1
Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych.
K.Lubnauer
Czêœã 1
Powtórzenie, prawdopodobieñstwo
Teoria
Podstawowy pojêciem probabilistycznym ( zwi¹zanym z teori¹ prawdopodobieñstwa)
jest przestrzeñ probabilistyczna czyli trójka
P
F ,
,
gdzie
przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych czyli pewien zbiór,
F
jest
-ciaùem podzbiorów
, zaœ P miar¹
unormowan¹ na F czyli prawdopodobieñstwem. Zdefiniujmy wiêc te podstawowe
pojêcia:
Definicja 1
Rodzina zbiorów F nazywamy
-ciaùem na zbiorze
je¿eli speùnia nastêpuj¹ce
warunki:
(i)
F
,
(ii)
F
A
F
A
gdzie
A
oznacza
A
czyli dopeùnienie zbioru A.
(iii)
dla dowolnego ci¹gu zbiorów
,...
,
,
3
2
1
A
A
A
nale¿¹cych do F mamy
n
n
F
A
.
Ponadto z powy¿szej definicji wynika:
Wùasnoœã 1
Jeœli F jest -ciaùem to:
(i)
dla dowolnego ci¹gu zbiorów
,...
,
,
3
2
1
A
A
A
nale¿¹cych do F mamy
n
n
F
A
.
(ii)
Je¿eli
F
B
A
,
to
F
B
A
,
F
B
A
oraz
F
B
A
.
(iii)
F
Dowód
(i)
Wynika z i¿
n
n
n
n
A
A
oraz z warunków (i) i (ii) z Definicji 1.
(ii)
Ãwiczenie wùasne ( zauwa¿my ¿e dla dowolnych zbiorów A,B mo¿emy w
sposób sztuczny zbudowaã ci¹g nieskoñczony
,.....
,
,
,
,
B
A
)
(iii)
Zauwa¿my, ¿e
co daje tezê.
Podam teraz aksjomatyczn¹ definicjê prawdopodobieñstwa:
Definicja 2
Niech
pewien zbiór zaœ F
-ciaùo zdefiniowane na
. Prawdopodobieñstwem
nazywamy dowoln¹ funkcjê P okreœlon¹ na F i speùniaj¹c¹ warunki:
(i)
R
F
P :
(ii)
1
P
id337254 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
2
(iii)
Jeœli
,...
3
,
2
,
1
,
i
F
A
i
oraz
j
i
A
A
dla
j
i
,(czyli s¹ parami
rozù¹czne) to
1
1
i
i
i
i
A
P
A
P
Mo¿emy mówiã równie¿ o klasycznej definicji prawdopodobieñstwa która jest
szczególnym, intuicyjnym przypadkiem:
Definicja3 (Klasyczna definicja prawdopodobieñstwa)
Niech
zbiór skoñczony,
n
,...,
,
2
1
,
2
F
oraz wszystkie zdarzenia
elementarne s¹ tak samo prawdopodobne to prawdopodobieñstwem klasycznym
nazywamy funkcjê P okreœlon¹ na F wzorem:
A
A
P
, oraz
n
P
i
1
.
Przykùad 1
Rzucamy kostk¹ do gry, wtedy
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
, wszystkie wyniki s¹ tak samo
prawdopodobne zaœ np. prawdopodobieñstwo zdarzenia A- wyrzucenia parzystej
liczby oczek wynosi
5
,
0
6
3
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
6
,
4
,
2
A
P
.
Z powy¿szych rozwa¿añ oraz z aksjomatycznej definicji prawdopodobieñstwa
otrzymujemy:
Twierdzenie 1 ( Wùasnoœci prawdopodobieñstwa)
Je¿eli
P
F ,
,
jest przestrzeni¹ probabilistyczn¹ oraz
F
A
A
A
B
A
n
,...,
,
,
,
2
1
, to
(i)
0
P
(ii)
1
,
0
A
P
(iii)
Skoñczona addytywnoœã. Jeœli mamy skoñczony ci¹g
n
i
F
A
i
,...,
3
,
2
,
1
,
oraz
j
i
A
A
dla
j
i
, to
n
i
i
n
i
i
A
P
A
P
1
1
(iv)
Monotonicznoϋ. Dla dowolnych
F
B
A
,
takich, ¿e
B
A
mamy
B
P
A
P
.
(v)
Przeliczalna subaddytywnoœã. Jeœli
,...
3
,
2
,
1
,
i
F
A
i
, to
1
1
i
i
i
i
A
P
A
P
.
(vi)
Skoñczona subaddytywnoœã. Jeœli
n
i
F
A
i
,...,
3
,
2
,
1
,
, to
n
i
i
n
i
i
A
P
A
P
1
1
.
(vii)
Ci¹gùoœã.
3
a. Jeœli
F
A
n
oraz
1
n
n
A
A
dla n=1,2,3,.... to
n
n
n
n
A
P
A
P
lim
1
.
b. Jeœli
F
A
n
oraz
1
n
n
A
A
dla n=1,2,3,.... to
n
n
n
n
A
P
A
P
lim
1
.
(viii) Dla dowolnych
F
B
A
,
takich, ¿e
B
A
mamy
A
P
B
P
A
B
P
.
(ix)
A
P
A
P
1
.
(x)
Dla dowolnych
F
B
A
,
mamy
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
.
(xi)
Dla dowolnych
F
C
B
A
,
,
mamy
C
B
A
P
C
B
P
C
A
P
B
A
P
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
.
Dowód
(i)
Korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci prawdopodobieñstwa mamy
........
.....
P
P
P
P
P
st¹d
0
P
(ii)
Wyka¿ê (iv) wtedy (ii) jest oczywiste z faktu i¿
1
P
i P nieujemna
funkcja.
