Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Analiza szeregów czasowych

modele ekstrapolacyjne

dr Piotr Wójcik, mgr Paweł Sakowski

Uniwersytet Warszawski

Wydział Nauk Ekonomicznych

wykład #1

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

1/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Plan

1

Dekompozycja szeregu czasowego

2

Prognozowanie

3

Modele ekstrapolacyjne

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

2/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Formy danych statystycznych

dane przekrojowe (cross sectional data)
– wiele jednostek obserwowanych w jednej jednostce
czasu

szeregi czasowe (time series data)
– jedna jednostka obserwowana w wielu jednostkach
czasu

dane panelowe (panel data, time series cross sectional
data)
– wiele jednostek obserwowanych w wielu jednostkach
czasu

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

3/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Szereg czasowy a proces stochastyczny

W bardziej zaawansowanych metodach analizy szeregów
czasowych zakłada si ˛e, ˙ze pojedyncze obserwacje y

t

s ˛

a

realizacjami ci ˛

agu zmiennych losowych Y

t

.

Proces stochastyczny jest wtedy zdefiniowany jako ów
ci ˛

ag zmiennych losowych indeksowanych przez czas (t)

natomiast szereg czasowy jest pojedyncz ˛

a realizacj ˛

a

takiego procesu stochastycznego.

Na razie dla uproszczenia szereg czasowy b ˛edziemy
uto˙zsamia´c z procesem stochastycznym.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

4/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Definicja szeregu czasowego

Szereg czasowy jest uporz ˛

adkowanym chronologicznie

zbiorem warto´sci badanej cechy lub okre´slonego zjawiska
zaobserwowanych w ró˙znych momentach (przedziałach)
czasu.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

5/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Przykład szeregu czasowego

´zródło: biznes.onet.pl

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

6/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Szereg czasowy z wahaniami sezonowymi

´zródło: Eurostat, obliczenia własne

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

7/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Dekompozycja szeregu czasowego

W´sród składników szeregu czasowego mo˙zemy wyró˙zni´c:

trend (tendencj ˛e rozwojow ˛

a)

wahania sezonowe

wahania cykliczne (koniunkturalne)

wahania przypadkowe

Wyodr ˛ebnienie poszczególnych składników nie zawsze jest
łatwe z uwagi na rozmaite interakcje, które zachodz ˛

a pomi ˛edzy

nimi.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

8/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Składowe szeregu czasowego

´zródło: opracowanie własne

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

9/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Czemu słu˙zy dekompozycja szeregu?

Analiza szeregów nie skorygowanych sezonowo mogłaby
pokaza´c nieistniej ˛

ace w rzeczywisto´sci zale˙zno´sci wynikaj ˛

ace

jedynie z sezonowo´sci, np.:

wielko´s´c zu˙zycia energii elektrycznej

warto´s´c sprzeda˙zy detalicznej

Interesuj ˛

aca jest analiza samych waha ´n sezonowych w danych

i ich wpływu na obserwowane zjawiska.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

10/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

X-12-ARIMA Seasonal Adjustment

Adaptacja programu X-12-ARIMA Seasonal Adjustment
ameryka ´nskiego Biura Statystycznego (US Census
Bureau, http://www.census.gov)

Korygowanie danych kwartalnych lub miesi ˛ecznych ze
wzgl ˛edu na sezonowo´s´c

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

11/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

X-12-ARIMA Seasonal Adjustment

Punktem wyj´scia jest zało˙zenie, ˙ze szereg czasowy mo˙zna
zdekomponowa´c na elementy:

czynnik sezonowy S

t

– regularne fluktuacje sezonowe

cykl i trend C

t

– długookresowy trend, cykl biznesowy i

inne składniki cykliczne;

trading-day TD

t

– kształt kalendarza – korekta ze wzgl ˛edu

na ró˙zn ˛

a długo´s´c miesi ˛ecy, liczb ˛e dni roboczych itp.; nie

liczony dla danych kwartalnych

składnik losowy I

t

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

12/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

X-12-ARIMA Seasonal Adjustment

Posta´c addytywna – gdy amplituda waha ´n sezonowych i
losowych jest stała:

O

t

=

S

t

+

C

t

+

TD

t

+

I

t

−→ SA

t

=

C

t

+

I

t

Posta´c multiplikatywna – gdy amplituda waha ´n
sezonowych i losowych zmienia si ˛e wraz z trendem:

O

t

=

S

t

C

t

TD

t

I

t

−→ SA

t

=

C

t

I

t

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

13/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

X-12-ARIMA Seasonal Adjustment

Posta´c pseudoaddytywna – gdy szereg ma warto´sci bliskie
lub równe 0 (posta´c multi- niemo˙zliwa):

O

t

=

C

t

(

S

t

+

TD

t

+

I

t

− 1)

−→ SA

t

=

C

t

I

t

Posta´c log-addytywna – gdy amplituda waha ´n sezonowych
i losowych zmienia si ˛e wraz z trendem:

log(O

t

) =

S

t

+

C

t

+

TD

t

+

I

t

−→ SA

t

=

exp(C

t

+

I

t

)

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

14/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Przykład - analiza graficzna

´zródło: Eurostat, obliczenia własne

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

15/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Przykład - szereg oryginalny i skorygowany

´zródło: Eurostat, obliczenia własne

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

16/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Kilka słów o prognozowaniu

prognoza = próba przewidzenia rozwoju analizowanego
zjawiska w przyszło´sci (kierunek i/lub wielko´s´c zmiany)

prognozuje si ˛e, bo jest to u˙zyteczne!!!

czasem wystarczy przewidzie´c kierunek zmiany, ˙zeby du˙zo
zarobi´c, np. wzrost kursu akcji nast ˛epnego dnia – nie
istnieje model doskonały

z drugiej strony model przewiduj ˛

acy np., ˙ze indeks cen

(CPI) wzro´snie z miesi ˛

aca na miesi ˛

ac jest bezu˙zyteczny –

przez ostatnie 40 lat spadek cen zanotowano w 1%
przypadków

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

17/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Słynne nietrafione prognozy (1)

Wszystko co było do wynalezienia zostało ju˙z wynalezione.
– Dyrektor Ameryka ´nskiego Biura Patentowego, 1899.

Ceny akcji osi ˛

agn ˛eły jak si ˛e wydaje do´s´c wysoki, stabilny

poziom. – prof. Irving Fisher, Yale University, 16/10/1929.

My´sl ˛e, ˙ze na całym ´swiecie mo˙ze by´c zapotrzebowanie na
jakie´s 5 komputerów. – członek Zarz ˛

adu IBM, 1943.

Komputery w przyszło´sci mog ˛

a wa˙zy´c nie wi ˛ecej ni˙z 1,5

tony. – Popular Mechanics, prognoza nieustaj ˛

acego

post ˛epu nauki, 1949.

640 kB powinno wystarczy´c ka˙zdemu. – Bill Gates, 1981

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

18/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Słynne nietrafione prognozy (2)

Odwiert ropy? Masz na my´sli wiercenie w ziemi w
poszukiwaniu ropy? Jeste´s szalony! – wiertacze, których
Edwin L. Drake próbował namówi´c do poszukiwania ropy w
1859 roku.

Kto do diabła chce słysze´c mow ˛e aktorów? – H.M. Warner,
Warner Brothers, 1927.

Ale do czego... to si ˛e nadaje? – in˙zynier Advanced
Computing Systems, komórki IBM, 1968, komentuj ˛

ac

wynalazek mikroprocesora.
Przejechałem ten kraj wzdłu˙z i wszerz, rozmawiałem z
najlepszymi lud´zmi i gwarantuj ˛e, ˙ze przetwarzanie danych
jest chwilow ˛

a mod ˛

a, która nie potrwa dłu˙zej ni˙z do ko ´nca

roku. – redaktor ksi ˛

a˙zek biznesowych Prentice Hall, 1957

´zródło: http://www.rinkworks.com/said/

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

19/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Koncepcja trafno´sci prognozy

Nie ma prognoz doskonałych, ka˙zda jest obarczona
bł ˛edem

Mog ˛

a by´c one jednak u˙zyteczne je´sli zapewniaj ˛

a lepsze

odpowiedzi na zadane pytania ni˙z metody alternatywne,
czy proste zgadywanie

Testem trafno´sci prognozy nie jest wi ˛ec jej bezbł ˛edno´s´c,
ale porównanie jej dokładno´sci z prognozami
alternatywnymi

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

20/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Pułapki w trakcie prognozowania

