Analiza matematyczna

17. 03. 2010 (zaj. nr 5)

Denicja 1 lim

n→+∞

a

n

= +∞ ⇐⇒ ∀

M >0

∃

N ∈IN

∀

n>N

a

n

> M

Denicja 2 lim

n→+∞

a

n

= −∞ ⇐⇒ ∀

M <0

∃

N ∈IN

∀

n>N

a

n

< M

Twierdzenie 3 Je±li lim

n→+∞






a

n+1

a

n






= q < 1,

to lim

n→+∞

a

n

= 0.

Twierdzenie 4 Niech x

n

> 0, x, y ∈ IR, x > 0, x

n

−→ x, y

n

−→ y, n → +∞.

Wtedy (x

n

)

y

n

−→ x

y

, n → +∞.

1. Udowodni¢, »e a) lim

n→+∞

√

n = +∞;

b) lim

n→+∞

(−n

2

) = −∞.

2. Wyznaczy¢ punkty skupienia ci¡gów

a

n

= 7 + 4 · (−1)

n

,

b

n

=

√

n sin

nπ

2

,

c

n

= sin

nπ

4

,

d

n

=



1 +

(−1)

n

n



n

.

3. Wskaza¢ granice dolne i górne ci¡gów

a

n

=

n

p

4

(−1)

n

+ 3,

b

n

=

(−2)

n+1

2

n

+ 1

.

Z [1]:

4. Punkt 33, przykªad 14.

5. Punkt 35, przykªad 1.

6. Punkt 35, przykªad 2.

7. Punkt 35, przykªad 6: a) jedna osoba, b) dwie osoby.

8. Wyznaczy¢ granice ci¡gów

a

n

=

 2

n

+ n

3

2

n



n

,

b

n

=

n!

n

n

.

Ka»dy przykªad rozwi¡zuje jedna osoba (z wyj¡tkiem zadania 7) zgodnie z kolejno±ci¡ wyznaczon¡ przez

szefow¡ grup.

Oprócz punktów z [1] wymienionych w ubiegªym tygodniu prosz¦ na najbli»sze zaj¦cia przeczyta¢ z [1]

punkty: 32, (przykªady od 8.), 33, 34, 35, 36, 40, 41, 42. Szczególn¡ uwag¦ prosz¦ zwróci¢ na twierdzenie

Stolza oraz twierdzenie o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym.

W ramach przygotowa« do kolokwium polecam zadania z [2].

Rozdziaª I sekcja A caªa; sekcja B zadania 25-27,34, 49.

Rozdziaª II sekcja A zadania 1-6, 33,34, 42-46, 52, 53.

Rozdziaª IV sekcja A wszystkie zadania rachunkowe oraz zadania 28-31; sekcja B zadania 34, 45, 46, 48, 57,

59, 62, 63.

Literatura

[1] G. M. Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, T. 1, PWN.

[2] J. Bana±, S. W¦drychowicz, Zbiór zada« z analizy matematycznej, WNT.

1