Wydziaª Matematyki Stosowanej

Zestaw zada« nr 6

Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

WEiP, energetyka, I rok

El»bieta Adamus

6 marca 2014r.

Caªka nieoznaczona

1 Podstawowe metody caªkowania

Zadanie 1. Oblicz caªki:

a) R x(x − 1)(x − 2)dx

b) R

20x

10

+5

x

6

dx

c) R

(x

2

+1)

2

x

3

dx

d) R

x

3

√

x+

4

√

x

x

2

dx

e) R

4

√

3

x

dx

f) R ctg

2

xdx

g) R

e

3x

−1

e

x

−1

dx

h) R

x

4

1+x

2

dx

i) R

e

x

−4·3

x

+a

x

−b

x

3

x

dx

j) R

dx

cos 2x+sin

2

x

k) R

x sin 2x+

3

√

x cos x

x cos x

dx

l) R

10

3

3

√

x

+

2

3

√

x

2

dx

Zadanie 2. Oblicz R f(x)dx, je±li:

a) f(x) =

 x

2

; |x| ≤ 1

1 ; |x| ≥ 1

b) f(x) =







2x ; x ≤ 0

0 ; 0 ≤ x ≤ 1

2x − 2 ; x ≥ 1

c) f(x) = |x|

d) f(x) = e

−|x|

e) f(x) = sin |x| f) f(x) = ||x| − 1|

g) f(x) = | sin x| h) f(x) = |2

x

− 2|

Zadanie 3. Dobieraj¡c odpowiednie podstawienie oblicz caªki:

a) R

1
2

sin 4xdx

b) R 3 cos

x

5

dx

c) R (8x − 5)

5

dx

d) R

dx

x+5

e) R

dx

2x−3

f) R

√

3x + 4dx

g) R

4x

3x

2

+5

dx

h) R

xdx

√

(1−x

2

)

3

i) R x

√

x − 3dx

j) R

xdx

(x

2

+3)

6

k) R

6x

2

5

√

x

3

+3

dx

l) R xe

−x

2

dx

m) R 6

1−x

dx

n) R e

−

x
4

dx

o) R x

2

e

−x

3

dx

p) R e

sin x

cos xdx

q) R 10x

4

e

x

5

+1

dx

r) R

e

√

x

√

x

dx

s) R

e

1

x

x

2

dx

t) R

e

1

x2

x

3

dx

u) R

dx

e

x

+e

−x

v) R

4

√

10 − 2xdx

w) R

2e

3x

2+5e

3x

dx

x) R

ln x

x

dx

y) R

ln

5

x

x

dx

z) R

dx

x ln x

ab) R

dx

x ln x ln (ln x)

bc) R

√

5 ln x+7

x

dx

cd) R

e

−4x

4+e

−4x

dx

de) R

x

3

dx

√

1−x

8

ef) R sin

5

x cos xdx

fg) R

tgx

cos

2

x

dx

gh) R tgxdx hi) R

3

√

tgx+3

cos

2

x

dx

ij) R

1+

√

ctgx

sin

2

x

dx

jk) R

cos

√

x

√

x

dx

kl) R

cos (ln x)

x

dx

lm) R cos

3

xdx

mn) R x sin (x

2

)dx

no) R

2 cos x

√

1−sin

2

x

dx

op) R

x

3

dx

cos

2

(x

4

)

pq) R

x

x+1

dx

qr) R

dx

5+

√

x

rs) R

x

3

dx

(x+1)

10

st) R

dx

x

2

+16

tu) R

dx

6+x

2

uv) R

dx

√

5−x

2

vw) R

5x

2

√

1−x

6

dx

wx) R

cos x

1+4 sin

2

x

dx

xy) R

dx

√

a

2

−x

2

yz) R

2x

2

−3x+1

x+1

dx

α

) R

dx

√

x(1+

3

√

x)

β

) R

√

arctgx

1+x

2

dx

γ

) R tg

1
x

·

dx
x

2

δ

) R

tgx

1+tg

4

x

·

dx

cos

2

x



) R

sin x cos x

√

a

2

sin

2

x+b

2

cos

2

x

dx

ζ

) R

6x−arcsin

2

x

√

1−x

2

dx

η

) R

x−

√

arccos x

√

1−x

2

dx

θ

) R

dx

x

√

3−4 ln

2

x

ι

) R

ctgx

ln (sin x)

dx

1

Zadanie 4. Korzystaj¡c ze wzoru na caªkowanie przez cz¦±ci oblicz caªki:

a) R x sin xdx

b) R x

2

cos xdx

c) R xe

x

dx

d) R x

3

e

x

dx

e) R e

x

cos xdx

f) R sin

2

xdx

g) R x

2

sin 5xdx

h) R ln xdx i) R x

10

ln xdx

j) R ln

2

xdx

k) R

√

x ln xdx

l) R x ln

2

xdx

m) R (x

2

+ 3) sin 3xdx

n) R (2x + 3) ln xdx

o) R

x

cos

2

x

dx

p) R x · 3

x

dx

q) R x

2

ln

2

xdx

r) R x ln 3xdx

s) R arctgxdx

t) R arccos xdx

u) R x

2

arctgxdx

v) R

ln x

x

2

dx

w) R cos (ln x)dx

x) R

√

1 − x

2

dx

y) R e

arcsin x

dx

z) R arccos p

x

x+1

dx

ab) R

x arcsin x

√

1−x

2

dx

bc) R

x ln (x+

√

1+x

2

)

√

1+x

2

dx

cd) R arccos

2

xdx

de) R x sin x cos xdx

ef) R

x−1

x

e

x

dx

Zadanie 5. Oblicz caªki:

a) R

tgx

cos

2

x

e

tgx

dx

b) R sin x cos xe

cos x

dx

c) R x

7

cos (x

4

)dx

d) R x ln (9 + x

2

)dx

e) R sin

2 x

3

dx

f) R

arcsin x

(1−x

2

)

√

1−x

2

dx

2 Caªkowanie funkcji wymiernych

Zadanie 6. Oblicz nast¦puj¡ce caªki funkcji wymiernych:

a) R

dx

(3x+6)

6

dx

b) R

2x−1
2x+1

dx

c) R

x+2

3x+4

dx

d) R

5x

2+3x

dx

e) R

6x−3
2x+1

dx

f) R

dx

x

2

−4x−5

g) R

dx

4x−5x

2

h) R

dx

2x

2

+9x−5

i) R

dx

x

2

−6x+9

j) R

dx

2x

2

−2x+

1
2

k) R

dx

x

2

−6x+13

l) R

dx

2x

2

−2x+5

m) R

2x−3

x

2

−3x+3

dx

n) R

2x

2x

2

+1

dx

o) R

2x−6

1
2

x

2

−3x

dx

p) R

dx

x

2

+5

q) R

dx

2x

2

+9

r) R

11x−1

3x

2

−5x−2

dx

s) R

x+13

x

2

−4x−5

dx

t) R

9x−5

9x

2

−6x+1

dx

u) R

2x−1

x

2

−6x+9

dx

v) R

x+1

2x

2

+6x+5

dx

w) R

5x+2

x

2

+2x+10

dx

Zadanie 7. Oblicz nast¦puj¡ce caªki funkcji wymiernych:

a) R

3x

3

−5x

2

+8x

(x

2

−2x+1)(x

2

−1)

dx

b) R

3x

2

+2x−3

x

3

−x

dx

c) R

x+2

x

3

−2x

2

dx

d) R

2x

2

+x+4

x

3

+x

2

+4x+4

dx

e) R

dx

x

3

+8

f) R

2x

(x

2

+1)(x

3

+1)

dx

g) R

dx

x

2

(x

2

+1)

2

h) R

x

2

−5x+9

x

2

+5x+6

dx

i) R

xdx

(x

2

+2)

3

j) R

x

4

x

2

+1

dx

k) R

x

4

−3x

2

−3x−2

x

3

−x

2

−2x

dx

l) R

(x+1)

3

x

2

−x

dx

m) R

dx

x

4

+1

n) R

dx

(x

2

−4x+13)

2

o) R

dx

x

4

+x

2

+1

p) R

x

x

3

+1

dx

g) R

x(x−3)

x−4

dx

3 Caªkowanie wyra»e« z niewymierno±ciami

Zadanie 8. Oblicz nast¦puj¡ce caªki:

2

a) R

dx

√

x+

3

√

x

dx

b) R

3

√

x

x+

6

√

x

5

dx

c) R

x+

√

2x−3

x−1

dx

d) R

2x+1

√

4x+1

dx

e) R

√

x+1+2

(x+1)

2

−

√

x+1

dx

f) R

dx

3

√

2−3x

g) R

dx

3

√

(x−1)(x+1)

