1

Materiaùy do zastosowañ metod probabilistycznych.

K.Lubnauer

Czêœã 3

Wektor losowy

Teoria

Czasem w doœwiadczeniu losowym nie otrzymujemy jednej zmiennej lecz dwie lub

wiêcej i interesuje nas wspólny rozkùad tak powstaùej pary czy n-tki. Takimi

rozkùadami dla dwóch zmiennych losowych zajmiemy siê w zadaniach. W czêœci

teoretycznej omówimy wektory losowe o dowolnym wymiarze.

Definicja 1

Niech





P

F ,

,



bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹. Wektorem losowym (k-

wymiarowym) nazywamy odwzorowanie

k

X

R





:

speùniaj¹ce warunek

mierzalnoœci tzn. dla dowolnego





k

A

R





mamy

 

F

A

X



1

. Poniewa¿ X ma

wartoœci w

k

R

wiêc mo¿emy przedstawiã je w postaci





k

X

X

X

,...,

1



.

Uwaga

X jest wektorem losowym wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie

k

i

X

i

,...,

2

,

1

, 

s¹

zmiennymi losowymi.

Definicja 2

Niech





P

F ,

,



bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹ i niech





k

X

X

X

,...,

1



bêdzie k-

wymiarowym wektorem losowym okreœlonym na





P

F ,

,



. Rozkùadem wektora

losowego X (rozkùadem ù¹cznym zmiennych

k

X

X

X

,...,

,

2

1

) nazywamy

prawdopodobieñstwo

 

 

 





A

X

P

A

P

A

P

k

X

X

X

X

1

,...,

,

2

1







dla dowolnego





k

A

R





.

Przykùad 1

Rzucamy 2 razy monet¹ do gry. Niech

X

przyjmuje wartoœã 0 jeœli wypadnie reszka i

1 jeœli wypadnie orzeù w pierwszym rzucie, zaœ

Y

liczba orùów w obu rzutach zaœ.

Rozkùad wektora losowego





Y

X ,

wyra¿a siê macierz¹ P gdzie

j

i

P

,

oznacza

prawdopodobieñstwo przyjêcia przez wektor X wartoœci





j

i

y

x ,

, gdzie

2

,

1

,

0

3

2

1







y

y

y

(liczba orùów w obu rzutach) zaœ

1

,

0

1





j

x

x

(0 jeœli wypadnie

reszka i 1 jeœli wypadnie orzeù w pierwszym rzucie)



























4

1

4

1

0

0

4

1

4

1

P

.

Definicja 3

Niech





P

F ,

,



bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹ i niech





k

X

X

X

,...,

1



bêdzie k-

wymiarowym wektorem losowym okreœlonym na





P

F ,

,



.

id500740 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

2

Dystrybuant¹ rozkùadu wektora losowego X nazywamy funkcjê

 

1

,

0

:



k

F

R

okreœlon¹ wzorem:







 











k

X

k

x

x

x

P

x

x

x

F

,

...

,

,

,...,

,

2

1

2

1





















Definicja 4

Gêstoœci¹ wektora losowego





k

X

X

X

,...,

1



o ile istnieje nazywamy tak¹ funkcjê

R

R



k

X

f

:

o wartoœciach nieujemnych, ¿e dla dowolnego





k

A

R





mamy

 

 











A

k

k

X

X

X

X

X

dx

dx

x

x

f

A

P

A

P

k

...

,...,

1

1

,...,

,

2

1

.

Podobnie jak dla przypadku zmiennej losowej dla wektora losowego zachodzi

równowa¿ny do warunku powy¿szego zwi¹zek:









  















1

2

...

,...,

,

...

,...,

2

1

2

1

1

x

x

x

k

k

X

k

X

k

dt

dt

dt

t

t

t

f

x

x

F

.

Dla przypadku dwuwymiarowego





Y

X ,

ma on postaã:

















 











x

y

Y

X

Y

X

dsdt

t

s

f

y

x

F

,

,

,

,

.

Uwaga

Oczywiœcie









k

R

k

k

X

dx

dx

x

x

f

1

...

,...,

1

1

.

Przykùad 2

Niech gêstoœã





Y

X

f

,

wektora losowego





Y

X ,

okreœlona bêdzie wzorem:





























0

0

,

0

lub

0

,

0

,

,

y

i

x

e

y

x

y

x

f

y

x

Y

X

.

