o

P

X

P

P

P

X

X

.

Co mo¿emy zapisaã te¿ w tabeli:

id443477 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

2

i

x

0

1

2

3

 

i

X

x

P

8

1

8

3

8

3

8

1

Twierdzenie 1

Rozkùad zmiennej losowej jest miar¹ prawdopodobieñstwa na

 





R

R



,

.

Dowód

Niech

X

P

rozkùad zmiennej losowej X okreœlonej na przestrzeni





P

F ,

,



okreœlony

wzorem dla dowolnego

 

R

A





 

 





 





A

X

P

A

X

P

A

P

X

1

:

















.

Poka¿emy, ¿e speùnia on aksjomaty z definicji 2 z czêœci 1.

(i)

oczywistym jest z definicji i¿ dla dowolnego

 

R

A





mamy

 

 





0

1







A

X

P

A

P

X

.

(ii)

policzmy teraz

 

 





 

1

1











P

X

P

P

X

R

R

,

(iii)

Niech

 

,...

3

,

2

,

1

,





i

A

i

R



oraz







j

i

A

A

dla

j

i 

,(czyli s¹ parami

rozù¹czne) to z wùasnoœci przeciwobrazu ( przeciwobraz sumy zbiorów

równy jest sumie przeciwobrazów i przeciwobrazy zbiorów rozù¹cznych s¹

rozù¹czne ) oraz z wùasnoœci P mamy

 

 





 































































































1

1

1

1

1

1

1

1

i

i

X

i

i

n

i

i

i

i

i

i

X

A

P

A

X

P

A

X

P

A

X

P

A

P







.

Pokazaliœmy, ¿e rozkùad jest miar¹ probabilistyczn¹ na

 





R

R



,

, rodzi siê pytanie

odwrotne: czy ka¿da miara unormowana na

 





R

R



,

. jest rozkùadem pewnej zmiennej

losowej?

Okazuje siê, ¿e odpowiedê jest pozytywna.

Twierdzenie 2

Ka¿da miara unormowana na

 





R

R



,

jest rozkùadem pewnej zmiennej losowej.

Dowód

Niech

P

pewna miara unormowana (probabilistyczna) na

 





R

R



,

, przyjmijmy teraz

 

R

R









F

,

oraz X zmienna losowa okreœlona wzorem

 







X

. Oczywiœcie

R





:

X

oraz mamy dla dowolnego

 

R

A





:

 

 









 

A

P

A

P

A

X

P

A

P

X



























:

:

. St¹d

X

P

P 

, czyli P rozkùad

pewnej zmiennej losowej X

Uwaga

Dlatego miary probabilistyczne na

 





R

R



,

nazywamy rozkùadami.

Definicja 3(Dystrybuanta rozkùadu)

3

Niech P rozkùad na

 





R

R



,

, dystrybuant¹ rozkùadu P nazywamy funkcjê F okreœlon¹

nastêpuj¹co:

 

1

,

0

:



X

F

,

 









x

P

x

F

,







,

R

x 

.

Przykùad 2

Rzucamy 2 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów,

  



2

,

1

,

0





X

i mamy:

 

 

 

4

1

2

,

2

1

1

,

4

1

0







X

X

X

P

P

P

, st¹d

 



































2

,

1

2

1

,

2

1

4

1

1

0

,

4

1

0

,

0

x

x

x

x

x

F

.

Jest to przykùad dystrybuanty rozkùadu dyskretnego (patrz definicja 4), przykùad

dystrybuanty dla przypadku ci¹gùego(definicja 5) mamy po Twierdzeniu 5

Twierdzenie 3 ( wùasnoœci dystrybuanty )

Dystrybuanta F rozkùadu prawdopodobieñstwa P na

 





R

R



,

ma nastêpuj¹ce

wùasnoœci:

(i)

F niemalej¹ca,

(ii)

F lewostronnie ci¹gùa,

(iii)

 

 

1

lim

,

0

lim













x

F

x

F

x

x

.

Dowód

(i)

Niech

2

1

x

x 

wtedy









2

1

,

,

x

x











i z monotonicznoœci P mamy:

 

















 

2

2

1

1

,

,

x

F

x

P

x

P

x

F















, czyli F niemalej¹ca.

(ii)

Poka¿emy, ¿e

 





O

x

x

x

F

x

F

O







lim

, Poniewa¿ F niemalej¹ca wiêc

granica

 

x

F

O

x

x





lim

istnieje i mo¿emy wzi¹ã dowolny rosn¹cy ci¹g

n

x

zbie¿ny

lewostronnie do

O

x

i zbadaã czy granica









O

n

x

x

x

F

x

F

O

n







lim

. Zauwa¿my, ¿e





























O

O

n

n

n

x

x

n

x

x

x

F

x

P

x

P

x

P

x

F

O

n

O

n















































,

,

,

lim

lim

1



z

ci¹gùoœci P.

(iii)

Poniewa¿ F monotoniczna i ograniczona wiêc niew¹tpliwie posiada

skoñczone granice w









i

, policzymy je wiêc dla ustalonych ci¹gów

















 

0

,

,

lim

lim

1



















































P

n

P

n

P

n

F

n

n

n



i analogicznie

 













 

1

,

,

lim

lim

1













































P

n

P

n

P

n

F

n

n

n



.

Wùasnoœã

F jako funkcja niemalej¹ca i ograniczona ma skoñczon¹ liczbê punktów nieci¹gùoœci.

