Document Outline

Co przed kointegracj ˛

Nasze dotychczasowe wnioski:

Dane z trendem s ˛

a problemem:

regresje pozorne,
nieinterpretowalne statystyki t,
dziwnie wysokie R

Dane makroekonomiczne zwykle zawieraj ˛

a trend.

Rozwi ˛

azaniem mo˙ze by´c ró˙znicowanie, ale to powoduje

utrat ˛e wielu informacji (w tym o zale˙zno´sciach
długookresowych).

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

3/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Zale˙zno´s´c długookresowa

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

4/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Zale˙zno´s´c długookresowa – cd.

oba szeregi s ˛

a niestacjonarne,

jednocze´snie wyra´zna jest zale˙zno´s´c długookresowa -
szeregi dryfuj ˛

a razem,

po zró˙znicowaniu zale˙zno´s´c ta mo˙ze nie by´c uchwycona!

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

5/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Poj ˛ecie kointegracji

Kointegracja to długookresowy zwi ˛

azek mi ˛edzy dwiema

niestacjonarnymi zmiennymi (lub wi ˛eksz ˛

a ich liczb ˛

a), które

s ˛

a zintegrowanego tego samego stopnia.

Odchylenia od tego długookresowego powi ˛

azania s ˛

stacjonarne.

Mówimy wtedy, ˙ze zmienne s ˛

a skointegrowane.

W rezultacie mo˙zliwe jest otrzymanie modelu, który ł ˛

aczy

w sobie własno´sci zarówno krótko- i długookresowe,
jednocze´snie uwzgl ˛edniaj ˛

acego wył ˛

acznie zmienne

stacjonarne.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

6/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Definicja kointegracji (Engle&Granger)

Mówimy, ˙ze szeregi czasowe x

i y

s ˛

a skointegrowane w

stopniu d , b, gdzie d ≥ b > 0, co zapisujemy:

∼ CI(d , b)

je˙zeli:

oba szeregi s ˛

a zintegrowane w stopniu d ;

istnieje kombinacja liniowa tych zmiennych, np. a

która jest zintegrowana w stopniu d − b.

Wektor [a

]

nazywamy wektorem kointegruj ˛

acym.

Kointegracja mo˙ze równie˙z dotyczy´c wi ˛ekszej liczby
zmiennych.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

7/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Testowanie kointegracji

Dla szeregów jednowymiarowych zazwyczaj stosowana jest
metoda Engle’a-Grangera:

Testujemy stopie ´n zintegrowania poszczególnych
zmiennych.

Estymujemy wektor kointegruj ˛

acy przy pomocy regresji

MNK jednej zmiennej na drug ˛

a (je´sli go nie znamy a priori).

Testujemy stacjonarno´s´c relacji długookresowej – de facto
reszt z modelu z punktu 2.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

8/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Przykłady kointegracji

Przykłady potencjalnych relacji kointegruj ˛

acych dla danych

finansowych:

ceny transakcyjne aktywów/dóbr i opiewaj ˛

acych na nie

kontraktów terminowych

relacja cen wzgl ˛ednych mi ˛edzy krajami i kursu walutowego
(PPP)

relacja mi ˛edzy ró˙znymi indeksami cen (PPI vs. CPI)

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

9/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Przykład – rynek spot a rynek futures

Długookresowa zale˙zno´s´c mi ˛edzy rynkiem spot i futures

Analizujemy kontrakty futures na indeks giełdowy. Indeks
mo˙zna traktowa´c jako papier warto´sciowy, z którego
płacona jest dywidenda. Na walor ten składa si ˛e portfel
akcji b ˛ed ˛

acy podstaw ˛

a do obliczania indeksu, a

otrzymywana z niego dywidenda to dywidenda, jak ˛

otrzymałby posiadacz takiego portfela. Aby przybli˙zenie
było wła´sciwe, nale˙zy dodatkowo zało˙zy´c, ˙ze dywidenda z
akcji b ˛ed ˛

acych podstaw ˛

a kontraktu jest wypłacana w

sposób ci ˛

agły.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

10/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Przykład – rynek spot a rynek futures – cd.