Policzmy











 













R R

0 0

,

1

,

dxdy

e

dxdy

y

x

f

y

x

Y

X

czyli funkcja gêstoœci dobrze okreœlona.

Policzymy teraz dystrybuantê:






































































 

0

0

,

1

1

0

0

,

0

0

0

,

0

0

,

0

,

0 0

,

y

x

e

e

y

x

y

x

dsdt

e

y

x

y

x

F

y

x

y x

t

s

Y

X

.

Definicja 5

Dla zmiennej losowej k-wymiarowej





k

X

X

X

,...,

1



rozkùady zmiennych losowych

i

X

i=1,2,...,k,

nazywamy rozkùadami brzegowymi.

Uwagi

Niech

 

R





A

dowolny zbiór wtedy mo¿emy otrzymaã rozkùad brzegowy zmiennej

i

X

wzorem

 





R

R

R

R















...

...

,...,

,

2

1

A

P

A

P

k

i

X

X

X

X

, gdzie A jest na i-tym miejscu.

3

Podobnie dystrybuanta rozkùadu brzegowego dana jest wzorem

 









k

i

X

x

x

x

x

i

X

i

X

x

x

x

F

x

F

x

F

k

i

i

i

,...,

,...,

lim

,...,

,

,

,...,

1

,...,

,

,...,

1

1

1





















.

Dla przypadku dwuwymiarowego





Y

X ,

wzór ten wygl¹da du¿o

przyjemniej:

 

















y

x

F

x

F

x

F

Y

X

y

Y

X

X

,

lim

,

,

,











,

 

















y

x

F

y

F

y

F

Y

X

x

Y

X

Y

,

lim

,

,

,











.

Natomiast jeœli





k

X

X

f

,...,

1

gêstoœã rozkùadu ù¹cznego to zmienne brzegowe te¿ maj¹

rozkùady ci¹gùe, których gêstoœã wyra¿a siê wzorem:

 









  







R R

R

k

i

i

k

X

X

i

X

dx

dx

dx

dx

x

x

f

x

f

k

i

...

....

,...,

...

1

1

1

1

,...,

1

.

Znowu dla przypadku dwuwymiarowego





Y

X ,

(który nas interesuje ze wzglêdu na

zadania) mamy wersjê przyjemniejsz¹

 













R

dy

y

x

f

x

f

Y

X

X

,

,

oraz

 













R

dx

y

x

f

y

f

Y

X

Y

,

,

.

Przykùad 3

Rozwa¿my wektor losowy z przykùadu 2. Nietrudno policzyã z powy¿szych wzorów, ¿e:

 















0

,

0

,

0

x

e

x

x

f

x

X

,

 















0

,

0

,

0

y

e

y

y

f

y

Y

, oraz

 

















0

,

1

0

,

0

x

e

x

x

F

x

X

,

 

















0

,

1

0

,

0

y

e

y

y

F

y

Y

.

Gdy rozpatrujemy kilka zmiennych losowych to interesuje nas równie¿ to na ile s¹ ze

sob¹ powi¹zane, dlatego wa¿nym pojêciem jest pojêcie niezale¿noœci zmiennych

losowych. Zajmiemy siê tym problemem gùownie dla przypadku dwóch zmiennych.

Definicja 6

Niech





P

F ,

,



bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹ i niech X,Y zmienne losowe

okreœlone na





P

F ,

,



, wtedy oczywiœcie





Y

X ,

wektor losowy. Zmienne losowe X,Y

nazywamy niezale¿nymi jeœli dla dowolnych zbiorów

 

R





B

A,

mamy

 

 





 





 





B

Y

P

A

X

P

B

Y

A

X

P









































:

:

:

.

Warunek dla zmiennej losowej k-wymiarowej





k

X

X

X

,...,

1



wygl¹da nastêpuj¹co:

k

X

X ,...,

1

s¹ niezale¿ne je¿eli dla dowolnych

k

i

i

i

r











....

1

2

1

i dla dowolnych

4

 

R





r

B

B

B

,...,

,

2

1

mamy

 

 

 





 





 





 





r

i

i

i

r

i

i

i

B

X

P

B

X

P

B

X

P

B

X

B

X

B

X

P

r

r































































:

...

:

:

...

:

2

1

2

1

2

1

2

1

.