(iii)
Weêmy
n
i
F
A
i
,...,
3
,
2
,
1
,
oraz
j
i
A
A
dla
j
i
, oraz dla
n
i
niech
n
A
wtedy korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci oraz z warunku (i)
mamy
n
i
i
i
i
i
i
n
i
i
A
P
A
P
A
P
A
P
1
1
1
1
(iv)
Skorzystamy z warunku (iii). Niech
F
B
A
,
takie, ¿e
B
A
, mamy wtedy:
A
B
A
P
B
P
gdzie oczywiœcie oba skùadniki sumy s¹ rozù¹czne czyli
A
B
P
A
P
B
P
oraz
0
A
B
P
co daje tezê.
(v)
Dla
,...
3
,
2
,
1
,
i
F
A
i
, zdefiniujmy w nastêpuj¹cy sposób ci¹g
n
B
. Niech
1
1
1
1
...
,
n
n
n
A
A
A
B
A
B
, wtedy oczywiœcie mamy ci¹g zbiorów z F
rozù¹cznych parami i takich, ¿e
1
1
n
n
n
n
A
B
oraz dla ka¿dego n mamy
n
n
A
B
czyli
n
n
A
P
B
P
. Policzmy wiêc:
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
A
P
B
P
B
P
A
P
co daje tezê.
(vi)
Wniosek z (v) uzupeùniaj¹c ci¹g zbiorami pustymi.
(vii)
Niech
F
A
n
oraz
1
n
n
A
A
dla n=1,2,3,.... Zdefiniujemy ci¹g
n
C
w
nastêpuj¹cy sposób:
,....
,....,
,
1
1
2
2
1
1
n
n
n
A
A
C
A
A
C
A
C
wtedy
oczywiœcie zbiory
n
C
nale¿¹ do F oraz s¹ rozù¹czne oraz
n
i
i
n
C
A
1
, wiêc
mamy:
n
n
n
i
i
n
n
i
i
n
i
i
i
i
i
i
A
P
C
P
C
P
C
P
C
P
A
P
lim
lim
lim
1
1
1
1
1
(viii) Weêmy dowolne
F
B
A
,
takie, ¿e
B
A
mamy
A
P
A
B
P
A
A
B
P
B
P
bo
A
B
A
,
rozù¹czne. Ostatnia
równoœã daje tezê.
4
(ix)
Weêmy dowolne
F
B
A
,
korzystaj¹c z algebry zbiorów oraz wùasnoœci
(viii) oraz (iii) mamy:
B
A
P
B
P
A
P
B
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
A
P
B
A
P
(x)
Do samodzielnej pracy.
Innym przykùadem prawdopodobieñstwa jest prawdopodobieñstwo geometryczne:
Definicja 4
Niech
podzbiór
n
R
taki, ¿e gdzie
n
miara Lebesgu’a okreœlona na
n
R
(w
uproszczeniu oznacza to dùugoœã w
R
,pole w
2
R
, objêtoœã w
3
R
), wtedy
prawdopodobieñstwem geometrycznym na
nazywamy miarê
P
okreœlon¹
wzorem
n
n
A
A
P
gdzie A dowolny zbiór mierzalny wzglêdem miary
Lebesgu’a.
Przykùad 2
Z odcinka (0,2) losujemy 2 liczby. Policzê prawdopodobieñstwo zdarzenia A, ¿e ich
suma jest mniejsza ni¿ 1.
Rys 1
Zauwa¿my, ¿e losowanie 2 liczb z odcinka (0,2) polega na wylosowaniu punktu z
kwadratu
2
,
0
2
,
0
czyli
to ten kwadrat. Oczywiœcie
4
2
, mamy
ponadto
1
:
,
y
x
y
x
A
czyli
2
1
2
A
, st¹d
8
1
A
P
.
Dwoma podstawowymi pojêciami w teorii prawdopodobieñstw, których nie nale¿y
myliã s¹ rozù¹cznoœã i niezale¿noœã zdarzeñ, przypomnijmy zdarzenia A,B s¹
rozù¹czne tak jak zbiory, gdy
B
A
. Niezale¿noœã oznacza zaœ nastêpuj¹c¹
wùasnoœã pary zbiorów:
Definicja 5
Zbiory A,B s¹ niezale¿ne jeœli speùniaj¹ warunek:
B
P
A
P
B
A
P
.
Przykùad 3
5
Rzucamy 2 razy monet¹ i rozwa¿my zdarzenia A- wylosowaliœmy 1 reszkê i 1 orùa i
B- w drugim rzucie wylosowaliœmy orùa. Zbadaj niezale¿noœã zdarzeñ A,B.
o
r
r
o
r
r
o
o
,
,
,
,
,
,
,
i mamy model klasyczny czyli
2
1
4
2
A
A
P
,
2
1
4
2
B
B
P
oraz mamy
4
1
B
A
B
A
P
, czyli
B
P
A
P
B
A
P
.
Zdarzenia A,B s¹ wiêc niezale¿ne.
Uwaga.
Dla trzech zdarzeñ A,B,C mówimy ¿e s¹ one niezale¿ne gdy niezale¿ne s¹ pary A,B
i B,C i A,C oraz zachodzi warunek
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
.
Przejdêmy teraz do prawdopodobieñstwa warunkowego które pozwoli nam
wprowadziã twierdzenie o prawdopodobieñstwie caùkowitym i wzór Bayes’a.
Definicja 6
Prawdopodobieñstwem warunkowym zajœcia zdarzenia A pod warunkiem zajœcia
zdarzenia B, gdzie
0
B
P
, nazywamy liczbê
B
P
B
A
P
B
A
P
/
.
Przykùad 4
Rozwa¿my pewn¹ rodzinê z dwójk¹ dzieci. Obliczymy prawdopodobieñstwo tego,
¿e w rodzinie s¹ dwie dziewczynki, jeœli wiemy, ¿e w tej rodzinie:
(i)
mùodsze dziecko jest dziewczynk¹
(ii)
co najmniej jedno z dzieci jest dziewczynk¹
W obu przypadkach
c
c
d
c
c
d
d
d
,
,
,
,
,
,
,
i mamy do czynienia z modelem
klasycznym.
