OBLICZANIE CHARAKTERYSTYK GEOMETRYCZNYCH
PRZEKROJÓW
Do podstawowych wielkości tworzących pakiet danych zwany „charakterystyką
geometryczną przekroju” należy:
- pole przekroju
A
- położenie środka ciężkości y (lub x w płaszczyźnie prostopadłej)
- moment bezwładności
J
x
lub J
y
Pozostałe wielkości (wskaźnik wytrzymałości, moment statyczny, promień bezwładności) są
wielkościami które można wyznaczyć z podstawowych.
Bryły elementarne:
x
y
b
h
h
b
A
´
=
2
h
y
=
12
h
b
J
3
y
´
=
b
h
h
2
b
A
´
=
3
h
y
=
48
h
b
J
3
y
´
=
d
r
4
d
r
A
2
2
p
=
´
p
=
2
d
r
y
=
=
64
d
4
r
J
4
4
y
p
=
p
=
•PRZEKROJE ZŁOŻONE ( z wielu brył)
Pole przekroju:
å
+
+
=
=
t
w
c
i
A
A
A
A
A
Moment statyczny:
Obliczany względem dolnej krawędzi
c
c
w
w
t
t
i
i
y
y
A
y
A
y
A
y
A
S
+
+
=
=
å
lub obliczany względem górnej krawędzi:
c
c
w
w
t
t
i
i
d
d
A
d
A
d
A
d
A
S
+
+
=
=
å
Położenie środka ciężkości:
- względem dolnej krawędzi:
A
S
y
y
=
- względem górnej krawędzi:
A
S
d
d
=
Ważne!
h
d
y
=
+
Moment bezwładności:
å å
-
+
=
2
i
i
i
y
y
A
J
J
)
(
, lub:
å å
-
+
=
2
i
i
i
d
d
A
J
J
)
(
(oba wzory muszą dać taki sam wynik!)
h
2
h
1
h
w
b
1
b
w
b
2
h
A
c
d
c
y
c
y
w
d
w
d
t
y
t
A
w
A
t
•PRZEKROJE SPROWADZONE (złożone z brył z wielu materiałów)
W rozpatrywanym przekroju występują elementy wzajemnie związane (zespolone)
Cechy różnych materiałów należy sprowadzić do podstawowego (zazwyczaj: beton). Stosuje
się współczynnik materiałowy
a, obliczony ze wzoru:
Pole przekroju:
å
a
+
=
i
i
c
cp
A
A
A
Moment statyczny przekroju:
względem górnej krawędzi:
å
a
=
i
i
i
cp
d
A
S
Dla materiału podstawowego (betonu)
a i = 1
Dla elementów „wypierających” materiał podstawowy
(beton):
a i -1
(np.: stal, cięgna)
Dla nadbetonu dcn ze znakiem „-”
Moment bezwładności:
å
å
-
a
+
a
+
-
+
=
2
i
cp
i
i
i
i
2
cp
c
cp
)
d
d
(
A
J
)
d
d
(
A
J
J
Moduł sprężystości i-tego materiału
(np.: stali, nadbetonu)
Moduł sprężystości materiału
podstawowego (betonu)
d
cn
A
s1
d
c
d
s2
d
s1
d
p
A
cn
A
p
A
s2
podst
i
i
E
E
=
a
(
)
(
)
cn
cn
pi
p
si
s
c
cp
A
A
1
A
1
A
A
a
+
-
a
+
-
a
+
=
å
å
Elementy „wypierające” materiał
podstawowy (beton):
a
i
–1
(np.: stal, cięgna)
Element „dodany” do przekroju
Przekrój podstawowy
(betonowy)
d
cn
A
s1
d
c
d
s2
d
s1
d
p
A
cn
A
p
A
s2
d
Dla zbrojenia (stali i cięgien) własne momenty bezwładności Ji można pominąć
Dla elementów „wypierających” materiał podstawowy (beton):
a i-1
(np.: stal, cięgna)
Dla tego samego przekroju, w różnych sytuacjach obliczeniowych, mogą występować różnice
w budowie (np.: brak przyczepności kabli do ścianek kanałów kablowych, brak nadbetonu).
Należy to uwzględnić przy obliczaniu i wykorzystaniu charakterystyk geometrycznych w
stosowanych wzorach.
