1

Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych.

K.Lubnauer

Czêœã 1

Powtórzenie, prawdopodobieñstwo

Teoria

Podstawowy pojêciem probabilistycznym ( zwi¹zanym z teori¹ prawdopodobieñstwa)

jest przestrzeñ probabilistyczna czyli trójka





P

F ,

,



gdzie



przestrzeñ zdarzeñ

elementarnych czyli pewien zbiór,

F

jest



-ciaùem podzbiorów



, zaœ P miar¹

unormowan¹ na F czyli prawdopodobieñstwem. Zdefiniujmy wiêc te podstawowe

pojêcia:

Definicja 1

Rodzina zbiorów F nazywamy



-ciaùem na zbiorze



je¿eli speùnia nastêpuj¹ce

warunki:

(i)

F





,

(ii)

F

A

F

A









gdzie

A

oznacza

A





czyli dopeùnienie zbioru A.

(iii)

dla dowolnego ci¹gu zbiorów

,...

,

,

3

2

1

A

A

A

nale¿¹cych do F mamy



n

n

F

A 

.

Ponadto z powy¿szej definicji wynika:

Wùasnoœã 1

Jeœli F jest  -ciaùem to:

(i)

dla dowolnego ci¹gu zbiorów

,...

,

,

3

2

1

A

A

A

nale¿¹cych do F mamy



n

n

F

A 

.

(ii)

Je¿eli

F

B

A



,

to

F

B

A





,

F

B

A





oraz

F

B

A





.

(iii)

F





Dowód

(i)

Wynika z i¿





n

n

n

n

A

A























oraz z warunków (i) i (ii) z Definicji 1.

(ii)

Ãwiczenie wùasne ( zauwa¿my ¿e dla dowolnych zbiorów A,B mo¿emy w

sposób sztuczny zbudowaã ci¹g nieskoñczony

,.....

,

,

,

,







B

A

)

(iii)

Zauwa¿my, ¿e







co daje tezê.

Podam teraz aksjomatyczn¹ definicjê prawdopodobieñstwa:

Definicja 2

Niech



pewien zbiór zaœ F



-ciaùo zdefiniowane na



. Prawdopodobieñstwem

nazywamy dowoln¹ funkcjê P okreœlon¹ na F i speùniaj¹c¹ warunki:

(i)



 R

F

P :

(ii)

 

1





P

id337254 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

2

(iii)

Jeœli

,...

3

,

2

,

1

, 



i

F

A

i

oraz







j

i

A

A

dla

j

i 

,(czyli s¹ parami

rozù¹czne) to

 



























1

1

i

i

i

i

A

P

A

P



Mo¿emy mówiã równie¿ o klasycznej definicji prawdopodobieñstwa która jest

szczególnym, intuicyjnym przypadkiem:

Definicja3 (Klasyczna definicja prawdopodobieñstwa)

Niech



zbiór skoñczony,





n







,...,

,

2

1





,



 2

F

oraz wszystkie zdarzenia

elementarne s¹ tak samo prawdopodobne to prawdopodobieñstwem klasycznym

nazywamy funkcjê P okreœlon¹ na F wzorem:

 





A

A

P

, oraz

 





n

P

i

1





.

Przykùad 1

Rzucamy kostk¹ do gry, wtedy





6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1





, wszystkie wyniki s¹ tak samo

prawdopodobne zaœ np. prawdopodobieñstwo zdarzenia A- wyrzucenia parzystej

liczby oczek wynosi

 









5

,

0

6

3

6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

6

,

4

,

2







A

P

.

Z powy¿szych rozwa¿añ oraz z aksjomatycznej definicji prawdopodobieñstwa

otrzymujemy:

Twierdzenie 1 ( Wùasnoœci prawdopodobieñstwa)

Je¿eli





P

F ,

,



jest przestrzeni¹ probabilistyczn¹ oraz

F

A

A

A

B

A

n



,...,

,

,

,

2

1

, to

(i)

 

0





P

(ii)

 

 

1

,

0



A

P

(iii)

Skoñczona addytywnoœã. Jeœli mamy skoñczony ci¹g

n

i

F

A

i

,...,

3

,

2

,

1

, 



oraz







j

i

A

A

dla

j

i 

, to

 























n

i

i

n

i

i

A

P

A

P

1

1



(iv)

Monotonicznoϋ. Dla dowolnych

F

B

A



,

takich, ¿e

B

A 

mamy

 

 

B

P

A

P



.

(v)

Przeliczalna subaddytywnoœã. Jeœli

,...

3

,

2

,

1

, 



i

F

A

i

, to

 



























1

1

i

i

i

i

A

P

A

P



.

(vi)

Skoñczona subaddytywnoœã. Jeœli

n

i

F

A

i

,...,

3

,

2

,

1

, 



, to

 























n

i

i

n

i

i

A

P

A

P

1

1



.

(vii)

Ci¹gùoœã.

3

a. Jeœli

F

A

n



oraz

1





n

n

A

A

dla n=1,2,3,.... to





n

n

n

n

A

P

A

P

























lim

1



.

b. Jeœli

F

A

n



oraz

1





n

n

A

A

dla n=1,2,3,.... to





n

n

n

n

A

P

A

P

























lim

1



.

(viii) Dla dowolnych

F

B

A



,

takich, ¿e

B

A 

mamy





 

 

A

P

B

P

A

B

P







.

(ix)

 

 

A

P

A

P







1

.

(x)

Dla dowolnych

F

B

A



,

mamy





 

 





B

A

P

B

P

A

P

B

A

P











.

(xi)

Dla dowolnych

F

C

B

A



,

,

mamy





 

 

 

















C

B

A

P

C

B

P

C

A

P

B

A

P

C

P

B

P

A

P

C

B

A

P





























.

Dowód

(i)

Korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci prawdopodobieñstwa mamy

 





 

 

 

........

.....































P

P

P

P

P

st¹d

 

0





P

(ii)

Wyka¿ê (iv) wtedy (ii) jest oczywiste z faktu i¿

 

1





P

i P nieujemna

funkcja.