(i)
2
1
2
1
4
1
,
,
,
/
,
d
c
d
d
d
d
P
(ii)
3
1
4
3
4
1
,
,
,
,
,
/
,
c
d
d
c
d
d
d
d
P
.
Zauwa¿my, ¿e prawdopodobieñstwo warunkowe przy ustalonym warunku speùnia
wszystkie aksjomaty prawdopodobieñstwa. (Ãwiczenie do samodzielnej pracy).
Definicja 7
6
Ukùadem zupeùnym zdarzeñ (rozbiciem przestrzeni
) nazywamy skoñczony b¹dê
nieskoñczony ci¹g zdarzeñ
,....
,
,
3
2
1
B
B
B
parami rozù¹cznych i daj¹cych w sumie
przestrzeñ
:
j
i
B
B
B
j
i
n
n
,
,
.
Twierdzenie 2 ( Wzór na prawdopodobieñstwo caùkowite)
Je¿eli
n
B
B
B
,....,
,
2
1
jest ukùadem zupeùnym zdarzeñ na
dodatnich niezerowych
prawdopodobieñstwach, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór:
n
i
i
i
B
P
B
A
P
A
P
1
/
Dowód
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
B
P
B
A
P
B
A
P
B
A
P
A
P
1
1
1
/
.
Rys 2
Uwaga
Powy¿sze twierdzenie jest prawdziwe równie¿ dla przeliczalnej, nieskoñczonej
liczby zdarzeñ
i
B
.
Przykùad 5
W fabryce pracuj¹ 3 roboty monta¿owe. Pierwszy robot ma 0,03 braków, robot
drugi ma 0,05 braków a robot trzeci ma 0,02 braków. Roboty te wykonuj¹ tyle
samo zabawek na godzinê.
Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e losowo wybrana zabawka z tej fabryki oka¿e siê
brakiem?
A
-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka jest brakiem.
1
B
-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od
robota 1.
7
2
B
-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od
robota 2.
3
B
-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od
robota 3.
30
1
3
1
1
,
0
3
1
02
,
0
3
1
05
,
0
3
1
03
,
0
/
3
1
i
i
i
B
P
B
A
P
A
P
Drugim z podstawowych twierdzeñ jest twierdzenie pozwalaj¹ce przeœledziã przebieg
doœwiadczenia na podstawie jego wyniku:
Twierdzenie 3 (Wzór Bayes’a)
Je¿eli
n
B
B
B
,....,
,
2
1
jest ukùadem zupeùnym zdarzeñ na
dodatnich niezerowych
prawdopodobieñstwach i A dowolne zdarzenie o dodatnim prawdopodobieñstwie to
zachodzi wzór:
n
i
i
i
j
j
j
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
A
B
P
1
/
/
/
.
Dowód
Wystarczy skorzystaã ze wzoru na prawdopodobieñstwo warunkowe oraz ze wzoru na
prawdopodobieñstwo caùkowite aby otrzymaã:
n
i
i
i
j
j
j
j
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
A
P
A
B
P
A
B
P
1
/
/
/
Wykorzystajmy sytuacjê z przykùadu 4 zmieniaj¹c tylko treœã pytania. Zauwa¿my, ¿e
znamy ju¿ wynik losowania a pytamy siê o przebieg losowania.
Przykùad 6
W fabryce pracuj¹ 3 roboty monta¿owe. Pierwszy robot ma 0,03 braków, robot drugi
ma 0,05 braków a robot trzeci ma 0,02 braków. Roboty te wykonuj¹ tyle samo
zabawek na godzinê.
Losujemy zabawkê, okazaùa siê ona brakiem. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e
pochodzi od robota nr 2?
A
-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka jest brakiem.
1
B
-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 1.
2
B
-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 2.
3
B
-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota
nr 3.
8
5
,
0
30
1
3
1
05
,
0
/
/
/
3
1
2
2
2
i
i
i
B
P
B
A
P
B
P
B
A
P
A
B
P
.
Definicja8
Schematem Bernoulliego nazywamy ci¹g niezale¿nych powtórzeñ tego samego
doœwiadczenia o dwu mo¿liwych wynikach nazwanych umownie sukcesem i pora¿k¹.
Poszczególne doœwiadczenia to próby Bernoulliego.
W powy¿szej sytuacji zachodzi wzór:
k
n
k
n
q
p
k
n
k
P
gdzie:
k
P
n
prawdopodobieñstwo k sukcesów w n próbach Bernoulliego,
p
prawdopodobieñstwo sukcesu w pojedynczej próbie,
p
q
1
prawdopodobieñstwo
pora¿ki w jednej próbie.
9
Zadania z przykùadowymi rozwi¹zaniami
Model klasyczny prawdopodobieñstwa
1. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisaã przestrzeñ
zdarzeñ elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e otrzymamy wyraz
MATEMATYKA.
Rozwi¹zanie
Przyjmujemy, ¿e klocki s¹ rozró¿nialne i oznaczmy
E
K
Y
T
T
A
A
A
M
M
T
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
3
2
1
2
1
.
Wtedy przestrzeñ zdarzeñ elementarnych to wszystkie permutacje elementów ze zbioru
T czyli:
T
x
x
x
x
x
x
i
j
i
,
,
,...,
,
10
2
1
. Zauwa¿my, ¿e ka¿de ustawienie klocków jest tak
samo prawdopodobne a
jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model klasyczny. Z
kombinatoryki wiemy, ¿e
!
10
Niech A zdarzenie polegaj¹ce na uùo¿eniu sùowa MATEMATYKA. £atwo widaã, z
kombinatoryki, ¿e
24
!
2
!
3
!
2
A
. St¹d:
151200
1
!
10
24
A
P
.
2. 2 chùopców i 3 dziewczynki ustawiam w szereg . Opisaã przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e
a)
chùopcy stoj¹ obok siebie
b)
chùopcy i dziewczynki stoj¹ na zmianê.