Je´sli termin wykupu kontraktu oznaczymy jako T , stop ˛e
procentow ˛

a woln ˛

a od ryzyka jako r , stop ˛e dywidendy jako

d , warto´s´c indeksu jako S, to sprawiedliw ˛

a cen ˛e F

kontraktu futures w momencie t obliczymy jako:

∗

(

r −d )(T −t)

co po zlogarytmowaniu da w rezultacie:

∗

− s

= (

r − d )(T − t)

Warunkiem koniecznym braku mo˙zliwo´sci arbitra˙zu jest
wi ˛ec kointegracja mi ˛edzy logarytmem ceny futures i spot z
wektorem kointegruj ˛

acym [1, −1].

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

11/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Przykład – Parytet siły nabywczej (PPP)

Hipoteza o parytecie siły nabywczej mówi, ˙ze w
równowadze kurs walutowy mi ˛edzy dwoma krajami jest
równy stosunkowi ich wzgl ˛ednego poziomu cen.

Implikuje to, ˙ze realny kurs walutowy Q

jest stacjonarny:

∗

gdzie E to nominalny kurs walutowy (ilo´s´c waluty krajowej za
jednostk˛e waluty obcej), P to krajowy poziom cen, a P

∗

poziom cen zagranicznych.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

12/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Przykład – Parytet siły nabywczej (PPP) – cd.

logarytmuj ˛

ac i przegrupowuj ˛

ac otrzymujemy wyra˙zenie:

− p

∗

Warunkiem koniecznym wyst ˛epowania PPP jest zatem
kointegracja mi ˛edzy zmiennymi po lewej stronie
powy˙zszego równania z wektorem kointegruj ˛

acym

[

1, −1, 1].

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

13/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Kointegracja trzech zmiennych

= β

1,t

+ β

2,t

Mo˙ze si ˛e zdarzy´c, ˙ze zmienne y

, x

1,t

, x

2,t

b ˛ed ˛

a miały

ró˙zne stopnie integracji, a składnik losowy b ˛edzie
stacjonarny!
Kointegracja nie musi zatem dotyczy´c wszystkich
zmiennych z takiego modelu.
Poza tym w przypadku kointegracji wi ˛ecej ni˙z dwóch
zmiennych mo˙ze wyst ˛epowa´c kilka ró˙znych wektorów
kointegruj ˛

acych, czego regresja MNK nie jest w stanie

wychwyci´c.
Jest to mo˙zliwe z wykorzystaniem modeli
wielorównaniowych (VAR) o czym w dalszej cz ˛e´sci.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

14/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Koncepcja ECM

Kointegracja zmiennych skointegrowanych zapewnia, ˙ze
istnieje pewien mechanizm, proces dostosowania, który
zapobiega nadmiernemu zwi ˛ekszaniu si ˛e składników
losowych w relacji długookresowej (czyli odbieganiu
zmiennych od długookresowej ´scie˙zki współzale˙zno´sci).

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

15/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

ECM – Error Corection Mechanism

Wykorzystuj ˛

ac wyst ˛epowanie kointegracji mi ˛edzy

zmiennymi niestacjonarnymi, mo˙zna stworzy´c nast ˛epuj ˛

acy

model:

∆

= α

∆

+ α

(

t−1

− ˆ

t−1

) + ε

Wykorzystujemy tu zarówno pierwsze ró˙znice, jak i
opó´znione warto´sci skointegrowanych zmiennych.

Element: (y

t−1

− ˆ

t−1

)

nazywany jest składnikiem

korekty bł ˛edem.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

16/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

ECM – Error Corection Mechanism – cd.

Je˙zeli zmienne x

i y

s ˛

a skointegrowane z wektorem

kointegruj ˛

acym [1, −β

, −β

]

, to składnik ten b ˛edzie

procesem I(0) i powy˙zsze równanie mo˙ze by´c
estymowane MNK, bo wszystkie zmienne s ˛

a stacjonarne.

