Dr inż. Janusz Dębiński

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

2. Analiza stanów naprężenia i odkształcenia

2.1. Zadanie 1

Na rysunku 2.1 przedstawiono kratownicę płaską. Wyznaczyć wartość siły normalnej w pręcie oznaczo-

nym literą R, a następnie wyznaczyć naprężenie normalne w tym pręcie. Pole powierzchni przekroju pręta
wynosi 45,0 cm

2

. Na koniec wyznaczyć całkowite wydłużenie tego pręta. Moduł Younga E = 205 GPa.

64,0 kN

26,0 kN

8,0

8,0

8,0

8,0

3,

0

R

[m]

Rys. 2.1. Kratownica płaska

2.2. Zadanie 2

Na rysunku 2.2a przedstawiono wspornikową ramę płaską, a na rysunku 2.2b przedstawiono wymiary

przekroju tej ramy. W punkcie A przekroju

α−α

wyznaczyć naprężenia normalne oraz styczne. Stan naprę-

żenia przedstawić na elementarnym kwadracie.

1,0

1,0

2,0

2,

0

16,0 kN/m

20,0 kN

α

α

α − α

8,0

1,0

2

4,

0

2

,0

2

,0

6,

0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

A

[m]

Z=Z

gl

[cm]

sc

a)

b)

Rys. 2.2. Rama płaska. a) wymiary i obciążenie ramy, b) przekrój ramy

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

analiza stanów naprężenia i odkształcenia

2

2.3. Zadanie 3

Na rysunku 2.3a przedstawiono wspornikową ramę płaską, a na rysunku 2.3b przedstawiono wymiary

przekroju tej ramy. W punkcie A przekroju

α−α

wyznaczyć naprężenia normalne oraz styczne. Stan naprę-

żenia przedstawić na elementarnym kwadracie.

1,0

1,0

2,0

2,

0

4,0 kN/m

19,0 kN

α

α

[m]

1,0

1,0

8,0

2

,0

2

,0

1

8,

0

[cm]

α − α

4,

0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

A

Z=Z

gl

sc

a)

b)

Rys. 2.3. Rama płaska. a) wymiary i obciążenie ramy, b) przekrój ramy

2.4. Zadanie 4

Na rysunku 2.4a przedstawiono wspornikową ramę płaską, a na rysunku 2.4b przedstawiono wymiary

przekroju tej ramy. W punkcie A przekroju

α−α

wyznaczyć naprężenia normalne oraz styczne. Stan naprę-

żenia przedstawić na elementarnym kwadracie.

2,0

1,0

3,0

3,

0

19,0 kN/m

15,0 kN

α

α

α − α

11,0

1,0

30

,0

2,

0

2,

0

3,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

A

[m]

Z=Z

gl

[cm]

sc

a)

b)

Rys. 2.4. Rama płaska. a) wymiary i obciążenie ramy, b) przekrój ramy

2.5. Zadanie 5

Na rysunku 2.5a przedstawiono wspornikową ramę płaską, a na rysunku 2.5b przedstawiono wymiary

przekroju tej ramy. W punkcie A przekroju

α−α

wyznaczyć naprężenia normalne oraz styczne. Stan naprę-

żenia przedstawić na elementarnym kwadracie.

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

analiza stanów naprężenia i odkształcenia

3

1,0

1,0

2,0

2,

0

16

,0

k

N

/m

19,0 kN

α

α

[m]

1,0

1,0

11,0

2,

0

2,

0

18

,0

[cm]

α − α

4,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

A

Z=Z

gl

sc

a)

b)

Rys. 2.5. Rama płaska. a) wymiary i obciążenie ramy, b) przekrój ramy

2.6. Zadanie 6

Na rysunku 2.6 przedstawiono prostokątny przekrój pręta obciążony siłą poprzeczną oraz momentem zgi-

nającym. Wyznaczyć naprężenia w punkcie A tego przekroju i przedstawić je graficznie na elementarnym
kwadracie. Na koniec wyznaczyć wartość naprężenia zredukowanego według hipotezy Hubera. Wykorzys -
tać fakt, że w przekroju prostokątnym nie działają naprężenia styczne

τ

XY

.

15,0

27

,0

[cm]

4,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

A

sc

5,

0

56,0

kN

56,0

kN·m

Rys. 2.6. Przekrój prostokątny

2.7. Zadanie 7

Na rysunku 2.7 przedstawiono dwuteowy przekrój pręta obciążony siłą poprzeczną oraz momentem zgi-

nającym. Wyznaczyć naprężenia w punkcie A tego przekroju i przedstawić je graficznie.

