1

3. SREDNIE

SREDNIA ARYTMETYCZNA, Z ROZKLADY LICZEBNOSCI, FRAKCJI, DLA DANYCH POGRUPOWANYCH

METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA

ZJAZD I

10.10.2009

1 .

S R E D N I A A R Y T M E T Y C Z N A –

𝑋

Średnią arytmetyczną liczymy tylko dla zmiennych ilorazowych i interwałowych. Aby liczyć tę
średnią obiekty liczone na tej samej skali muszą być w tych samych jednostkach (np. cm do cm, metr
do metr).

Wadą średniej arytmetycznej jest to, że jest ona bardzo podatna na skrajne wyniki, dlatego lepiej
jest liczyć medianę dla danych liczbowych.

Symbol średniej arytmetycznej:



w próbie: 𝑋 ,



w populacji:



lub M (lub napisać „średnia”).

𝑿

=

𝒙

𝟏

+ 𝒙

𝒊

+ … 𝒙

𝒏

𝑵

𝒍𝒖𝒃 𝑿

=

∑

𝟏

𝒏

∗ 𝒙

𝟏

𝑵

x

1

– pierwsza obserwacja

x

i

– i-ta obserwacja

x

n

– ostatnia obserwacja

N – liczba wszystkich przypadków

n – wszystkie



- sigma, czyli suma wszystkich elementów zaczynając od pierwszego i kończąc na ostatnim

np.

1 (I), 1 (II), 1 (III), 1 (IV), 100 (V) a więc jest 5 przypadków.

𝑋 =

1 + 1 + 1 + 1 + 100

5

=

104

5

= 20,8

np.

Mamy 3 drużyny pracowników – oddział A, oddział B i oddział C. Mamy również podane zarobki pracowni-
ków:

oddział A: 1 os. – 1 zł, 2 os. – 2 zł, 3 os. – 3 zł

oddział B: 1 os. – 4 zł, 2 os. – 5 zł, 3 os. – 6 zł, 4 os. – 7 zł, 5 os. – 8 zł

oddział C: 1 os. – 16 zł, 2 os. – 10 zł, 3 os. – 10 zł, 4 os. – 12 zł, 5 os. – 12 zł, 6 os. – 12 zł

𝑋

𝐴

=

1 + 2 + 3

3

= 2

2

3. SREDNIE

SREDNIA ARYTMETYCZNA, Z ROZKLADY LICZEBNOSCI, FRAKCJI, DLA DANYCH POGRUPOWANYCH

METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA

ZJAZD I

10.10.2009

𝑋

𝐵

=

4 + 5 + 6 + 7 + 8

5

= 6

𝑋

𝐶

=

16 + 10 + 10 + 12 + 12 + 12

6

= 12

𝑋 =

𝑋

𝐴

+ 𝑋

𝐵

+ 𝑋

𝐶

𝑁 𝑐𝑧𝑦𝑙𝑖 𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏𝑎 𝑜𝑠ó𝑏

=

2 + 6 + 12

14

= 1,42

Możemy zastosować wzór na średnią ważoną:

𝑿

𝑾

=

∑

𝟏

𝒌

∗ (𝒏

𝟏

∗ 𝒙

𝟐

)

𝑵

=

𝒏

𝑨

∗ 𝒙

𝑨

+ 𝒏

𝑩

∗ 𝒙

𝑩

+ 𝒏

𝑪

∗ 𝒙

𝑪

𝑵

k – liczymy dla grup, czyli kategorie, podgrupy

n – liczba osób w podgrupie

X

2

– średnia osób w podgrupie

N – ilość osób

np.

𝑋

𝑊

=

3 ∗ 2 + 5 ∗ 6 + (6 ∗ 12)

14

=

108

14

= 7,71

2.

S R E D N I A Z R O Z K L A D U L I C Z E B N O S C I –

𝑋

𝑿

=

∑

𝒊=𝟏

𝒌

(𝒇

𝒊

∗ 𝒙

𝒊

)

𝑵

𝑿

=

𝒇

𝟏

∗ 𝒙

𝟏

+ 𝒇

𝟐

∗ 𝒙

𝟐

+ ⋯

𝑵

3

3. SREDNIE

SREDNIA ARYTMETYCZNA, Z ROZKLADY LICZEBNOSCI, FRAKCJI, DLA DANYCH POGRUPOWANYCH

METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA

ZJAZD I

10.10.2009

np. tabelka z informacją, jaka jest wartość cechy i ile osób ma tę cechę:

X

1

– PIWO/TYDZIEŃ

f – CZĘSTOŚĆ (ILE OSÓB)

fi

* x

i

18

1

18

17

2

34

16

2

32

15

3

45

14

2

28

13

5

65

12

3

36

11

2

22

20

280

𝑋

𝑊

=

280

20

= 14

3.

S R E D N I A Z P R O P O R C J I ( F R A K C J I ) –

𝑋

𝑿

=

∑

𝒊=𝟏

𝒌

∗ (𝒑

𝒊

∗ 𝒙

𝟏

)

𝟏

p – proporcja

np.

61% badanych przeczytało 0 książek. 29% przeczytało 1 książkę. 6% przeczytało 2 książki. 4% przeczytało 3
książki.

61% = 0 = 0,61 to jest proporcja

29% = 1 = 0,29

6% = 2 = 0,06

4% = 3 = 0,04

0,61 + 0,29 + 0,06 + 0,04 = 1 to wyliczenie tylko dla sprawdzenia, czy wyniki są dobre

4

3. SREDNIE

SREDNIA ARYTMETYCZNA, Z ROZKLADY LICZEBNOSCI, FRAKCJI, DLA DANYCH POGRUPOWANYCH

METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA

ZJAZD I

10.10.2009

𝑋 =

0,61 ∗ 0 + 0,29 ∗ 1 + 0,06 ∗ 2 + (0,04 ∗ 3)

1

= 0,53

4.

S R E D N I A D L A D A N Y C H P O G R U P O W A N Y C H –

𝑋

𝑿

=

∑

𝒊=𝟏

(𝒇

𝒊

∗ 𝒎

𝟏

)

𝑵

𝒎

𝟏

=

𝒘𝒂𝒓𝒕𝒐ść 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒘. 𝟏 + 𝒘𝒂𝒓𝒕𝒐ść 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒘. 𝟐

𝟐

Środek przedziału klasowego obliczamy biorąc pierwszą i ostatnią granicę w przedziale i dzieląc
przez 2.

np.

GRANICA PRZEDZIAŁU

m

1

– ŚRODEK PRZEDZIA-

ŁU KLASOWEGO

f

1

– CZĘSTOŚĆ W PRZE-

DZIALE

m

i

* f

i

2000 – 2900

2450

17

41650

3000 – 3900

3450

26

89700

4000 – 4900

4450

38

169100

5000 – 5900

5450

51

277950

6000 - 6900

6450

36

232200

7000 - 7900

7450

21

156450

189

967050

𝑋 =

967050

189

= 5117