W równaniu mo˙ze by´c równie˙z stała, je´sli wskazuje na to
teoria.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

17/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

ECM – interpretacja parametrów

∆

= α

∆

+ α

(

t−1

− ˆ

t−1

) + ε

opisuje krótkookresow ˛

a zale˙zno´s´c mi ˛edzy zmianami x

zmianami y

opisuje szybko´s´c powrotu do równowagi

długookresowej (mierzy jaka cz ˛e´s´c ró˙znicy w stosunku do
równowagi długookresowej z momentu t − 1 jest
korygowana w momencie t. Parametr ten powinien by´c
ujemny.

, β

opisuj ˛

a długookresow ˛

a zale˙zno´s´c mi ˛edzy y

i x

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

18/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Twierdzenie Grangera

Twierdzenie Grangera o reprezentacji

Ka˙zde zmienne

skointegrowane maj ˛

a swoj ˛

reprezentacj ˛e w postaci mechanizmu korekty bł ˛edem.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

19/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Estymacja ECM

Metoda dwustopniowa Engle-Grangera:

Sprawdzi´c stopie ´n zintegrowania zmiennych.

je´sli obie s ˛

a I(d ) sprawdzi´c wyst ˛epowanie kointegracji,

oszacowa´c wektor kointegruj ˛

acy i zapisa´c reszty z regresji

MNK testuj ˛

acej kointegracj ˛e.

Wykorzysta´c reszty z punktu 1. jako zmienn ˛

a w równaniu

ECM:

t−1

− ˆ

t−1

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

20/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Przyczynowo´s´c

Przyczynowo´s´c jest raczej kwesti ˛

a filozoficzn ˛

a a nie

empiryczn ˛

W ekonomii empirycznej istnieje jednak wr ˛ecz konieczno´s´c
zdefiniowania takiego poj ˛ecia.

Chcemy wiedzie´c np., czy to wzrost cen powoduje wzrost
płac, czy te˙z wr ˛ecz przeciwnie.

Potrzeba wi ˛ec takiej roboczej definicji przyczynowo´sci,
która umo˙zliwi jej testowanie empiryczne.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

21/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Cechy przyczynowo´sci

„Natychmiastowa przyczynowo´s´c” nie istnieje – zawsze
mija pewien czas mi ˛edzy zale˙znymi działaniami.

Nie istnieje równie˙z (z podobnych powodów) wzajemny
jednoczesny wpływ przyczynowo-skutkowy.

Przyszło´s´c nie mo˙ze by´c przyczyn ˛

a przeszło´sci.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

22/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Przyczynowo´s´c – teoria a praktyka

W praktyce jest konieczne mówienie o „natychmiastowej” i
„wzajemnej” przyczynowo´sci.

Nie jeste´smy w stanie prowadzi´c ci ˛

agłych obserwacji –

mo˙zemy jedynie analizowa´c dane odpowiadaj ˛

ace pewnym

okresom lub okre´slonym momentom w czasie.

Stwierdzenie, ˙ze

„x wpływa na y i jednocze´snie y wpływa na x ”

jest uproszczeniem – z powodu nieci ˛

agło´sci obserwacji

cz ˛esto nie jeste´smy w stanie zdefiniowa´c przyczyny i
skutku.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

23/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

W ekonomii powszechnie przyj ˛et ˛

a robocz ˛

a definicj ˛

przyczynowo´sci jest poj ˛ecie przyczynowo´sci w sensie
Grangera.

Definicja:

Zmienna x jest przyczyn ˛

a w sensie Grangera zmiennej y ,

je´sli bie˙z ˛

ace warto´sci y mo˙zna prognozowa´c z wi ˛eksz ˛

dokładno´sci ˛

a przy u˙zyciu przeszłych warto´sci x , ni˙z bez

ich wykorzystania (ceteris paribus).

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

24/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Test przyczynowo´sci w sensie Grangera I

Chcemy zbada´c, czy zmienna x jest przyczyn ˛

a w sensie

Grangera zmiennej y . W tym celu:

Wybieramy sensowne z teoretycznego punktu widzenia
opó´znienie p.

