Budowa modelu decyzyjnego
Adam Kucharski
adamk@uni.lodz.pl
Katedra Badań Operacyjnych
Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny
pok. T413, 635 51 84
Literatura:
Miszczyńska D., Miszczyński M.
Wybrane metody badań operacyjnych
WSzEH, Skierniewice, 2000
Kukuła K. (red.), Jędrzejczyk Z.
Badania operacyjne w przykładach i zadaniach
PWN, Warszawa 2002
Łapińska-Sobcza N. (red.)
Modele optymalizacyjne. Przykłady i zadania
UŁ, 1998
Kiedy pojawia się problem decyzyjny?
1.
Pojawia się decydent (osoba lub grupa osób), który musi
rozwiązać problem;
2.
Decydent chce osiągnąć jakiś cel;
3.
Istnieją co najmniej dwa sposoby na osiągnięcie zakładanego
celu;
4.
Istnieje otoczenie, które wpływa na sposób rozwiązania
problemu lub jego wynik.
Kiedy pojawia się problem decyzyjny?
1.
Pojawia się decydent (osoba lub grupa osób), który musi
rozwiązać problem;
2.
Decydent chce osiągnąć jakiś cel;
3.
Istnieją co najmniej dwa sposoby na osiągnięcie zakładanego
celu;
4.
Istnieje otoczenie, które wpływa na sposób rozwiązania
problemu lub jego wynik.
Kiedy pojawia się problem decyzyjny?
1.
Pojawia się decydent (osoba lub grupa osób), który musi
rozwiązać problem;
2.
Decydent chce osiągnąć jakiś cel;
3.
Istnieją co najmniej dwa sposoby na osiągnięcie zakładanego
celu;
4.
Istnieje otoczenie, które wpływa na sposób rozwiązania
problemu lub jego wynik.
Kiedy pojawia się problem decyzyjny?
1.
Pojawia się decydent (osoba lub grupa osób), który musi
rozwiązać problem;
2.
Decydent chce osiągnąć jakiś cel;
3.
Istnieją co najmniej dwa sposoby na osiągnięcie zakładanego
celu;
4.
Istnieje otoczenie, które wpływa na sposób rozwiązania
problemu lub jego wynik.
Kiedy pojawia się problem decyzyjny?
1.
Pojawia się decydent (osoba lub grupa osób), który musi
rozwiązać problem;
2.
Decydent chce osiągnąć jakiś cel;
3.
Istnieją co najmniej dwa sposoby na osiągnięcie zakładanego
celu;
4.
Istnieje otoczenie, które wpływa na sposób rozwiązania
problemu lub jego wynik.
Składowe modelu decyzyjnego:
Zbiór decyzji dopuszczalnych – wypadkowa ograniczeń
narzuconych przez otoczenie.
Funkcja kryterium (funkcja celu), określona na zbiorze decyzji
dopuszczalnych.
Zmienne decyzyjne wyrażające konkretne decyzje.
Składowe modelu decyzyjnego:
Zbiór decyzji dopuszczalnych – wypadkowa ograniczeń
narzuconych przez otoczenie.
Funkcja kryterium (funkcja celu), określona na zbiorze decyzji
dopuszczalnych.
Zmienne decyzyjne wyrażające konkretne decyzje.
Składowe modelu decyzyjnego:
Zbiór decyzji dopuszczalnych – wypadkowa ograniczeń
narzuconych przez otoczenie.
Funkcja kryterium (funkcja celu), określona na zbiorze decyzji
dopuszczalnych.
Zmienne decyzyjne wyrażające konkretne decyzje.
Założenia gry z naturą:
1.
Istnieją dwaj decydenci (gracze), podejmujący decyzje,
których wyniki wpływają na siebie wzajemnie.
2.
Jeden z graczy (natura, rynek) nie jest zainteresowany
wynikiem gry. Decyzje tego gracza nazywamy stanami natury.
3.
Drugi z graczy musi wybrać optymalną w takich warunkach
strategię.
Założenia gry z naturą:
1.
Istnieją dwaj decydenci (gracze), podejmujący decyzje,
których wyniki wpływają na siebie wzajemnie.
2.
Jeden z graczy (natura, rynek) nie jest zainteresowany
wynikiem gry. Decyzje tego gracza nazywamy stanami natury.