Dowód

4

Rzeczywiœcie, niech dla

 

 

























n

x

F

x

F

x

E

n

n

1

:

,

R

N

(gdzie

 



x

F

oznacza

granicê prawostronn¹ w punkcie x), wtedy

n

E

n



. Istotnie przypuœãmy ¿e

n

m

E

n





,

wtedy mielibyœmy dla

m

x

x

x

x









...

3

2

1

nale¿¹cych do

n

E

:

 

 





























1

1

...

1

1

....

1

2

2

1

1































n

n

n

x

F

x

F

x

F

x

F

x

F

x

F

m

m

bo

n

m 

,

czyli otrzymujemy sprzecznoœã. Tak wiêc

n

E

n



, zatem









1

n

n

E

E

jest przeliczalny.

Zauwa¿my jeszcze, ¿e E to zbiór punktów nieci¹gùoœci F i mamy tezê.

Twierdzenie 4

Ka¿da funkcja speùniaj¹ca warunki (i)-(iii) jest dystrybuant¹ pewnego, i jednego

rozkùadu na

 





R

R



,

.

Dowód

Poniewa¿ przedziaùy postaci





x

,





generuj¹

 

R



wiêc mo¿emy zdefiniowaã miarê

jednoznacznie na

 





R

R



,

wzorem









 

x

F

x

P







,

.

Wùasnoœci dystrybuanty:

Niech F bêdzie dystrybuant¹ rozkùadu P. Dla dowolnych

b

a

b

a





,

,

R

mamy:

(i)









 

b

F

b

P







,

,

(ii)









 









b

F

b

P

,

,

(iii)









 

a

F

a

P







1

,

,

(iv)









 









a

F

a

P

1

,

,

(v)









 

 

a

F

b

F

b

a

P





,

,

(vi)









 

 







a

F

b

F

b

a

P

,

,

(vii)









 

 

a

F

b

F

b

a

P







,

,

(viii)









 

 

a

F

b

F

b

a

P







,

,

(ix)

 





 

 

a

F

a

F

a

P







.

Wùasnoœci te s¹ proste do wykazania i pozostawiam do samodzielnego dowodzenia.

Definicja 4

Rozkùad P nazywamy rozkùadem dyskretnym lub typu skokowego je¿eli istnieje zbiór

przeliczalny (mo¿e byã skoñczony) taki, ¿e

 

1





E

P

i

E

R

.

Je¿eli





,....

,

,

3

2

1

x

x

x

E 

to aby zdefiniowaã rozkùad dyskretny wystarczy podaã

wartoœci P dla zbiorów jednopunktowych zawieraj¹cych elementy z E.

Jeœli

 





i

i

p

x

P



to oczywiœcie

1

1









i

i

p

.

Definicja 5

5

Rozkùad P nazywamy rozkùadem ci¹gùym lub typu ci¹gùego je¿eli istnieje taka funkcja

nieujemna f,

 

1





R

dt

t

f

, zwana gêstoœci¹ rozkùadu P taka, ¿e dystrybuanta F rozkùadu

P wyra¿a siê wzorem:

 

 









x

dt

t

f

x

F

lub równowa¿nie dla dowolnego

 

R





A

mamy:

 

 





A

dt

t

f

A

P

.

Zauwa¿my, ¿e gêstoœã nie jest wyznaczona jednoznacznie i jest to pewna klasa funkcji

równych sobie poza zbiorem miary 0.

Podstawowe rozkùady prawdopodobieñstwa:

Dyskretne:

a. rozkùad jednopunktowy.

 





1

,





a

P

a

R

. Wtedy

 













A

a

A

a

A

P

,

0

,

1

.

b. rozkùad dwupunktowy.

 





 





1

,

,

,

,











q

p

q

b

P

p

a

P

b

a

R

. Rodzajem rozkùadu dwupunktowego

jest rozkùad 0-1 (zero-jedynkowy), gdy a=1, b=0

c. rozkùad dwumianowy, Bernouliego.

N



n

, dla dowolnego

n

k

,...,

2

,

1

,

0



mamy

 

 

k

n

k

n

q

p

k

n

k

P

k

P





















, gdzie

1



 q

p

oraz zwyczajowo p nazywamy prawdopodobieñstwem sukcesu, a q

pora¿ki, zaœ

 

k

P

n

oznacza prawdopodobieñstwo k sukcesów w n próbach

(doœwiadczeniach). Oczywiœcie

 

1

0







n

k

n

k

P

.

d. rozkùad Poissona z parametrem

0





.

Dla dowolnego

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy

 

!

k

e

k

P

k









. Oczywiœcie

 

1

0









k

k

P

.

e. geometryczny.

Dla dowolnego

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy

 

p

q

k

P

k



, gdzie

1



 q

p

.

 

k

P

oznacza

prawdopodobieñstwo k pora¿ek poprzedzaj¹cych pierwszy sukces. Oczywiœcie

 

1

0









k

k

P

.

Ci¹gùe:

f. rozkùad jednostajny nad odcinkiem





b

a,

.

Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f:

 


























b

a

x

b

a

x

a

b

x

f

,

,

0

,

,

1

.

g. rozkùad Couchiego.

6

Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f:

 





2

1

1

x

x

f







.

h. rozkùad normalny, Gaussa z parametrami







,

m

.(







,

m

N

)

Definiujemy go funkcj¹ gêstoœci f:

 





2

2

2

2

1





m

x

e

x

f









.

