31

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

9. Liniowe przekształcenie zmiennych stanu, niezmienniczość transmitancji.

Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
Opis układu w postaci:

równanie stanu

d

x( t ) Ax( t ) Bu( t )

dt
y( t ) Cx

równ

(

a

t )

ni

Du(

e wy ś

t )

j cia

=

+

=

+

x(t) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(t) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1
y(t) – wektor wyjść o wymiarze mx1
wprowadzamy nowe zmienne stanu:

0

Pq( t ) x( t ), det P

=

≠

równanie stanu

d

Pq( t ) APq( t ) Bu( t )

nowe

dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )

now

równanie wyjś a

e

ci

=

+

=

+

32

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

1

1

równanie st

d

q( t ) P APq( t ) P Bu( t )

nowe

dt
y( t ) CPq( t ) Du( t )

anu

równanie wyjścia

nowe

−

−

=

+

=

+

1

1

d

q( t ) Aq( t ) Bu( t )

A P AP, B P B

dt
y( t ) Cq( t ) Du( t )

C CP

−

−

=

+

=

=

=

+

=

wartości własne nowej macierzy stanu są takie same jak starej!!
Jaka będzie transmitancja:

33

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

G( s ) C sI

A

B D CP sI P AP

P B D

CP P

sI

A P

P B D CPP

sI

A

PP B D

C sI

A

B D G( s )

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

−

+ =

−

+ =

⎡

⎤

=

−

+ =

−

+ =

⎣

⎦

=

−

+ =

liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!!

UKŁAD DYSKRETNY
Liniowe przekształcenie zmiennych stanu:
Opis układu w postaci:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

1

((

kT

Du

kT

Cx

kT

y

kT

Bu

kT

Ax

T

k

x

+

=

+

=

+

x(kT) – wektor zmiennych stanu o wymiarze nx1,
u(kT) – wektor wejść/sterowań o wymiarze rx1

bo

(

)

1

1

1

MN

N M

−

−

−

=

34

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

y(kT) – wektor wyjść o wymiarze mx1
wprowadzamy nowe zmienne stanu:

0

Pq( kT ) x( kT ), det P

=

≠

1

równanie stan

Pq(( k

)T ) APq( kT ) Bu( kT )

nowe

y( kT ) CPq( kT ) Du( kT )

u

równanie wyjści

n we

a

o

+

=

+

=

+

1

1

1

równanie st

q(( k

)T ) P APq( kT ) P Bu( kT )

nowe

y( kT ) CPq( kT ) Du( kT )

nowe

anu

równanie wyjścia

−

−

+

=

+

=

+

1

1

1

q(( k

)T ) Aq( kT ) Bu( kT )

A P AP, B P B

y( kT ) Cq( kT ) Du( kT )

C CP

−

−

+

=

+

=

=

=

+

=

wartości własne nowej macierzy stanu są takie same jak starej!!

35

Automatyka i sterowanie19 Powtórzenie

Jaka będzie transmitancja:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

G( z ) C zI

A

B D CP zI P AP

P B D

CP P

zI

A P

P B D CPP

zI

A

PP B D

C zI

A

B D G( z )

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

−

+ =

−

+ =

⎡

⎤

=

−

+ =

−

+ =

⎣

⎦

=

−

+ =

liniowe przekształcenie zmiennych stanu nie zmienia transmitancji!!

bo

(

)

1

1

1

MN

N M

−

−

−

=