18,0

1,0

32

,0

2,

5

2,

5

6,

0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

A

[cm]

sc

166,0

kN

106,0

kN·m

Rys. 2.7. Przekrój dwuteowy

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

analiza stanów naprężenia i odkształcenia

4

2.8. Zadanie 8

Na rysunku 2.8 przedstawiono dwuteowy przekrój pręta obciążony siłą poprzeczną oraz momentem zgi-

nającym. Wyznaczyć naprężenia w punkcie A tego przekroju i przedstawić je graficznie.

25,0

1,0

3

2,

0

2

,5

2

,5

8,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

A

[cm]

sc

192,0

kN

123,0

kN·m

Rys. 2.8. Przekrój dwuteowy

2.9. Zadanie 9

Na rysunku 2.9 przedstawiono skrzynkowy przekrój pręta obciążony siłą poprzeczną oraz momentem

zginającym. Wyznaczyć naprężenia w punkcie A tego przekroju i przedstawić je graficznie.

1,5

1,5

14,0

2

,0

2

,0

2

5,

0

[cm]

6,

0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

A

sc

26

6,

0

kN

103,0

kN·m

Rys. 2.9. Przekrój skrzynkowy

2.10. Zadanie 10

Na rysunku 2.10 przedstawiono skrzynkowy przekrój pręta obciążony siłą poprzeczną oraz momentem

zginającym. Wyznaczyć naprężenia w punkcie A tego przekroju i przedstawić je graficznie.

2.11. Zadanie 11

Na rysunku 2.11 przedstawiono teowy przekrój pręta obciążony siłą poprzeczną i momentem zginającym.

Wyznaczyć naprężenia w punkcie A tego przekroju i przedstawić je graficznie. Wskazówka

−

na rysunku

2.11 przedstawiono położenie środka ciężkości przekroju teowego.

2.12. Zadanie 12

Na rysunku 2.12 przedstawiono teowy przekrój pręta obciążony siłą poprzeczną i momentem zginającym.

Wyznaczyć naprężenia w punkcie A tego przekroju i przedstawić je graficznie. Wskazówka

−

na rysunku

2.12 przedstawiono położenie środka ciężkości przekroju teowego.

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

analiza stanów naprężenia i odkształcenia

5

1,5

1,5

18,0

2,

5

2,

5

35

,0

[cm]

6,0

Y=Y

gl

Z=Z

gl

A

sc

27

6

,0

k

N

133,0

kN·m

Rys. 2.10. Przekrój skrzynkowy

2,

0

32

,0

18,0

1,5

sc

Y=Y

gl

Z=Z

gl

10

,7

1

23

,2

9

183,0

kN

86,0

kN·m

12

,0

A

[cm]

Rys. 2.11. Przekrój teowy

3,

0

33

,0

21,0

2,0

sc

Y=Y

gl

Z=Z

gl

10

,7

1

25

,2

9

101,0

kN

76,0

kN·m

12

,0

A

7,0

[cm]

Rys. 2.12. Przekrój teowy

2.13. Zadanie 13

Dany jest płaski stan naprężenia, którego graficzną interpretację przedstawiono na rysunku 2.13. Wyzna-

czyć kierunek i naprężenia główne. Naprężenia główne przedstawić graficznie na elementarnym kwadracie.

X

Z

123,5 MPa

123,5 MPa

66,5 MPa

66,5 MPa

Rys. 2.13. Płaski stan naprężenia

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

analiza stanów naprężenia i odkształcenia

6

2.14. Zadanie 14

Dany jest płaski stan naprężenia, którego graficzną interpretację przedstawiono na rysunku 2.14. Wyzna-

czyć kierunek i naprężenia główne. Naprężenia główne przedstawić graficznie na elementarnym kwadracie.

182,1 MPa

182,1 MPa

99,3 MPa

99,3 MPa

X

Z

Rys. 2.14. Płaski stan naprężenia

2.15. Zadanie 15

Dany jest płaski stan naprężenia, którego graficzną interpretację przedstawiono na rysunku 2.15. Wyzna-

czyć kierunek i naprężenia główne. Naprężenia główne przedstawić graficznie na elementarnym kwadracie.
Dla stałych materiałowych E = 205 GPa,

ν

= 0,3 wyznaczyć odkształcenia główne i przedstawić je graficz-

nie.

