Zadania na ćwiczenia rachunkowe z fizyki

dla studentów Fizyki Technicznej, rok I, sem. 1

Część II. Kinematyka

II.1) Ruch punktu materialnego opisany jest równaniem:

x(t) =

b

c

2



ct + e

−ct



,

gdzie b, c — stałe dodatnie. Znaleźć: a) prędkość początkową, b) maksymalną
prędkość, c) maksymalne przyspieszenie punktu.

II.2) Zależność przebytej przez ciało drogi od czasu wyraża się wzorem:
s(t) = at

4

−bt

2

. Znajdź ekstremalną wartość prędkości ciała. Sporządź wykres

zależności prędkości chwilowej od czasu.

II.3) Korzystając z ogólnych definicji prędkości i przyspieszenia wyprowadź
równania ruchu jednostajnie zmiennego w przypadku jednowymiarowym.

II.4) Cząstka porusza się w dodatnim kierunku osi x. Jej prędkość v zależy
od x zgodnie ze wzorem v = αx, gdzie α jest stałą dodatnią. Wyznaczyć: a)
zależność prędkości od czasu, b) średnią prędkość cząstki w czasie, w którym
przebędzie ona pierwszych s metrów drogi. Przyjąć, że x = x

0

dla t = 0.

II.5) Ruch punktu materialnego opisują równania: x(t) = αt, y(t) = βt−γt

2

.

Znaleźć: a) równanie toru, b) prędkość i przyspieszenie po czasie t, c) kąt
między wektorami prędkości i przyspieszenia po czasie t.

II.6) Promień wodzący punktu materialnego zmienia się w czasie w nastę-
pujący sposób: ~r(t) = 5t~ı + exp(−t)~ + sin(4t)~k. Znaleźć zależność od czasu
prędkości punktu oraz jego przyspieszenia.

II.7) Dwie cząstki poruszają się w prostokątnym układzie współrzędnych
ze stałymi prędkościami: ~v

1

= 2~ı [m/s] i ~v

2

= 3~ [m/s]. W chwili t = 0

cząstki te znajdują się odpowiednio w punktach: ~r

1

= −3~ı [m] oraz ~r

2

= −3~

[m]. Znaleźć wektor określający położenie cząstki pierwszej względem drugiej.
Wyznaczyć czas, w którym cząstki zbliżą się na najmniejszą odległość oraz
położenia cząstek w tej chwili.

II.8) Równania ruchu dwóch punktów wyglądają jak następuje:

~r

1

(t) = (0, 2, 0) + (3, 1, 2)t + (1, 1, 0)t

2

[m],

1

~r

2

(t) = (1, 0, 1) + (0, 2, 1)t [m].

Znaleźć prędkość i przyspieszenie punktu drugiego względem pierwszego.

II.9) Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością v

1

, prostopa-

dłą do kierunku prądu. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów,
ale wartość jej prędkości zależy od odległości od brzegów i dana jest wzorem
v

2

= v

0

sin (πy/L), gdzie v

0

i L są stałymi (L jest szerokością rzeki). Znaleźć:

a) wartość prędkości łódki względem nieruchomych brzegów, b) kształt toru
łódki.

II.10) Punkt materialny porusza się po okręgu o promieniu R = 1,2 m ru-
chem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem stycznym a

t

= 2 m/s

2

.

Po jakim czasie przyspieszenie normalne będzie k = 3 razy większe od przy-
spieszenia stycznego?

II.11) Wentylator obraca się, wykonując n = 3000 obr/min. Po wyłączeniu
prądu wentylator zatrzymuje się po czasie t = 3 min. Ile obrotów wykonają
śmigła wentylatora podczas hamowania?

II.12) Punkty leżące wzdłuż promienia obracającego się koła przebywają
drogę kątową, zależną od czasu zgodnie z równaniem: α = At−Bt

3

, gdzie A =

0,3 rad/s, B = 0,01 rad/s

3

. Znaleźć dla tych punktów zależność prędkości

kątowej i przyspieszenia kątowego od czasu. Wyznaczyć prędkość liniową oraz
całkowite przyspieszenie punktów leżących na obwodzie koła w chwili t = 5
s, jeżeli promień koła wynosi R = 0,5 m.

II.13) Wektor wodzący, określający położenie punktu materialnego, zmienia
się z czasem zgodnie z równaniem: ~r(t) = r

0

(~ı sin ωt + ~ cos ωt), gdzie r

0

= 5

cm, ω = π/2 s

−1

. Znaleźć wektor prędkości i wektor przyspieszenia, podać ich

bezwzględne wartości i obliczyć kąt, jaki tworzy wektor wodzący z wektorem
prędkości liniowej.

II.14) Koło o promieniu R toczy się bez poślizgu po poziomym podłożu
ze stałą prędkością v

0

. Znaleźć długości wektorów prędkości i przyspiesze-

nia dowolnego punktu na obwodzie koła. Podać równanie toru tego punktu,
przyjmując, że dla t = 0 jego współrzędne wynosiły x = 0, y = 0, natomiast
współrzędne środka koła były równe x = 0, y = R. Obliczyć całkowitą drogę
przebytą przez punkt leżący na obwodzie koła między kolejnymi zetknięciami
tego punktu z podłożem.