Nawet je´sli wszystkie zało˙zenia modelu s ˛

a spełnione i

wszystkie procedury statystyczne poprawnie zastosowane
– pojawia si ˛e bł ˛

ad losowy prognozy

Oczekiwany bł ˛

ad prognozy da si ˛e policzy´c

W olbrzymiej wi ˛ekszo´sci przypadków rzeczywisty bł ˛

ad

prognozy jest wi ˛ekszy ni˙z spodziewany

Paradoks: model nie spełniaj ˛

acy zało˙ze ´n mo˙ze by´c

u˙zyteczny do prognozowania

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

21/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Jak oceni´c jako´s´c prognozy?

bł ˛

ad prognozy ex post – opisuje trafno´s´c prognozy

bł ˛

ad prognozy ex ante – opisuje dokładno´s´c prognozy

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

22/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

KMRL - przypomnienie

y = Xβ

β

β + ε

ε

ε

gdzie:
y — wektor obserwacji zmiennej obja´snianej (n × 1)
X — macierz obserwacji zmiennych obja´sniaj ˛

acych (n × k )

β

β

β

— wektor parametrów (k × 1)

ε

ε

ε

— wektor składników losowych (n × 1)

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

23/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

KMRL - zało˙zenia

1

E (εεε) = 0

2

E (εε

0

εε

0

εε

0

) = σ

2

I

3

E (

X

0

ε

ε

ε) =

X

0

E (εεε) = 0

4

r (

X) = k ≤ n

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

24/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

KMRL - przypomnienie

Współczynnik determinacji liniowej R

2

R

2

=

P

n
t=1

(ˆ

y

t

− ¯

y )

2

P

n
t=1

(

y

t

− ¯

y )

2

=

ESS

TSS

=

1 −

RSS

TSS

gdzie:
y

t

— warto´s´c zmiennej Y w momencie t

ˆ

y

t

— teoretyczna warto´s´c Y w momencie t

¯

y — ´srednia warto´s´c zmiennej Y

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

25/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

KMRL - przypomnienie

Skorygowany współczynnik determinacji e

R

2

e

R

2

=

1 −

n − 1
n − k

(

1 − R

2

)

gdzie:
R

2

— współczynnik determinacji

n — liczba obserwacji
k — liczba regresorów

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

26/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

KMRL - przypomnienie

Odchylenie standardowe składnika resztowego:

s =

"

1

n − k

n

X

t=1

(

y

t

− ˆ

y

t

)

2

#

0,5

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

27/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

KMRL - przypomnienie

Wektor ocen parametrów:

b = (X

0

X)

−1

X

0

y

gdzie:
X — macierz obserwacji zmiennych obja´sniaj ˛

acych (n × k )

y — wektor obserwacji zmiennej obja´snianej (n × 1)
b — wektor ocen parametrów (k × 1)

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

28/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

KMRL - przypomnienie

Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów:

D

2

(

b) = s

2

(

X

0

X)

−1

gdzie:
s — odchylenie standardowe składnika resztowego
X — macierz obserwacji zmiennych obja´sniaj ˛

acych (n × k )

b — wektor ocen parametrów (k × 1)

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

29/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Bł ˛

ad prognozy ex post

Z okresu, dla którego mamy dane wydzieli´c okres próby
(okres in-sample)

Na tej wydzielonej próbie oszacowa´c model

Wykona´c prognoz ˛e na okres out-of-sample

Policzy´c bł ˛

ad prognozy w okresie out-of-sample;

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

30/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Miary bł ˛edów ex post

MAE - Mean Absolute Error, ´sredni bezwzgl ˛edny bł ˛

ad

prognozy

1

T − T

s

=

T

X

t=T

s

+

1

|y

t

− y

∗

t,s

|

MSE - Mean Square Error, ´sredni kwadratowy bł ˛

ad

prognozy

1

T − T

s

=

T

X

t=T

s

+

1

(

y

t

− y

∗

t,s

)

2

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

31/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Miary bł ˛edów ex post (2)

MAPE - Mean Absolute Percentage Error, ´sredni wzgl ˛edny
bł ˛

ad prognozy

100%

T − T

s

·

T

X

t=T

s

+

1






y

t

− y

∗

t,s

y

t






AMAPE - Adjusted MAPE, skorygowany ´sredni wzgl ˛edny
bł ˛

ad prognozy

100%

T − T

s

·

T

X

t=T

s

+

1






y

t

− y

∗

t,s

y

t

+

y

∗

t,s






P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

32/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Bł ˛

ad prognozy ex ante

Wariancja prognozy to miara rozproszenia mo˙zliwych prognoz
wokół mo˙zliwych realizacji zmiennej prognozowanej w czasie
t > T :