Bez szkody dla dokładności obliczeń można uprościć kształt przekroju:
Przykład
Obliczyć charakterystyki zadanego przekroju kablobetonowego w poszczególnych fazach
Beton prefabrykatu C40/50 E
cm
= 35 GPa
(materiał podstawowy)
Beton zespalający C25/30
E
cm,n
= 31 GPa
Zbrojenie sprężające 4 kable
Æ12,7 mm,
E
p
= 190 GPa; A
p1
= 100 mm
2
średnica zewnętrzna kanału: d
Ä
= 16 mm
Zbrojenie uzupełniające (miękkie) 8#8 mm
E
s
= 200 GPa, A
1
= 0,50 cm
2
Obliczenie współczynników
a:
- dla stali zbrojeniowej:
71
5
35
200
s
,
=
=
a
- dla stali sprężającej:
43
5
35
190
p
,
=
=
a
- dla nadbetonu zespalającego:
89
0
35
31
n
c
,
,
=
=
a
Faza 1 sprężenie prefabrykatu.
Przekrój tworzą: beton prefabrykatu i zbrojenie uzupełniające (cięgna sprężające nie są
„zespolone” z przekrojem), odejmujemy powierzchnie kanałów kablowych
Pole przekroju:
(
)
å
-
a
+
-
=
Ä
1
s
0
c
0
cs
A
1
A
A
A
1827
15
35
10
2
8
35
2
10
4
29
8
4
2
8
45
2
12
45
A
0
c
=
´
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
+
+
´
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
´
=
)
(
cm
2
8
4
6
1
4
A
2
=
p
´
=
Ä
,
cm
2
;
å
=
´
=
=
4
5
0
8
A
A
s
1
,
cm
2
1838
4
1
71
5
8
1827
A
0
cs
=
-
+
-
=
)
,
(
cm
2
Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):
(
)
s
s
0
c
y
0
cs
S
1
S
S
S
-
a
+
-
=
Ä
,
2
15
15
35
15
3
10
10
2
8
35
2
10
15
2
10
4
29
8
10
4
29
3
4
12
70
4
2
8
45
2
2
12
70
12
45
S
0
c
´
´
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
+
+
+
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
´
=
)
(
67830
S
0
c
=
cm
3
80
4
16
8
3
8
4
16
8
3
A
S
=
+
´
=
+
´
=
Ä
Ä
cm
3
[
]
[
]
142
3
13
59
67
0
1
3
3
10
8
3
70
3
70
4
A
S
s
s
=
+
+
+
=
+
+
+
-
-
+
-
=
,
)
(
)
(
)
(
cm
3
68419
142
1
71
5
80
67830
S
y
0
cs
=
-
+
-
=
)
,
(
,
cm
3
Środek ciężkości względem dolnej krawędzi:
08
37
1838
68149
A
S
y
0
cs
y
0
cs
0
cs
,
,
,
,
=
=
=
cm
45
17
13
35
8
70
12
4
10
15
8
8
10
3
3
8
29
Środek ciężkości względem górnej krawędzi:
92
32
07
37
70
y
h
d
0
cs
0
cs
,
,
,
,
=
-
=
-
=
cm
Moment bezwładności przekroju:
(
)
2
s
s
s
2
0
c
0
cs
y
A
1
y
A
J
J
J
D
-
a
+
D
-
-
=
Ä
Ä
Ä
,
,
wielkości pomocnicze:
10
8
80
A
S
y
=
=
=
Ä
Ä
Ä
cm;
5
35
4
142
A
S
y
s
s
s
,
=
=
=
cm
[
]
å
D
+
=
2
1
c
i
c
i
c
0
c
y
A
J
J
,
,
,
,
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
´
+
´
=
2
3
1
c
08
37
2
12
70
12
45
12
12
45
J
,
,
397811 cm
4
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
-
-
+
´
-
=
2
3
2
c
08
37
3
4
12
70
2
4
8
45
48
4
8
45
J
,
)
(
)
(
,
28439 cm
4
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
´
=
2
3
3
c
08
37
2
10
4
29
10
15
10
4
29
8
12
10
4
29
8
J
,
)
(
)
(
,
83530 cm
4
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
-
+
´
-
=
2
3
4
c
08
37
3
10
15