3.
Drugi z graczy musi wybrać optymalną w takich warunkach
strategię.
Założenia gry z naturą:
1.
Istnieją dwaj decydenci (gracze), podejmujący decyzje,
których wyniki wpływają na siebie wzajemnie.
2.
Jeden z graczy (natura, rynek) nie jest zainteresowany
wynikiem gry. Decyzje tego gracza nazywamy stanami natury.
3.
Drugi z graczy musi wybrać optymalną w takich warunkach
strategię.
Podział kryteriów wspomagania decyzji:
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności – każdej decyzji
odpowiada więcej niż jeden możliwy stan natury, lecz nie jest
znane prawdopodobieństwo, z jakim może on wystąpić.
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka – każdej decyzji
odpowiada więcej niż jeden możliwy stan natury i znane jest
prawdopodobieństwo, z jakim może on wystąpić.
Podział kryteriów wspomagania decyzji:
Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności – każdej decyzji
odpowiada więcej niż jeden możliwy stan natury, lecz nie jest
znane prawdopodobieństwo, z jakim może on wystąpić.
Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka – każdej decyzji
odpowiada więcej niż jeden możliwy stan natury i znane jest
prawdopodobieństwo, z jakim może on wystąpić.
Przykład:
Zarząd pewnej firmy musi podjąć decyzję o wdrożeniu jednej z
trzech technologii, które pozwolą zwiększyć wydajność produkcji.
Wywoła to oczywiście reakcję konkurencji. Oszacowano zyski, jakie
spodziewa się osiągnąć zarząd w zależności od podjętej decyzji i
zachowania się rynku (tys. zł). Którą z decyzji należy podjąć?
Reakcja konkurencji
Decyzje
S1
S2
S3
D1 (technologia 1)
50
-10
5
D2 (technologia 2)
35
100
60
D3 (technologia 3)
50
70
60
Macierz wypłat:
(Macierz zysków lub strat)
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
Kryteria wyboru decyzji:
•
Kryterium optymisty (MaxiMax, ryzykanta);
•
Kryterium pesymisty (MaxiMin, asekuranta);
•
Kryterium Hurwicza;
•
Kryterium Laplace’a;
•
Kryterium minimalnego żalu (MiniMax, Savage’a).
Kryterium optymisty
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć maksymalny zysk o
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której maksymalny zysk O
i
jest
największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
O
1
= 50
O
2
= 100
O
3
= 70
max (50; 100; 70) = 100
Decyzja D2.
Kryterium optymisty
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć maksymalny zysk o
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której maksymalny zysk O
i
jest
największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
O
1
= 50
O
2
= 100
O
3
= 70
max (50; 100; 70) = 100
Decyzja D2.
Kryterium optymisty
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć maksymalny zysk o
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której maksymalny zysk O
i
jest
największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
O
1
= 50
O
2
= 100
O
3
= 70
max (50; 100; 70) = 100
Decyzja D2.
Kryterium pesymisty
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć minimalny zysk P
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której minimalny zysk P
i
jest
największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
P
1
= −10
P
2
= 35
P
3
= 50
max (−10; 35; 50) = 50
Decyzja D3.
Kryterium pesymisty
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć minimalny zysk P
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której minimalny zysk P
i
jest
największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
P
1
= −10
P
2
= 35
P
3
= 50
max (−10; 35; 50) = 50
Decyzja D3.
Kryterium pesymisty
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć minimalny zysk P
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której minimalny zysk P
i
jest
największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
P
1
= −10
P
2
= 35
P
3
= 50
max (−10; 35; 50) = 50
Decyzja D3.
Kryterium Hurwicza
α ∈< 0, 1 > – skłonność do ryzyka dla decyzji D
i
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy obliczyć średnią ważoną zysków
H
i
z wartości O
i
oraz P
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której średni ważony zysk H
i
jest
największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
H
1
= 0,2 × 50 + (1 − 0,2) × (−10) = 2
H
2
= 0,2 × 100 + (1 − 0,2) × 35 = 48
H
3
= 0,2 × 70 + (1 − 0,2) × 50 = 54
max (2; 48; 54) = 54
Decyzja D3.