Dla rozkùadu Gaussa nie jesteœmy w stanie podaã wzoru na dystrybuantê, a

wartoœci dystrybuanty rozkùadu standardowego





1

,

0

N

dla poszczególnych

punktów mo¿emy znaleêã w tablicach matematycznych. Aby móc z tego

skorzystaã zauwa¿my, ¿e jeœli X ma rozkùad







,

m

N

to zmienna



m

X

Y





ma

rozkùad





1

,

0

N

i dziêki temu korzystamy z tablic dla dowolnego rozkùadu

Gaussa. Proces powy¿szy nazywamy standaryzacj¹ rozkùadu Gaussa.

Czasami stoimy przed odwrotnym problemem, zamiast na podstawie gêstoœci szukaã

dystrybuanty musimy znaj¹c dystrybuantê znaleêã gêstoœã, wtedy w okreœlonych

przypadkach mo¿emy zastosowaã wiedzê z analizy i otrzymujemy reguùê:

Twierdzenie 5
Je¿eli dystrybuanta F rozkùadu P jest funkcj¹ ci¹gù¹, ró¿niczkowaln¹ poza skoñczon¹

iloœci¹ punktów i jej pochodna jest ci¹gùa w swojej dziedzinie to funkcja

F

f





prawie wszêdzie (czyli poza zbiorem miary zero).

Dowód

Twierdzenie to jest wnioskiem z teorii caùki i pozostawiam je bez dowodu.

Przykùad 3
Z odcinka (-3,3) losujemy punkt. Niech zmienna X odlegùoœã punktu od 0.

Rys 1

Policzymy dystrybuantê zmiennej X i o ile istnieje jej gêstoœã. Zauwa¿my, ¿e





 

 

 

 



















A

A

P

F

,

,

3

,

3

R

, czyli mamy do czynienia z prawdopodobieñstwem

7

geometrycznym. Policzmy teraz

 

 









 




















































3

,

1

3

0

,

,

0

,

0

:

3

,

3

:

t

dla

t

dla

t

t

P

t

dla

t

x

X

x

P

t

X

P

t

F









































































3

,

1

3

0

,

6

2

0

,

0

3

,

1

3

0

,

3

,

3

,

0

,

0

t

dla

t

dla

t

t

dla

t

dla

t

dla

t

t

t

dla





Zauwa¿my, ¿e funkcja F jest ci¹gùa i ró¿niczkowalna poza zbiorem {0,3}, liczymy jej

pochodn¹:

 


























3

,

0

,

3

1

3

0

,

0

t

dla

t

t

dla

t

F

czyli jest ona ci¹gùa w dziedzinie i

 
























3

,

0

,

3

1

3

0

,

0

t

dla

t

t

dla

t

f

. Uzupeùniùam funkcjê tak aby byùa okreœlona na caùym

R

.

Definicja 6

Wartoœci¹ oczekiwan¹ zmiennej losowej X nazywamy

 

 





R

x

d

xP

X

E

X

, o ile

 







R

x

d

P

x

X

.

My jednak bêdziemy korzystaã z wzorów wynikaj¹cych z tej definicji odnosz¹cych siê

jednak bezpoœrednio do zmiennych typu dyskretnego lub typu ci¹gùego.

Przypadek dyskretny:

Niech taki, ¿e

 

1





E

P

i

E

R

.

Je¿eli





,....

,

,

3

2

1

x

x

x

E 

taki, ¿e

 





i

i

p

x

P



i

1

1









i

i

p

, wtedy mamy

 







,....

2

,

1

k

k

k

p

x

X

E

pod warunkiem, ¿e









,....

2

,

1

k

k

k

p

x

.

Przypadek ci¹gùy:

Niech f gêstoœã rozkùadu zmiennej X, mamy wtedy

 

   





R

x

d

x

xf

X

E

, o ile

   







R

x

d

x

f

x

.

Inne przypadki nie bêd¹ nas interesowaã.

Wùasnoœci wartoœci oczekiwanej

(i)

Jeœli

c

X 

z prawdopodobieñstwem 1 to

 

c

X

E



.

8

(ii)

Jeœli istnieje

 

X

E

oraz a dowolna staùa rzeczywista to istnieje





aX

E

i

mamy równoœã:





 

X

aE

aX

E



.

(iii)

Jeœli istniej¹

 

X

E

oraz

 

Y

E

to istnieje





Y

X

E



i mamy równoœã:





 

 

Y

E

X

E

Y

X

E







.

Powy¿sze wùasnoœci wynikaj¹ z podstawowych wùasnoœci caùki.

Ponadto oczywistymi ale przydatnymi wzorami s¹ wzory na wartoœã oczekiwan¹

funkcji zmiennych losowych

 





X

g

E

mamy wtedy:

dla przypadku dyskretnego:

 















,....

2

,

1

k

k

k

p

x

g

X

f

E

pod warunkiem, ¿e













,....

2

,

1

k

k

k

p

x

g

.

dla przypadku ci¹gùego:

 

     





R

x

d

x

f

x

g

X

E

, o ile

     







R

x

d

x

f

x

g

.

Wartoœci oczekiwane podstawowych rozkùadów:

Dyskretne:

a. rozkùad jednopunktowy.

 





1

,





a

P

a

R

.

 

a

X

E



b. rozkùad dwupunktowy.

