1
Łuk gładki
Definicja
• Łukiem gładkim w przestrzeni
R
3 nazywamy zbiór
L =
( x, y, z ) ∈ R
3
: x = x(t), y = y(t), z = z(t); α
6 t 6 β
,
gdzie:
– różnym wartościom parametru
t ∈ (α, β)
odpowiadają różne
punkty łuku
L
,
– funkcje
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
są klasy
C
1
([α, β])
,
– dla każdego
t ∈ [α, β]
x
0
(t)
!
2
+
y
0
(t)
!
2
+
z
0
(t)
!
2
> 0
.
2
• Łuk nazywamy kawałkami gładkim, jeżeli można go podzielić na
skończona liczbę łuków gładkich, tj.
L = L
1
∪ L
2
∪ . . . ∪ L
n
.
3
• Równanie
~
r = ~
r(t)
, gdzie
t ∈ [α, β]
nazywamy równaniem
wektorowym łuku
L
, przy czym jeżeli:
L ⊂ R
3
to
~
r(t) = [ x(t) , y(t) , z(t) ]
L ⊂ R
2
to
~
r(t) = [ x(t) , y(t) ]
• Jeżeli
~
r(α) = ~
r(β)
, to łuk
L
jest em łukiem zamkniętym
(krzywą zamkniętą).
4
Całka krzywoliniowa niezorientowana
Definicja
Całkę krzywoliniową z funkcji
f = f (P )
ciągłej na
łuku gładkim
L : ~
r = ~
r(t), t ∈ [α, β]
, oznaczamy symbolem
Z
L
f (P ) dl
lub
Z
L
f (x, y, z) dl
Z
L
f (x, y) dl
i określamy wzorem:
Z
L
f (P ) dl
def
=
β
Z
α
f (~
r(t)) · | ~
r
0
(t) | dt.
5
Przypadki szczególne:
• Jeżeli łuk gładki
L
jest opisany równaniem wektorowym
~
r(t) = [ x(t) , y(t) , z(t) ] , t ∈ [α, β]
, to
Z
L
f (x, y, z) dl =
=
β
Z
α
f ( x(t) , y(t) , z(t) ) ·
v
u
u
t
( x
0
(t) )
2
+ ( y
0
(t) )
2
+ ( z
0
(t) )
2
dt.
• Jeżeli łuk gładki
L
jest opisany równaniem wektorowym
~
r(t) = [ x(t) , y(t) ] , t ∈ [α, β]
, to
Z
L
f (x, y) dl =
=
β
Z
α
f ( x(t) , y(t) ) ·
v
u
u
t
( x
0
(t) )
2
+ ( y
0
(t) )
2
dt.
6
• Jeżeli łuk gładki
L
jest wykresem funkcji klasy
C
1
([a, b ])
danej
wzorem
y = y(x), x ∈ [a, b]
, to
Z
L
f (x, y) dl =
b
Z
a
f ( x , y(x) ) ·
v
u
u
t
1 + ( y
0
(x) )
2
dx.
Przykład
Oblicz
Z
L
z
2
x
2
+ y
2
dl ,
gdzie
L
jest krzywą zadaną parametrycznie równaniami
x = a cos t, y = a sin t, z = at
dla
a > 0
i
0
6 t 6 2π
.
Przykład
Oblicz
Z
L
y
2
√
1 + x dl ,
gdzie
L
jest łukiem
y =
2
3
x
√
x
dla
0
6 x 6 3
.
7
Własności całki krzywoliniowej niezorientowanej
Założmy, że istnieją całki
Z
L
f (P ) dl
i
Z
L
g(P ) dl
• Wówczas:
Z
L
( f (P ) + g(P ) ) dl
=
Z
L
f (P ) dl +
Z
L
g(P ) dl
• Dla dowolnej stałej
c ∈ R
Z
L
c · f (P ) dl
=
c ·
Z
L
f (P ) dl
8
• Jeżeli łuk
L
jest kawałkami gładki i
L = L
1
∪ L
2
∪ . . . ∪L
n ,
to
Z
L
f (P ) dl
=
Z
L
1
f (P ) dl +
Z
L
2
f (P ) dl + . . . +
Z
L
n
f (P ) dl.
Przykład
Oblicz
Z
L
xy dl ,
gdzie
L
jest obwodem kwadratu
|x| + |y| = a
dla
a > 0
.
Przykład
Oblicz
Z
L
(x + y) dl ,
gdzie
L
jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach
(0, 0), (0, 1), (1, 0)
.
9
• Jeżeli funkcja
f
jest ciągła na łuku gładkim
L
i
M = max
P ∈L
| f (P ) |
, to
Z
L
f (P ) dl
6
Z
L
| f (P ) | dl 6 M ·
Z
L
dl,
przy czym całka
Z
L
dl
def
=
| L |
jest długością łuku
L
.