Kryterium Hurwicza
α ∈< 0, 1 > – skłonność do ryzyka dla decyzji D
i
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy obliczyć średnią ważoną zysków
H
i
z wartości O
i
oraz P
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której średni ważony zysk H
i
jest
największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
H
1
= 0,2 × 50 + (1 − 0,2) × (−10) = 2
H
2
= 0,2 × 100 + (1 − 0,2) × 35 = 48
H
3
= 0,2 × 70 + (1 − 0,2) × 50 = 54
max (2; 48; 54) = 54
Decyzja D3.
Kryterium Hurwicza
α ∈< 0, 1 > – skłonność do ryzyka dla decyzji D
i
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy obliczyć średnią ważoną zysków
H
i
z wartości O
i
oraz P
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której średni ważony zysk H
i
jest
największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
H
1
= 0,2 × 50 + (1 − 0,2) × (−10) = 2
H
2
= 0,2 × 100 + (1 − 0,2) × 35 = 48
H
3
= 0,2 × 70 + (1 − 0,2) × 50 = 54
max (2; 48; 54) = 54
Decyzja D3.
Kryterium Laplace’a
Prawdopodobieństwo zaistnienia każdego stanu natury jest jednakowe
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy obliczyć średnią arytmetyczną
zysków L
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której średni zysk L
i
jest największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
L
1
=
50 − 10 + 5
3
= 15
L
2
=
35 + 100 + 60
3
= 65
L
3
=
50 + 70 + 60
3
= 60
max(15; 65; 60)=65 Decyzja D2.
Kryterium Laplace’a
Prawdopodobieństwo zaistnienia każdego stanu natury jest jednakowe
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy obliczyć średnią arytmetyczną
zysków L
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której średni zysk L
i
jest największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
L
1
=
50 − 10 + 5
3
= 15
L
2
=
35 + 100 + 60
3
= 65
L
3
=
50 + 70 + 60
3
= 60
max(15; 65; 60)=65
Decyzja D2.
Kryterium Laplace’a
Prawdopodobieństwo zaistnienia każdego stanu natury jest jednakowe
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy obliczyć średnią arytmetyczną
zysków L
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której średni zysk L
i
jest największy.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
L
1
=
50 − 10 + 5
3
= 15
L
2
=
35 + 100 + 60
3
= 65
L
3
=
50 + 70 + 60
3
= 60
max(15; 65; 60)=65 Decyzja D2.
Kryterium minimalnego żalu
Zbudować macierz żalu R.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
R =
50 − 50
100 + 10
60 − 5
50 − 35
100 − 100
60 − 60
50 − 50
100 − 70
60 − 60
R =
0
110
55
15
0
0
0
30
0
Kryterium minimalnego żalu
Zbudować macierz żalu R.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
R =
50 − 50
100 + 10
60 − 5
50 − 35
100 − 100
60 − 60
50 − 50
100 − 70
60 − 60
R =
0
110
55
15
0
0
0
30
0
Kryterium minimalnego żalu
Zbudować macierz żalu R.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
R =
50 − 50
100 + 10
60 − 5
50 − 35
100 − 100
60 − 60
50 − 50
100 − 70
60 − 60
R =
0
110
55
15
0
0
0
30
0
Kryterium minimalnego żalu c.d.
1.
Na podstawie macierzy żalu R wyznaczyć dla każdej decyzji
D
i
maksymalną wartość „żalu” R
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której żal R
i
jest najmniejszy.
R =
0
110
55
15
0
0
0
30
0
R
1
= 110
R
2
= 15
R
3
= 30
min(110; 15; 30) = 15
Decyzja D2.
Kryterium minimalnego żalu c.d.
1.
Na podstawie macierzy żalu R wyznaczyć dla każdej decyzji
D
i
maksymalną wartość „żalu” R
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której żal R
i
jest najmniejszy.
R =
0
110
55
15
0
0
0
30
0
R
1
= 110
R
2
= 15
R
3
= 30
min(110; 15; 30) = 15
Decyzja D2.
Kryterium minimalnego żalu c.d.
1.
Na podstawie macierzy żalu R wyznaczyć dla każdej decyzji
D
i
maksymalną wartość „żalu” R
i
.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której żal R
i
jest najmniejszy.
R =
0
110
55
15
0
0
0
30
0
R
1
= 110
R
2
= 15
R
3
= 30
min(110; 15; 30) = 15
Decyzja D2.
