6. Naprężenia w podłożu gruntowym – zadania przykładowe

Zadanie 6.1

Dla warunków gruntowo-wodnych wykopu fundamentowego w ściankach szczelnych jak
w zadaniu 3.3, wyznaczyć wartości i rozkłady naprężeń geostatycznych całkowitych i efektywnych
w podłożu gruntowym tuż przy ściankach szczelnych, po obu stronach ścianek – zewnętrznej
i wewnętrznej. Wykorzystać wyniki obliczeń z zadania 3.3.

Z obliczeń w zadaniu 3.3 otrzymano rozkłady ciśnień u wody w podłożu gruntowym przedstawione
na rysunku poniżej.

Wartości naprężeń geostatycznych w poszczególnych poziomach:
a) strona lewa :

0

.

37

5

.

18

0

.

2

=

⋅

=

′

=

zA

zA

γ

γ

σ

σ

kPa

0

.

76

5

.

19

0

.

2

0

.

37

=

⋅

+

=

zB

γ

σ

kPa,

5

.

17

=

B

u

kPa,

5

.

58

5

.

17

0

.

76

=

−

=

′

zB

γ

σ

kPa

0

.

156

0

.

20

0

.

4

0

.

76

=

⋅

+

=

zC

γ

σ

kPa,

8

.

37

=

C

u

kPa,

2

.

118

8

.

37

0

.

156

=

−

=

′

zB

γ

σ

kPa

0

.

197

5

.

20

0

.

2

0

.

156

=

⋅

+

=

L

zD

γ

σ

kPa,

9

.

53

=

D

u

kPa,

1

.

143

9

.

53

0

.

197

=

−

=

′

L

zD

γ

σ

kPa

b) strona prawa :

0

.

0

=

′

=

zF

zF

γ

γ

σ

σ

kPa

0

.

40

0

.

20

0

.

2

=

⋅

=

zE

γ

σ

kPa,

0

.

30

=

E

u

kPa,

0

.

10

0

.

30

0

.

40

=

−

=

′

zB

γ

σ

kPa

0

.

81

5

.

20

0

.

2

0

.

40

=

⋅

+

=

P

zD

γ

σ

kPa,

9

.

53

=

D

u

kPa,

1

.

27

9

.

53

0

.

81

=

−

=

′

P

zD

γ

σ

kPa

± 0.0

- 2.0

- 4.0

- 8.0

- 10.0

- 6.0

zwg

zwg

zwg

Ps,

γ = 18.5 kN/m

3

γ’ = 9.5 kN/m

3

k

1

= 8

⋅10

-4

m/s

Pd,

γ’ = 10 kN/m

3

k

2

= 2

⋅10

-4

m/s

Ps,

γ’ = 10.5 kN/m

3

k

3

= 5

⋅10

-4

m/s

Ps, k

3

Pd, k

2

h

1

=2 m

h

2

=4 m

h

3

=2 m

h

4

=2 m

h

4

=2 m

i

1

i

2

i

3

i

4

i

5

B = 6 m

ścianki szczelne

A

B

C

D

E

F

± 0.0

- 2.0

- 4.0

- 8.0

- 10.0

- 6.0

zwg zwg

zwg

Ps

Pd

Ps

Ps

Pd,

B = 6 m

ścianki szczelne

A

B

C

D

E

F

53.9

(80)

37.8

17.5

30.0

53.9

(40)

rozkłady ciśnień wody

u [kPa]

rozkład hydrostatyczny

Wartości naprężeń efektywnych można obliczyć również, wykorzystując ciśnienie spływowe:

(

)

∑

±

⋅

=

′

i

i

i

zi

j

h

)

(,

γ

σ

γ

, (znak (+) dajemy gdy woda płynie w dół, znak (-) – gdy do góry)

Wartości ciśnień spływowych (według obliczeń w zad. 3.3):

23

.

1

10

123

.

0

1

1

=

⋅

=

⋅

=

w

i

j

γ

kN/m

3

,

93

.

4

10

493

.