 





 





1

,

,

,

,











q

p

q

b

P

p

a

P

b

a

R

.

 

bq

ap

X

E





, dla rozkùadu 0-1

mamy

 

p

X

E



.

c. rozkùad dwumianowy, Bernouliego.

N



n

, dla dowolnego

n

k

,...,

2

,

1

,

0



mamy

 

 

k

n

k

n

q

p

k

n

k

P

k

P





















,

 

 

.

0

k

n

k

n

k

n

k

q

kp

X

E









. Policzmy:

 





n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

q

p











0

, ró¿niczkuj¹c teraz stronami po p mamy:

 





1

1

0















n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

n

q

kp

, mno¿¹c teraz przez p otrzymujemy:

 





1

0













n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

np

q

kp

st¹d

 

np

X

E



, bo





1



 q

p

.

d. rozkùad Poissona z parametrem

0





.

Dla dowolnego

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy

 

!

k

e

k

P

k









. Policzmy

 

























































































e

e

k

e

k

e

k

e

k

ke

X

E

k

k

k

k

k

k

k

k

0

1

1

1

0

!

!

1

!

1

!

, czyli

 





X

E

.

e. geometryczny.

Dla dowolnego

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy

 

p

q

k

P

k



, gdzie

1



 q

p

. ãwiczenie dla

studentów.

Ci¹gùe:

9

f. rozkùad jednostajny nad odcinkiem





b

a,

.

Funkcja gêstoœci f:

 


























b

a

x

b

a

x

a

b

x

f

,

,

0

,

,

1

. Policzmy

 

   





2

2

1

2

2

a

b

a

b

a

b

dx

a

b

x

x

d

x

xf

X

E

b

a





















R

.

g. rozkùad Couchiego.

Gêstoœã

 





2

1

1

x

x

f







. Brak wartoœci oczekiwanej bo





 











R

x

d

x

x

2

1

1

h. rozkùad normalny, Gaussa z parametrami







,

m

.(







,

m

N

)

Funkcja gêstoœci f:

 





2

2

2

2

1





m

x

e

x

f









. Po dùu¿szych wyliczeniach caùkowaniu

przez podstawienie i przez czêœci otrzymujemy

 

m

X

E



.

Mo¿na te¿ policzyã dla X standardowego (otrzymamy

 

0



X

E

). A nastêpnie

dla dowolnego







,

m

N

mamy

m

X

Y







st¹d

 

 

m

m

X

E

Y

E









.

Definicja 7

Wariancj¹ zmiennej losowej X posiadaj¹cej wartoœã oczekiwan¹

 

X

E

definiujemy

wzorem:

 

 





2

2

X

E

X

E

X

D





.

Odchyleniem standardowym nazywamy

 

X

D

2





.

£atwo widaã, ¿e

 





 





2

2

2

X

E

X

E

X

D





. Znowu zajmiemy siê tylko przypadkami:

dyskretnym i ci¹gùym.

Przypadek dyskretny:

Niech taki, ¿e

 

1





E

P

i

E

R

.

Je¿eli





,....

,

,

3

2

1

x

x

x

E 

taki, ¿e

 





i

i

p

x

P



i

1

1









i

i

p

, wtedy mamy

 

2

,....

2

,

1

,....

2

,

1

2

2





























k

k

k

k

k

k

p

x

p

x

X

D

.

Przypadek ci¹gùy:

Niech f gêstoœã rozkùadu zmiennej X, mamy wtedy

 

   

   

2

2

2

























R

R

x

d

x

xf

x

d

x

f

x

X

D

.

Wùasnoœci wariancji:

(i)

 

c

X

X

D





 0

2

z prawdopodobieñstwem 1.

10

(ii)

Dla dowolnego





 

X

D

a

aX

D

a

2

2

2

,



 R

.

(iii)

Dla dowolnych zmiennych losowych X,Y mamy





 

 





   

Y

E

X

E

XY

E

Y

D

X

D

Y

X

D











2

2

2

czyli gdy X,Y

nieskorelowane.

Dowód

(i)

Niech

c

X 

z prawdopodobieñstwem 1, wtedy

 

c

X

E



oraz

 

0





X

E

X

z prawdopodobieñstwem 1. St¹d

 





 

0

0

2

2







E

X

E

X

E

.

(ii)

Niech

,

R



a

mamy wtedy













 





 









 









 

X

D

a

X

E

X

E

a

X

E

X

a

E

X

aE

aX

E

aX

E

aX

E

aX

D

2

2

2

2

2

2

2

2

2



















(iii)





 

 

Y

D

X

D

Y

X

D

2

2

2







Policzmy





















 





   

 





 

 





   





Y

E

X

E

XY

E

Y

D

X

D

Y

E

Y

E

X

E

X

E

Y

XY

X

E

Y

X

E

Y

X

E

Y

X

D































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

i st¹d widzimy tezê.

Wariancje podstawowych rozkùadów zmiennej losowej

Dyskretne:

a. rozkùad jednopunktowy.

 





1

,





a

P

a

R

.

 

0

2



X

D

b. rozkùad dwupunktowy.

 





 





1

,

,

,

,











q

p

q

b

P

p

a

P

b

a

R

.

 

q

b

p

a

X

D

2

2

2





, dla rozkùadu 0-1

mamy

 

p

X

D



2

.

c. rozkùad dwumianowy, Bernouliego.