Kryteria wyboru decyzji:
1.
Kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości (MOW).
2.
Kryterium minimalnego oczekiwanego żalu (MOŻ).
Prawdopodobieństwa a priori przyjęte dla stanów natury:
P{S1}=0,3, P{S2}=0,5, P{S3}=0,2.
Kryteria wyboru decyzji:
1.
Kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości (MOW).
2.
Kryterium minimalnego oczekiwanego żalu (MOŻ).
Prawdopodobieństwa a priori przyjęte dla stanów natury:
P{S1}=0,3, P{S2}=0,5, P{S3}=0,2.
Kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć oczekiwaną wartość
zysku E
i
(a) wykorzystując prawdopodobieństwa stanów
natury.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której wystąpiła najwyższa
oczekiwana wartość zysku.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
MOW=max(11; 72,5; 62)=72,5
Decyzja D2.
E
1
(a)
=
0,3 × 50 + 0,5 × (−10) + 0,2 × 5 = 11
E
2
(a)
=
0,3 × 35 + 0,5 × 100 + 0,2 × 60 = 72,5
E
3
(a)
=
0,3 × 50 + 0,5 × 70 + 0,2 × 60 = 62
Kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć oczekiwaną wartość
zysku E
i
(a) wykorzystując prawdopodobieństwa stanów
natury.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której wystąpiła najwyższa
oczekiwana wartość zysku.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
MOW=max(11; 72,5; 62)=72,5
Decyzja D2.
E
1
(a)
=
0,3 × 50 + 0,5 × (−10) + 0,2 × 5 = 11
E
2
(a)
=
0,3 × 35 + 0,5 × 100 + 0,2 × 60 = 72,5
E
3
(a)
=
0,3 × 50 + 0,5 × 70 + 0,2 × 60 = 62
Kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć oczekiwaną wartość
zysku E
i
(a) wykorzystując prawdopodobieństwa stanów
natury.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której wystąpiła najwyższa
oczekiwana wartość zysku.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
MOW=max(11; 72,5; 62)=72,5
Decyzja D2.
E
1
(a)
=
0,3 × 50 + 0,5 × (−10) + 0,2 × 5 = 11
E
2
(a)
=
0,3 × 35 + 0,5 × 100 + 0,2 × 60 = 72,5
E
3
(a)
=
0,3 × 50 + 0,5 × 70 + 0,2 × 60 = 62
Kryterium minimalnego oczekiwanego żalu
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć oczekiwaną wartość
żalu E
i
(r ) wykorzystując prawdopodobieństwa stanów natury.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której wystąpiła najniższa
oczekiwana wartość żalu.
R =
0
110
55
15
0
0
0
30
0
MOŻ=min(66; 4,5; 15)=4,5 Decyzja
D2.
E
1
(r )
=
0,3 × 0 + 0,5 × 110 + 0,2 × 55 = 66
E
2
(r )
=
0,3 × 15 + 0,5 × 0 + 0,2 × 0 = 4,5
E
3
(r )
=
0,3 × 0 + 0,5 × 30 + 0,2 × 0 = 15
Kryterium minimalnego oczekiwanego żalu
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć oczekiwaną wartość
żalu E
i
(r ) wykorzystując prawdopodobieństwa stanów natury.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której wystąpiła najniższa
oczekiwana wartość żalu.
R =
0
110
55
15
0
0
0
30
0
MOŻ=min(66; 4,5; 15)=4,5 Decyzja
D2.
E
1
(r )
=
0,3 × 0 + 0,5 × 110 + 0,2 × 55 = 66
E
2
(r )
=
0,3 × 15 + 0,5 × 0 + 0,2 × 0 = 4,5
E
3
(r )
=
0,3 × 0 + 0,5 × 30 + 0,2 × 0 = 15
Kryterium minimalnego oczekiwanego żalu
1.
Dla każdej decyzji D
i
należy wyznaczyć oczekiwaną wartość
żalu E
i
(r ) wykorzystując prawdopodobieństwa stanów natury.
2.
Wskazać decyzję D
k
, dla której wystąpiła najniższa
oczekiwana wartość żalu.
R =
0
110
55
15
0
0
0
30
0
MOŻ=min(66; 4,5; 15)=4,5 Decyzja
D2.