(iii)

Weêmy

n

i

F

A

i

,...,

3

,

2

,

1

, 



oraz







j

i

A

A

dla

j

i 

, oraz dla

n

i 

niech





n

A

wtedy korzystaj¹c z przeliczalnej addytywnoœci oraz z warunku (i)

mamy

 

 



















































n

i

i

i

i

i

i

n

i

i

A

P

A

P

A

P

A

P

1

1

1

1





(iv)

Skorzystamy z warunku (iii). Niech

F

B

A



,

takie, ¿e

B

A 

, mamy wtedy:

 









A

B

A

P

B

P







gdzie oczywiœcie oba skùadniki sumy s¹ rozù¹czne czyli

 

 





A

B

P

A

P

B

P







oraz





0



 A

B

P

co daje tezê.

(v)

Dla

,...

3

,

2

,

1

, 



i

F

A

i

, zdefiniujmy w nastêpuj¹cy sposób ci¹g

n

B

. Niech





1

1

1

1

...

,













n

n

n

A

A

A

B

A

B

, wtedy oczywiœcie mamy ci¹g zbiorów z F

rozù¹cznych parami i takich, ¿e















1

1

n

n

n

n

A

B

oraz dla ka¿dego n mamy

n

n

A

B 

czyli









n

n

A

P

B

P



. Policzmy wiêc:

 

 























































1

1

1

1

i

i

i

i

i

i

i

i

A

P

B

P

B

P

A

P





co daje tezê.

(vi)

Wniosek z (v) uzupeùniaj¹c ci¹g zbiorami pustymi.

(vii)

Niech

F

A

n



oraz

1





n

n

A

A

dla n=1,2,3,.... Zdefiniujemy ci¹g

n

C

w

nastêpuj¹cy sposób:

,....

,....,

,

1

1

2

2

1

1













n

n

n

A

A

C

A

A

C

A

C

wtedy

oczywiœcie zbiory

n

C

nale¿¹ do F oraz s¹ rozù¹czne oraz



n

i

i

n

C

A

1





, wiêc

mamy:













n

n

n

i

i

n

n

i

i

n

i

i

i

i

i

i

A

P

C

P

C

P

C

P

C

P

A

P





















































































lim

lim

lim

1

1

1

1

1







(viii) Weêmy dowolne

F

B

A



,

takie, ¿e

B

A 

mamy

 













 

A

P

A

B

P

A

A

B

P

B

P













bo

A

B

A

,



rozù¹czne. Ostatnia

równoœã daje tezê.

4

(ix)

Weêmy dowolne

F

B

A



,

korzystaj¹c z algebry zbiorów oraz wùasnoœci

(viii) oraz (iii) mamy:













 





 









 

 





B

A

P

B

P

A

P

B

A

B

P

A

P

A

B

P

A

P

A

B

A

P

B

A

P































(x)

Do samodzielnej pracy.

Innym przykùadem prawdopodobieñstwa jest prawdopodobieñstwo geometryczne:

Definicja 4

Niech



podzbiór

n

R

taki, ¿e gdzie

n



miara Lebesgu’a okreœlona na

n

R

(w

uproszczeniu oznacza to dùugoœã w

R

,pole w

2

R

, objêtoœã w

3

R

), wtedy

prawdopodobieñstwem geometrycznym na



nazywamy miarê

P

okreœlon¹

wzorem

 

 

 





n

n

A

A

P





gdzie A dowolny zbiór mierzalny wzglêdem miary

Lebesgu’a.

Przykùad 2

Z odcinka (0,2) losujemy 2 liczby. Policzê prawdopodobieñstwo zdarzenia A, ¿e ich

suma jest mniejsza ni¿ 1.

Rys 1

Zauwa¿my, ¿e losowanie 2 liczb z odcinka (0,2) polega na wylosowaniu punktu z

kwadratu



 



2

,

0

2

,

0



czyli



to ten kwadrat. Oczywiœcie

 

4

2







, mamy

ponadto









1

:

,











y

x

y

x

A

czyli

 

2

1

2



A



, st¹d

 

8

1



A

P

.

Dwoma podstawowymi pojêciami w teorii prawdopodobieñstw, których nie nale¿y

myliã s¹ rozù¹cznoœã i niezale¿noœã zdarzeñ, przypomnijmy zdarzenia A,B s¹

rozù¹czne tak jak zbiory, gdy





 B

A

. Niezale¿noœã oznacza zaœ nastêpuj¹c¹

wùasnoœã pary zbiorów:

Definicja 5

Zbiory A,B s¹ niezale¿ne jeœli speùniaj¹ warunek:





 

 

B

P

A

P

B

A

P







.

Przykùad 3

5

Rzucamy 2 razy monet¹ i rozwa¿my zdarzenia A- wylosowaliœmy 1 reszkê i 1 orùa i

B- w drugim rzucie wylosowaliœmy orùa. Zbadaj niezale¿noœã zdarzeñ A,B.



 

 

 







o

r

r

o

r

r

o

o

,

,

,

,

,

,

,





i mamy model klasyczny czyli

 

2

1

4

2









A

A

P

,

 

2

1

4

2









B

B

P

oraz mamy





4

1











B

A

B

A

P

, czyli





 

 

B

P

A

P

B

A

P







.

Zdarzenia A,B s¹ wiêc niezale¿ne.

Uwaga.

Dla trzech zdarzeñ A,B,C mówimy ¿e s¹ one niezale¿ne gdy niezale¿ne s¹ pary A,B

i B,C i A,C oraz zachodzi warunek





 

 

 

C

P

B

P

A

P

C

B

A

P











.

Przejdêmy teraz do prawdopodobieñstwa warunkowego które pozwoli nam

wprowadziã twierdzenie o prawdopodobieñstwie caùkowitym i wzór Bayes’a.

Definicja 6
Prawdopodobieñstwem warunkowym zajœcia zdarzenia A pod warunkiem zajœcia

zdarzenia B, gdzie

 

0



B

P

, nazywamy liczbê









 

B

P

B

A

P

B

A

P





/

.

Przykùad 4

Rozwa¿my pewn¹ rodzinê z dwójk¹ dzieci. Obliczymy prawdopodobieñstwo tego,

¿e w rodzinie s¹ dwie dziewczynki, jeœli wiemy, ¿e w tej rodzinie:

(i)

mùodsze dziecko jest dziewczynk¹

(ii)

co najmniej jedno z dzieci jest dziewczynk¹

W obu przypadkach



 

 

 







c

c

d

c

c

d

d

d

,

,

,

,

,

,

,





i mamy do czynienia z modelem

klasycznym.

