Analiza matematyczna
17. 03. 2010 (zaj. nr 5)
De nicja 1 lim
n→+∞
a
n
= +∞ ⇐⇒ ∀
M >0
∃
N ∈IN
∀
n>N
a
n
> M
De nicja 2 lim
n→+∞
a
n
= −∞ ⇐⇒ ∀
M <0
∃
N ∈IN
∀
n>N
a
n
< M
Twierdzenie 3 Je±li lim
n→+∞
a
n+1
a
n
= q < 1,
to lim
n→+∞
a
n
= 0.
Twierdzenie 4 Niech x
n
> 0, x, y ∈ IR, x > 0, x
n
−→ x, y
n
−→ y, n → +∞.
Wtedy (x
n
)
y
n
−→ x
y
, n → +∞.
1. Udowodni¢, »e a) lim
n→+∞
√
n = +∞;
b) lim
n→+∞
(−n
2
) = −∞.
2. Wyznaczy¢ punkty skupienia ci¡gów
a
n
= 7 + 4 · (−1)
n
,
b
n
=
√
n sin
nπ
2
,
c
n
= sin
nπ
4
,
d
n
=
1 +
(−1)
n
n
n
.
3. Wskaza¢ granice dolne i górne ci¡gów
a
n
=
n
p
4
(−1)
n
+ 3,
b
n
=
(−2)
n+1
2
n
+ 1
.
Z [1]:
4. Punkt 33, przykªad 14.
5. Punkt 35, przykªad 1.
6. Punkt 35, przykªad 2.
7. Punkt 35, przykªad 6: a) jedna osoba, b) dwie osoby.
8. Wyznaczy¢ granice ci¡gów
a
n
=
2
n
+ n
3
2
n
n
,
b
n
=
n!
n
n
.
Ka»dy przykªad rozwi¡zuje jedna osoba (z wyj¡tkiem zadania 7) zgodnie z kolejno±ci¡ wyznaczon¡ przez
szefow¡ grup.
Oprócz punktów z [1] wymienionych w ubiegªym tygodniu prosz¦ na najbli»sze zaj¦cia przeczyta¢ z [1]
punkty: 32, (przykªady od 8.), 33, 34, 35, 36, 40, 41, 42. Szczególn¡ uwag¦ prosz¦ zwróci¢ na twierdzenie
Stolza oraz twierdzenie o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym.
W ramach przygotowa« do kolokwium polecam zadania z [2].
Rozdziaª I sekcja A caªa; sekcja B zadania 25-27,34, 49.
Rozdziaª II sekcja A zadania 1-6, 33,34, 42-46, 52, 53.
Rozdziaª IV sekcja A wszystkie zadania rachunkowe oraz zadania 28-31; sekcja B zadania 34, 45, 46, 48, 57,
59, 62, 63.
Literatura
[1] G. M. Fichtenholz, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, T. 1, PWN.
[2] J. Bana±, S. W¦drychowicz, Zbiór zada« z analizy matematycznej, WNT.
1