N



n

, dla dowolnego

n

k

,...,

2

,

1

,

0



mamy

 

 

k

n

k

n

q

p

k

n

k

P

k

P





















, st¹d mamy

 

 





2

2

0

2

np

q

p

k

X

D

k

n

k

n

k

n

k











. Policzmy:

 





n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

q

p











0

, ró¿niczkuj¹c teraz stronami po p mamy:

 





1

1

0















n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

n

q

kp

, mno¿¹c teraz przez p otrzymujemy:

 





1

0













n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

np

q

kp

, ró¿niczkujemy jeszcze raz i mamy:

 















1

2

1

2

0

1























n

n

k

n

k

n

k

n

k

q

p

q

p

n

p

n

q

p

k

,mno¿¹c to jeszcze raz przez p i

wstawiaj¹c do wzoru na wariancjê otrzymujemy:

11

 

 











 











npq

p

np

np

p

np

np

np

n

p

np

np

q

p

k

X

D

k

n

k

n

k

n

k

































1

1

1

1

2

2

2

0

2

d. rozkùad Poissona z parametrem

0





.

Dla dowolnego

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy

 

!

k

e

k

P

k









. Policzmy

 



































































































































































































































2

2

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

1

2

1

2

0

2

2

!

2

!

1

1

!

1

!

1

1

!

1

!

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

e

k

e

e

k

k

e

k

k

k

e

k

ke

k

e

k

X

D

,

czyli

 





X

D

2

.

e. geometryczny.

Dla dowolnego

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy

 

p

q

k

P

k



, gdzie

1



 q

p

. ãwiczenie dla

studentów.

Ci¹gùe:

f. rozkùad jednostajny nad odcinkiem





b

a,

.

Funkcja gêstoœci f:

 


























b

a

x

b

a

x

a

b

x

f

,

,

0

,

,

1

. Policzmy

 

   









12

2

3

2

1

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

dx

a

b

x

a

b

x

d

x

f

x

X

D

b

a































































R

.

g. rozkùad Couchiego.

Gêstoœã

 





2

1

1

x

x

f







. Brak wariancji, bo brak wartoœci oczekiwanej.

h. rozkùad normalny, Gaussa z parametrami







,

m

.(







,

m

N

)

Funkcja gêstoœci f:

 





2

2

2

2

1





m

x

e

x

f









. Po dùu¿szych wyliczeniach caùkowaniu

przez podstawienie i przez czêœci otrzymujemy

 

2

2





X

D

.

Mo¿na te¿ policzyã dla X standardowego (otrzymamy

 

1

2



X

D

). A nastêpnie

dla dowolnego







,

m

N

mamy

m

X

Y







st¹d









 

2

2

2

2

2

0

1





















m

D

X

D

m

X

D

12

Zadania

Zmienna losowa dyskretna

1. Rzucamy dwa razy kostk¹ do gry, niech zmienna losowa X to suma oczek w obu

rzutach. Znajdê rozkùad zmiennej X. Podaj nastêpuj¹ce prawdopodobieñstwa:

a)





10

0



 X

P

b)





5



X

P

c)









7

/

8

,

5





X

X

P

Rozwi¹zanie

Oczywiœcie









36

,

6

,...,

2

,

1

,

,

,











y

x

y

x

i mamy do czynienia z modelem

klasycznym. Ponadto zmienna przyjmuje wartoœci 2,3,4,...,12 – tyle mo¿e wynosiã

suma oczek. Teraz trzeba zastanowiã siê dla ilu wyników przyjmie poszczególne

wartoœci:

 

 

1

,

1

,

2









dla

X

,

 



 



1

,

2

,

2

,

1

,

3









dla

X

,

 



 

 



1

,

3

,

2

,

2

,

3

,

1

,

4









dla

X

,

....

 





6

,

6

,

12









dla

X

, czyli poszczególne wartoœci przyjmuje z

prawdopodobieñstwem, które zapiszemy w tabelce:

 



X

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

X

P

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

Sprawdzamy teraz czy suma prawdopodobieñstw wynosi 1, jeœli zgadza siê mo¿emy

przejœã do liczenia prawdopodobieñstw z podpunktów a,b,c zadania:

a)









36

33

10

,

9

,

8

,

7

,

6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

10

0











X

P

X

P

b)









36

26

12

,

11

,

10

,

9

,

8

,

7

,

6

5









X

P

X

P

c)









7

/

8

,

5





X

X

P





















21

11

7

7

,

5

7

/

8

,

5













X

P

X

P

X

X

P

.

2. Rzucam 5 razy monet¹. Niech X iloœã wyrzuconych orùów. Znajdê rozkùad zmiennej

X. Policz prawdopodobieñstwo:

a)





3



X

P

b)





2



X

P

3. Na planszy szachowej w sposób losowy umieszczamy konia. Niech X iloœã pól pod

jego biciem. Znajdê rozkùad zmiennej X. Podaj nastêpuj¹ce prawdopodobieñstwa:

a)





3



X

P

b)





R

a

a

X

P





,

4. Strzelec strzela do tarczy i trafia z prawdopodobieñstwem

4

1



p

. Niech zmienna X

iloœã strzaùów poprzedzaj¹cych trafienie. Znajdê rozkùad zmiennej X.

13

Rozwi¹zanie

Jest to przykùad rozkùadu geometrycznego.

Dla dowolnego

,....

2

,

1

,

0



k

, mamy

 

p

q

k

P

k



, gdzie

4

3

,

4

1





q

p

.