0

2

2

=

⋅

=

⋅

=

w

i

j

γ

kN/m

3

,

97

.

1

10

197

.

0

3

4

3

=

⋅

=

⋅

=

=

w

i

j

j

γ

kN/m

3

,

93

.

4

2

5

=

= j

j

kN/m

3

Wartości naprężeń efektywnych:

0

.

37

5

.

18

0

.

2

=

⋅

=

′

zA

γ

σ

kPa

5

.

58

)

23

.

1

5

.

9

(

0

.

2

0

.

37

=

+

⋅

+

=

′

zB

γ

σ

kPa

2

.

118

)

93

.

4

0

.

10

(

0

.

4

5

.

58

=

+

⋅

+

=

′

zC

γ

σ

kPa

1

.

143

)

97

.

1

5

.

10

(

0

.

2

2

.

118

=

+

⋅

+

=

′

L

zD

γ

σ

kPa

1

.

10

)

93

.

4

0

.

10

(

0

.

2

=

−

⋅

=

′

zE

γ

σ

kPa

2

.

27

)

97

.

1

5

.

10

(

0

.

2

1

.

10

=

−

⋅

+

=

′

P

zD

γ

σ

kPa

(Niewielkie różnice w stosunku do wartości z pkt. b) wynikają jedynie z zaokrągleń).

Wyniki obliczeń przedstawiono graficznie na rysunku poniżej.

± 0.0

- 2.0

- 4.0

- 6.0

zwg

zwg

zwg

Ps

Pd

Ps

Ps

Pd,

B = 6 m

ścianki szczelne

A

B

C

D

E

F

76.0

40.0

81.0

σ’

γz

37.0

156.0

197.0

58.5

118.2

143.1

u

- 8.0

- 10.0

10

27.1

u

σ’

γz

Zadanie 6.2.

Obliczyć wartości i narysować wykres rozkładu naprężeń pionowych

σ

Qz

w ośrodku gruntowym od

obciążenia skupionego Q = 200 kN ze stopy fundamentowej o wymiarach 0.8

× 0.8 m. Wyznaczyć

rozkład w osi działania siły Q i w odległości 1.0 m od tej osi.

W rozwiązaniu zadania wykorzystany zostanie wzór
Boussinesqa o następującej postaci:

η

σ

⋅

=

2

z

Q

Qz

[kPa]

(1)

w którym

η

jest współczynnikiem zaniku napręże-nia,

obliczanym według wzoru:

2

/

5

2

1

2

3





























+

⋅

=

z

r

π

η

Można także policzyć naprężenie poziome radialne

σ

Qr

ze wzoru:













+

−

−

=

)

(

)

2

1

(

1

3

2

5

2

z

R

R

R

z

r

Q

Qr

ν

π

σ

[kPa]

w którym

ν

jest współczynnikiem Poissona dla gruntu.

W rozwiązaniu Boussinesqua zakłada się, że siła Q działa w punkcie, więc wartość naprężenia

σ

Qz

tuż pod

siłą równa jest nieskończoność. W rzeczywistości siła Q działa za pośrednictwem jakiegoś fundamentu
o określonej powierzchni F=B

×L, a więc tuż pod tym fundamentem naprężenia wyniosą

σ

qz

(z=0) = Q/F.

Wartości naprężeń

σ

Qz

według wzoru (1) można liczyć dopiero od pewnej głębokości, na której

σ

Qz

< Q/F.

Tabela obliczeń

Głębokość

z [m]

2

z

Q

[kPa]

η

1

(r = 0)

η

1

(r = 1.0 m)

σ

Qz1

[kPa]

σ

Qz2

[kPa]

0 - - 0

312.5

0

0.5 800.0 0.48 0.009 ~200.0 7.2
1.0 200.0 0.48 0.084 96.0 16.9
1.5 89.0 0.48 0.19 42.7 16.3
2.0 50.0 0.48 0.27 24.0 13.7
2.5 32.0 0.48 0.33 15.4 10.5
3.0 22.0 0.48 0.37 10.7 8.1
4.0 12.5 0.48 0.41 6.0 5.1

R

z

r

σ

Qz

σ

Qr

Q=200 kN

stopa

0.8

×0.8 m

Q

stopa

0.8

×0.8 m

1.0

2.0

3.0

4.0

z [m]

σ

Qz1

σ

Qz2

r = 1.0 m

5

.