E
1
(r )
=
0,3 × 0 + 0,5 × 110 + 0,2 × 55 = 66
E
2
(r )
=
0,3 × 15 + 0,5 × 0 + 0,2 × 0 = 4,5
E
3
(r )
=
0,3 × 0 + 0,5 × 30 + 0,2 × 0 = 15
Oczekiwana korzyść z perfekcyjnej (doskonałej) informacji
(OKPI)
Rozważamy sytuację, w której możliwe byłoby podjęcie decyzji po
zarejestrowaniu stanu natury.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
S
1
:
max (50; 35; 50) = 50
S
2
:
max (−10; 100; 70) = 100
S
3
:
max (5; 60; 60) = 60
OKPI = 0,3 × 50 + 0,5 × 100 + 0,2 × 60 = 77
Oczekiwana korzyść z perfekcyjnej (doskonałej) informacji
(OKPI)
Rozważamy sytuację, w której możliwe byłoby podjęcie decyzji po
zarejestrowaniu stanu natury.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
S
1
:
max (50; 35; 50) = 50
S
2
:
max (−10; 100; 70) = 100
S
3
:
max (5; 60; 60) = 60
OKPI = 0,3 × 50 + 0,5 × 100 + 0,2 × 60 = 77
Oczekiwana korzyść z perfekcyjnej (doskonałej) informacji
(OKPI)
Rozważamy sytuację, w której możliwe byłoby podjęcie decyzji po
zarejestrowaniu stanu natury.
A =
50
−10
5
35
100
60
50
70
60
S
1
:
max (50; 35; 50) = 50
S
2
:
max (−10; 100; 70) = 100
S
3
:
max (5; 60; 60) = 60
OKPI = 0,3 × 50 + 0,5 × 100 + 0,2 × 60 = 77
Cena graniczna perfekcyjnej (doskonałej) informacji (CGPI)
Cena graniczna perfekcyjnej informacji to maksymalna kwota, jaką
warto zainwestować w dodatkowe badanie związane z poznaniem
przyszłego zachowania się natury. Jest to różnica między OKPI a
MOW:
CGPI = OKPI − MOW = 77 − 72,5 = 4,5
Cena graniczna perfekcyjnej (doskonałej) informacji (CGPI)
Cena graniczna perfekcyjnej informacji to maksymalna kwota, jaką
warto zainwestować w dodatkowe badanie związane z poznaniem
przyszłego zachowania się natury. Jest to różnica między OKPI a
MOW:
CGPI = OKPI − MOW = 77 − 72,5 = 4,5
Analiza bayesowska
Załóżmy, że na zaistnienie stanu natury s
j
wpływa K czynników
oznaczonych I
1
, I
2
, . . . , I
K
.
Poszukujemy prawdopodobieństwa zaistnienia stanu natury s
j
pod
warunkiem, że wystąpił czynnik I
k
czyli P {s
j
|I
k
}
(prawdopodobieństwo a posteriori).
P {s
j
|I
k
} =
P {I
k
|s
j
} P {s
j
}
P {I
k
}
P {I
k
} =
n
X
j =1
P {I
k
∩ s
j
} =
n
X
j =1
P {I
k
|s
j
} P {s
j
}
Analiza bayesowska
Załóżmy, że na zaistnienie stanu natury s
j
wpływa K czynników
oznaczonych I
1
, I
2
, . . . , I
K
.
Poszukujemy prawdopodobieństwa zaistnienia stanu natury s
j
pod
warunkiem, że wystąpił czynnik I
k
czyli P {s
j
|I
k
}
(prawdopodobieństwo a posteriori).
P {s
j
|I
k
} =
P {I
k
|s
j
} P {s
j
}
P {I
k
}
P {I
k
} =
n
X
j =1
P {I
k
∩ s
j
} =
n
X
j =1
P {I
k
|s
j
} P {s
j
}
Przykład c.d.