 

k

P

prawdopodobieñstwo przyjêcia przez zmienn¹ X wartoœci k i oznaczaj¹cej k

pora¿ek poprzedzaj¹cych pierwszy sukces (trafienie). Ostatecznie

 























4

1

4

3

k

k

P

dla

,....

2

,

1

,

0



k

. Oczywiœcie

 

1

0









k

k

P

.

5. W urnie znajduje siê 10 kulek zielonych i 5 biaùych. Z urny losujemy 4 kule.

Zmienna losowa X oznacza iloœã wylosowanych kul biaùych. Znajdê rozkùad zmiennej

X. Znajdê jej wartoœã oczekiwan¹ i wariancjê.

Rozwi¹zanie

Zauwa¿my, ¿e X przyjmuje wartoœci 0,1,2,3,4. Niech

 

k

P

X

oznacza

prawdopodobieñstwo przyjêcia przez zmienn¹ X wartoœci k. Mamy wiêc:

 

273

42

4

15

4

10

0

5

0















































X

P

,

 

273

120

4

15

3

10

1

5

1















































X

P

,

 

273

90

4

15

2

10

2

5

2















































X

P

,

 

273

20

4

15

1

10

3

5

3















































X

P

,

 

273

1

4

15

0

10

4

5

4















































X

P

.

Mo¿emy zapisaã to równie¿ w tabeli:

 



X

0

1

2

3

4

X

P

273

42

273

120

273

90

273

20

273

1

14

Policzmy teraz wartoœã oczekiwan¹:

 

 































.

4

,

3

,

2

,

1

,

0

3

1

1

273

364

273

1

4

273

20

3

273

90

2

273

120

1

273

42

0

k

k

kP

X

E

,

oraz wariancjê:

 

 

 





7

,

0

3

4

273

1

4

273

20

3

273

90

2

273

120

1

273

42

0

2

2

2

2

2

2

.

4

,

3

,

2

,

1

,

0

2

2

2











































k

X

E

k

P

k

X

D

6. Znajdê rozkùad zmiennej

4

3





X

Y

dla zmiennej X z poprzedniego zadania.

Rozwi¹zanie

Wystarczy zauwa¿yã jak ta funkcja zmieni wartoœci zmiennej X. Zmienna Y przyjmie

wartoœci -4,-1,2,5,8 a jej rozkùad przedstawia tabela:

 



X

0

1

2

3

4

 



Y

-4

-1

2

5

8

X

P

273

42

273

120

273

90

273

20

273

1

7. Znajdê rozkùad zmiennej

2

X

Y 

dla X z zadania 2. Znajdê wartoœã oczekiwan¹ i

wariancjê zmiennej Y.

Rozwi¹zanie
Podobnie jak poprzednie zadanie.

 



X

0

1

2

3

4

 



Y

0

1

4

9

16

X

P

273

42

273

120

273

90

273

20

273

1

8. Niech

,...

2

,

1

,

0

,

3

1

)

(















k

dla

c

k

P

k

, dla jakiego c jest to rozkùad pewnej zmiennej.

Rozwi¹zanie
Wystarczy sprawdziã dla jakiego c mamy:

 

1

0









k

k

P

.

Wynik:

3

2



c

.

9. W urnie jest n kul spoœród, których jedna jest biaùa. Losujemy z urny po 1 kuli do

momentu wylosowania kuli biaùej. Niech X iloœã losowañ. Znajdê rozkùad X jeœli:

a)

losujemy ze zwrotem,

b)

losujemy bez zwracania.

Zmienna losowa ci¹gùa

1. Z odcinka





5

,

3



losujemy liczbê. Niech zmienna losowa X bêdzie:

a) wybran¹ liczb¹,

15

b) odlegùoœci¹ wybranej liczby od 5,

c) odlegùoœci¹ wybranej liczby od 0,

d) kwadratem wybranej liczby,

e) caùoœci¹ z wybranej liczby.

W ka¿dym z powy¿szych przypadków znajdê rozkùad zmiennej X oraz gêstoœã rozkùadu

( o ile istnieje).

Rozwi¹zanie

a)

Proponuje narysowaã wykres funkcji X na





5

,

3



, jest to po prostu funkcja

liniowa, tylko na odcinku. Policzymy dystrybuantê zmiennej X i o ile istnieje jej

gêstoœã. Zauwa¿my, ¿e





 

 

 

 



















A

A

P

F

,

,

5

,

3

R

, czyli mamy do

czynienia z prawdopodobieñstwem geometrycznym. Policzmy teraz

 

 









 






























































































































5

,

1

5

3

,

8

3

3

,

0

5

,

1

5

3

,

8

,

3

3

,

0

5

,

1

5

3

,

,

3

3

,

0

:

5

,

3

:

t

dla

t

dla

t

t

dla

t

dla

t

dla

t

t

dla

t

dla

t

dla

t

P

t

dla

t

x

X

x

P

t

X

P

t

F







Zauwa¿my, ¿e funkcja F jest ci¹gùa i ró¿niczkowalna poza zbiorem {-3,5},

liczymy jej pochodn¹:

 






























5

,

3

,

8

1

5

3

,

0

t

dla

t

t

dla

t

F

czyli jest ona ci¹gùa w dziedzinie i

 




























5

,

3

,

3

1

5

3

,

0

t

dla

t

t

dla

t

f

. Uzupeùniùam funkcjê tak aby byùa okreœlona na caùym

R

.