3. Cyfry 0,1,2,...,9 ustawiono losowo. Opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i
obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e
a)
miêdzy 0 i 9 stoj¹ dokùadnie 4 cyfry
b)
1,2,3,4 bêd¹ staùy obok siebie.
4. Przy okr¹gùym stole usiadùo dziesiêã kobiet i dziesiêciu mê¿czyzn. Opisaã
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e osoby tej samej
pùci nie siedz¹ koùo siebie.
5. Z grupy 25 osób w której jest 10 kobiet i 15 mê¿czyzn wybrano
a)
3 osoby na stanowisko starszego specjalisty.
b)
3 osoby do zarz¹du firmy (prezesa, wiceprezesa ds. marketingu i
wiceprezesa ds. produkcji)
Dla ka¿dego z przypadków opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i obliczyã
prawdopodobieñstwo, ¿e wœród wybranych s¹ dokùadnie 2 kobiety.
Rozwi¹zanie
Przyjmujemy, ¿e ludzie s¹ zawsze rozró¿nialne i oznaczmy
15
1
10
1
,...,
,
,...,
m
m
k
k
T
.
a)
Poniewa¿ wybór 3 specjalistów nie wymaga uwzglêdnienia kolejnoœci wiêc
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych to wszystkie kombinacje 3 elementowe ze
zbioru T czyli:
T
x
x
x
x
x
x
i
j
i
,
,
,
,
3
2
1
. Zauwa¿my, ¿e ka¿dy wybór 3 osób
jest tak samo prawdopodobny a
jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model
klasyczny. Z kombinatoryki wiemy, ¿e
3
25
.
10
Niech A zdarzenie polegaj¹ce na wybraniu dokùadni 2 kobiet. £atwo widaã, ¿e
1
15
2
10
A
.
St¹d:
3
25
1
15
2
10
A
P
.
b)
W tym przypadku kolejnoœã jest istotna (ró¿ne funkcje) wiêc zmienia siê
model:
T
x
x
x
x
x
x
i
j
i
,
,
,
,
3
2
1
. Zauwa¿my, ¿e ka¿dy wybór 3 osób jest
tak samo prawdopodobny a
jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model
klasyczny. Z kombinatoryki wiemy, ¿e
!
3
!
n
n
.
Niech A zdarzenie polegaj¹ce na wybraniu dokùadni 2 kobiet. £atwo widaã, ¿e
!.
3
1
15
2
10
A
St¹d:
3
25
1
15
2
10
!
3
!
!
3
1
15
2
10
n
n
A
P
.
Widzimy, ¿e wynik jest ten sam niezale¿nie od modelu, poniewa¿ zdarzenie A nie
zale¿aùo od kolejnoœci.
6. W pudeùku jest 6 œrubek dobrych i 2 zùe. Opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych
i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e wœród 4 wybranych œrubek s¹ 3 dobre i 1 zùa.
7. Ze schroniska na szczyt prowadz¹ 3 szlaki: czarny, zielony i niebieski. Odbywam
wycieczkê na szczyt i z powrotem wybieraj¹c szlaki losowo. Jakie jest
prawdopodobieñstwo i¿ bêdê wchodziã i schodziã tym samym szlakiem?
Rozwi¹zanie
Przestrzeñ zdarzeñ elementarnych
n
z
cz
x
x
x
i
,
,
,
,
2
1
. Zauwa¿my, ¿e w parze
mog¹ siê powtarzaã kolory. Znowu mamy do czynienia z modelem klasycznym ponadto
9
3
2
. Niech A zdarzenie polegaj¹ce na powrocie t¹ tras¹ któr¹ przyszliœmy,
n
n
z
z
cz
cz
A
,
,
,
,
,
, st¹d
3
A
. Mamy wiêc
3
1
A
P
.
8. Rzucam 2 razy kostk¹ symetryczn¹. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Jakie
jest prawdopodobieñstwo
a)
wyrzucenia dwukrotnie tego samego?
b)
wyrzucenia w sumie 10 oczek?
9. Autobus zatrzymuje siê na 10 przystankach. W autobusie jest 8 pasa¿erów, z
których ka¿dy musi wysi¹œã na jednym z przystanków. Opisz przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych. Jakie jest prawdopodobieñstwo i¿ ka¿dy spoœród 8 pasa¿erów
wysi¹dzie na innym przystanku. Jakie jest prawdopodobieñstwo i¿ wszyscy
pasa¿erowie wysi¹d¹ na tym samym przystanku.
11
10. Losowo dzielimy 15 delicji szampañskich miêdzy 4 osoby. Jakie jest
prawdopodobieñstwo, ¿e ka¿da z nich dostanie:
a)
przynajmniej jedno ciasteczko?
b)
przynajmniej 2 ciasteczka?
Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych.
Rozwi¹zanie
Jeœli uznamy, ¿e w modelu tym nie ma znaczenia które delicje otrzymaùa która osoba
to:
15
,
,
,
,
,
,
,
,
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
N
, (przyjmijmy dla uùatwienia
zapisu, ¿e 0 nale¿y do liczb naturalnych), gdzie
i
x
to iloϋ delicji otrzymanych przez
i-t¹ osobê. Z kombinatoryki mamy
1
4
1
4
15
( wzór na iloœã kombinacji z
powtórzeniami).
a)
A zdarzenie polegaj¹ce na otrzymaniu przynajmniej jednego ciasteczka
przez ka¿d¹ osobê,
11
,
,
,
,
,
1
,
1
,
1
,
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A
N
,
mamy wiêc z tego samego wzoru co powy¿ej
1
4
1
4
11
A
.
Ostatecznie
1
4
1
4
15
1
4
1
4
11
A
P
.
Podpunkt b robi siê analogicznie.
11. Do windy zatrzymuj¹cej siê na 4 piêtrach wsiadùo 20 osób. Oblicz
prawdopodobieñstwo i¿ na ka¿dym z piêter wysi¹dzie dokùadnie 5 osób. Oblicz
prawdopodobieñstwo i¿ przynajmniej na jednym piêtrze nikt nie wysi¹dzie. Opisz
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych.