312

8

.

0

8

.

0

200

)

0

(

=

⋅

=

=

r

Qz

σ

kPa

200

2

0

96

5

312

5

0

≈

+

=

=

.

.

)

m

.

r

(

Qz

σ

kPa

Zadania do rozwiązania

Zad. 6.3.

Na jakiej głębokości „z” naprężenia

dodatkowe od nacisków q=100 kPa przekazy-
wanych przez fundament o szerokości B=2,0 m
zrównają się z naprężeniami geostatycznymi
w podłożu gruntowym. Rozkład

η przyjąć

liniowy do głębokości z =3B.

Odp.: z = 2.73 m

Zad. 6.4.

W podłożu gruntowym obniżono

zwierciadło wody gruntowej o 5,0 m, w wyniku
czego wystąpiła kapilarność bierna h

kb

= 2,0 m.

Policzyć wartość efektywnych naprężeń
geostatycznych w gruncie w punkcie A przed
i po obniżeniu zwierciadła wody gruntowej.

Odp.: przed obniżeniem –

σ’

z

γ

A

= 166 kPa

po obniżeniu –

σ’

z

γ

A

=207 kPa

Zad. 6.5.

Pod punktami A, B i C, na

głębokościach z = 1.0m, 3.0m i 5.0m wyzna-
czyć wartości pionowych naprężeń dodat-
kowych od oddziaływania fundamentów I i II.
Naprężenia od fundamentu I policzyć jak od siły
skupionej Q według wzoru Bussinesqu’a.
Naprężenia od fundamentu II policzyć jak pod
wiotkim obszarem prostokątnym obciążonym
obciążeniem q (wykorzystać nomogramy na

η).

Odp.:

punkt A

punkt B

punkt C

z

σ

zI

σ

zII

σ

zI

σ

zII

σ

zI

σ

zII

1.0 21.3 92.0

2.0 180.0

∼0.0 92.0

3.0 52.5 60.0

15.5 84.0

4.8 60.0

5.0 32.9 32.0

17.6 40.0

8.4 32.0

Zad. 6.6.

W punkcie A, na głębokościach

z = 2.0m i 4.0m wyznaczyć wartości naprężeń
pionowych od oddziaływania fundamentów I i
II. Obliczenia wykonać metodą punktu
narożnego (wykorzystać nomogram na

η

n

).

Odp.: z = 2.0m

σ

zA

=

σ

zI

+

σ

zII

= 34.0 + 12.0 = 46.0 kPa

z = 4.0m

σ

zA

=

σ

zI

+

σ

zII

= 16.0 + 9.2 = 25.2 kPa

q = 100 kPa

B = 2,0 m

z

P

d

,

γ = 20 kN/m

3

z/B

0

1

2

3

1

0.5

η

± 0.0

- 3.0

- 4.0

- 7.0

- 9.0

A

P

g

,

γ = 20 kN/m

3

P

d

,

γ = 18 kN/m

3

γ‘ = 11 kN/m

3

,

γ

sr

= 21 kN/m

3

zwg (pierw.)

zwg (kap.)

zwg (obniż.)

- 12.0

q = 200 kPa

B = 3,0 m

Q = 2500 kN

II

I

2,0 m

L = 4.5 m

I

II

A B

q=200kPa

Q = 2500 kN

C

3.0 m

I

II

A

q=200kPa

q=100kPa

2.0 m

2.0 m

1.0 m

2.0 m

7. Osiadania podłoża gruntowego – zadania przykładowe

Zadanie 7.1

Wyznaczyć rozkład naprężeń w gruncie pod fundamentem przedstawionym na rysunku poniżej oraz
obliczyć wartość średnich osiadań podłoża gruntowego pod tym fundamentem.

