1

Łuk gładki

Definicja

• Łukiem gładkim w przestrzeni

R

3 nazywamy zbiór

L =







( x, y, z ) ∈ R

3

: x = x(t), y = y(t), z = z(t); α

6 t 6 β







,

gdzie:

– różnym wartościom parametru

t ∈ (α, β)

odpowiadają różne

punkty łuku

L

,

– funkcje

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

są klasy

C

1

([α, β])

,

– dla każdego

t ∈ [α, β]

x

0

(t)

!

2

+

y

0

(t)

!

2

+

z

0

(t)

!

2

> 0

.

2

• Łuk nazywamy kawałkami gładkim, jeżeli można go podzielić na

skończona liczbę łuków gładkich, tj.

L = L

1

∪ L

2

∪ . . . ∪ L

n

.

3

• Równanie

~

r = ~

r(t)

, gdzie

t ∈ [α, β]

nazywamy równaniem

wektorowym łuku

L

, przy czym jeżeli:

L ⊂ R

3

to

~

r(t) = [ x(t) , y(t) , z(t) ]

L ⊂ R

2

to

~

r(t) = [ x(t) , y(t) ]

• Jeżeli

~

r(α) = ~

r(β)

, to łuk

L

jest em łukiem zamkniętym

(krzywą zamkniętą).

4

Całka krzywoliniowa niezorientowana

Definicja

Całkę krzywoliniową z funkcji

f = f (P )

ciągłej na

łuku gładkim

L : ~

r = ~

r(t), t ∈ [α, β]

, oznaczamy symbolem

Z

L

f (P ) dl

lub

Z

L

f (x, y, z) dl








Z

L

f (x, y) dl








i określamy wzorem:

Z

L

f (P ) dl

def

=

β

Z

α

f (~

r(t)) · | ~

r

0

(t) | dt.

5

Przypadki szczególne:

• Jeżeli łuk gładki

L

jest opisany równaniem wektorowym

~

r(t) = [ x(t) , y(t) , z(t) ] , t ∈ [α, β]

, to

Z

L

f (x, y, z) dl =

=

β

Z

α

f ( x(t) , y(t) , z(t) ) ·

v
u
u
t

( x

0

(t) )

2

+ ( y

0

(t) )

2

+ ( z

0

(t) )

2

dt.

• Jeżeli łuk gładki

L

jest opisany równaniem wektorowym

~

r(t) = [ x(t) , y(t) ] , t ∈ [α, β]

, to

Z

L

f (x, y) dl =

=

β

Z

α

f ( x(t) , y(t) ) ·

v
u
u
t

( x

0

(t) )

2

+ ( y

0

(t) )

2

dt.

6

• Jeżeli łuk gładki

L

jest wykresem funkcji klasy

C

1

([a, b ])

danej

wzorem

y = y(x), x ∈ [a, b]

, to

Z

L

f (x, y) dl =

b

Z

a

f ( x , y(x) ) ·

v
u
u
t

1 + ( y

0

(x) )

2

dx.

Przykład

Oblicz

Z

L

z

2

x

2

+ y

2

dl ,

gdzie

L

jest krzywą zadaną parametrycznie równaniami

x = a cos t, y = a sin t, z = at

dla

a > 0

i

0

6 t 6 2π

.

Przykład

Oblicz

Z

L

y

2

√

1 + x dl ,

gdzie

L

jest łukiem

y =

2
3

x

√

x

dla

0

6 x 6 3

.

7

Własności całki krzywoliniowej niezorientowanej

Założmy, że istnieją całki

Z

L

f (P ) dl

i

Z

L

g(P ) dl

• Wówczas:

Z

L

( f (P ) + g(P ) ) dl

=

Z

L

f (P ) dl +

Z

L

g(P ) dl

• Dla dowolnej stałej

c ∈ R

Z

L

c · f (P ) dl

=

c ·

Z

L

f (P ) dl

8

• Jeżeli łuk

L

jest kawałkami gładki i

L = L

1

∪ L

2

∪ . . . ∪L

n ,

to

Z

L

f (P ) dl

=

Z

L

1

f (P ) dl +

Z

L

2

f (P ) dl + . . . +

Z

L

n

f (P ) dl.

Przykład

Oblicz

Z

L

xy dl ,

gdzie

L

jest obwodem kwadratu

|x| + |y| = a

dla

a > 0

.

Przykład

Oblicz

Z

L

(x + y) dl ,

gdzie

L

jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach

(0, 0), (0, 1), (1, 0)

.

9

• Jeżeli funkcja

f

jest ciągła na łuku gładkim

L

i

M = max

P ∈L

| f (P ) |

, to











Z

L

f (P ) dl











6

Z

L

| f (P ) | dl 6 M ·

Z

L

dl,

przy czym całka

Z

L

dl

def

=

| L |

jest długością łuku

L

.