12. Z liczb 1-1001 wylosowano 2. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Oblicz
prawdopodobieñstwo i¿ ich suma jest podzielna przez 3.
13. U¿ywaj¹c ró¿nych cyfr ze zbioru
9
,
7
,
5
,
4
,
3
Z
utworzono liczbê trzycyfrow¹.
Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Oblicz prawdopodobieñstwo, ¿e:
a)
Jedn¹ z cyfr jest 7
b)
Jest to liczba parzysta.
Wùasnoœci prawdopodobieñstwa
1. Niech A,B,C bêd¹ zdarzeniami. Niech ponadto:
C
B
A
B
A
P
C
B
P
C
A
P
C
P
B
P
A
P
;
1
,
0
;
1
,
0
;
2
,
0
;
4
,
0
;
2
,
0
;
5
,
0
Policz prawdopodobieñstwo:
a)
zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeñ
b)
zachodzi dokùadnie jedno ze zdarzeñ A,B,C
c)
zachodz¹ przynajmniej dwa ze zdarzeñ A,B,C
d)
nie zachodzi ¿adne z tych zdarzeñ.
12
Rozwi¹zanie
a)
Interesuje nas zdarzenie postaci
C
B
A
, gdzie oczywiœcie A,B,C
niekoniecznie rozù¹czne, st¹d
C
B
A
P
C
B
P
C
A
P
B
A
P
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
i podstawiaj¹c otrzymujemy:
7
,
0
0
1
,
0
1
,
0
2
,
0
4
,
0
2
,
0
5
,
0
C
B
A
P
.
b)
Interesuje nas zdarzenie postaci
B
A
C
C
A
B
C
B
A
, tu sumowane zdarzenia s¹
rozù¹czne , liczymy wiêc
3
,
0
1
,
0
2
,
0
4
,
0
1
,
0
1
,
0
2
,
0
1
,
0
2
,
0
5
,
0
C
B
P
C
A
P
C
P
C
B
P
B
A
P
B
P
C
A
P
B
A
P
A
P
B
A
C
P
C
A
B
P
C
B
A
P
B
A
C
C
A
B
C
B
A
P
c)
Samodzielnie
d)
Teraz musimy policzyã
3
,
0
1
C
B
A
P
C
B
A
P
C
B
A
P
.
2. Udowodnij, ¿e
1
B
P
A
P
B
A
P
.
Wskazówka:
Skorzystaã z wzoru na sumê zdarzeñ oraz z faktu, ¿e prawdopodobieñstwo dowolnego
zdarzenia jest mniejsze b¹dê równe 1.
3. Dane s¹
A
B
P
B
A
P
B
A
P
i
B
A
P
\
\
,
4
1
2
1
. Oblicz
B
A
P
A
P
\
,
.
4. Dane s¹
B
A
B
P
A
P
,
4
3
,
4
1
. Uporz¹dkowaã rosn¹co
B
A
P
B
A
P
B
A
P
,
,
.
5. Maj¹c dane zdarzenia niezale¿ne A i B o prawdopodobieñstwach:
6
,
0
4
,
0
B
P
oraz
A
P
, znajdê:
a)
)
/
(
B
A
P
b)
B
A
P
c)
B
A
P
.
Wskazówka:
Niezale¿noœã daje nam
24
,
0
B
P
A
P
B
A
P
.
6. Zbadaj kiedy zdarzenie jest niezale¿ne samo od siebie.
Rozwi¹zanie.
Musimy zbadaã dla jakich A zachodzi
A
P
A
P
A
A
P
. Zauwa¿my, ¿e
A
A
A
, czyli musimy zbadaã równoœã
2
a
a
gdzie
A
P
a
. Oczywiœcie równoœã
ta zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy
1
0
a
a
. St¹d mamy, ¿e zdarzenie jest
niezale¿ne samo od siebie gdy jego prawdopodobieñstwo wynosi 0 lub 1.
13
7. W szafce s¹ 3 pary kaloszy w 3 ró¿nych kolorach i tym samym rozmiarze. Czùowiek
nie rozró¿niaj¹cy kolorów dzieli je na pary: lewy z prawym. Jakie jest
prawdopodobieñstwo, ¿e ¿adna para nie bêdzie jednokolorowa?
Rozwi¹zanie
Mamy do czynienia z modelem klasycznym. Wyobraêmy sobie, ¿e nasz daltonista
ustawia najpierw 3 prawe kalosze a potem dopasowuje do nich 3 lewe, wtedy ka¿de
zdarzenie elementarne to jedno z ustawieñ 3 kaloszy lewych w ci¹g, st¹d
6
!
3
.
Niech A zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e ¿adna para nie jest jednokolorowa. Zbadamy
zdarzenie przeciwne do A czyli zdarzenie
A
- przynajmniej 1 para jest jednokolorowa.
Ponumerujmy pary kaloszy i okreœlmy zdarzenia:
1
A
para numer 1 jest prawidùowo sparowana,
2
A
para numer 2 jest prawidùowo sparowana,
2
A
para numer 3 jest prawidùowo sparowana.
Wtedy
6
4
6
1
2
3
1
3
!
3
1
!
3
1
!
3
1
!
3
1
!
3
!
2
!
3
!
2
!
3
!
2
3
2
1
3
1
3
2
2
1
3
2
1
3
2
1
A
A
A
P
A
A
P
A
A
P
A
A
P
A
P
A
P
A
P
A
A
A
P
A
P
.
Czyli
3
1
6
2
1
A
P
A
P
.
8. Na zabawie s¹ 3 pary maù¿eñskich. W sposób losowy kobiety losuj¹ mê¿czyzn do
tañca. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e ¿aden m¹¿ nie tañczy ze swoj¹ ¿on¹?