(i)







 

 











2

1

2

1

4

1

,

,

,

/

,





d

c

d

d

d

d

P

(ii)







 

 

 











3

1

4

3

4

1

,

,

,

,

,

/

,





c

d

d

c

d

d

d

d

P

.

Zauwa¿my, ¿e prawdopodobieñstwo warunkowe przy ustalonym warunku speùnia

wszystkie aksjomaty prawdopodobieñstwa. (Ãwiczenie do samodzielnej pracy).

Definicja 7

6

Ukùadem zupeùnym zdarzeñ (rozbiciem przestrzeni



) nazywamy skoñczony b¹dê

nieskoñczony ci¹g zdarzeñ

,....

,

,

3

2

1

B

B

B

parami rozù¹cznych i daj¹cych w sumie

przestrzeñ



:

j

i

B

B

B

j

i

n

n













,

,



.

Twierdzenie 2 ( Wzór na prawdopodobieñstwo caùkowite)

Je¿eli





n

B

B

B

,....,

,

2

1

jest ukùadem zupeùnym zdarzeñ na



dodatnich niezerowych

prawdopodobieñstwach, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór:

 



 









n

i

i

i

B

P

B

A

P

A

P

1

/

Dowód

 











  



































n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

B

P

B

A

P

B

A

P

B

A

P

A

P

1

1

1

/



.

Rys 2

Uwaga
Powy¿sze twierdzenie jest prawdziwe równie¿ dla przeliczalnej, nieskoñczonej

liczby zdarzeñ

i

B

.

Przykùad 5
W fabryce pracuj¹ 3 roboty monta¿owe. Pierwszy robot ma 0,03 braków, robot

drugi ma 0,05 braków a robot trzeci ma 0,02 braków. Roboty te wykonuj¹ tyle

samo zabawek na godzinê.

Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e losowo wybrana zabawka z tej fabryki oka¿e siê

brakiem?

A

-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka jest brakiem.

1

B

-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od

robota 1.

7

2

B

-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od

robota 2.

3

B

-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od

robota 3.

 



 



30

1

3

1

1

,

0

3

1

02

,

0

3

1

05

,

0

3

1

03

,

0

/

3

1

























i

i

i

B

P

B

A

P

A

P

Drugim z podstawowych twierdzeñ jest twierdzenie pozwalaj¹ce przeœledziã przebieg

doœwiadczenia na podstawie jego wyniku:

Twierdzenie 3 (Wzór Bayes’a)

Je¿eli





n

B

B

B

,....,

,

2

1

jest ukùadem zupeùnym zdarzeñ na



dodatnich niezerowych

prawdopodobieñstwach i A dowolne zdarzenie o dodatnim prawdopodobieñstwie to

zachodzi wzór:







  



  







n

i

i

i

j

j

j

B

P

B

A

P

B

P

B

A

P

A

B

P

1

/

/

/

.

Dowód

Wystarczy skorzystaã ze wzoru na prawdopodobieñstwo warunkowe oraz ze wzoru na

prawdopodobieñstwo caùkowite aby otrzymaã:









 



  



  











n

i

i

i

j

j

j

j

B

P

B

A

P

B

P

B

A

P

A

P

A

B

P

A

B

P

1

/

/

/

Wykorzystajmy sytuacjê z przykùadu 4 zmieniaj¹c tylko treœã pytania. Zauwa¿my, ¿e

znamy ju¿ wynik losowania a pytamy siê o przebieg losowania.

Przykùad 6

W fabryce pracuj¹ 3 roboty monta¿owe. Pierwszy robot ma 0,03 braków, robot drugi

ma 0,05 braków a robot trzeci ma 0,02 braków. Roboty te wykonuj¹ tyle samo

zabawek na godzinê.

Losujemy zabawkê, okazaùa siê ona brakiem. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e

pochodzi od robota nr 2?

A

-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka jest brakiem.

1

B

-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota

nr 1.

2

B

-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota

nr 2.

3

B

-zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e wylosowana zabawka pochodzi od robota

nr 3.

8







 





 



5

,

0

30

1

3

1

05

,

0

/

/

/

3

1

2

2

2













i

i

i

B

P

B

A

P

B

P

B

A

P

A

B

P

.

Definicja8

Schematem Bernoulliego nazywamy ci¹g niezale¿nych powtórzeñ tego samego

doœwiadczenia o dwu mo¿liwych wynikach nazwanych umownie sukcesem i pora¿k¹.

Poszczególne doœwiadczenia to próby Bernoulliego.

W powy¿szej sytuacji zachodzi wzór:

 

k

n

k

n

q

p

k

n

k

P



















gdzie:

 

k

P

n

prawdopodobieñstwo k sukcesów w n próbach Bernoulliego,

p

prawdopodobieñstwo sukcesu w pojedynczej próbie,

p

q



 1

prawdopodobieñstwo

pora¿ki w jednej próbie.

9

Zadania z przykùadowymi rozwi¹zaniami

Model klasyczny prawdopodobieñstwa

1. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisaã przestrzeñ

zdarzeñ elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e otrzymamy wyraz

MATEMATYKA.

Rozwi¹zanie
Przyjmujemy, ¿e klocki s¹ rozró¿nialne i oznaczmy





E

K

Y

T

T

A

A

A

M

M

T

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

1

3

2

1

2

1



.

Wtedy przestrzeñ zdarzeñ elementarnych to wszystkie permutacje elementów ze zbioru

T czyli:









T

x

x

x

x

x

x

i

j

i









,

,

,...,

,

10

2

1

. Zauwa¿my, ¿e ka¿de ustawienie klocków jest tak

samo prawdopodobne a



jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model klasyczny. Z

kombinatoryki wiemy, ¿e

!

10





Niech A zdarzenie polegaj¹ce na uùo¿eniu sùowa MATEMATYKA. £atwo widaã, z

kombinatoryki, ¿e

24

!

2

!

3

!

2









A

. St¹d:

 

151200

1

!

10

24





A

P

.