Przykład
Oblicz długość łuku krzywej:
x = t
,
y =
√
4 − t
2 dla
0
6 t 6 2
.
10
Zastosowania całki krzywoliniowej w mechanice
Niech
% = %(x, y)
będzie daną ciągłą gęstością liniową masy łuku
gładkiego
L ⊂ R
2 .
• Masa łuku
L
:
M
def
=
Z
L
%(x, y) dl
• Momenty statyczne łuku
L
względem osi układu:
M
X
def
=
Z
L
y %(x, y) dl,
M
Y
def
=
Z
L
x %(x, y) dl,
11
• Współrzędne środka ciężkości:
x
c
def
=
M
Y
M
=
1
M
Z
L
x %(x, y) dl,
y
c
def
=
M
X
M
=
1
M
Z
L
y %(x, y) dl,
• Momenty bezwładności łuku
L
względem osi układu:
I
X
def
=
Z
L
%(x, y, z) y
2
dl,
I
Y
def
=
Z
L
%(x, y, z) x
2
dl,
• Moment bezwładności łuku
L
względem początku układu:
I
O
def
=
Z
L
%(x, y, z) ( x
2
+ y
2
) dl,
12
Niech
% = %(x, y, z)
będzie daną ciągłą gęstością liniową masy
łuku gładkiego
L ⊂ R
3 .
• Masa łuku
L
:
M
def
=
Z
L
%(x, y, z) dl
• Momenty statyczne łuku
L
względem płaszczyzn układu:
M
XY
def
=
Z
L
z %(x, y, z) dl,
M
XZ
def
=
Z
L
y %(x, y, z) dl,
M
Y Z
def
=
Z
L
x %(x, y, z) dl,
13
• Współrzędne środka ciężkości:
x
c
def
=
M
Y Z
M
=
1
M
Z
L
x %(x, y, z) dl,
y
c
def
=
M
XZ
M
=
1
M
Z
L
y %(x, y, z) dl,
z
c
def
=
M
XY
M
=
1
M
Z
L
z %(x, y, z) dl,
• Momenty bezwładności łuku
L
względem osi układu:
I
X
def
=
Z
L
%(x, y, z) ( y
2
+ z
2
) dl,
I
Y
def
=
Z
L
%(x, y, z) ( x
2
+ z
2
) dl,
I
Z
def
=
Z
L
%(x, y, z) ( x
2
+ y
2
) dl,
14
• Moment bezwładności łuku
L
względem początku układu:
I
O
def
=
Z
L
%(x, y, z) ( x
2
+ y
2
+ z
2
) dl,
Przykład
Oblicz masę odcinka o końcach
A(1, 2, 3)
i
B(0, 2, 2)
,
jeżeli gęstość liniowa masy w punkcie
(x, y, z)
tego odcinka jest
równa
xyz
.
Przykład
Oblicz masę asteroidy
x = cos
3
t
,
y = sin
3
t
, której
gęstość w każdym punkcie jest równa kwadratowi jego odległościod
środka obszaru ograniczonego przez asteroidę.
Przykład
Oblicz moment bezwładności względem osi
OZ
łuku
L
o gęstości liniowej
%(x, y, z) = z
, jeżeli łuk jest opisany równaniem
x = t cos t,
y = t sin t,
z = t
dla
0
6 t 6 4π
.
15
Krzywa zadana równaniem we współrzędnych biegunowych
L :
r = r(ϕ),
ϕ
1
6 ϕ 6 ϕ
2
16
Przykład
Sprowadzić całkę krzywoliniową
Z
L
f (x, y) dl
do całki oznaczonej, jeżeli łuk gładki
L
jest dany we współrzędnych
biegunowych.
Z
L
f (x, y) dl =
ϕ
2
Z
ϕ
1
f ( r(ϕ) cos ϕ , r(ϕ) sin ϕ )
s
r(ϕ) + r
0
(ϕ) dϕ
Przykład
Oblicz
masę
kardioidy
danej
równaniem
r = a( 1 + cos ϕ )
dla
0
6 ϕ 6 2π
, jeżeli gęstość masy tej krzywej
wynosi
%(x, y) =
v
u
u
t
2
s
x
2
+ y
2 .
17
Pole płata powierzchniowego
| Σ | =
Z
L
f (x, y) dl
L ⊂ R
2
f (x, y) > 0
18
Przykład
Oblicz pole powierzchni bocznej walca
x
2
+ y
2
= 1
,
ograniczonej powierzchniami
z = 0,
z = 2 + xy
.