Prawdopodobieñstwo geometryczne
1. Z odcinka
3
,
2
losujemy liczbê policz prawdopodobieñstwo, i¿:
a) wylosowana liczba bêdzie dodatnia
b) kwadrat wylosowanej liczby bêdzie mniejszy od 1
c) kwadrat wylosowanej liczby bêdzie wiêkszy od 2
d) bêdzie to liczba wymierna
Rozwi¹zanie
Poniewa¿ losujemy 1 liczbê z odcinka
3
,
2
, wiêc
3
,
2
, zaœ
prawdopodobieñstwo okreœlone jest wzorem:
5
2
3
1
1
1
1
A
A
A
A
P
.
a)
Niech A zdarzenie: wylosowana liczba bêdzie dodatnia, wtedy
3
,
0
0
:
3
,
2
x
x
A
, st¹d
5
3
5
1
A
A
P
.
b)
Niech B zdarzenie: kwadrat wylosowanej liczby bêdzie mniejszy od 1, wtedy
1
,
1
1
:
3
,
2
2
x
x
A
, st¹d
5
2
5
1
A
A
P
.
c)
samodzielnie
14
d)
zbiór liczb wymiernych jest przeliczaln¹ sum¹ zbiorów jednopunktowych,
wiêc jego miara Lebesgu’a wynosi 0, st¹d prawdopodobieñstwo zdarzenia z
podpunktu d) wynosi 0.
2. Z odcinka
2
,
1
losujemy 2 liczby. Policz prawdopodobieñstwo tego, ¿e:
a) ich suma jest dodatnia,
b) ich maksimum jest mniejsze od 1,
c) jedna z nich jest 2 razy wiêksza od drugiej,
d) jedna jest wymierna,
e) obie s¹ niewymierne.
Wskazówka
Zobacz Przykùad 2 z czêœci teoretycznej. Zadanie to robimy analogicznie.
3. Z odcinka
5
,
0
losujemy 3 liczby. Policz prawdopodobieñstwo tego, ¿e:
a) ich minimum jest wiêksze od 2,
b) ich maksimum jest wiêksze od 3,
c) jedna z nich jest liczb¹ naturaln¹.
4. Na odcinku wybrano losowo dwa punkty, które dziel¹ go na trzy odcinki. Jakie jest
prawdopodobieñstwo, ¿e mo¿na z tych 3 odcinków zbudowaã trójk¹t?
5. Na stóù o ksztaùcie koùa i promieniu 60 cm rzucono monetê o promieniu 1 cm, która
upadùa na stóù. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e moneta nie dotknêùa brzegu stoùu?
Rozwi¹zanie
Musimy okreœliã najpierw model, zauwa¿my, ¿e jeœli moneta upadùa na stóù to jej
œrodek ciê¿koœci musi le¿eã na stole i wùaœnie œrodek monety bêdzie wyznaczaù nam jej
poùo¿enie. Teraz
to nasz stolik czyli koùo o promieniu 60 cm, st¹d
3600
60
2
2
. Niech A zdarzenie polegaj¹ce nadym, ¿e moneta nie dotknie
stoùu, oznacza to, ¿e A to koùo o promieniu 59 cm, bo promieñ monety to 1 cm. St¹d
3481
59
2
2
A
, czyli
3600
3481
3600
3481
2
2
A
.
6. *Zadanie Bufona o igle. Igùê o dùugoœci l rzucono na podùogê z desek o szerokoœci
a
a
l
. Jaka jest szansa, ¿e igùa przetnie krawêdê deski?
Prawdopodobieñstwo – inne modele, prawdopodobieñstwo warunkowe, badanie
niezale¿noœci zdarzeñ ,prawdopodobieñstwo caùkowite i wzór Bayesa.
1. Rzucam 3 razy monet¹ dla której prawdopodobieñstwo wyrzucenia reszki jest 2
razy wiêksze ni¿ orùa. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz
prawdopodobieñstwo wyrzucenia dokùadnie 2 orùów.
Rozwi¹zanie
Ten model nie jest modelem klasycznym bo wyrzucenie reszki jest dwukrotnie bardziej
prawdopodobne ni¿ orùa, st¹d zdarzenia elementarne nie s¹ równie prawdopodobne.
Oczywiœcie
r
o
x
x
x
x
i
,
,
,
,
3
2
1
, poniewa¿ w jednym rzucie
3
2
,
3
1
r
P
o
P
,
wiêc poszczególne zdarzenia elementarne maj¹ nastêpuj¹ce prawdopodobieñstwa:
15
27
1
3
1
3
1
3
1
,
,
o
o
o
P
,
27
2
3
1
3
1
3
2
,
,
o
o
r
P
,
27
2
3
1
3
2
3
1
,
,
o
r
o
P
,
27
2
3
2
3
1
3
1
,
,
r
o
o
P
,
27
4
3
1
3
2
3
2
,
,
o
r
r
P
,
27
4
3
2
3
2
3
1
,
,
r
r
o
P
,
27
4
3
2
3
1
3
2
,
,
r
o
r
P
,
27
8
3
2
3
2
3
2
,
,
r
r
r
P
. Warto jeszcze przeliczyã czy
suma prawdopodobieñstw wszystkich zdarzeñ elementarnych wynosi 1, sprawdzamy,
zgadza siê. Niech A zdarzenie: wyrzucenie dokùadnie 2 orùów. Mamy wtedy sumuj¹c
odpowiednie prawdopodobieñstwa nastêpuj¹cy wynik:
27
6
A
P
.
2. Rzucam kostk¹ a nastêpnie monet¹ tylokrotnie ile wypadùo oczek na kostce. Opisz
przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Znajdê prawdopodobieñstwo wyrzucenia
a)
dokùadnie 5 orùów.
b)
przynajmniej 1 reszki
3. Do urny wkùadam 5 kul zielonych, 4 niebieskie, oraz 2 biaùe. Z urny losuje kolejno
2 kule. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo
wylosowania kul we wszystkich kolorach.
4. Rzucam kostk¹ do gry do momentu wyrzucenia 6-stki. Opisz przestrzeñ zdarzeñ
elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo:
a)
rzucaliœmy parzyst¹ iloœã razy
b)
rzucaliœmy mniej ni¿ 5 razy.