V

2

t

=

E (Y

t

− Y

∗

t

)

2

,

t > T

gdzie:
Y

t

— zmienna losowa "mo˙zliwe realizacje zmiennej

prognozowanej Y w czasie t > T "
Y

∗

t

— zmienna losowa "mo˙zliwe prognozy zmiennej

prognozowanej Y na czas t > T "

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

33/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Bł ˛

ad prognozy ex ante

Podstawiaj ˛

ac za Y

t

wielko´sci z modelu "poprawnego", a za Y

∗

t

prognoz ˛e z naszego oszacowanego modelu otrzymujemy:

V

2

t

=

E

"

m

X

i=0

β

i

x

∗

it

+ ε

t

!

−

m

X

i=0

β

i

x

∗

it

#

2

,

t > T

za´s korzystacj ˛

ac z zało˙ze ´n KMRL i podstawiaj ˛

ac w miejsce

wariancji składnika losowego σ

2

jej oszacowanie s

2

otrzymujemy

oszacowanie wariancji prognozy.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

34/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Bł ˛

ad prognozy ex ante

oszacowanie wariancji prognozy:

ν

2

t

=

m

X

i=0

x

∗2

it

D

2

(β

i

) +

2

m−1

X

i=0

X

j>i

x

∗

it

x

∗

jt

cov(β

i

, β

j

) +

s

2

gdzie:
x

∗

it

— prognoza i-tej zmiennej oja´sniaj ˛

acej na czas t > T

(

i = j = 0, 1, . . . , m)

D

2

(β

i

)

— ocena wariancji parametrów β

i

cov(β

i

, β

j

)

— ocena kowariancji parametrów β

i

oraz β

j

s

2

— wariancja reszt

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

35/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Bł ˛

ad prognozy ex ante

Bezwgl ˛edny bł ˛

ad prognozy ex ante w czasie t > T :

ν

t

=

q

ν

2

t

,

t > T

Wzgl ˛edny bł ˛

ad prognozy ex ante w czasie t > T :

η

t

=

ν

t

y

∗

t

· 100%,

t > T

Bł ˛edy ex ante słu˙z ˛

a okre´sleniu

dokładno ´sci prognozy. Bł ˛

ad

bezwgl ˛edny porównuje ró˙zne prognozy dla jednej zmiennej. Dla
porównania prognoz ró˙znych zmiennych stosujemy bł ˛

ad wzgl ˛edny.

Oba bł ˛edy obliczane s ˛

a dla pojedynczego momentu lub okresu t > T .

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

36/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Metody ekstrapolacyjne w prognozowaniu

1

Metody naiwne

2

Metoda ´sredniej ruchomej

prostej
wa˙zonej

3

Wygładzanie wykładnicze

Prosty model wygładzania wykładniczego
Model liniowy Holta
Model Wintersa

mulitplikatywny
addytywny

4

Filtr Hodricka-Prescotta

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

37/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Metody naiwne

oparte na przesłankach braku zmian w zachowaniu
czynników oddziałuj ˛

acych na zmienn ˛

a prognozowan ˛

a

umo˙zliwiaj ˛

a prognozowanie na jeden okres naprzód:

t = T

s

+

1

stosowane w przypadku niedu˙zych waha ´n przypadkowych
zmiennej zale˙znej

łatwe w zrozumieniu, szybkie i tanie w zastosowaniu

na ogół niska jako´s´c prognoz

brak mo˙zliwo´sci okre´slenia bł ˛edów ex ante

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

38/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Metody naiwne

Najprostsza prognoza naiwna:

y

∗

t

=

y

t−1

gdzie:
y

∗

t

– prognoza zmiennej Y wyznaczona na moment t

y

t−1

– warto´s´c zmiennej prognozowanej w momencie (t − 1)

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

39/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Metody ´sredniej ruchomej

Modele ´sredniej ruchomej (moving average) wykorzystywane
s ˛

a do:

wyrównania (wygładzania) szeregu czasowego

– zast ˛

apienie pierwotnych warto´sci zmiennej zale˙znej

´srednimi arytmetycznymi

prognozowania szeregu czasowego

– warto´s´c prognozy jest równa ´sredniej arytmetycznej z k
ostatnich warto´sci tej zmiennej

Stosowane s ˛

a w przypadku wyst ˛epowania jedynie małych

waha ´n przypadkowych zmiennej zale˙znej!