86,5 MPa

86,5 MPa

32,8 MPa

32,8 MPa

X

Z

Rys. 2.15. Płaski stan naprężenia

2.16. Zadanie 16

Dany jest płaski stan naprężenia, którego graficzną interpretację przedstawiono na rysunku 2.16. Wyzna-

czyć kierunek i naprężenia główne. Naprężenia główne przedstawić graficznie na elementarnym kwadracie.
Dla stałych materiałowych E = 205 GPa,

ν

= 0,3 wyznaczyć odkształcenia główne i przedstawić je graficz-

nie.

15,2 MPa

15,2 MPa

44,4 MPa

44,4 MPa

X

Z

Rys. 2.16. Płaski stan naprężenia

2.17. Zadanie 17

W punkcie A panuje płaski stan naprężenia, który jest opisany za pomocą tensora naprężenia w postaci

σ

=

[

50,0

0,0 −32,0

0,0

0,0

0,0

−

32,0

0,0

0,0

]

[

MPa

]

.

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

analiza stanów naprężenia i odkształcenia

7

Przedstawić ten stan naprężenia na elementarnym kwadracie oraz wyznaczyć kierunek i naprężenia główne.
Naprężenia główne przedstawić także za pomocą elementarnego kwadratu.

2.18. Zadanie 18

W punkcie A panuje płaski stan naprężenia, który jest opisany za pomocą tensora naprężenia w postaci

σ

=

[

−

54,0 0,0 −36,0

0,0

0,0

0,0

−

36,0 0,0

0,0

]

[

MPa

]

.

Przedstawić ten stan naprężenia na elementarnym kwadracie oraz wyznaczyć kierunek i naprężenia główne.
Naprężenia główne przedstawić także za pomocą elementarnego kwadratu.

2.19. Zadanie 19

Dany jest przekrój żelbetowy przedstawiony na rysunku 2.17. Wytrzymałość betonu R

B

= 21,43 MPa;

wytrzymałość stali zbrojeniowej R

S

= 434,8 MPa. Maksymalny zakres strefy ściskanej w betonie wynosi

0,4935·d. Wyznaczyć pola powierzchni zbrojenia A

S1

i A

S2

.

70

,0

40,0

[cm]

350 kN·m

60

,0

5,

0

5,

0

A

S1

A

S2

Rys. 2.17. Przekrój żelbetowy

2.20. Zadanie 20

Dany jest przekrój żelbetowy przedstawiony na rysunku 2.18. Wytrzymałość betonu R

B

= 17,86 MPa;

wytrzymałość stali zbrojeniowej R

S

= 434,8 MPa. Maksymalny zakres strefy ściskanej w betonie wynosi

0,4935·d. Wyznaczyć pola powierzchni zbrojenia A

S1

i A

S2

.

80

,0

40,0

[cm]

1550 kN·m

70

,0

5,

0

5,

0

A

S1

A

S2

Rys. 2.18. Przekrój żelbetowy

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I

Wytrzymałość materiałów

−

zbiór zadań

−

analiza stanów naprężenia i odkształcenia

8

2.21. Zadanie 21

Dany jest przekrój żelbetowy przedstawiony na rysunku 2.19. Wytrzymałość betonu R

B

= 25,00 MPa;

wytrzymałość stali zbrojeniowej R

S

= 347,8 MPa. Maksymalny zakres strefy ściskanej w betonie wynosi

0,5345·d. Wyznaczyć pola powierzchni zbrojenia A

S1

i A

S2

.

65

,0

35,0

[cm]

420 kN·m

55

,0

5,

0

5,

0

A

S1

A

S2

Rys. 2.19. Przekrój żelbetowy

2.22. Zadanie 22

Dany jest przekrój żelbetowy przedstawiony na rysunku 2.20. Wytrzymałość betonu R

B

= 14,29 MPa;

wytrzymałość stali zbrojeniowej R

S

= 347,8 MPa. Maksymalny zakres strefy ściskanej w betonie wynosi

0,5345·d. Wyznaczyć pola powierzchni zbrojenia A

S1

i A

S2

.

55

,0

35,0

[cm]

550,0 kN·m

45

,0

5,

0

5,

0

A

S1

A

S2

Rys. 2.20. Przekrój żelbetowy

Dr inż. Janusz Dębiński

BS-I