Twierdzenie 2 (Warunki równowa¿ne niezale¿noœci zmiennych)

Zmienne X,Y s¹ niezale¿ne jeœli zachodzi dla nich jeden z poni¿szych warunków:

(i)

je¿eli zmienne X,Y s¹ dyskretne oraz

,...

,

2

1

x

x

to wartoœci zmiennej X oraz

,...

,

2

1

y

y

to wartoœci zmiennej Y to dla dowolnych

N



j

i,

j

 

 





 





 





j

i

j

i

y

Y

P

x

X

P

y

Y

x

X

P









































:

:

:

.

(ii)

je¿eli zmienne s¹ ci¹gùe i maj¹ gêstoœã rozkùadu ù¹cznego





Y

X

f

,

oraz

gêstoœci rozkùadów brzegowych

Y

X

f

f ,

to









 

 

y

f

x

f

y

x

f

Y

X

Y

X





,

,

dla

prawie wszystkich

R



y

x,

.

(iii)

dla dowolnych rozkùadów o dystrybuancie ù¹cznej





Y

X

F

,

i dystrybuantach

rozkùadów brzegowych

Y

X

F

F ,

mamy









 

 

y

F

x

F

y

x

F

Y

X

Y

X





,

,

dla

wszystkich

R



y

x,

.

Dowód pomijam (wymaga pewnej wiedzy z teorii miary), osoby zainteresowane mog¹

znaleêã go nawet dla przypadku k-wymiarowego w pozycji „Wstêp do teorii

prawdopodobieñstwa” J.Jakubowski, R.Sztencel.

Przykùad 4

Powróãmy jeszcze raz do przykùadów 2,3. Na podstawie twierdzenia 2 (ii) lub (iii)

widzimy, ¿e zmienne X,Y s¹ niezale¿ne.

Definicja 7

Niech





P

F ,

,



bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹ i niech X,Y caùkowalne zmienne

losowe (









Y

E

X

E

,

) okreœlone na





P

F ,

,



oraz takie, ¿e





XY

E

.

Kowariancj¹ zmiennych X,Y nazywamy wielkoœã





 





 













   

Y

E

X

E

XY

E

Y

E

Y

X

E

X

E

Y

X











,

cov

.

Uwaga techniczna:

Jeœli wektor





Y

X ,

ma rozkùad dyskretny z wartoœciami





j

i

y

x ,

,

N

N









J

j

I

i

,

to









 











I

i

J

j

j

i

j

i

y

Y

x

X

P

y

x

XY

E

,

’

a dla przypadku ci¹gùego z gêstoœci¹





Y

X

f

,

wzorem













 



R R

dxdy

y

x

xyf

Y

X

E

Y

X

,

,

,

.

Pozostaùe przypadki nas nie interesuj¹.

Uwaga

Z nierównoœci Schwarza dla caùek mamy





 

 

Y

D

X

D

Y

X

2

2

,

cov



. Równoœã

wystêpuje wtedy i tylko wtedy gdy miêdzy X i Y istnieje zale¿noœã liniowa tzn. gdy

istniej¹ takie staùe

R



b

a,

, ¿e

b

aX

Y





z prawdopodobieñstwem 1.

5

Definicja 8

Niech





P

F ,

,



bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹ i niech X,Y caùkowalne zmienne

losowe okreœlone na





P

F ,

,



, takie ¿e









Y

D

X

D

2

2

,

. Wspóùczynnikiem

korelacji zmiennych X,Y nazywamy wielkoϋ









 

 

Y

D

X

D

Y

X

Y

X

2

2

,

cov

,





.

Wùasnoœã

(i)

1





.

(ii)

1





wtedy i tylko wtedy gdy istniej¹ takie staùe

R



b

a,

, ¿e

b

aX

Y





z

prawdopodobieñstwem 1.

Dowód

Wùasnoœã wynika z powy¿szej definicji i uwagi poprzedzaj¹cej j¹.

Definicja 9

Zmienne losowe nazywamy nieskorelowanymi jeœli





0

,



Y

X



, czyli jeœli





   

Y

E

X

E

XY

E



.

Twierdzenie 3

Zmienne losowe niezale¿ne s¹ nieskorelowane.

Dowód

Wyka¿emy powy¿sze tylko dla przypadku dyskretnego i ci¹gùego.