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

40/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Prosta ´srednia ruchoma

y

∗

t

=

1
k

t−1

X

i=t−k

y

i

gdzie:
y

∗

t

– prognoza zmiennej Y wyznaczona na moment t

y

i

– warto´s´c zmiennej prognozowanej w momencie t

k – stała wygładzania

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

41/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Jak wyznaczy´c stał ˛

a k ?

Mo˙zna wykorzysta´c bł ˛edy prognozy ex post, np.:

MSE =

1

T

s

− k

T

s

X

t=k +1

(

y

t

− y

∗

t

)

2

wybieramy t ˛e warto´s´c k , dla którego MSE jest najmniejsze

dla k = 1 model sprowadza si ˛e do metody naiwnej

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

42/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Wa˙zona ´srednia ruchoma

Mniejsze znaczenie starszym obserwacjom nadaj ˛

a wagi:

y

∗

t

=

t−1

X

i=t−k

y

i

w

i−t+k +1

gdzie:
y

∗

t

– prognozna zmiennej Y na moment t

y

i

– warto´s´c zmiennej Y na moment i

w

i−t+k +1

– waga zmiennej Y w momencie i

k – stała wygładzania

0 < w

1

<

w

2

< · · · <

w

k

≤ 1,

k

X

i=1

w

i

=

1

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

43/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Prosty model wygładzania wykładniczego

Model jest stosowany w przypadku wyst ˛epowania waha ´n
przypadkowych oraz stałego poziomu zmiennej
prognozowanej:

y

∗

t

=

F

t−1

= α

y

t−1

+ (

1 − α)y

∗

t−1

lub inaczej:

y

∗

t

=

F

t−1

=

y

∗

t−1

+ α(

y

t−1

− y

∗

t−1

)

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

44/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Prosty model wygładzania wykładniczego

y

∗

t

= α

y

t−1

+ (

1 − α)[αy

t−2

+ (

1 − α)y

∗

t−2

] =

= α

y

t−1

+ α(

1 − α)y

t−2

+ (

1 − α)

2

y

∗

t−2

Podstawiaj ˛

ac rekurencyjnie otrzymujemy:

y

∗

t

= α

y

t−1

+ α(

1 − α)y

t−2

+ α(

1 − α)

2

y

t−3

+ (

1 − α)

3

y

∗

t−3

oraz:

y

∗

t

= α

y

t−1

+ α(

1 − α)y

t−2

+ α(

1 − α)

2

y

t−3

+ α(

1 − α)

3

y

t−4

+α(

1 − α)

4

y

t−5

+ · · · + (

1 − α)

t−1

y

∗

1

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

45/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Prosty model wygładzania wykładniczego

α

– parametr wygładzania, jest wyznaczany

eksperymentalnie, aby minimalizował ´sredni bł ˛

ad prognozy

(do´swiadczenie pokazuje, ˙ze mi ˛edzy 0, 05 a 0, 3 -– ni˙zsza
warto´s´c dla wolniej zmieniaj ˛

acego si ˛e trendu)

dla α = 1 mamy metod ˛e naiwn ˛

a

za y

∗

1

najcz ˛e´sciej podstawia si ˛e y

1

lub ´sredni ˛

a

arytmetyczn ˛

a kilku pierwszych obserwacji

Je´sli w szeregu wyst ˛epuje trend liniowy, stosowane jest
podwójne wygładzanie wykładnicze, je´sli trend kwadratowy –
potrójne wygładzanie wykładnicze.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

46/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Model liniowy Holta

Gdy oprócz waha ´n przypadkowych mamy równie˙z trend:

F

t

= α

y

t

+ (

1 − α)(F

t−1

+

C

t−1

)

C

t

= β(

F

t

− F

t−1

) + (

1 − β)C

t−1

y

?

t+k

=

F

t

+

kC

t

gdzie:
F

t

– wygładzona warto´s´c zmiennej prognozowanej na okres t;

C

t

– wygładzona warto´s´c przyrostu trendu na okres t;

α

, β – parametry modelu o warto´sciach z przedziału [0, 1]

wyznaczane eksperymentalnie, aby uzyska´c minimalny ´sredni
bł ˛

ad prognozy;