2. 2 chùopców i 3 dziewczynki ustawiam w szereg . Opisaã przestrzeñ zdarzeñ

elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e

a)

chùopcy stoj¹ obok siebie

b)

chùopcy i dziewczynki stoj¹ na zmianê.

3. Cyfry 0,1,2,...,9 ustawiono losowo. Opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i

obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e

a)

miêdzy 0 i 9 stoj¹ dokùadnie 4 cyfry

b)

1,2,3,4 bêd¹ staùy obok siebie.

4. Przy okr¹gùym stole usiadùo dziesiêã kobiet i dziesiêciu mê¿czyzn. Opisaã

przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e osoby tej samej

pùci nie siedz¹ koùo siebie.

5. Z grupy 25 osób w której jest 10 kobiet i 15 mê¿czyzn wybrano

a)

3 osoby na stanowisko starszego specjalisty.

b)

3 osoby do zarz¹du firmy (prezesa, wiceprezesa ds. marketingu i

wiceprezesa ds. produkcji)

Dla ka¿dego z przypadków opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych i obliczyã

prawdopodobieñstwo, ¿e wœród wybranych s¹ dokùadnie 2 kobiety.

Rozwi¹zanie

Przyjmujemy, ¿e ludzie s¹ zawsze rozró¿nialne i oznaczmy





15

1

10

1

,...,

,

,...,

m

m

k

k

T 

.

a)

Poniewa¿ wybór 3 specjalistów nie wymaga uwzglêdnienia kolejnoœci wiêc

przestrzeñ zdarzeñ elementarnych to wszystkie kombinacje 3 elementowe ze

zbioru T czyli:









T

x

x

x

x

x

x

i

j

i









,

,

,

,

3

2

1

. Zauwa¿my, ¿e ka¿dy wybór 3 osób

jest tak samo prawdopodobny a



jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model

klasyczny. Z kombinatoryki wiemy, ¿e



















3

25

.

10

Niech A zdarzenie polegaj¹ce na wybraniu dokùadni 2 kobiet. £atwo widaã, ¿e































1

15

2

10

A

.

St¹d:

 













































3

25

1

15

2

10

A

P

.

b)

W tym przypadku kolejnoœã jest istotna (ró¿ne funkcje) wiêc zmienia siê

model:









T

x

x

x

x

x

x

i

j

i









,

,

,

,

3

2

1

. Zauwa¿my, ¿e ka¿dy wybór 3 osób jest

tak samo prawdopodobny a



jest zbiorem skoñczonym wiêc jest to model

klasyczny. Z kombinatoryki wiemy, ¿e





!

3

!







n

n

.

Niech A zdarzenie polegaj¹ce na wybraniu dokùadni 2 kobiet. £atwo widaã, ¿e

!.

3

1

15

2

10































A

St¹d:

 

















































































3

25

1

15

2

10

!

3

!

!

3

1

15

2

10

n

n

A

P

.

Widzimy, ¿e wynik jest ten sam niezale¿nie od modelu, poniewa¿ zdarzenie A nie

zale¿aùo od kolejnoœci.

6. W pudeùku jest 6 œrubek dobrych i 2 zùe. Opisaã przestrzeñ zdarzeñ elementarnych

i obliczyã prawdopodobieñstwo, ¿e wœród 4 wybranych œrubek s¹ 3 dobre i 1 zùa.

7. Ze schroniska na szczyt prowadz¹ 3 szlaki: czarny, zielony i niebieski. Odbywam

wycieczkê na szczyt i z powrotem wybieraj¹c szlaki losowo. Jakie jest

prawdopodobieñstwo i¿ bêdê wchodziã i schodziã tym samym szlakiem?

Rozwi¹zanie

Przestrzeñ zdarzeñ elementarnych













n

z

cz

x

x

x

i

,

,

,

,

2

1







. Zauwa¿my, ¿e w parze

mog¹ siê powtarzaã kolory. Znowu mamy do czynienia z modelem klasycznym ponadto

9

3

2







. Niech A zdarzenie polegaj¹ce na powrocie t¹ tras¹ któr¹ przyszliœmy,



 

 







n

n

z

z

cz

cz

A

,

,

,

,

,



, st¹d

3



A

. Mamy wiêc

 

3

1



A

P

.

8. Rzucam 2 razy kostk¹ symetryczn¹. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Jakie

jest prawdopodobieñstwo

a)

wyrzucenia dwukrotnie tego samego?

b)

wyrzucenia w sumie 10 oczek?

9. Autobus zatrzymuje siê na 10 przystankach. W autobusie jest 8 pasa¿erów, z

których ka¿dy musi wysi¹œã na jednym z przystanków. Opisz przestrzeñ zdarzeñ

elementarnych. Jakie jest prawdopodobieñstwo i¿ ka¿dy spoœród 8 pasa¿erów

wysi¹dzie na innym przystanku. Jakie jest prawdopodobieñstwo i¿ wszyscy

pasa¿erowie wysi¹d¹ na tym samym przystanku.

11

10. Losowo dzielimy 15 delicji szampañskich miêdzy 4 osoby. Jakie jest

prawdopodobieñstwo, ¿e ka¿da z nich dostanie:

a)

przynajmniej jedno ciasteczko?

b)

przynajmniej 2 ciasteczka?

Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych.

Rozwi¹zanie

Jeœli uznamy, ¿e w modelu tym nie ma znaczenia które delicje otrzymaùa która osoba

to:









15

,

,

,

,

,

,

,

,

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1















x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

N

, (przyjmijmy dla uùatwienia

zapisu, ¿e 0 nale¿y do liczb naturalnych), gdzie

i

x

to iloϋ delicji otrzymanych przez

i-t¹ osobê. Z kombinatoryki mamy

























1

4

1

4

15

( wzór na iloœã kombinacji z

powtórzeniami).

a)

A zdarzenie polegaj¹ce na otrzymaniu przynajmniej jednego ciasteczka

przez ka¿d¹ osobê,









11

,

,

,

,

,

1

,

1

,

1

,

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1





















x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

A

N

,

mamy wiêc z tego samego wzoru co powy¿ej























1

4

1

4

11

A

.

Ostatecznie

 











































1

4

1

4

15

1

4

1

4

11

A

P

.

Podpunkt b robi siê analogicznie.