Rozkład naprężeń w gruncie pod fundamentem wyznaczony zostanie
z wykorzystaniem współczynnika

η

s

do wyznaczanie składowej pionowej

σ

z

naprężenia średniego pod całym wiotkim obszarem prostokątnym,

obciążonym równomiernie.

1) Obliczenie osiadań metodą odkształceń jednoosiowych

Wartość osiadania podłoża gruntowego obliczona zostanie ze wzoru:

∑

∑

⋅

⋅

+

⋅

=

+

=

i

i

szi

i

i

dzi

M

h

M

h

"

s

's

s

σ

λ

σ

0

[mm]

w którym:
s’ , s” - osiadania pierwotne i wtórne
M

0i

, M

i

– edometryczny moduł ściśliwości pierwotnej i wtórnej

h

i

– miąższość warstwy obliczeniowej (h

i

≤ B/2)

σ

dzi

– naprężenia dodatkowe na głębokości z

i

(

q

si

dzi

⋅

=

η

σ

)

σ

szi

– naprężenia wtórne na głębokości z

i

(

q

si

szi

⋅

=

η

σ

)

głębokość z

i

przyjmuje się w połowie miąższości h

i

.

λ – współczynnik uwzględniający stopień odprężenia gruntu w dnie

wykopu (

λ = 0 ÷ 1.0)

Sumowanie osiadań przeprowadza się do głębokości z

i

, na której spełnia się

warunek:

σ

dzi

< 0.3

⋅σ

γzi

.

Obliczenia pomocnicze:
q

D

=

γ

D

⋅D = 17.0⋅1.5 = 25.5 kPa, q = q - γ

D

⋅D = 300 – 25.5 = 274.5 kPa, L/B = 4.0/2.0 = 2.0, λ = 1.0

Tabela obliczeń naprężeń i osiadań

Profil

geotech.

Rzędna

spodu

warstwy

h

i

[m]

z

i

[m]

σ

γzi

[kPa]

0.3

σ

γzi

[kPa]

z

i

/B

η

si

σ

dzi

[kPa]

σ

szi

[kPa]

M

0i

[MPa]

M

i

[MPa]

i

's

[mm]

i

"

s

[mm]

i

s

[mm]

+1.5

0.0

0.0

0.0

0.0

22.5

6.8

0

1.0

274.5

25.5

60.0

75.0

0.0

0.0

0.0

-0.5 0.5

0.25

26.75

8.0 0.125

0.85

233.0

22.0 60.0 75.0 1.94 0.15 2.09

-1.0 0.5

0.75

35.25

10.5

0.375

0.72

198.0

18.0 60.0 75.0 1.65 0.12 1.77

-1.5 0.5

1.25

43.75

13.1

0.625

0.52

143.0

13.0 60.0 75.0 1.19 0.09 1.28

P

d

γ = 17 kN/m

3

-2.0 0.5

1.75

52.25

15.7

0.875

0.42

115.0

11.0 60.0 75.0 0.96 0.07 1.03

-3.0 1.0

2.50

66.00

19.8 1.25

0.30

82.0 8.0 35.0 47.0 2.34 0.17 2.51

-4.0 1.0

3.50

80.50

24.2 1.75

0.22

60.0 6.0 35.0 47.0 1.71 0.13 1.84

P

g,

γ =19 kN/m

3

γ’=10 kN/m

3

-5.0 1.0

4.50

90.50

27.2 2.25

0.15

41.0 4.0 35.0 47.0 1.17 0.09 1.26

-6.0 1.0

5.50

100.3

30.1 2.75

0.11

30.0 3.0 25.0 33.0 1.21 0.09 1.30

G

γ’ = 9.5 kN/m

3

-7.0 1.0

6.50

109.8

32.9 3.25

0.08 22.0 2.0 25.0 33.0 -

-

-

12.18

0.90 13.08

Rezultat: osiadania podłoża gruntowego wyniosą około s = 13.0 mm

zwg

Piasek drobny (P

d

)