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

47/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Model liniowy Holta

Równanie prognozy na okres t > T :

y

∗

t

=

F

T

+ (

t − T )C

T

gdzie:
y

∗

t

– prognoza zmiennej Y wyznaczona na moment t

F

T

– wygładzona warto´s´c zmiennej prognozowanej na okres T ;

C

T

– wygładzona warto´s´c przyrostu trendu na okres T ;

T – liczba obserwacji zmiennej prognozowanej

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

48/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Model liniowy Holta

Podobnie jak w przypadku prostego wygładzania
wykładniczego równania modelu mo˙zemy przekształci´c do
postaci:

F

t−1

=

F

t−2

+

C

t−2

+ α

q

t−1

=

y

∗

t−1

+ α

q

t−1

S

t−1

=

C

t−2

+ αβ

q

t−1

gdzie:

q

t−1

=

y

t−1

− y

∗

t−1

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

49/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Addytywny model Wintersa

Stosowany gdy jednocze´snie wyst ˛epuje trend, wahania
sezonowe i wahania przypadkowe:

F

t−1

= α(

y

t−1

− S

t−1−r

) + (

1 − α)(F

t−2

+

C

t−2

)

C

t−1

= β(

F

t−1

− F

t−2

) + (

1 − β)C

t−2

S

t−1

= γ(

y

t−1

− F

t−1

) + (

1 − γ)S

t−1−r

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

50/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Addytywny model Wintersa

gdzie:

F

t

— wygładzona warto´s´c zmiennej prognozowanej na

okres t

C

t

— ocena przyrostu trendu na okres t

S

t

— ocena wska´znika sezonowo´sci na okres t

r — długo´s´c cyklu sezonowego

α, β, γ

— parametry modelu o warto´sciach z przedziału

[

0, 1] wyznaczane eksperymentalnie tak aby uzyska´c

minimalny ´sredni bł ˛

ad prognozy;

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

51/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Multiplikatywny model Wintersa

F

t−1

= α

y

t−1

S

t−1−r

+ (

1 − α)(F

t−2

+

C

t−2

)

C

t−1

= β(

F

t−1

− F

t−2

) + (

1 − β)C

t−2

S

t−1

= γ

y

t−1

F

t−1

+ (

1 − γ)S

t−1−r

gdzie oznaczenia takie jak postaci addytywnej.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

52/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Filtr Hodricka-Prescotta

Przy zało˙zeniu, ˙ze oryginalny szereg składa si ˛e z trendu i
waha ´n cyklicznych:

x

t

=

g

t

+

c

t

filtr HP minimalizuje wyra˙zenie:

T

X

t=1

(

x

t

− g

t

)

2

+ λ

T −1

X

t=2

"

(

g

t+1

− g

t

) − (

g

t

− g

t−1

)

#

2

−→ min

gdzie:

λ ≥

0 — tzw. penalty parameter

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

53/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Filtr Hodricka-Prescotta (2)

dla λ = 0 mamy g

t

=

x

t

dla λ → ∞ g

t

jest trendem liniowym

Stosowane warto´sci λ:

100

dane roczne

1600

dane kwartalne

14400

dane miesi ˛eczne

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

54/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Filtr Hodricka-Prescotta (3)

Warto´sci g

t

znajdowane s ˛

a za pomoc ˛

a MNK:

(

X − G)

0

(

X − G) + λG

0

K

0

KG −→ min

G∈R

T

gdzie:
X = (x

1

,

x

2

, . . . ,

x

T

)

0

,

G = (g

1

,

g

2

, . . . ,

g

T

)

0

oraz:

K =














−2

1

0

0 . . .

0

0

0

1

−2

1

0 . . .

0

0

0

0

1

−2 1 . . .

0

0

0

..

.

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

..

.

..

.

0

0

0

0 . . . −2

1

0

0

0

0

0 . . .

1

−2

1

0

0

0

0 . . .

0

1

−2














P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

55/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Filtr Hodricka-Prescotta (4)

Rozwi ˛

azanie problemu minimalizacji:

G = (I

T

+ λ

K

0

K)

−1

X

gdzie

I

T

to macierz jednostkowa o wymiarze (T × T ).

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

56/57

Dekompozycja szeregu czasowego

Prognozowanie

Modele ekstrapolacyjne

Dzi ˛ekujemy za uwag ˛e!

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #1

57/57