Przykład

Oblicz długość łuku krzywej:

x = t

,

y =

√

4 − t

2 dla

0

6 t 6 2

.

10

Zastosowania całki krzywoliniowej w mechanice

Niech

% = %(x, y)

będzie daną ciągłą gęstością liniową masy łuku

gładkiego

L ⊂ R

2 .

• Masa łuku

L

:

M

def

=

Z

L

%(x, y) dl

• Momenty statyczne łuku

L

względem osi układu:

M

X

def

=

Z

L

y %(x, y) dl,

M

Y

def

=

Z

L

x %(x, y) dl,

11

• Współrzędne środka ciężkości:

x

c

def

=

M

Y

M

=

1

M

Z

L

x %(x, y) dl,

y

c

def

=

M

X

M

=

1

M

Z

L

y %(x, y) dl,

• Momenty bezwładności łuku

L

względem osi układu:

I

X

def

=

Z

L

%(x, y, z) y

2

dl,

I

Y

def

=

Z

L

%(x, y, z) x

2

dl,

• Moment bezwładności łuku

L

względem początku układu:

I

O

def

=

Z

L

%(x, y, z) ( x

2

+ y

2

) dl,

12

Niech

% = %(x, y, z)

będzie daną ciągłą gęstością liniową masy

łuku gładkiego

L ⊂ R

3 .

• Masa łuku

L

:

M

def

=

Z

L

%(x, y, z) dl

• Momenty statyczne łuku

L

względem płaszczyzn układu:

M

XY

def

=

Z

L

z %(x, y, z) dl,

M

XZ

def

=

Z

L

y %(x, y, z) dl,

M

Y Z

def

=

Z

L

x %(x, y, z) dl,

13

• Współrzędne środka ciężkości:

x

c

def

=

M

Y Z

M

=

1

M

Z

L

x %(x, y, z) dl,

y

c

def

=

M

XZ

M

=

1

M

Z

L

y %(x, y, z) dl,

z

c

def

=

M

XY

M

=

1

M

Z

L

z %(x, y, z) dl,

• Momenty bezwładności łuku

L

względem osi układu:

I

X

def

=

Z

L

%(x, y, z) ( y

2

+ z

2

) dl,

I

Y

def

=

Z

L

%(x, y, z) ( x

2

+ z

2

) dl,

I

Z

def

=

Z

L

%(x, y, z) ( x

2

+ y

2

) dl,

14

• Moment bezwładności łuku

L

względem początku układu:

I

O

def

=

Z

L

%(x, y, z) ( x

2

+ y

2

+ z

2

) dl,

Przykład

Oblicz masę odcinka o końcach

A(1, 2, 3)

i

B(0, 2, 2)

,

jeżeli gęstość liniowa masy w punkcie

(x, y, z)

tego odcinka jest

równa

xyz

.

Przykład

Oblicz masę asteroidy

x = cos

3

t

,

y = sin

3

t

, której

gęstość w każdym punkcie jest równa kwadratowi jego odległościod

środka obszaru ograniczonego przez asteroidę.

Przykład

Oblicz moment bezwładności względem osi

OZ

łuku

L

o gęstości liniowej

%(x, y, z) = z

, jeżeli łuk jest opisany równaniem

x = t cos t,

y = t sin t,

z = t

dla

0

6 t 6 4π

.

15

Krzywa zadana równaniem we współrzędnych biegunowych

L :

r = r(ϕ),

ϕ

1

6 ϕ 6 ϕ

2

16

Przykład

Sprowadzić całkę krzywoliniową

Z

L

f (x, y) dl

do całki oznaczonej, jeżeli łuk gładki

L

jest dany we współrzędnych

biegunowych.

Z

L

f (x, y) dl =

ϕ

2

Z

ϕ

1

f ( r(ϕ) cos ϕ , r(ϕ) sin ϕ )

s

r(ϕ) + r

0

(ϕ) dϕ

Przykład

Oblicz

masę

kardioidy

danej

równaniem

r = a( 1 + cos ϕ )

dla

0

6 ϕ 6 2π

, jeżeli gęstość masy tej krzywej

wynosi

%(x, y) =

v
u
u
t

2

s

x

2

+ y

2 .

17

Pole płata powierzchniowego

| Σ | =

Z

L

f (x, y) dl

L ⊂ R

2

f (x, y) > 0

18

Przykład

Oblicz pole powierzchni bocznej walca

x

2

+ y

2

= 1

,

ograniczonej powierzchniami

z = 0,

z = 2 + xy

.