OBLICZANIE CHARAKTERYSTYK GEOMETRYCZNYCH

PRZEKROJÓW

Do podstawowych wielkości tworzących pakiet danych zwany „charakterystyką
geometryczną przekroju” należy:
- pole przekroju

A

- położenie środka ciężkości y (lub x w płaszczyźnie prostopadłej)
- moment bezwładności

J

x

lub J

y

Pozostałe wielkości (wskaźnik wytrzymałości, moment statyczny, promień bezwładności) są
wielkościami które można wyznaczyć z podstawowych.

Bryły elementarne:

x

y

b

h

h

b

A

´

=

2

h

y

=

12

h

b

J

3

y

´

=

b

h

h

2

b

A

´

=

3

h

y

=

48

h

b

J

3

y

´

=

d

r

4

d

r

A

2

2

p

=

´

p

=

2

d

r

y

=

=

64

d

4

r

J

4

4

y

p

=

p

=

•PRZEKROJE ZŁOŻONE ( z wielu brył)

Pole przekroju:

å

+

+

=

=

t

w

c

i

A

A

A

A

A

Moment statyczny:
Obliczany względem dolnej krawędzi

c

c

w

w

t

t

i

i

y

y

A

y

A

y

A

y

A

S

+

+

=

=

å

lub obliczany względem górnej krawędzi:

c

c

w

w

t

t

i

i

d

d

A

d

A

d

A

d

A

S

+

+

=

=

å

Położenie środka ciężkości:

- względem dolnej krawędzi:

A

S

y

y

=

- względem górnej krawędzi:

A

S

d

d

=

Ważne!

h

d

y

=

+

Moment bezwładności:

å å

-

+

=

2

i

i

i

y

y

A

J

J

)

(

, lub:

å å

-

+

=

2

i

i

i

d

d

A

J

J

)

(

(oba wzory muszą dać taki sam wynik!)

h

2

h

1

h

w

b

1

b

w

b

2

h

A

c

d

c

y

c

y

w

d

w

d

t

y

t

A

w

A

t

•PRZEKROJE SPROWADZONE (złożone z brył z wielu materiałów)
W rozpatrywanym przekroju występują elementy wzajemnie związane (zespolone)

Cechy różnych materiałów należy sprowadzić do podstawowego (zazwyczaj: beton). Stosuje
się współczynnik materiałowy

a, obliczony ze wzoru:

Pole przekroju:

å

a

+

=

i

i

c

cp

A

A

A

Moment statyczny przekroju:

względem górnej krawędzi:

å

a

=

i

i

i

cp

d

A

S

Dla materiału podstawowego (betonu)

a i = 1

Dla elementów „wypierających” materiał podstawowy
(beton):

a i -1

(np.: stal, cięgna)

Dla nadbetonu dcn ze znakiem „-”
Moment bezwładności:

å

å

-

a

+

a

+

-

+

=

2

i

cp

i

i

i

i

2

cp

c

cp

)

d

d

(

A

J

)

d

d

(

A

J

J

Moduł sprężystości i-tego materiału
(np.: stali, nadbetonu)

Moduł sprężystości materiału
podstawowego (betonu)

d

cn

A

s1

d

c

d

s2

d

s1

d

p

A

cn

A

p

A

s2

podst

i

i

E

E

=

a

(

)

(

)

cn

cn

pi

p

si

s

c

cp

A

A

1

A

1

A

A

a

+

-

a

+

-

a

+

=

å

å

Elementy „wypierające” materiał
podstawowy (beton):

a

i

–1

(np.: stal, cięgna)

Element „dodany” do przekroju

Przekrój podstawowy

(betonowy)

d

cn

A

s1

d

c

d

s2

d

s1

d

p

A

cn

A

p

A

s2

d

Dla zbrojenia (stali i cięgien) własne momenty bezwładności Ji można pominąć
Dla elementów „wypierających” materiał podstawowy (beton):

a i-1

(np.: stal, cięgna)

Dla tego samego przekroju, w różnych sytuacjach obliczeniowych, mogą występować różnice
w budowie (np.: brak przyczepności kabli do ścianek kanałów kablowych, brak nadbetonu).
Należy to uwzględnić przy obliczaniu i wykorzystaniu charakterystyk geometrycznych w
stosowanych wzorach.