11. Do windy zatrzymuj¹cej siê na 4 piêtrach wsiadùo 20 osób. Oblicz

prawdopodobieñstwo i¿ na ka¿dym z piêter wysi¹dzie dokùadnie 5 osób. Oblicz

prawdopodobieñstwo i¿ przynajmniej na jednym piêtrze nikt nie wysi¹dzie. Opisz

przestrzeñ zdarzeñ elementarnych.

12. Z liczb 1-1001 wylosowano 2. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Oblicz

prawdopodobieñstwo i¿ ich suma jest podzielna przez 3.

13. U¿ywaj¹c ró¿nych cyfr ze zbioru





9

,

7

,

5

,

4

,

3



Z

utworzono liczbê trzycyfrow¹.

Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Oblicz prawdopodobieñstwo, ¿e:

a)

Jedn¹ z cyfr jest 7

b)

Jest to liczba parzysta.

Wùasnoœci prawdopodobieñstwa

1. Niech A,B,C bêd¹ zdarzeniami. Niech ponadto:

 

 

 







































C

B

A

B

A

P

C

B

P

C

A

P

C

P

B

P

A

P

;

1

,

0

;

1

,

0

;

2

,

0

;

4

,

0

;

2

,

0

;

5

,

0

Policz prawdopodobieñstwo:

a)

zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeñ

b)

zachodzi dokùadnie jedno ze zdarzeñ A,B,C

c)

zachodz¹ przynajmniej dwa ze zdarzeñ A,B,C

d)

nie zachodzi ¿adne z tych zdarzeñ.

12

Rozwi¹zanie

a)

Interesuje nas zdarzenie postaci

C

B

A





, gdzie oczywiœcie A,B,C

niekoniecznie rozù¹czne, st¹d





 

 

 

















C

B

A

P

C

B

P

C

A

P

B

A

P

C

P

B

P

A

P

C

B

A

P





























i podstawiaj¹c otrzymujemy:





7

,

0

0

1

,

0

1

,

0

2

,

0

4

,

0

2

,

0

5

,

0





















C

B

A

P

.

b)

Interesuje nas zdarzenie postaci







































































B

A

C

C

A

B

C

B

A

, tu sumowane zdarzenia s¹

rozù¹czne , liczymy wiêc

























 









 









 









3

,

0

1

,

0

2

,

0

4

,

0

1

,

0

1

,

0

2

,

0

1

,

0

2

,

0

5

,

0

























































































































































































































C

B

P

C

A

P

C

P

C

B

P

B

A

P

B

P

C

A

P

B

A

P

A

P

B

A

C

P

C

A

B

P

C

B

A

P

B

A

C

C

A

B

C

B

A

P

c)

Samodzielnie

d)

Teraz musimy policzyã













3

,

0

1









































C

B

A

P

C

B

A

P

C

B

A

P

.

2. Udowodnij, ¿e





 

 

1









B

P

A

P

B

A

P

.

Wskazówka:

Skorzystaã z wzoru na sumê zdarzeñ oraz z faktu, ¿e prawdopodobieñstwo dowolnego

zdarzenia jest mniejsze b¹dê równe 1.

3. Dane s¹

















A

B

P

B

A

P

B

A

P

i

B

A

P

\

\

,

4

1

2

1











. Oblicz

  



B

A

P

A

P

\

,

.

4. Dane s¹

 

 











B

A

B

P

A

P

,

4

3

,

4

1

. Uporz¹dkowaã rosn¹co







 



B

A

P

B

A

P

B

A

P











,

,

.

5. Maj¹c dane zdarzenia niezale¿ne A i B o prawdopodobieñstwach:

 

 

6

,

0

4

,

0





B

P

oraz

A

P

, znajdê:

a)

)

/

(

B

A

P

b)





B

A

P



c)





B

A

P





.

Wskazówka:

Niezale¿noœã daje nam





 

 

24

,

0









B

P

A

P

B

A

P

.

6. Zbadaj kiedy zdarzenie jest niezale¿ne samo od siebie.

Rozwi¹zanie.

Musimy zbadaã dla jakich A zachodzi





 

 

A

P

A

P

A

A

P







. Zauwa¿my, ¿e





A

A

A





, czyli musimy zbadaã równoœã

2

a

a 

gdzie

 

A

P

a 

. Oczywiœcie równoœã

ta zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy

1

0







a

a

. St¹d mamy, ¿e zdarzenie jest

niezale¿ne samo od siebie gdy jego prawdopodobieñstwo wynosi 0 lub 1.

13

7. W szafce s¹ 3 pary kaloszy w 3 ró¿nych kolorach i tym samym rozmiarze. Czùowiek

nie rozró¿niaj¹cy kolorów dzieli je na pary: lewy z prawym. Jakie jest

prawdopodobieñstwo, ¿e ¿adna para nie bêdzie jednokolorowa?

Rozwi¹zanie

Mamy do czynienia z modelem klasycznym. Wyobraêmy sobie, ¿e nasz daltonista

ustawia najpierw 3 prawe kalosze a potem dopasowuje do nich 3 lewe, wtedy ka¿de

zdarzenie elementarne to jedno z ustawieñ 3 kaloszy lewych w ci¹g, st¹d

6

!

3 





.

Niech A zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e ¿adna para nie jest jednokolorowa. Zbadamy

zdarzenie przeciwne do A czyli zdarzenie

A

- przynajmniej 1 para jest jednokolorowa.

Ponumerujmy pary kaloszy i okreœlmy zdarzenia:

1

A

para numer 1 jest prawidùowo sparowana,

2

A

para numer 2 jest prawidùowo sparowana,

2

A

para numer 3 jest prawidùowo sparowana.

Wtedy

 

































6

4

6

1

2

3

1

3

!

3

1

!

3

1

!

3

1

!

3

1

!

3

!

2

!

3

!

2

!

3

!

2

3

2

1

3

1

3

2

2

1

3

2

1

3

2

1

























































A

A

A

P

A

A

P

A

A

P

A

A

P

A

P

A

P

A

P

A

A

A

P

A

P

.

Czyli

 

 

3

1

6

2

1











A

P

A

P

.

8. Na zabawie s¹ 3 pary maù¿eñskich. W sposób losowy kobiety losuj¹ mê¿czyzn do

tañca. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e ¿aden m¹¿ nie tañczy ze swoj¹ ¿on¹?