Zaùó¿my, ¿e





Y

X ,

wektor losowy dyskretny, oraz X,Y niezale¿ne:

























   

Y

E

X

E

y

Y

P

y

x

X

P

x

y

Y

P

x

X

P

y

x

y

Y

x

X

P

y

x

XY

E

j

I

i

J

j

j

i

i

j

I

i

J

j

i

j

i

I

i

J

j

j

i

j

i

























 

 













,

Zaùó¿my teraz, ¿e





Y

X ,

wektor losowy o rozkùadzie ci¹gùym, oraz X,Y niezale¿ne:













 

 

 

 

   

Y

E

X

E

dxdy

y

yf

dx

x

xf

dxdy

y

f

x

xyf

dxdy

y

x

xyf

Y

X

E

Y

X

Y

X

Y

X













 

 

R

R

R R

R R

,

,

,

.

Uwaga

Twierdzenie powy¿sze nie jest prawdziwe w drug¹ stronê.

Definicja 10

Niech





P

F ,

,



bêdzie przestrzeni¹ probabilistyczn¹ i niech

j

i

X

X ,

caùkowalne

zmienne losowe okreœlone na





P

F ,

,



, takie ¿e









j

i

X

D

X

D

2

2

,

. Macierz¹

6

kowariancji wektora losowego





j

i

X

X ,

, nazywamy macierz

 

j

i

c

C

,



,

2

,

1

,

2

,

1





j

i

oraz





j

i

j

i

X

X

c

,

cov

,



.

Jeœli zmienne oznaczymy X,Y macierz ta wygl¹da nastêpuj¹co:









 















Y

D

Y

X

Y

X

X

D

2

2

,

cov

,

cov

.

7

Zadania

Rozkùady dwuwymiarowe, niezale¿noœã zmiennych

1. Rzucamy 2 razy kostk¹ do gry. Niech X liczba oczek w pierwszym rzucie, a Y suma

liczby oczek w obu rzutach. Zbadaj rozkùad wektora (X,Y). Znajdê rozkùady brzegowe.

Zbadaj niezale¿noœã zmiennych X i Y. Policz macierz kowariancji i wspóùczynnik

korelacji.

2. Rzucamy 2 razy kostk¹ do gry. Niech X minimum wyników z obu rzutów, a Y

maksimum wyników z obu rzutów. Zbadaj rozkùad wektora (X,Y). Znajdê rozkùady

brzegowe. Zbadaj niezale¿noœã zmiennych X i Y. Policz macierz kowariancji i

wspóùczynnik korelacji.

3. Dobierz staù¹ c tak aby funkcja:









 



















y

x

pozostaych

dla

y

i

x

dla

y

y

x

c

y

x

f

Y

X

,

0

2

,

0

1

,

0

,

,

2

,

byùa gêstoœci¹ dwuwymiarow¹ wektora (X,Y). Znajdê rozkùady brzegowe. Zbadaj

niezale¿noœã zmiennych X i Y. Znajdê dystrybuantê dwuwymiarow¹. Policz macierz

kowariancji i wspóùczynnik korelacji.

4. Dobierz staù¹ c tak aby funkcja:

























y

x

pozostaych

dla

y

i

x

dla

ce

y

x

f

y

x

Y

X

,

0

0

0

,

,

,

byùa

gêstoœci¹ dwuwymiarow¹ wektora (X,Y). Znajdê rozkùady brzegowe. Zbadaj

niezale¿noœã zmiennych X i Y. Znajdê dystrybuantê dwuwymiarow¹. Policz macierz

kowariancji i wspóùczynnik korelacji.

5. Dobierz staù¹ c tak aby funkcja:





 


















y

x

pozostaych

dla

y

i

y

x

dla

cy

y

x

f

Y

X

,

0

1

,

0

1

0

,

,

,

byùa

gêstoœci¹ dwuwymiarow¹ wektora (X,Y). Znajdê rozkùady brzegowe. Zbadaj

niezale¿noœã zmiennych X i Y. Znajdê dystrybuantê dwuwymiarow¹. Policz macierz

kowariancji i wspóùczynnik korelacji.

6. Niech funkcja:






















y

x

pozostaych

dla

D

y

x

dla

y

x

f

Y

X

,

0

,

,

2

1

,

,

gdzie









1

1

:

,

2













x

y

i

x

y

y

x

D

R

, gêstoœã dwuwymiarowego wektora (X,Y). Zbadaj

niezale¿noœã zmiennych X i Y. Policz, ¿e E(XY)=E(X)∙E(Y).