γ = 17.0 kN/m

3

M

0

= 60 MPa, M = 75 MPa

stopa

B= 2m, L = 4m

0.00

+ 1.50

- 2.00

Piasek gliniasty (P

g

)

γ = 19.0 kN/m

3

γ’ = 10 kN/m

3

M

0

= 35 MPa, M = 47 MPa

Glina (G)
γ = 18.5 kN/m

3

γ’ = 9.5 kN/m

3

M

0

= 25 MPa, M = 33 MPa

- 3.00

- 5.00

D = 1.5 m

q = 300 kPa

B

zwg

z

Piasek drobny (P

d

)

γ = 17.0 kN/m

3

M

0

= 60 MPa, M = 75 MPa

0.00

+ 1.50

- 2.00

Piasek gliniasty (P

g

)

γ = 19.0 kN/m

3

γ’ = 10 kN/m

3

M

0

= 35 MPa, M = 47 MPa

Glina (G)
γ = 18.5 kN/m

3

γ’ = 9.5 kN/m

3

M

0

= 25 MPa, M = 33 MPa

- 3.00

- 5.00

zwg

σ

sz

σ

dz

σ

γz

2) Obliczenie osiadań metodą odkształceń trójosiowych

Wartość osiadania podłoża gruntowego obliczona zostanie ze wzoru:

∑

∑

−

⋅

∆

⋅

⋅

⋅

+

−

⋅

∆

⋅

⋅

=

+

=

i

i

i

D

i

i

i

E

)

(

B

q

E

)

(

B

q

"

s

's

s

2

0

2

1

1

ν

ω

λ

ν

ω

[mm]

w którym:

∆ω

i

=

ω

2i

–

ω

1i

(

ω

1i

– współczynnik wpływu dla stropu warstwy „i” na głębokości z

1i

,

ω

2i

– współczynnik wpływu dla

spągu warstwy „i” na głębokości z

2i

, współczynniki

ω

1

i

ω

2

zależą od z

1

/B i z

2

/B oraz L/B)

ν

i

– współczynnik Poissona dla gruntu w warstwie „i”,

E

0i

, E

i

- odpowiednio pierwotny i wtórny moduł odkształcenia ogólnego gruntu

B – szerokość fundamentu

a) osiadanie warstwy 1 – P

d

Przyjęto

ν

1

= 0.27

→

80

.

0

)

27

.

0

1

(

)

27

.

0

2

1

(

)

27

.

0

1

(

1

=

−

⋅

−

⋅

+

=

δ

→

48

60

80

.

0

01

=

⋅

=

E

MPa,

60

75

80

.

0

1

=

⋅

=

E

MPa

z

11

= 0

→ ω

11

= 0, z

21

= 2.0 m , z

21

/B = 2.0/2.0 = 1, L/B = 4.0/2.0 = 2

→

ω

21

= 0.47,

→

∆ω

1

= 0.47 – 0.0 = 0.47

=

+

=

−

⋅

⋅

⋅

⋅

+

−

⋅

⋅

⋅

=

37

0

98

4

60

27

0

1

47

0

0

2

5

25

0

1

48

27

0

1

47

0

0

2

5

274

2

2

1

.

.

)

.

(

.

.

.

.

)

.

(

.

.

.

s

5.35 mm

b) osiadanie warstwy 2 – P

g

Przyjęto

ν

2

= 0.30

→

74

.

0

)

30

.

0

1

(

)

30

.

0

2

1

(

)

30

.

0

1

(

2

=

−

⋅

−

⋅

+

=

δ

→

26

35

74

.

0

02

=

⋅

=

E

MPa,

35

47

74

.

0

2

=

⋅

=

E

MPa

z

21

= 2.0

→ ω

21

= 0.47, z

22

= 5.0 m , z

22

/B = 5.0/2.0 = 2.5, L/B = 2

→

ω

22

= 0.86,

→

∆ω

2

= 0.86 – 0.47 = 0.39

=

+

=

−

⋅

⋅

⋅

⋅

+

−

⋅

⋅

⋅

=

52

.