Prawdopodobieñstwo geometryczne

1. Z odcinka





3

,

2



losujemy liczbê policz prawdopodobieñstwo, i¿:

a) wylosowana liczba bêdzie dodatnia

b) kwadrat wylosowanej liczby bêdzie mniejszy od 1

c) kwadrat wylosowanej liczby bêdzie wiêkszy od 2

d) bêdzie to liczba wymierna

Rozwi¹zanie

Poniewa¿ losujemy 1 liczbê z odcinka





3

,

2



, wiêc





3

,

2







, zaœ

prawdopodobieñstwo okreœlone jest wzorem:

 

 

 

 





 

5

2

3

1

1

1

1

A

A

A

A

P





















.

a)

Niech A zdarzenie: wylosowana liczba bêdzie dodatnia, wtedy







 



3

,

0

0

:

3

,

2











x

x

A

, st¹d

 

 

5

3

5

1





A

A

P



.

b)

Niech B zdarzenie: kwadrat wylosowanej liczby bêdzie mniejszy od 1, wtedy













1

,

1

1

:

3

,

2

2













x

x

A

, st¹d

 

 

5

2

5

1





A

A

P



.

c)

samodzielnie

14

d)

zbiór liczb wymiernych jest przeliczaln¹ sum¹ zbiorów jednopunktowych,

wiêc jego miara Lebesgu’a wynosi 0, st¹d prawdopodobieñstwo zdarzenia z

podpunktu d) wynosi 0.

2. Z odcinka





2

,

1



losujemy 2 liczby. Policz prawdopodobieñstwo tego, ¿e:

a) ich suma jest dodatnia,

b) ich maksimum jest mniejsze od 1,

c) jedna z nich jest 2 razy wiêksza od drugiej,

d) jedna jest wymierna,

e) obie s¹ niewymierne.

Wskazówka
Zobacz Przykùad 2 z czêœci teoretycznej. Zadanie to robimy analogicznie.

3. Z odcinka





5

,

0

losujemy 3 liczby. Policz prawdopodobieñstwo tego, ¿e:

a) ich minimum jest wiêksze od 2,

b) ich maksimum jest wiêksze od 3,

c) jedna z nich jest liczb¹ naturaln¹.

4. Na odcinku wybrano losowo dwa punkty, które dziel¹ go na trzy odcinki. Jakie jest

prawdopodobieñstwo, ¿e mo¿na z tych 3 odcinków zbudowaã trójk¹t?

5. Na stóù o ksztaùcie koùa i promieniu 60 cm rzucono monetê o promieniu 1 cm, która

upadùa na stóù. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e moneta nie dotknêùa brzegu stoùu?

Rozwi¹zanie
Musimy okreœliã najpierw model, zauwa¿my, ¿e jeœli moneta upadùa na stóù to jej

œrodek ciê¿koœci musi le¿eã na stole i wùaœnie œrodek monety bêdzie wyznaczaù nam jej

poùo¿enie. Teraz



to nasz stolik czyli koùo o promieniu 60 cm, st¹d

 















3600

60

2

2



. Niech A zdarzenie polegaj¹ce nadym, ¿e moneta nie dotknie

stoùu, oznacza to, ¿e A to koùo o promieniu 59 cm, bo promieñ monety to 1 cm. St¹d

 













3481

59

2

2

A



, czyli

 

 

3600

3481

3600

3481

2

2















A

.

6. *Zadanie Bufona o igle. Igùê o dùugoœci l rzucono na podùogê z desek o szerokoœci

a





a

l 

. Jaka jest szansa, ¿e igùa przetnie krawêdê deski?

Prawdopodobieñstwo – inne modele, prawdopodobieñstwo warunkowe, badanie

niezale¿noœci zdarzeñ ,prawdopodobieñstwo caùkowite i wzór Bayesa.

1. Rzucam 3 razy monet¹ dla której prawdopodobieñstwo wyrzucenia reszki jest 2

razy wiêksze ni¿ orùa. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz

prawdopodobieñstwo wyrzucenia dokùadnie 2 orùów.

Rozwi¹zanie

Ten model nie jest modelem klasycznym bo wyrzucenie reszki jest dwukrotnie bardziej

prawdopodobne ni¿ orùa, st¹d zdarzenia elementarne nie s¹ równie prawdopodobne.

Oczywiœcie













r

o

x

x

x

x

i

,

,

,

,

3

2

1







, poniewa¿ w jednym rzucie

 





 





3

2

,

3

1





r

P

o

P

,

wiêc poszczególne zdarzenia elementarne maj¹ nastêpuj¹ce prawdopodobieñstwa:

15













27

1

3

1

3

1

3

1

,

,









o

o

o

P

,













27

2

3

1

3

1

3

2

,

,









o

o

r

P

,













27

2

3

1

3

2

3

1

,

,









o

r

o

P

,













27

2

3

2

3

1

3

1

,

,









r

o

o

P

,













27

4

3

1

3

2

3

2

,

,









o

r

r

P

,













27

4

3

2

3

2

3

1

,

,









r

r

o

P

,













27

4

3

2

3

1

3

2

,

,









r

o

r

P

,













27

8

3

2

3

2

3

2

,

,









r

r

r

P

. Warto jeszcze przeliczyã czy

suma prawdopodobieñstw wszystkich zdarzeñ elementarnych wynosi 1, sprawdzamy,

zgadza siê. Niech A zdarzenie: wyrzucenie dokùadnie 2 orùów. Mamy wtedy sumuj¹c

odpowiednie prawdopodobieñstwa nastêpuj¹cy wynik:

 

27

6



A

P

.

2. Rzucam kostk¹ a nastêpnie monet¹ tylokrotnie ile wypadùo oczek na kostce. Opisz

przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Znajdê prawdopodobieñstwo wyrzucenia

a)

dokùadnie 5 orùów.

b)

przynajmniej 1 reszki

3. Do urny wkùadam 5 kul zielonych, 4 niebieskie, oraz 2 biaùe. Z urny losuje kolejno

2 kule. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo

wylosowania kul we wszystkich kolorach.