Rozwi¹zanie
Zauwa¿my, ¿e mamy do czynienia z przestrzeni¹ nieskoñczon¹
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
,...
6
,
6
,
6
,
6
,
6
,
6
x
xxxxx
xxxx
xxx
xx
x
. Jednoczeœnie
6
1
6
5
6
...
n
x
x
P
,
gdzie n liczba x-ów poprzedzaj¹cych 6.
a)
Niech teraz A zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e rzucaliœmy parzyst¹ iloœã
razy,
,...
6
,
6
,
6
xxxxx
xxx
x
A
, st¹d
11
5
36
11
36
5
6
5
1
6
1
6
5
6
1
6
5
2
1
1
2
n
n
A
P
.
b)
Niech teraz B zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e rzucaliœmy mniej ni¿ 5 razy,
6
,
6
,
6
,
6
xxx
xx
x
B
, mamy wtedy
4
3
2
6
125
6
25
6
5
6
1
B
P
.
5. Rzucamy monet¹ do momentu wyrzucenia 2 razy pod rz¹d tej samej strony monety.
Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo i¿ rzucaliœmy
nieparzyst¹ iloœã razy.
6. Dwóch graczy A i B rzucaj¹ na zmianê monet¹. Wygrywa ten z nich który pierwszy
wyrzuci orùa. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo
wygrania dla ka¿dego z nich.
7. Trzech graczy A ,B i C rzucaj¹ na zmianê monet¹. Wygrywa ten z nich który
pierwszy wyrzuci orùa. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz
prawdopodobieñstwo wygrania dla ka¿dego z nich.
8. Rzucam 2 razy kostk¹ do gry. Niech A zdarzenie polegaj¹ce na wyrzuceniu szóstki
w pierwszym rzucie, niech B zdarzenie polegaj¹ce na wyrzuceniu 1 lub 2 w drugim
16
rzucie, zaœ C zdarzenie polegaj¹ce na wyrzuceniu w sumie 7 oczek. Zbadaj
niezale¿noœã:
a)
Zdarzeñ A i B
b)
Zdarzeñ A i C
c)
Zdarzeñ B i C
d)
Zdarzeñ A,B,C razem.
Rozwi¹zanie
Oczywiœcie
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
,
,
y
x
y
x
, model klasyczny,
36
. Zauwa¿my ponadto
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
,
6
y
y
A
oraz
6
A
,
36
6
A
P
;
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
,
2
,
,
1
,
x
x
x
B
oraz
12
B
,
36
12
B
P
;
6
,
1
,
5
,
2
,
4
,
3
,
3
,
4
,
2
,
5
,
1
,
6
C
oraz
6
C
,
36
6
C
P
;
2
,
6
,
1
,
6
B
A
oraz
2
B
A
,
36
2
B
A
P
;
1
,
6
C
A
oraz
1
C
A
,
36
1
C
A
P
;
2
,
5
,
1
,
6
B
C
oraz
2
B
C
,
36
2
B
C
P
;
1
,
6
C
B
A
oraz
1
C
B
A
,
36
1
C
B
A
P
.
Mamy wiêc
B
P
A
P
B
A
P
,
C
P
A
P
C
A
P
,
C
P
B
P
C
B
P
,
C
P
B
P
A
P
C
B
A
P
. Zdarzenia A,B,C s¹ parami niezale¿ne ale nie s¹
niezale¿ne wszystkie 3 razem.
9. Wybrano losowo rodzinê z dwójk¹ dzieci i okazaùo siê, ¿e jedno z nich ma na
drugie imiê Piotrek ( co nie znaczy ¿e drugie nie ma na imiê Piotrek). Jaka jest szansa,
¿e drugie dziecko te¿ jest chùopcem.
Rozwi¹zanie
10. Przyjmijmy
c
d
x
x
x
i
,
,
,
2
1
, gdzie
i
x
pùeã i-tego dziecka. Niech A
zdarzenie: jedno z nich ma na drugie imiê Piotrek, zaœ B zdarzenie drugie dziecko te¿
jest chùopcem. Liczymy
3
1
/
4
3
4
1
A
P
B
A
P
A
B
P
.
11. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e na ¿adnej kostce nie
wypadùa 6, jeœli na ka¿dej kostce jest inny wynik.
12. Mamy trzy kr¹¿ki. Jeden z dwóch stron jest biaùy, drugi ma obie strony czarne a
trzeci jedn¹ czarn¹ a drug¹ biaù¹. Rzucaliœmy losowo wybranym kr¹¿kiem i na
wierzchu wypadùa biaùa strona. Policz prawdopodobieñstwo, ¿e po drugiej stronie jest
kolor czarny.
13. Jaka jest szansa, ¿e ka¿dy z graczy S,E,W ma co najmniej 1 asa, jeœli wiadomo, ¿e
gracz N nie dostaù ¿adnego.
14. W urnie znajduje siê 3 kule biaùe i 7 czarnych. Losuje z urny 10 razy ze zwrotem.
Policz prawdopodobieñstwo tego, ¿e:
a)
Wylosuje 10 kul czarnych
b)
Wylosuje 4 kule czarne
17
c)
Wylosuje co najmniej 2 kule czarne.
15. Myœliwy trafia do dzika z prawdopodobieñstwem
5
1
p
. Ile razy powinien strzeliã
aby z prawdopodobieñstwem wiêkszym ni¿ 0,5 trafiù dzika przynajmniej raz.
Wskazówka
Skorzystaj ze schematu Bernoulliego.
16. Rzucono 10 razy symetryczn¹ kostk¹. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e w
ostatnim rzucie wypadnie 3, jeœli wiadomo, ¿e
a)
otrzymano 4 trójki,
b)
w pierwszych 9 rzutach wypadùy same trójki?