Bez szkody dla dokładności obliczeń można uprościć kształt przekroju:

Przykład
Obliczyć charakterystyki zadanego przekroju kablobetonowego w poszczególnych fazach

Beton prefabrykatu C40/50 E

cm

= 35 GPa

(materiał podstawowy)

Beton zespalający C25/30

E

cm,n

= 31 GPa

Zbrojenie sprężające 4 kable

Æ12,7 mm,

E

p

= 190 GPa; A

p1

= 100 mm

2

średnica zewnętrzna kanału: d

Ä

= 16 mm

Zbrojenie uzupełniające (miękkie) 8#8 mm
E

s

= 200 GPa, A

1

= 0,50 cm

2

Obliczenie współczynników

a:

- dla stali zbrojeniowej:

71

5

35

200

s

,

=

=

a

- dla stali sprężającej:

43

5

35

190

p

,

=

=

a

- dla nadbetonu zespalającego:

89

0

35

31

n

c

,

,

=

=

a

Faza 1 sprężenie prefabrykatu.
Przekrój tworzą: beton prefabrykatu i zbrojenie uzupełniające (cięgna sprężające nie są
„zespolone” z przekrojem), odejmujemy powierzchnie kanałów kablowych
Pole przekroju:

(

)

å

-

a

+

-

=

Ä

1

s

0

c

0

cs

A

1

A

A

A

1827

15

35

10

2

8

35

2

10

4

29

8

4

2

8

45

2

12

45

A

0

c

=

´

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

+

+

+

´

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

+

´

=

)

(

cm

2

8

4

6

1

4

A

2

=

p

´

=

Ä

,

cm

2

;

å

=

´

=

=

4

5

0

8

A

A

s

1

,

cm

2

1838

4

1

71

5

8

1827

A

0

cs

=

-

+

-

=

)

,

(

cm

2

Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):

(

)

s

s

0

c

y

0

cs

S

1

S

S

S

-

a

+

-

=

Ä

,

2

15

15

35

15

3

10

10

2

8

35

2

10

15

2

10

4

29

8

10

4

29

3

4

12

70

4

2

8

45

2

2

12

70

12

45

S

0

c

´

´

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

+

+

+

+

+

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

´

=

)

(

67830

S

0

c

=

cm

3

80

4

16

8

3

8

4

16

8

3

A

S

=

+

´

=

+

´

=

Ä

Ä

cm

3

[

]

[

]

142

3

13

59

67

0

1

3

3

10

8

3

70

3

70

4

A

S

s

s

=

+

+

+

=

+

+

+

-

-

+

-

=

,

)

(

)

(

)

(

cm

3

68419

142

1

71

5

80

67830

S

y

0

cs

=

-

+

-

=

)

,

(

,

cm

3

Środek ciężkości względem dolnej krawędzi:

08

37

1838

68149

A

S

y

0

cs

y

0

cs

0

cs

,

,

,

,

=

=

=

cm

45

17

13

35

8

70

12

4

10

15

8

8

10

3

3

8

29

Środek ciężkości względem górnej krawędzi:

92

32

07

37

70

y

h

d

0

cs

0

cs

,

,

,

,

=

-

=

-

=

cm

Moment bezwładności przekroju:

(

)

2
s

s

s

2

0

c

0

cs

y

A

1

y

A

J

J

J

D

-

a

+

D

-

-

=

Ä

Ä

Ä

,

,

wielkości pomocnicze:

10

8

80

A

S

y

=

=

=

Ä

Ä

Ä

cm;

5

35

4

142

A

S

y

s

s

s

,

=

=

=

cm

[

]

å

D

+

=

2

1

c

i

c

i

c

0

c

y

A

J

J

,

,

,

,

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

´

+

´

=

2

3

1

c

08

37

2

12

70

12

45

12

12

45

J

,

,

397811 cm

4

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-

-

-

+

´

-

=

2

3

2

c

08

37

3

4

12

70

2

4

8

45

48

4

8

45

J

,

)

(

)

(

,

28439 cm

4

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

´

=

2

3

3

c

08

37

2

10

4

29

10

15

10

4

29

8

12

10

4

29

8

J

,

)

(

)

(

,

83530 cm

4

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

+

-

+

´

-

=

2

3

4

c

08

37

3

10

15

2

10

8

35

48

10

8

35

J

,

)

(

)