b)

podobnie jak podpunkt a).

c)

patrz przykùad z czêœci teoretycznej.

d)

Proponuje narysowaã wykres funkcji X na





5

,

3



, jest to po prostu funkcja

kwadratowa, tylko na odcinku. Policzymy dystrybuantê zmiennej X i o ile istnieje

jej gêstoœã. Zauwa¿my, ¿e





 

 

 

 



















A

A

P

F

,

,

5

,

3

R

, czyli mamy do

16

czynienia z prawdopodobieñstwem geometrycznym. Policzmy teraz

 

 









 











































































































































































25

,

1

25

9

,

8

3

9

0

,

8

2

0

,

0

25

,

1

25

9

,

8

,

3

9

0

,

8

,

0

,

0

25

,

1

25

9

,

,

3

9

0

,

,

0

,

0

:

5

,

3

:

5

,

3

:

2

t

dla

t

dla

t

t

dla

t

t

dla

t

dla

t

dla

t

t

dla

t

t

t

dla

t

dla

t

dla

t

P

t

dla

t

t

P

t

dla

t

x

x

P

t

x

X

x

P

t

X

P

t

F









Zauwa¿my, ¿e funkcja F jest ci¹gùa i ró¿niczkowalna poza zbiorem {0,9,25},

liczymy jej pochodn¹:

 









































25

,

9

,

16

1

9

,

0

,

8

1

25

0

,

0

t

dla

t

t

dla

t

t

t

dla

t

F

czyli jest ona ci¹gùa w dziedzinie i

 







































25

,

9

,

16

1

9

,

0

,

8

1

25

0

,

0

t

dla

t

t

dla

t

t

t

dla

t

f

.

Uzupeùniùam funkcjê tak aby byùa okreœlona na caùym

R

.

e)

Model jak wy¿ej. Teraz zmienna przyjmuje tylko 9 wartoœci:





5

,

4

,

3

,

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

3







. Ka¿d¹ z tych wartoœci poza 5 (przyjmujê j¹ tylko dla

5





) przyjmuje na przedziale o dùugoœci 1 czyli z prawdopodobieñstwa

geometrycznego

 

4

,

3

,

2

,

1

,

0

,

1

,

2

,

3

,

8

1











i

dla

i

P

X

. Jest to rozkùad dyskretny i

nie posiada gêstoœci, zaœ dystrybuanta jest funkcj¹ schodkow¹ okreœlon¹

wzorem:

17

 





































































4

,

1

4

3

,

8

7

....

0

1

,

8

3

1

2

,

8

2

2

3

,

8

1

3

,

0

t

dla

t

dla

t

dla

t

dla

t

dla

t

dla

t

F

.

2. Dwie osoby maj¹ siê spotkaã miêdzy godzin¹ 18 a 19 w pubie. Osoba która

przyjdzie pierwsza czeka na drug¹, ale nie dùu¿ej ni¿ 15 minut. Zmienna losowa X to

czas oczekiwania osoby, która przyszùa pierwsza. Znajdê dystrybuantê tego rozkùadu.

Zbadaj czy istnieje gêstoœã.

3. Zmienna losowa X ma gêstoœã dan¹ wzorem:

 

































x

pozostaych

dla

x

dla

ax

x

dla

x

f

0

1

0

1

2

2

1

2

gdzie a pewna nieznana staùa. Znajdê a oraz dystrybuantê zmiennej X.

Rozwi¹zanie

Staù¹ a mo¿emy wyliczyã z warunku

 

1





R

dt

t

f

. Mamy wiêc

 

a

at

dt

at

dt

dt

t

f

3

1

2

1

0

1

3

2

1

2

1

3

1

0

2

1

2























R

. Otrzymaliœmy

2

3



a

, czyli

 

































x

pozostaych

dla

x

dla

x

x

dla

x

f

0

1

0

2

3

1

2

2

1

2

.

Teraz liczymy dystrybuantê korzystaj¹c ze wzoru:

 

 









x

dt

t

f

x

F

. Mamy wiêc:

18

 

 





































































x

x

x

x

dla

x

dla

x

x

dla

x

dla

dt

x

dla

dt

t

f

x

F

1

,

1

1

0

2

3

2

1

0

1

,

2

1

1

2

,

2

1

2

,

0

0

2

2

.

Policzenie caùek pozostawiam do samodzielnej pracy.

4. Zmienna losowa X ma gêstoœã dan¹ wzorem:

 















0

0

0

x

dla

x

dla

e

x

f

x





gdzie pewna



nieznana staùa.(Rozkùad maj¹cy powy¿sz¹ gêstoœã to rozkùad

wykùadniczy). Znajdê



wiedz¹c, ¿e

 





 





4

:

2

2

:















w

X

P

w

X

P





. Policz

dystrybuantê tej zmiennej.

5. Zmienna losowa X ma gêstoœã dan¹ wzorem:

 















0

0

0

2

x

dla

x

dla

e

x

f

ax

gdzie a pewna nieznana staùa. Znajdê a oraz dystrybuantê zmiennej X.

6. Znajdê wartoœã oczekiwan¹ i wariancjê (o ile istniej¹) w podstawowych rozkùadach

ci¹gùych:

a) jednostajnym nad odcinkiem





b

a,

b) Couchiego

c) Gaussa

d) wykùadniczego

Rozwi¹zanie
Wiêkszoœã jest wyliczona w czêœci teoretycznej.