0

49

.

7

35

)

30

.

0

1

(

39

.

0

0

.

2

5

.

25

0

.

1

26

)

30

.

0

1

(

39

.

0

0

.

2

5

.

274

2

2

2

s

8.01 mm

c) osiadanie warstwy 3 – G

Przyjęto

ν

3

= 0.32

→

70

.

0

)

32

.

0

1

(

)

32

.

0

2

1

(

)

32

.

0

1

(

3

=

−

⋅

−

⋅

+

=

δ

→

5

.

17

25

70

.

0

03

=

⋅

=

E

MPa,

23

33

70

.

0

3

=

⋅

=

E

MPa

z

31

= 5.0

→ ω

31

= 0.86, z

32

=

∞ , z

32

/B =

∞, L/B = 2 →

ω

32

= 1.22,

→

∆ω

3

= 1.22 – 0.86 = 0.36

=

+

=

−

⋅

⋅

⋅

⋅

+

−

⋅

⋅

⋅

=

72

.

0

14

.

10

23

)

32

.

0

1

(

36

.

0

0

.

2

5

.

25

0

.

1

5

.

17

)

32

.

0

1

(

36

.

0

0

.

2

5

.

274

2

2

3

s

10.86 mm

d) osiadanie całkowite

s = s

1

+ s

2

+ s

3

= 5.35 + 8.01 + 10.86 = 24.22 mm

Wniosek: Obliczenia metodą odkształceń trójosiowych dają większe wartości osiadań.

Zadania do rozwiązania

Zad. 7.2.

Który fundament osiądzie więcej? Spróbować powiedzieć najpierw bez obliczeń.

Policzyć wartości osiadań fundamentów. Rozkład

η przyjąć liniowy do głębokości z = 3B.

Odp.: więcej osiądzie fundament B, s

A

= 38.07 mm, s

B

= 57.8 mm.

Zad. 7.3.

Policzyć osiadanie warstwy

G

π

od nacisków dodatkowych q

przekazywanych przez fundament.
Rozkład

η przyjąć liniowy do

głębokości 4B.

Odp.: s

G

π

= 27.96 mm

Zad. 7.4.

Policzyć osiadanie warstwy namułu w wyniku obniżenia zwierciadła wody gruntowej

o 4.0 m. Przyjąć, że obniżenie wody wykonano na znacznym obszarze, stąd

η = 1 w całej

miąższości namułu.

Odp.: s

Nm

= 120 mm

Zad. 7.5.

Jaką szerokość powinna mieć

ława fundamentowa, aby osiadania podłoża
gruntowego nie przekroczyły 20 mm?
Obliczenia wykonać metodą odkształceń
jednoosiowych, przyjmując liniowy rozkład
współczynnika

η, jak pokazano na

wykresie.

Odp.: B

≥ 3.0 m.

- 2.0

q = 250 kPa

B = 3,0 m

± 0.0

- 6.0

M

0

= 25 MPa

z/B

0

1

2

3

1

0.5

η

- 1.0

G

π

,

Pd,

γ = 17 kN/m

3

4

podłoże nieściśliwe

B

- 2.0

q = 200

B = 3,0 m

A

q = 200

B = 1,5 m

± 0.0

- 6.0

M

0

= 10 MPa

M

0

= 20 MPa

M

0

= 10 MPa

M

0

= 20 MPa

z/B

0

1

2

3

1

0.5

η

podłoże nieściśliwe

podłoże nieściśliwe

± 0.0

- 2.0

- 6.0

- 7.0

P

d

,

γ = 18 kN/m

3

γ‘ = 11 kN/m

3

γ

sr

= 21 kN/m

3

zwg (pierw.)

zwg (obniż.)

- 10.0

Nm, M

0

= 1,0 MPa

η

z/B

0

1

2

4

1

0.5

± 0.00

- 3.5

M

0

= 25 MPa

- 1.0

3

B= ?

M

0

= 15 MPa

- 7.0

podłoże nieściśliwe

N = 250 kN/m?