2

Odpowiedzi

II.1) a) v(0) = 0, b) v

max

= v(∞) = b/c, c) a

max

= a(0) = c.

II.2) v

ext

= ±

4
3

b

q

b

6a

.

II.3) x = x

0

+ v

0

t +

a

0

t

2

2

(dla t = 0 x = x

0

i v = v

0

).

II.4) a) v(t) = ax

0

e

at

, b) v

śr

=

as

ln(1+s/x

0

)

.

II.5) a) y(x) = −

γx

2

α

2

+

βx

α

, b) ~v(t) = α~ı + (β − 2γt)~, ~a(t) = −2γ~,

c) tg δ =

α

β−2γt

.

II.6) ~v(t) = 5~ı − exp(−t)~ + 4 cos(4t)~k, ~a(t) = exp(−t)~ − 16 sin(4t)~k,

II.7) ~r

12

(t) = (−3 + 2t)~ı + 3(1 − t)~ [m], t

0

= 1,154 [s], ~r

1

(t

0

) = −0,692~ı [m],

~r

2

(t

0

) = 0,462~ [m].

II.8) ~v(t) = −(3 + 2t)~ı + (1 − 2t)~ − ~k [m/s], ~a(t) = −2~ı − 2~ [m/s

2

].

II.9) a) v(y) =

q

v

2

1

+ v

2

0

sin

2

(πy/L), b) x(y) =

Lv

0

πv

1

[1 − cos (πy/L)].

II.10) t =

q

kR

a

t

≈ 1,34 s.

II.11) N =

1
2

nt = 4500 obr.

II.12) ω = A − 3Bt

2

, ε = −6Bt, v = (A − 3Bt

2

) R = −0,225 m/s,

a

t

= −6BtR = −0,15 m/s

2

.

II.13) ~v = ωr

0

(~ı cos ωt − ~ sin ωt), ~a = −ω

2

r

0

(~ı sin ωt + ~ cos ωt),

v = ωr

0

= 5π/2 cm/s, a = ω

2

r

0

= 5π

2

/4 cm/s

2

, α = π/2.

II.14) v = 2Rω| sin

ωt

2

|, a = Rω

2

, gdzie ω = v

0

/R,

x = R arc cos

R−y

R

−

q

y(2R − y), s = 8R.

3

Wzory

1. Kinematyka punktu materialnego
a) równania ruchu (rys. 1):

~r = ~r(t)

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

droga:

s = s(t)

b) równania toru:

y = y(x), z = z(x)

c) prędkość:

~v =

d~r

dt

v

x

=

dx

dt

, . . .

v =

ds

dt

[v] = m/s
d) przyspieszenie:

~a =

d~v

dt

=

d

2

~r

dt

2

a

x

=

dv

x

dt

=

d

2

x

dt

2

, . . .

[a] = m/s

2

e) przyspieszenie styczne i normalne (rys. 2):

a

t

=

dv

dt

=

d

2

s

dt

2

4

a

n

=

v

2

ρ

ρ — promień krzywizny toru
f) ruch jednostajny prostoliniowy:

~v = ~v

0

= const

~r = ~r

0

+ ~v

0

t

(dla t = 0 ~r = ~r

0

)

g) ruch jednostajnie zmienny:

~a = ~a

0

= const

~v = ~v

0

+ ~a

0

t

~r = ~r

0

+ ~v

0

t +

~a

0

t

2

2

(dla t = 0 ~r = ~r

0

i ~v = ~v

0

)

2. Kinematyka ruchu obrotowego ciała sztywnego
a) równanie ruchu (rys. 3):

ϕ = ϕ(t)

[ϕ] = rad
b) prędkość kątowa:

ω =

dϕ

dt

[ω] = rad/s
c) przyspieszenie kątowe:

ε =

dω

dt

=

d

2

ϕ

dt

2

[ε] = rad/s

2

d) związki między ~v, ~a

t

i ~a

n

oraz ~ω i ~ε (rys. 4a,b):

~v = ~ω × ~r

5

~a

t

= ~ε × ~r

~a

n

= −ω

2

~r

e) ruch obrotowy jednostajny:

ω = ω

0

= const

ϕ = ϕ

0

+ ω

0

t

(dla t = 0 ϕ = ϕ

0

)

ω

0

=

2π

T

= 2πν

T — okres, [T ] = s, ν — częstotliwość, [ν] = s

−1

f) ruch obrotowy jednostajnie zmienny:

ε = ε

0

= const

ω = ω

0

+ ε

0

t

ϕ = ϕ

0

+ ω

0

t +

ε

0

t

2

2

(dla t = 0 ϕ = ϕ

0

i ω = ω

0

)

O

z

y

x

A'

A

t = 0

t

s

r

Rysunek 1:

Rysunek 2:

6

Rysunek 3:

Rysunek 4:

7