Na podstawie przeprowadzonych analiz popytu zgłaszanego przez
konsumentów na daną grupę wyrobów przewidziano dwa możliwe
scenariusze. W pierwszym występuje znaczący wzrost popytu, w
drugim wzrost ten jest niewielki. Po uwzględnieniu tego jak na
zachowanie konkurencji wpłyną wahania popytu, oszacowano
prawdopodobieństwa warunkowe P {I
k
|s
j
}:
s
1
s
2
s
3
Duży wzrost (I
1
)
0,3
0,8
0,4
Mały wzrost (I
2
)
0,7
0,2
0,6
Prawdopodobieństwa a posteriori :
P {s
j
}
P {I
1
|s
j
}
P {I
1
∩ s
j
}
P {s
j
|I
1
}
s
1
0,3
0,3
0,3 · 0,3 = 0,09
0,09/0,57=0,158
s
2
0,5
0,8
0,5 · 0,8 = 0,40
0,40/0,57=0,702
s
3
0,2
0,4
0,2 · 0,4 = 0,08
0,08/0,57=0,140
P
1,0
×
P {I
1
} = 0,57
1,000
P {s
j
}
P {I
2
|s
j
}
P {I
2
∩ s
j
}
P {s
j
|I
2
}
s
1
0,3
0,7
0,3 · 0,7 = 0,21
0,21/0,43=0,488
s
2
0,5
0,2
0,5 · 0,2 = 0,10
0,10/0,43=0,233
s
3
0,2
0,6
0,2 · 0,6 = 0,12
0,12/0,43=0,279
P
1,0
×
P {I
2
} = 0,43
1,000
Maksymalna Oczekiwana Wartość
(przy wykorzystaniu dodatkowej informacji)
I
1
– duży wzrost popytu
E
1
(a) = 50 · 0,158 − 10 · 0,702 + 5 · 0,14 = 1,58
E
2
(a) = 35 · 0,158 + 100 · 0,702 + 60 · 0,14 = 84,13
E
3
(a) = 50 · 0,158 + 70 · 0,702 + 60 · 0,14 = 65,44
I
2
– mały wzrost popytu
E
1
(a) = 50 · 0,488 − 10 · 0,233 + 5 · 0,279 = 23,47
E
2
(a) = 35 · 0,488 + 100 · 0,233 + 60 · 0,279 = 57,12
E
3
(a) = 50 · 0,488 + 70 · 0,233 + 60 · 0,279 = 57,45
Charakterystyki liczbowe:
Oczekiwana korzyść z dodatkowej informacji (OKDI ):
OKDI =
K
X
k=1
P {I
k
} E
max
i |I
k
(a) = 0,57 · 84,13 + 0,43 · 57,45 = 72,658
Oczekiwana wartość dodatkowej informacji (OWDI ):
OWDI = OKDI − MOW = 72,658 − 72,5 = 0,158
Efektywność dodatkowej informacji (EDI ):
EDI =
OWDI
CGPI
· 100% =
0,158
4,5
· 100% = 3,502%
Charakterystyki liczbowe:
Oczekiwana korzyść z dodatkowej informacji (OKDI ):
OKDI =
K
X
k=1
P {I
k
} E
max
i |I
k
(a) = 0,57 · 84,13 + 0,43 · 57,45 = 72,658
Oczekiwana wartość dodatkowej informacji (OWDI ):
OWDI = OKDI − MOW = 72,658 − 72,5 = 0,158
Efektywność dodatkowej informacji (EDI ):
EDI =
OWDI
CGPI
· 100% =
0,158
4,5
· 100% = 3,502%
Charakterystyki liczbowe:
Oczekiwana korzyść z dodatkowej informacji (OKDI ):
OKDI =
K
X
k=1
P {I
k
} E
max
i |I
k
(a) = 0,57 · 84,13 + 0,43 · 57,45 = 72,658
Oczekiwana wartość dodatkowej informacji (OWDI ):
OWDI = OKDI − MOW = 72,658 − 72,5 = 0,158
Efektywność dodatkowej informacji (EDI ):
EDI =
OWDI
CGPI
· 100% =
0,158
4,5
· 100% = 3,502%
Idea modelu programowania liniowego
Funkcja celu oraz zbiór decyzji dopuszczalnych opisane są przy
pomocy równań i nierówności mających postać liniową.
f (x) = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ . . . c
n
x
n
→ max/min
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
. . .
+
a
1n
x
n
6
b
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a
k1
x
1
+
a
k2
x
2
+
. . .
+
a
kn
x
n
=
b
k
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m1
x
1
+
a
m2
x
2
+
. . .