4. Rzucam kostk¹ do gry do momentu wyrzucenia 6-stki. Opisz przestrzeñ zdarzeñ

elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo:

a)

rzucaliœmy parzyst¹ iloœã razy

b)

rzucaliœmy mniej ni¿ 5 razy.

Rozwi¹zanie

Zauwa¿my, ¿e mamy do czynienia z przestrzeni¹ nieskoñczon¹









5

,

4

,

3

,

2

,

1

,

,...

6

,

6

,

6

,

6

,

6

,

6







x

xxxxx

xxxx

xxx

xx

x

. Jednoczeœnie









6

1

6

5

6

...

n

x

x

P













,

gdzie n liczba x-ów poprzedzaj¹cych 6.

a)

Niech teraz A zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e rzucaliœmy parzyst¹ iloœã

razy,





,...

6

,

6

,

6

xxxxx

xxx

x

A 

, st¹d

 

11

5

36

11

36

5

6

5

1

6

1

6

5

6

1

6

5

2

1

1

2









































n

n

A

P

.

b)

Niech teraz B zdarzenie polegaj¹ce na tym, ¿e rzucaliœmy mniej ni¿ 5 razy,





6

,

6

,

6

,

6

xxx

xx

x

B 

, mamy wtedy

 

4

3

2

6

125

6

25

6

5

6

1









B

P

.

5. Rzucamy monet¹ do momentu wyrzucenia 2 razy pod rz¹d tej samej strony monety.

Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo i¿ rzucaliœmy

nieparzyst¹ iloœã razy.

6. Dwóch graczy A i B rzucaj¹ na zmianê monet¹. Wygrywa ten z nich który pierwszy

wyrzuci orùa. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz prawdopodobieñstwo

wygrania dla ka¿dego z nich.

7. Trzech graczy A ,B i C rzucaj¹ na zmianê monet¹. Wygrywa ten z nich który

pierwszy wyrzuci orùa. Opisz przestrzeñ zdarzeñ elementarnych. Policz

prawdopodobieñstwo wygrania dla ka¿dego z nich.

8. Rzucam 2 razy kostk¹ do gry. Niech A zdarzenie polegaj¹ce na wyrzuceniu szóstki

w pierwszym rzucie, niech B zdarzenie polegaj¹ce na wyrzuceniu 1 lub 2 w drugim

16

rzucie, zaœ C zdarzenie polegaj¹ce na wyrzuceniu w sumie 7 oczek. Zbadaj

niezale¿noœã:

a)

Zdarzeñ A i B

b)

Zdarzeñ A i C

c)

Zdarzeñ B i C

d)

Zdarzeñ A,B,C razem.

Rozwi¹zanie

Oczywiœcie













6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

,

,

,







y

x

y

x

, model klasyczny,

36





. Zauwa¿my ponadto













6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

,

,

6





y

y

A

oraz

6



A

,

 

36

6



A

P

;



 











6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

,

2

,

,

1

,





x

x

x

B

oraz

12



B

,

 

36

12



B

P

;



 

 

 

 

 







6

,

1

,

5

,

2

,

4

,

3

,

3

,

4

,

2

,

5

,

1

,

6



C

oraz

6



C

,

 

36

6



C

P

;



 







2

,

6

,

1

,

6



 B

A

oraz

2



 B

A

,





36

2



 B

A

P

;









1

,

6



 C

A

oraz

1



 C

A

,





36

1



 C

A

P

;



 







2

,

5

,

1

,

6



 B

C

oraz

2



 B

C

,





36

2



 B

C

P

;









1

,

6







C

B

A

oraz

1







C

B

A

,





36

1







C

B

A

P

.

Mamy wiêc





 

 

B

P

A

P

B

A

P







,





 

 

C

P

A

P

C

A

P







,





 

 

C

P

B

P

C

B

P







,





 

 

 

C

P

B

P

A

P

C

B

A

P











. Zdarzenia A,B,C s¹ parami niezale¿ne ale nie s¹

niezale¿ne wszystkie 3 razem.

9. Wybrano losowo rodzinê z dwójk¹ dzieci i okazaùo siê, ¿e jedno z nich ma na

drugie imiê Piotrek ( co nie znaczy ¿e drugie nie ma na imiê Piotrek). Jaka jest szansa,

¿e drugie dziecko te¿ jest chùopcem.

Rozwi¹zanie

10. Przyjmijmy













c

d

x

x

x

i

,

,

,

2

1







, gdzie

i

x

pùeã i-tego dziecka. Niech A

zdarzenie: jedno z nich ma na drugie imiê Piotrek, zaœ B zdarzenie drugie dziecko te¿

jest chùopcem. Liczymy









 

3

1

/

4

3

4

1









A

P

B

A

P

A

B

P

.

11. Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e na ¿adnej kostce nie

wypadùa 6, jeœli na ka¿dej kostce jest inny wynik.

12. Mamy trzy kr¹¿ki. Jeden z dwóch stron jest biaùy, drugi ma obie strony czarne a

trzeci jedn¹ czarn¹ a drug¹ biaù¹. Rzucaliœmy losowo wybranym kr¹¿kiem i na

wierzchu wypadùa biaùa strona. Policz prawdopodobieñstwo, ¿e po drugiej stronie jest

kolor czarny.

13. Jaka jest szansa, ¿e ka¿dy z graczy S,E,W ma co najmniej 1 asa, jeœli wiadomo, ¿e

gracz N nie dostaù ¿adnego.

14. W urnie znajduje siê 3 kule biaùe i 7 czarnych. Losuje z urny 10 razy ze zwrotem.

Policz prawdopodobieñstwo tego, ¿e:

a)

Wylosuje 10 kul czarnych

b)

Wylosuje 4 kule czarne

17

c)

Wylosuje co najmniej 2 kule czarne.

15. Myœliwy trafia do dzika z prawdopodobieñstwem

5

1



p

. Ile razy powinien strzeliã

aby z prawdopodobieñstwem wiêkszym ni¿ 0,5 trafiù dzika przynajmniej raz.

Wskazówka
Skorzystaj ze schematu Bernoulliego.

16. Rzucono 10 razy symetryczn¹ kostk¹. Jakie jest prawdopodobieñstwo, ¿e w

ostatnim rzucie wypadnie 3, jeœli wiadomo, ¿e

a)

otrzymano 4 trójki,

b)

w pierwszych 9 rzutach wypadùy same trójki?