Estymujemy model w postaci:

= α

i=1

t−i

i=1

t−i

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

25/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Test przyczynowo´sci w sensie Grangera II

Testujemy hipotez ˛e o ł ˛

acznej nieistotno´sci wszystkich

opó´znie ´n zmiennej obja´sniaj ˛

acej, czyli hipotez ˛e, ˙ze

zmienna x

nie jest przyczyn ˛

a w sensie Grangera

zmiennej y :

: β

= β

= · · · = β

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

26/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Natychmiastowa przyczynowo´s´c

Definicja mo˙ze by´c rozszerzona na przypadek
natychmiastowej przyczynowo´sci.

Wyst ˛epuje ona, gdy bie˙z ˛

ace warto´sci y mo˙zna

prognozowa´c z wi ˛eksz ˛

a dokładno´sci ˛

a przy u˙zyciu

przeszłych i bie˙z ˛

acych warto´sci x , ni˙z bez ich

wykorzystania (ceteris paribus).

= α

i=1

t−i

i=0

t−i

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

27/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

VAR – Vector Autoregressive Models

Przykład VARa dla g = 2 zmiennych z opó´znieniem k = 1:

1,t

+ β

1,t−1

+ β

2,t−1

1,t

2,t

+ β

1,t−1

+ β

2,t−1

2,t

1,t

2,t

1,t−1

2,t−1

1,t

2,t

co te˙z mo˙zna zapisa´c jako:

t−1

(

g × 1)

(

g × 1)

(

g × g)(g × 1)

(

g × 1)

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

28/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

VAR – Vector Autoregressive Models

dla przypadku k = 2:

= β

+ β

t−1

+ β

t−2

ogólnie dla przypadku k > 1:

= β

+ β

t−1

+ β

t−2

+ · · · + β

t−k

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

29/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Zalety VAR

Brak potrzeby okre´slania, które zmienne s ˛

a egzo- a które

endogeniczne – poniewa˙z wszystkie traktowane s ˛

a jako

zmienne endogeniczne.

Bardziej bogata struktura w porównaniu z
jednowymiarowymi modelami AR – mo˙zna wydoby´c wi ˛ecej
informacji z danych.

Mo˙zliwo´s´c zastosowania MNK do estymacji równa ´n w
modelu VAR – poniewa˙z warto´sci wszystkich zmiennych
po prawej stronie s ˛

a znane w momencie t.

Lepsze prognozy w porównaniu z tradycyjnymi modelami
strukturalnymi!

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

30/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Wady VAR

VARy s ˛

a a-teoretyczne. Wykorzystuj ˛

a teori ˛e ekonomii w

małym stopniu. Opieraj ˛

a raczej na zasadzie: let the data

decide.

Z tego powodu cz ˛esto wyst ˛epuj ˛

a kłopoty z interpretacj ˛

parametrów.

Problem wyboru opó´znienia k .

Do oszacowania mamy (g + kg

)

parametrów. W praktyce

liczba ta cz ˛esto jest bardzo du˙za.
Czy wszystkie zmienne w VARze powinny by´c
stacjonarne?

tak -– je´sli chcemy testowa´c hipotezy dotycz ˛

ace istotno´sci

poszczególnych parametrów,
nie -– je´sli chcemy zbada´c zale˙zno´sci mi ˛edzy zmiennymi.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

31/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Jak wybra´c rz ˛

ad modelu VAR?

Za pomoc ˛

kryterium MAIC (Multivariate Akaike Information Criterion)
– im mniejsza warto´s´c MAIC tym rz ˛

ad opó´znienia

odpowiedni

testów ł ˛

acznej istotno´sci parametrów przy dodatkowych

opó´znieniach: np. VAR(6) vs. VAR(3) – za pomoc ˛

a testu F

sprawdzamy ł ˛

aczn ˛

a istotno´s´c wszystkich parametrów przy

opó´znieniach: 4. 5. i 6.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

32/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

MAIC

Wykorzystuje si ˛e 3 wersje tego kryterium:

MAIC

ln | ˆ

Σ| +

MAIC

ln | ˆ

Σ| +

ln T

MAIC

ln | ˆ

Σ| +

ln(ln T )

gdzie: m = g + kg

to ł ˛

aczna liczba parametrów do

oszacowania, | ˆ

Σ|

jest wyznacznikiem macierzy wariancji-

kowariancji reszt, a T liczb ˛

a obserwacji.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

33/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Impulse Response Functions