(

,

48007 cm

4

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

´

+

´

=

2

3

5

c

08

37

2

15

15

35

12

15

35

J

,

,

469206 cm

4

=

+

+

+

+

=

469206

48007

83530

28439

397811

J

0

c,

1026992 cm

4

=

-

-

+

-

-

p

´

-

=

2

2

4

0

cs

08

37

5

35

4

1

71

5

08

37

10

8

64

6

1

4

1026992

J

)

,

,

(

)

,

(

)

,

(

,

,

1021171 cm

4

Faza 2 Wypełnienie iniekcją kanałów kablowych (zespolenie cięgien z przekrojem)
Pole przekroju:

(

)

1864

0

1

4

1

43

5

8

1838

A

1

A

A

A

p

p

0

cs

II

cs

=

´

-

+

+

=

-

a

+

+

=

å

Ä

,

)

,

(

,

,

cm

2

Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):

(

)

p

p

0

cs

y

csII

S

1

S

S

S

-

a

+

+

=

Ä

,

,

40

4

16

8

3

4

4

16

8

3

A

S

p

p

=

+

´

=

+

´

=

cm

3

68517

40

1

43

5

80

68419

S

y

csII

=

-

+

+

=

)

,

(

,

cm

3

Środek ciężkości względem dolnej krawędzi:

76

36

1864

68517

A

S

y

II

cs

y

csII

II

cs

,

,

,

,

=

=

=

cm

Środek ciężkości względem górnej krawędzi:

24

33

76

36

70

y

h

d

II

cs

II

cs

,

,

,

,

=

-

=

-

=

cm

Moment bezwładności przekroju:

(

)

2
p

p

p

2

2
0

0

cs

0

cs

II

cs

y

A

1

y

A

J

y

A

J

J

D

-

a

+

D

+

+

D

+

=

Ä

Ä

Ä

,

,

,

;

Ä

= y

y

p

2

2

4

2

II

cs

76

36

10

4

1

43

5

76

36

10

8

64

6

1

4

76

36

08

37

1838

1021171

J

)

,

(

)

,

(

)

,

(

,

)

,

,

(

,

-

-

+

-

+

p

+

-

+

=

1039779

J

II

cs

=

,

cm

4

Faza 3 Wykonanie betonu zespalającego
Pole przekroju:

2264

30

2

13

17

30

13

89

0

1864

A

A

A

n

c

n

c

II

cs

z

cs

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

+

´

´

+

=

a

+

=

,

,

,

,

,

cm

2

450

30

2

13

17

30

13

A

n

c

=

-

+

´

=

,

cm

2

2264

450

89

0

1864

A

z

cs

=

´

+

=

,

,

cm

2

Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):

n

c

n

c

y

csII

y

csz

S

S

S

,

,

,

,

a

+

=

;

38550

3

30

2

70

2

13

17

30

2

30

70

13

30

S

n

c

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

´

+

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

´

=

,

cm

3

100410

38550

89

0

68517

S

y

csz

=

´

+

=

,

,

cm

3

Środek ciężkości względem dolnej krawędzi:

35

44

2264

100410

A

S

y

z

cs

y

csz

z

cs

,

,

,

,

=

=

=

cm

Środek ciężkości względem górnej krawędzi:

65

25

35

44

70

y

h

d

z

cs

z

cs

,

,

,

,

=

-

=

-

=

cm

Moment bezwładności przekroju:

(

)

2

n

c

n

c

n

c

n

c

2

II

II

cs

II

cs

z

cs

y

A

J

y

A

J

J

,

,

,

,

,

,

,

D

+

a

+

D

+

=

;

wielkości pomocnicze:

67

85

450

38550

A

S

y

n

c

n

c

n

c

,

,

,

,

=

=

=

cm

67

15

00

70

67

85

h

y

y

n

c

0

n

c

,

,

,

,

,

=

-

=

-

=

cm

2

3

2

3

n

c

67

15

3

30

2

30

2

13

17

48

30

13

17

67

15

2

30

30

13

12

30

13

J

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

´

-

+

-

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

´

+

´

=

,

)

(

)

(

,

,

31675

J

n

c

=

,

cm

4

[

]

2

2

z

cs

67

85

35

44

450

31675

89

0

76

36

35

44

1864

1039779

J

)

,

,

(

,

)

,

,

(

,

-

+

+

-

+

=

1859142

J

z

cs

=

,

cm

4