2

h) R

q

1−x
1+x

dx

i*) R

3

√

1+

4

√

x

√

x

dx

j*) R

dx

4

√

1+x

4

Zadanie 9. Oblicz nast¦puj¡ce caªki:

a) R

dx

√

x

2

+k

b) R

dx

√

x

2

−6x+15

c) R

dx

√

x

2

+3x+2

d) R

dx

√

4x

2

+3x−1

e) R

dx

√

a

2

−x

2

f) R

dx

√

7−6x−x

2

g) R

dx

√

2x−x

2

h) R

dx

√

4−2x−x

2

i) R

x+1

√

−x

2

+2x+8

dx

j) R

xdx

√

−3x

2

−2x+1

k) R

x+3

√

1−4x

2

dx

l) R

3x+2

√

x

2

−5x+19

dx

m) R

dx

(x+1)

√

x

2

−1

n) R

dx

(x

2

+1)

√

x

2

−1

Zadanie 10. Stosuj¡c metod¦ wspóªczynników nieoznaczonych oblicz nast¦puj¡ce caªki:

a) R

6−x

2

√

4x−x

2

dx

b) R

6x

3

−22x

2

+21x−7

√

x

2

−4x+3

dx

c) R (3x − 2)

√

x

2

− 2xdx

d) R

√

1 − 4x

2

dx

e) R

x+3

√

1−4x

2

dx

f) R

√

x

2

− 2x + 5dx

Zadanie 11. Stosuj¡c podstawienie x−α =

1

t

oblicz nast¦puj¡ce caªki typu

R

dx

(x−α)

n

√

ax

2

+ bx + cdx

:

a) R

dx

(x−1)

3

√

x

2

−2x−1

b) R

dx

(x−2)

4

√

x

2

−3

Zadanie 12. Oblicz nast¦puj¡ce caªki:

a) R

√

a

2

− x

2

dx

b) R

x

2

√

a

2

−x

2

dx

c) R

√

x

2

− 3x + 2dx

d) R

e

x

√

e

2x

+4e

x

+1

dx

e) R

x

2

√

x

2

+9

dx

f) R x

2

√

9 − x

2

dx

4 Caªkowanie wyra»e« z funkcjami trygonometrycznymi

Zadanie 13. Stosuj¡c podstawienie uniwersalne t = tg

x

2

oblicz:

a) R

dx

2+cos x

b) R

dx

1+sin x

c) R

dx

5+4 cos x

d) R

2+sin x

sin x(1+cos x)

dx

Zadanie 14. Stosuj¡c odpowiednie podstawienie (t = tgx lub t = sin x lub t = cos x) oblicz:

a) R

dx

1−sin

4

x

b) R

3+sin

2

x

2 cos

2

x−cos

4

x

dx

c) R

dx

1+2 cos

2

x

d) R

1+sin x cos x

(2+cos

2

x)(1+sin

2

x)

dx

e) R

sin

4

x

cos x

dx

f) R

dx

sin x+tgx

Zadanie 15. Oblicz:

a) R cos 5x cos 7xdx b) R sin 4x sin 2xdx c) R sin x cos 3xdx d) R cos

2

xdx

e) R sin

2

xdx

f) R sin

3

xdx

g) R sin

7

xdx

h) R sin

4

xdx

i) R cos

3

xdx

j) R sin

4

x cos

3

xdx

k) R sin

4

x cos

2

xdx

l) R

dx

sin x

m) R

dx

cos x

n) R tgxdx

o) R ctgxdx

p) R

dx

sin

2

x cos

2

x

3

q) R tg

2

xdx

r) R ctg

2

xdx

s) R tg

4

xdx

t) R ctg

4

xdx

u) R

cos

3

x

sin

4

x

dx

v) R

dx

sin x cos x

w) R

dx

sin

2

x cos x

x) R

cos

3

x

sin

2

x+1

dx

y) R

√

tgx

sin 2x

dx

z) R

dx

sin x cos 2x

5 Caªkowanie wyra»e« z funkcjami cyklometrycznymi, wy-

kªadniczymi i logarytmicznymi

Zadanie 16. Oblicz:

a) R xarctgxdx

b) R (arctgx)

2

dx

c) R

dx

(1+9x

2

)

√

arctg3x

d) R x(1 + x

2

)arctgxdx

e) R (e

3x

+

√

e

x

)dx

f) R

dx

e

x

+e

−x

g) R

e

x

e

x

+5

dx

h) R

dx

√

3+2e

x

i) R

dx

a

x

+1

j) R e

3

√

x

dx

k) R

e

sin x

(x cos

3

x−sin x)

cos

2

x

dx

l) R

2

x

2

2x

+1

dx

m) R

e

−3x

√

1+e

−3x

dx

n) R log

p

xdx

o) R

ln x

x

2

dx

p) R

2

x

−5

x

10

x

dx

q) R

√

xarctg

√

xdx

r) R

(x−1)e

x

x

2

dx

4