Funkcje reakcji na impuls pokazuj ˛

a bie˙z ˛

ace i opó´znione

efekty zmian u

1,t

oraz u

2,t

w warto´sciach y

1,t

i y

2,t

Przykład: mamy dwuwymiarowy model VAR(1):

t−1

gdzie:

0,5 0,3
0,0 0,2

co mo˙zemy zapisa´c tak˙ze jako:

1,t

2,t

0,5 0,3
0,0 0,2

1,t−1

2,t−1

1,t

2,t

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

34/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Impulse Response Functions – cd.

Rozpatrujemy efekty w momentach t = 0, 1, . . .
jednostkowego szoku w zmiennej y

1,t

, który wyst ˛epuje w

momencie t = 0:

1,0

2,0

1
0

0,5 0,3
0,0 0,2

1
0

0,5

0,5 0,3
0,0 0,2

0,5

0,25

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

35/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Impulse Response Functions – cd.

Mo˙zemy tak˙ze analizowa´c efekty szoku jednostkowego w
zmiennej y

2,t

1,0

2,0

0
1

0,5 0,3
0,0 0,2

0
1

0,3
0,2

0,5 0,3
0,0 0,2

0,3
0,2

0,21
0,04

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

36/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

VECM – Vector Error Correction Model

Załó˙zmy, ˙ze mamy g > 1 zmiennych w modelu, z których
ka˙zda jest ∼ I(1):

= β

t−1

+ β

t−2

+ · · · + β

t−k

Reprezentacj ˛e VECM (Vector Error Correction Model)
mo˙zemy przedstawi´c jako:

∆

t−1

+ Γ

∆

t−1

+ Γ

∆

t−2

+ · · · +

+Γ

k −1

∆

t−(k −1)

gdzie: Π = −(I − β

− β

− · · · − β

)

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

37/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Test kointegracji Johansena

Statystyka Johansena:

trace

(

r ) = −T

i=r +1

ln(1 − ˆ

)

lub jej inna wersja:

max

(

r , r + 1) = −T ln(1 − ˆ

r +1

)

gdzie r jest rz ˛edem macierzy Π i oznacza liczb ˛e wektorów
kointegruj ˛

acych, ˆ

to warto´sci własne macierzy Π a T jest

liczb ˛

a wykorzystanych obserwacji.

Warto´sci krytyczne tych statystyk s ˛

a stablicowane.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

38/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Test Johansena - hipotezy

Dla statystyki λ

trace

(

r ):

r = 0

vs.

0 < r ≤ g

r = 1

vs.

1 < r ≤ g

r = 2

vs.

2 < r ≤ g

. . .

r = g − 1

vs.

r = g

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

39/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Test Johansena - hipotezy

Dla statystyki λ

max

(

r , r + 1):

r = 0

vs.

r = 1

vs.

r = 2

vs.

r = 3

. . .

r = g − 1

vs.

r = g

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

40/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Wektory kointegruj ˛

ace

Macierz Π przedstawia si ˛e jako:

Π = αβ

gdzie:
α

– macierz parametrów dopasowania

– macierz wektorów kointegruj ˛

acych

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

41/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja

Model korekty bł ˛edem, ECM

Przyczynowo´s´c w sensie Grangera

Modele VAR i VECM

Wady testu Johansena

oszacowania s ˛

a wra˙zliwe na niespełnienie zało˙zenia

o normalno´sci reszt,

je´sli w rzeczywisto´sci zmienne nie s ˛

a I(1) to istnieje

mo˙zliwo´s´c otrzymania kointegracji pozornej,

metoda jest tak˙ze wra˙zliwa na bł ˛edn ˛

a specyfikacj ˛e liczby

opó´znie ´n k modelu VAR,

du˙za wariancja estymatorów – du˙ze prawdopodobie ´nstwo
uzyskania warto´sci nietypowych.

P. Wójcik, P. Sakowski

ASC #7

42/43

Zale˙zno´sci długookresowe

Kointegracja