+
a
mn
x
n
>
b
n
x
1
> 0, x
2
> 0, . . . , x
n
> 0
Przykład modelu decyzyjnego
Mały zakład wytwarza dwa produkty A i B, których ceny zbytu wynoszą
odpowiednio 3 zł/szt. oraz 4 zł/szt. Należy opracować dzienny plan produkcji
zakładu tak, aby wartość produkcji liczona w cenach zbytu była możliwie
największa. Produkcja jest limitowana głównie przez dwa czynniki: dostępny
czas pracy maszyn i surowiec podstawowy. Dzienny limit czasu pracy maszyn
wynosi 500 minut. Umowy z producentem surowca podstawowego wskazują, że
każdego dnia zakład będzie miał do dyspozycji 350 kg tego surowca
(bezpieczny poziom). Zakład jest zainteresowany takim programem dziennej
produkcji, przy którym osiągał będzie zysk minimum 600 zł. Sztuka wyrobu A
wymaga 1 minuty czasu pracy maszyn, natomiast sztuka wyrobu B - 2 minut.
Na wyprodukowanie sztuki wyrobu A zużywa się 1 kg surowca specjalnego.
Również sztuka wyrobu B wymaga 1 kg tego surowca. Jednostkowy zysk ze
sztuki wyrobu A wynosi 2 zł/szt., a ze sztuki wyrobu B - 1 zł/szt.
Model matematyczny:
1.
Lista zmiennych decyzyjnych:
x
1
– dzienna produkcja wyrobu A [szt.]
x
2
– dzienna produkcja wyrobu B [szt.]
2.
Funkcja celu (wartość produkcji w cenach zbytu):
f (x) = 3x
1
+ 4x
2
→ max [zł]
3.
Ograniczenia:
(maszyny)
x
1
+ 2x
2
6 500
[min.]
(surowiec)
x
1
+ x
2
6 350
[kg]
(min. zysk)
2x
1
+ x
2
> 600
[zł]
4.
Warunki brzegowe:
x
1
> 0 [szt.]
x
2
> 0 [szt.]
Model matematyczny:
1.
Lista zmiennych decyzyjnych:
x
1
– dzienna produkcja wyrobu A [szt.]
x
2
– dzienna produkcja wyrobu B [szt.]
2.
Funkcja celu (wartość produkcji w cenach zbytu):
f (x) = 3x
1
+ 4x
2
→ max [zł]
3.
Ograniczenia:
(maszyny)
x
1
+ 2x
2
6 500
[min.]
(surowiec)
x
1
+ x
2
6 350
[kg]
(min. zysk)
2x
1
+ x
2
> 600
[zł]
4.
Warunki brzegowe:
x
1
> 0 [szt.]
x
2
> 0 [szt.]
Model matematyczny:
1.
Lista zmiennych decyzyjnych:
x
1
– dzienna produkcja wyrobu A [szt.]
x
2
– dzienna produkcja wyrobu B [szt.]
2.
Funkcja celu (wartość produkcji w cenach zbytu):
f (x) = 3x
1
+ 4x
2
→ max [zł]
3.
Ograniczenia:
(maszyny)
x
1
+ 2x
2
6 500
[min.]
(surowiec)
x
1
+ x
2
6 350
[kg]
(min. zysk)
2x
1
+ x
2
> 600
[zł]
4.
Warunki brzegowe:
x
1
> 0 [szt.]
x
2
> 0 [szt.]
Model matematyczny:
1.
Lista zmiennych decyzyjnych:
x
1
– dzienna produkcja wyrobu A [szt.]
x
2
– dzienna produkcja wyrobu B [szt.]
2.
Funkcja celu (wartość produkcji w cenach zbytu):
f (x) = 3x
1
+ 4x
2
→ max [zł]
3.
Ograniczenia:
(maszyny)
x
1
+ 2x
2
6 500
[min.]
(surowiec)
x
1
+ x
2
6 350
[kg]
(min. zysk)
2x
1
+ x
2
> 600
[zł]
4.
Warunki brzegowe:
x
1
> 0 [szt.]
x
2
> 0 [szt.]
100
200
300
400
500
600
100
200
300
400
500
600
x
1
x
2
maszyny
surowiec
zysk
Gradient i warstwica
Gradientem funkcji celu jest wektor zawierający pochodne f (x)
względem zmiennych decyzyjnych. Pokazuje kierunek najszybszego
wzrostu wartości f (x) niezależny od wartości zmiennych
decyzyjnych.