2
10
8
35
48
10
8
35
J
,
)
(
)
(
,
48007 cm
4
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
´
+
´
=
2
3
5
c
08
37
2
15
15
35
12
15
35
J
,
,
469206 cm
4
=
+
+
+
+
=
469206
48007
83530
28439
397811
J
0
c,
1026992 cm
4
=
-
-
+
-
-
p
´
-
=
2
2
4
0
cs
08
37
5
35
4
1
71
5
08
37
10
8
64
6
1
4
1026992
J
)
,
,
(
)
,
(
)
,
(
,
,
1021171 cm
4
Faza 2 Wypełnienie iniekcją kanałów kablowych (zespolenie cięgien z przekrojem)
Pole przekroju:
(
)
1864
0
1
4
1
43
5
8
1838
A
1
A
A
A
p
p
0
cs
II
cs
=
´
-
+
+
=
-
a
+
+
=
å
Ä
,
)
,
(
,
,
cm
2
Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):
(
)
p
p
0
cs
y
csII
S
1
S
S
S
-
a
+
+
=
Ä
,
,
40
4
16
8
3
4
4
16
8
3
A
S
p
p
=
+
´
=
+
´
=
cm
3
68517
40
1
43
5
80
68419
S
y
csII
=
-
+
+
=
)
,
(
,
cm
3
Środek ciężkości względem dolnej krawędzi:
76
36
1864
68517
A
S
y
II
cs
y
csII
II
cs
,
,
,
,
=
=
=
cm
Środek ciężkości względem górnej krawędzi:
24
33
76
36
70
y
h
d
II
cs
II
cs
,
,
,
,
=
-
=
-
=
cm
Moment bezwładności przekroju:
(
)
2
p
p
p
2
2
0
0
cs
0
cs
II
cs
y
A
1
y
A
J
y
A
J
J
D
-
a
+
D
+
+
D
+
=
Ä
Ä
Ä
,
,
,
;
Ä
= y
y
p
2
2
4
2
II
cs
76
36
10
4
1
43
5
76
36
10
8
64
6
1
4
76
36
08
37
1838
1021171
J
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
)
,
,
(
,
-
-
+
-
+
p
+
-
+
=
1039779
J
II
cs
=
,
cm
4
Faza 3 Wykonanie betonu zespalającego
Pole przekroju:
2264
30
2
13
17
30
13
89
0
1864
A
A
A
n
c
n
c
II
cs
z
cs
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
´
´
+
=
a
+
=
,
,
,
,
,
cm
2
450
30
2
13
17
30
13
A
n
c
=
-
+
´
=
,
cm
2
2264
450
89
0
1864
A
z
cs
=
´
+
=
,
,
cm
2
Moment statyczny (względem dolnej krawędzi):
n
c
n
c
y
csII
y
csz
S
S
S
,
,
,
,
a
+
=
;
38550
3
30
2
70
2
13
17
30
2
30
70
13
30
S
n
c
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
´
+
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
´
=
,
cm
3
100410
38550
89
0
68517
S
y
csz
=
´
+
=
,
,
cm
3
Środek ciężkości względem dolnej krawędzi:
35
44
2264
100410
A
S
y
z
cs
y
csz
z
cs
,
,
,
,
=
=
=
cm
Środek ciężkości względem górnej krawędzi:
65
25
35
44
70
y
h
d
z
cs
z
cs
,
,
,
,
=
-
=
-
=
cm
Moment bezwładności przekroju:
(
)
2
n
c
n
c
n
c
n
c
2
II
II
cs
II
cs
z
cs
y
A
J
y
A
J
J
,
,
,
,
,
,
,
D
+
a
+
D
+
=
;
wielkości pomocnicze:
67
85
450
38550
A
S
y
n
c
n
c
n
c
,
,
,
,
=
=
=
cm
67
15
00
70
67
85
h
y
y
n
c
0
n
c
,
,
,
,
,
=
-
=
-
=
cm
2
3
2
3
n
c
67
15
3
30
2
30
2
13
17
48
30
13
17
67
15
2
30
30
13
12
30
13
J
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
´
-
+
-
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
´
+
´
=
,
)
(
)
(
,
,
31675
J
n
c
=
,
cm
4
[
]
2
2
z
cs
67
85
35
44
450
31675
89
0
76
36
35
44
1864
1039779
J
)
,
,
(
,
)
,
,
(
,
-
+
+
-
+
=
1859142
J
z
cs
=
,
cm
4
Document Outline