17. *Zadanie Banacha o zapaùkach. Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i
prawej) po jednym pudeùku zapaùek. Ilekroã chce zapaliã papierosa, siêga do losowo
wybranej kieszeni. Jaka jest szansa, ¿e gdy po raz pierwszy wyci¹gnie puste pudeùko to
w drugim bêdzie k zapaùek?( k=1,2,3,...,m gdzie m jest liczb¹ zapaùek w peùnym
pudeùku. Zakùadamy, ¿e pocz¹tkowo matematyk ma 2 peùne pudeùka.)
18. Z jednej urny zawieraj¹cej 4 biaùe, 3 zielone i 3 niebieskie kule do drugiej
zawieraj¹cej 8 biaùych kul przekùadamy dwie losowo wybrane kule. Nastêpnie z
drugiej urny losujemy 1 kule. Policz prawdopodobieñstwo i¿:
a)
jest to kula biaùa,
b)
przeùo¿yliœmy dwie kule biaùe jeœli wylosowana kula okazaùa siê biaùa.
Rozwi¹zanie
Zauwa¿my najpierw, ¿e nas interesuj¹ tylko 2 rodzaje kul: biaùe i inne. W zadaniach
wykorzystuj¹cych wzór na prawdopodobieñstwo caùkowite i wzór Bayesa nie musimy
konstruowaã przestrzeni probabilistycznej dla caùego doœwiadczenia, bo wszystkie
potrzebne prawdopodobieñstwa zale¿¹ od pomocniczych przestrzeni. Pierwszej
zwi¹zanej z losowaniem 2 kul z pierwszej urny
6
2
1
4
3
2
1
1
,...,
,
,
,
,
,
,
,
,
i
i
i
b
b
b
b
y
x
y
x
gdzie literki
b
oznaczaj¹ kule biaùe a literki
i
inne. Druga zale¿y od wyniku
pierwszego losowania. Oznaczmy:
0
B
przeùo¿enie dwóch kul innych z pierwszej do drugiej urny,
15
5
2
10
2
6
0
B
P
;
1
B
przeùo¿enie jednej kuli biaùej i jednej czarnej z pierwszej do drugiej urny,
15
8
2
10
1
6
1
4
1
B
P
;
2
B
przeùo¿enie dwóch kul biaùych z pierwszej do drugiej urny,
15
2
2
10
2
4
2
B
P
.
18
Zauwa¿my, ¿e zdarzenia te tworz¹ ukùad zupeùny, bo s¹ rozù¹czne i obejmuj¹ wszystkie
mo¿liwe przypadki (
2
0
,
,
i
i
j
i
B
j
i
B
B
).
Niech
A
oznacza wylosowanie kuli biaùej z drugiej urny. Potrzebne nam bêd¹ teraz
jeszcze prawdopodobieñstwa zdarzeñ:
0
/ B
A
czyli prawdopodobieñstwo wylosowania z drugiej urny kuli biaùej pod
warunkiem przeùo¿enie dwóch kul innych z pierwszej do drugiej urny,
1
/ B
A
czyli prawdopodobieñstwo wylosowania z drugiej urny kuli biaùej pod
warunkiem przeùo¿enie jednej kuli biaùej i jednej czarnej z pierwszej do drugiej urny,
1
/ B
A
czyli prawdopodobieñstwo wylosowania z drugiej urny kuli biaùej pod
warunkiem przeùo¿enie dwóch kul biaùych z pierwszej do drugiej urny.
£atwo widaã, ¿e
10
8
/
0
B
A
P
,
10
9
/
1
B
A
P
,
1
/
2
B
A
P
Potrzebujemy policzyã jeszcze
a)
z wzoru na prawdopodobieñstwo caùkowite mamy:
25
22
15
2
1
15
8
10
9
15
5
10
8
/
2
0
i
i
i
B
P
B
A
P
A
P
b)
z wzoru Bayesa
33
5
/
/
25
22
15
2
2
2
2
A
P
B
P
B
A
P
A
B
P
.
19. Rzucam kostk¹ a nastêpnie monet¹ tyle razy ile wypadùo oczek na kostce. Policz
prawdopodobieñstwo:
a)
wyrzucenia 3 orùów,
b)
wyrzucenia 6 oczek jeœli wypadùy 3 orùy,
c)
wyrzucenia 6 oczek jeœli nie wypadù ani jeden orzeù.
20. W urnie znajduje siê a losów wygrywaj¹cych, b losów przegrywaj¹cych i c losów
„losuj dalej”. Po losowaniu los wrzucamy z powrotem do urny. Korzystaj¹c z wzoru
na prawdopodobieñstwo caùkowite policz prawdopodobieñstwo wygranej dla a=100 i
b=200.
21. Dwaj gracze A i B rzucaj¹ na zmianê kostk¹ symetryczn¹. Wygrywa ten z nich
który pierwszy wyrzuci 6. Korzystaj¹c z wzoru na prawdopodobieñstwo caùkowite
policz prawdopodobieñstwo wygranej dla ka¿dego z graczy.
22. Fabryka A produkuje 500 000 samochodów rocznie, fabryka B produkuje 200 000
samochodów a pozostaùe 1 300 000 samochodów pochodzi z importu . 10%
samochodów z fabryki A jest niebieskich, 20% z fabryki B ma kolor niebieski i tylko
5% pochodz¹cych z importu to samochody niebieskie. Policz prawdopodobieñstwo i¿:
a)
losowo wybrany samochód z tego rocznika jest niebieski
b)
losowo wybrany samochód z tego rocznika pochodzi z fabryki A jeœli
okazaù siê niebieski.
19
Uwaga koñcowa.
Dodatkowo rozwi¹zania podobnych zadañ maj¹ pañstwo w przykùadach w czêœci
teoretycznej oraz w pozycjach, z których korzystaùam przy pisaniu zestawów:
„Wstêp do teori prawdopodobieñstwa” J.Jakubowski, R.Sztencel;
„Rachunek prawdopodobieñstwa i statystyka matematyczna w zadaniach”, tom1,
W.Krysicki, J.Bartos, W.Dyczka, K.Królikowska, M.Wasilewski;
„Prawdopodobieñstwo i miara” P.Billinsley