∇f (x) =
3
4
Warstwica to prosta prostopadła do gradientu, przechodząca przez
zbiór rozwiązań dopuszczalnych X. Przesuwamy ją wzdłuż
gradientu stosownie do kierunku optymalizacji.
Gradient i warstwica
Gradientem funkcji celu jest wektor zawierający pochodne f (x)
względem zmiennych decyzyjnych. Pokazuje kierunek najszybszego
wzrostu wartości f (x) niezależny od wartości zmiennych
decyzyjnych.
∇f (x) =
3
4
Warstwica to prosta prostopadła do gradientu, przechodząca przez
zbiór rozwiązań dopuszczalnych X. Przesuwamy ją wzdłuż
gradientu stosownie do kierunku optymalizacji.
Gradient i warstwica
Gradientem funkcji celu jest wektor zawierający pochodne f (x)
względem zmiennych decyzyjnych. Pokazuje kierunek najszybszego
wzrostu wartości f (x) niezależny od wartości zmiennych
decyzyjnych.
∇f (x) =
3
4
Warstwica to prosta prostopadła do gradientu, przechodząca przez
zbiór rozwiązań dopuszczalnych X. Przesuwamy ją wzdłuż
gradientu stosownie do kierunku optymalizacji.
100
200
300
400
500
600
100
200
300
400
500
600
x
1
x
2
G(300,400)
rozwiązanie optymalne
Otrzymane rozwiązanie:
1.
Współrzędne punktów i wartość funkcji celu:
x
opt
1
= 250
x
opt
2
= 100
f
max
(x) = 3 × 250 + 4 × 100 = 1050
2.
Należy wyprodukować 250 szt. wyrobu A i 100 szt. wyrobu B
co zapewni maksymalną wartość produkcji w wysokości
1050 zł.
3.
Ograniczenia:
maszyny: 250 + 2 × 100 = 450 minut
surowiec: 250 + 100 = 350 kg
min. zysk: 2 × 250 + 100 = 600 zł
Otrzymane rozwiązanie:
1.
Współrzędne punktów i wartość funkcji celu:
x
opt
1
= 250
x
opt
2
= 100
f
max
(x) = 3 × 250 + 4 × 100 = 1050
2.
Należy wyprodukować 250 szt. wyrobu A i 100 szt. wyrobu B
co zapewni maksymalną wartość produkcji w wysokości
1050 zł.
3.
Ograniczenia:
maszyny: 250 + 2 × 100 = 450 minut
surowiec: 250 + 100 = 350 kg
min. zysk: 2 × 250 + 100 = 600 zł
Otrzymane rozwiązanie:
1.
Współrzędne punktów i wartość funkcji celu:
x
opt
1
= 250
x
opt
2
= 100
f
max
(x) = 3 × 250 + 4 × 100 = 1050
2.
Należy wyprodukować 250 szt. wyrobu A i 100 szt. wyrobu B
co zapewni maksymalną wartość produkcji w wysokości
1050 zł.
3.
Ograniczenia:
maszyny: 250 + 2 × 100 = 450 minut
surowiec: 250 + 100 = 350 kg
min. zysk: 2 × 250 + 100 = 600 zł
Brak skończonego rozwiązania optymalnego:
x
1
x
2
G
Rozwiązanie niejednoznaczne:
x
1
x
2
G
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Algebra liniowa1 id 57289 Nieznany
Algebra liniowa 1 3 id 57241 Nieznany
programowanie liniowe 2 id 3961 Nieznany
gry instrukcja id 609630 Nieznany
elementarz liniowy id 159882 Nieznany
projekty gry planszowe FD id 40 Nieznany
plansza gry 1 id 361754 Nieznany
,fizyka L, regresja liniowa id Nieznany (2)
GRY id 196733 Nieznany
liniowe zastosowania wo id 2687 Nieznany
Algebra liniowa zadania id 5728 Nieznany (2)
Algebra liniowa teoria id 57269 Nieznany (2)
DYNAMIKA UKLADOW LINIOWYCH id 1 Nieznany
projekty gry planszowe FD id 40 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
więcej podobnych podstron