17. *Zadanie Banacha o zapaùkach. Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i

prawej) po jednym pudeùku zapaùek. Ilekroã chce zapaliã papierosa, siêga do losowo

wybranej kieszeni. Jaka jest szansa, ¿e gdy po raz pierwszy wyci¹gnie puste pudeùko to

w drugim bêdzie k zapaùek?( k=1,2,3,...,m gdzie m jest liczb¹ zapaùek w peùnym

pudeùku. Zakùadamy, ¿e pocz¹tkowo matematyk ma 2 peùne pudeùka.)

18. Z jednej urny zawieraj¹cej 4 biaùe, 3 zielone i 3 niebieskie kule do drugiej

zawieraj¹cej 8 biaùych kul przekùadamy dwie losowo wybrane kule. Nastêpnie z

drugiej urny losujemy 1 kule. Policz prawdopodobieñstwo i¿:

a)

jest to kula biaùa,

b)

przeùo¿yliœmy dwie kule biaùe jeœli wylosowana kula okazaùa siê biaùa.

Rozwi¹zanie

Zauwa¿my najpierw, ¿e nas interesuj¹ tylko 2 rodzaje kul: biaùe i inne. W zadaniach

wykorzystuj¹cych wzór na prawdopodobieñstwo caùkowite i wzór Bayesa nie musimy

konstruowaã przestrzeni probabilistycznej dla caùego doœwiadczenia, bo wszystkie

potrzebne prawdopodobieñstwa zale¿¹ od pomocniczych przestrzeni. Pierwszej

zwi¹zanej z losowaniem 2 kul z pierwszej urny













6

2

1

4

3

2

1

1

,...,

,

,

,

,

,

,

,

,

i

i

i

b

b

b

b

y

x

y

x







gdzie literki

b

oznaczaj¹ kule biaùe a literki

i

inne. Druga zale¿y od wyniku

pierwszego losowania. Oznaczmy:

0

B

przeùo¿enie dwóch kul innych z pierwszej do drugiej urny,





15

5

2

10

2

6

0

































B

P

;

1

B

przeùo¿enie jednej kuli biaùej i jednej czarnej z pierwszej do drugiej urny,





15

8

2

10

1

6

1

4

1















































B

P

;

2

B

przeùo¿enie dwóch kul biaùych z pierwszej do drugiej urny,





15

2

2

10

2

4

2

































B

P

.

18

Zauwa¿my, ¿e zdarzenia te tworz¹ ukùad zupeùny, bo s¹ rozù¹czne i obejmuj¹ wszystkie

mo¿liwe przypadki (

















2

0

,

,

i

i

j

i

B

j

i

B

B

).

Niech

A

oznacza wylosowanie kuli biaùej z drugiej urny. Potrzebne nam bêd¹ teraz

jeszcze prawdopodobieñstwa zdarzeñ:

0

/ B

A

czyli prawdopodobieñstwo wylosowania z drugiej urny kuli biaùej pod

warunkiem przeùo¿enie dwóch kul innych z pierwszej do drugiej urny,

1

/ B

A

czyli prawdopodobieñstwo wylosowania z drugiej urny kuli biaùej pod

warunkiem przeùo¿enie jednej kuli biaùej i jednej czarnej z pierwszej do drugiej urny,

1

/ B

A

czyli prawdopodobieñstwo wylosowania z drugiej urny kuli biaùej pod

warunkiem przeùo¿enie dwóch kul biaùych z pierwszej do drugiej urny.

£atwo widaã, ¿e





10

8

/

0



B

A

P

,





10

9

/

1



B

A

P

,





1

/

2



B

A

P

Potrzebujemy policzyã jeszcze

a)

z wzoru na prawdopodobieñstwo caùkowite mamy:

 



 



25

22

15

2

1

15

8

10

9

15

5

10

8

/

2

0





















i

i

i

B

P

B

A

P

A

P

b)

z wzoru Bayesa







 



 

33

5

/

/

25

22

15

2

2

2

2







A

P

B

P

B

A

P

A

B

P

.

19. Rzucam kostk¹ a nastêpnie monet¹ tyle razy ile wypadùo oczek na kostce. Policz

prawdopodobieñstwo:

a)

wyrzucenia 3 orùów,

b)

wyrzucenia 6 oczek jeœli wypadùy 3 orùy,

c)

wyrzucenia 6 oczek jeœli nie wypadù ani jeden orzeù.

20. W urnie znajduje siê a losów wygrywaj¹cych, b losów przegrywaj¹cych i c losów

„losuj dalej”. Po losowaniu los wrzucamy z powrotem do urny. Korzystaj¹c z wzoru

na prawdopodobieñstwo caùkowite policz prawdopodobieñstwo wygranej dla a=100 i

b=200.

21. Dwaj gracze A i B rzucaj¹ na zmianê kostk¹ symetryczn¹. Wygrywa ten z nich

który pierwszy wyrzuci 6. Korzystaj¹c z wzoru na prawdopodobieñstwo caùkowite

policz prawdopodobieñstwo wygranej dla ka¿dego z graczy.

22. Fabryka A produkuje 500 000 samochodów rocznie, fabryka B produkuje 200 000

samochodów a pozostaùe 1 300 000 samochodów pochodzi z importu . 10%

samochodów z fabryki A jest niebieskich, 20% z fabryki B ma kolor niebieski i tylko

5% pochodz¹cych z importu to samochody niebieskie. Policz prawdopodobieñstwo i¿:

a)

losowo wybrany samochód z tego rocznika jest niebieski

b)

losowo wybrany samochód z tego rocznika pochodzi z fabryki A jeœli

okazaù siê niebieski.

19

Uwaga koñcowa.

Dodatkowo rozwi¹zania podobnych zadañ maj¹ pañstwo w przykùadach w czêœci

teoretycznej oraz w pozycjach, z których korzystaùam przy pisaniu zestawów:

„Wstêp do teori prawdopodobieñstwa” J.Jakubowski, R.Sztencel;

„Rachunek prawdopodobieñstwa i statystyka matematyczna w zadaniach”, tom1,

W.Krysicki, J.Bartos, W.Dyczka, K.Królikowska, M.Wasilewski;

„Prawdopodobieñstwo i miara” P.Billinsley