7. Niech X ma rozkùad jednostajny nad odcinkiem





2

,

2



. Znajdê wartoœã oczekiwan¹

i wariancjê rozkùadu

3

2





X

Y

. Skorzystaj z wùasnoœci wartoœci oczekiwanej i

wariancji.

Wskazówka

Zauwa¿my, ¿e

 





 

3

2

3

2









X

E

X

E

Y

E

, wystarczy policzyã tylko wartoœã

oczekiwan¹ zmiennej X (wartoœã oczekiwana rozkùadu jednostajnego nad odcinkiem

jest policzona w czêœci teoretycznej) i podstawiã do powy¿szego wzoru.

Teraz wariancja, znamy ju¿

 

Y

E

, wiêc wystarczy policzyã tylko

 

















 

9

12

4

9

12

4

3

2

2

2

2

2

















X

E

X

E

X

X

E

X

E

Y

E

, a to potrafimy ju¿

policzyã. Pozostaje tylko podstawiã do wzoru na wariancjê

 

 

 





2

2

2

Y

E

Y

E

Y

D





.

8. Niech X ma rozkùad jednostajny nad odcinkiem





2

,

2



. Znajdê wartoœã oczekiwan¹

rozkùadu

2

X

Y 

. Skorzystaj z wùasnoœci wartoœci oczekiwanej.

9. Niech X ma rozkùad jednostajny nad odcinkiem





2

,

0

. Znajdê rozkùad zmiennej

3

2





X

Y

i gêstoœã o ile istnieje.

Rozwi¹zanie

19

Niech

Y

F

oznacza dystrybuantê zmiennej Y, zaœ

X

F

oznacza dystrybuantê zmiennej X,

mamy wtedy:

 

















 





























2

3

2

3

3

2

t

F

t

X

P

t

X

P

t

Y

P

t

F

X

Y

. Wiemy, ¿e X

ma rozkùad jednostajny nad odcinkiem wiêc jej gêstoœã wyra¿a siê wzorem:

 
























2

,

0

,

2

1

2

,

0

,

0

x

x

x

f

X

i st¹d mamy

 

























2

,

1

2

0

,

2

1

0

,

0

t

t

t

t

t

F

X

.

Otrzymujemy wiêc

 









































































 



7

,

1

7

3

,

4

3

3

,

0

2

2

3

,

1

2

2

3

0

,

2

2

3

0

2

3

,

0

2

3

t

t

t

t

t

t

t

t

t

F

t

F

X

Y

.

Jeœli zbadamy wùasnoœci dystrybuanty zmiennej Y to zauwa¿ymy, ¿e zmienna ta jest

typu ci¹gùego i posiada gêstoœã (po policzeniu pochodnej

Y

F

) postaci:

 
























7

,

3

,

4

1

7

,

3

,

0

x

x

x

f

X

.

Policzyliœmy wiêc, ¿e Y ma rozkùad jednostajny nad odcinkiem





7

,

3

.

10. Niech X ma rozkùad jednostajny nad odcinkiem





2

,

2



. Znajdê rozkùad zmiennej

X

Y 

.

11. Niech X ma rozkùad jednostajny nad odcinkiem





2

,

1



. Znajdê rozkùad zmiennej

X

Y





.

12. Niech X ma rozkùad jednostajny nad odcinkiem





2

,

0

. Znajdê rozkùad zmiennej

2

X

Y 

.

Rozwi¹zanie

Niech

Y

F

oznacza dystrybuantê zmiennej Y, zaœ

X

F

oznacza dystrybuantê zmiennej X,

mamy wtedy:

 













 









 





























































0

,

0

,

0

0

,

0

,

0

0

,

0

2

t

t

F

t

t

t

X

P

t

F

t

F

t

t

X

t

P

t

t

X

P

t

Y

P

t

F

X

X

X

Y

poniewa¿ rozkùad zmiennej X jest typu ci¹gùego i prawdopodobieñstwo





a

X

P



dla

dowolnego a jest równe 0 oraz poniewa¿ zmienna X przyjmuje wartoœci dodatnie ( z

przedziaùu





2

,

0

) wiêc

 

0



a

F

X

dla dowolnego ujemnego a. Z zadania 9 wiemy, ¿e

20

 

























2

,

1

2

0

,

2

1

0

,

0

t

t

t

t

t

F

X

.

Czyli mamy:

 

 





























































4

,

1

4

0

,

2

1

0

,

0

2

,

1

2

0

,

2

1

0

,

0

0

,

0

,

0

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

F

t

t

F

X

Y

.

Mo¿na jeszcze policzyã gêstoœã rozkùadu zmiennej Y, ale nie trzeba bo dystrybuanta

wystarcza do okreœlenia rozkùadu zmiennej.

13. Niech X ma rozkùad wykùadniczy z parametrem

1





. Znajdê rozkùad zmiennej

X

Y 

.

14. Niech X ma rozkùad wykùadniczy z parametrem

1





. Znajdê rozkùad zmiennej

3

2







X

Y

.

15. Niech X ma rozkùad Cauchiego. Znajdê rozkùad zmiennej

X

Y

2



.

16.

Niech X ma rozkùad Gaussa z parametrami

2

1





m

i



. Korzystaj¹c z tablic

matematycznych znajdê prawdopodobieñstwo





2

0



 X

P

.