Uniwersytet Kazimierza

Uniwersytet Kazimierza

Wielkiego

Wielkiego

Wydział Matematyki,

Wydział Matematyki,

Fizyki i Techniki

Fizyki i Techniki

Edukacja Techniczno-

Edukacja Techniczno-

Informatyczna

Informatyczna

CHARAKTERYSTY

CHARAKTERYSTY

KI

KI

GEOMETRYCZNE

GEOMETRYCZNE

PRZEKROJÓW

PRZEKROJÓW

Cechy przekroju

Cechy przekroju

•

Przekroje mogą być traktowane jako

Przekroje mogą być traktowane jako

figury płaskie.

figury płaskie.

•

Figura płaska charakteryzuje się

Figura płaska charakteryzuje się

tym,że jeden z jej wymiarów jest

tym,że jeden z jej wymiarów jest

nieskończenie mały.

nieskończenie mały.

1. KSZTAŁT

1. KSZTAŁT

PRZEKROJU

PRZEKROJU

- proste

- złożone

2. WYMIARY PRZEKROJU

2. WYMIARY PRZEKROJU

d

d

3. POLE PRZEKROJU

3. POLE PRZEKROJU

h

h

b

b

F= h ∙ b

F= h ∙ b

F

F

1

1

F

F

2

2

F= F

F= F

1

1

+F

+F

2

2

0

0

a

a

x

x

y

y

f(x)

f(x)

4. MOMENT STATYCZNY

4. MOMENT STATYCZNY

PRZEKROJU

PRZEKROJU

ΔF

i

x

x

y

y

y

y

i

i

0

0

x

x

i

i

Moment statyczny przekroju względem osi x:

[mm

3

]

Moment statyczny przekroju względem osi y:

[mm

3

]

S

y

Jeżeli n → ∞, to ΔF

i

→

0

5. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

5. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

PRZEKROJU

PRZEKROJU

koło

prostokąt

równoległobok

trójkąt

C

C

C

C

C

C

C

C

- przekrój prosty

- przekrój złożony

F

1

, C

1

(x

1

,y

1

);

F

2

, C

2

(x

2

,y

2

);

F

3

, C

3

(x

3

,y

3

);

F

4

, C

4

(x

4

,y

4

).

C

C

1

1

C

C

2

2

C

C

3

3

C

C

4

4

0

x

y

Jeżeli oś x jest osią centralną, to y

c

= 0 i

S

x

= 0

Moment statyczny przekroju względem osi centralnej
jest równy zeru.

6. MOMENT BEZWŁADNOŚCI PRZEKROJU

6. MOMENT BEZWŁADNOŚCI PRZEKROJU

WZGLĘDEM OSI

WZGLĘDEM OSI

( OSIOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI )

( OSIOWY MOMENT BEZWŁADNOŚCI )

 

 

Osiowym momentem bezwładności

Osiowym momentem bezwładności

przekroju o

przekroju o

powierzchni

powierzchni

F

F

względem dowolnej osi leżącej w

względem dowolnej osi leżącej w

płaszczyźnie przekroju nazywamy sumę iloczynów

płaszczyźnie przekroju nazywamy sumę iloczynów

pól elementarnych powierzchni

pól elementarnych powierzchni





F

F

przekroju i

przekroju i

kwadratów ich odległości od osi.

kwadratów ich odległości od osi.

 

 

x

x

x

x

y

y





F

F

0

0

y

y

F

F

y

y

2

2





F

F

x

x

2

2





F

F





F

y

dF

x

I

2





F

x

dF

y

I

2

dF

x

y

0

F

Biegunowym momentem bezwładności przekroju

Biegunowym momentem bezwładności przekroju

o

o

powierzchni

powierzchni

F

F

względem dowolnego punktu 0 (bieguna)

względem dowolnego punktu 0 (bieguna)

leżącego w płaszczyźnie figury nazywamy sumę iloczynów

leżącego w płaszczyźnie figury nazywamy sumę iloczynów

elementarnych powierzchni

elementarnych powierzchni

dF

dF

figury i kwadratów ich

figury i kwadratów ich

odległości od bieguna , czyli:

odległości od bieguna , czyli:



7. BIEGUNOWY MOMENT

BEZWŁADNOŚCI

PRZEKROJU

Odśrodkowym momentem bezwładności

Odśrodkowym momentem bezwładności

figury płaskiej o powierzchni

figury płaskiej o powierzchni

F

F

względem

względem

układu osi prostokątnych leżących w

układu osi prostokątnych leżących w

płaszczyźnie figury nazywamy sumę

płaszczyźnie figury nazywamy sumę

iloczynów elementarnych powierzchni

iloczynów elementarnych powierzchni

dF

dF

figury i ich odległości od tych osi.

figury i ich odległości od tych osi.

x

x

x

x

1

1

y

y

2

2

d

d

F

F

x

x

1

1

y

y

1

1

y

y

a

a

b

b

0

0

1

1

0

0

F

F





f

xy

xydF

I

F

8. MOMENT BEZWŁADNOŚCI

8. MOMENT BEZWŁADNOŚCI

WZGLĘDEM OSI RÓWNOLEGŁYCH

WZGLĘDEM OSI RÓWNOLEGŁYCH

(TW. STEINERA)

(TW. STEINERA)

Moment bezwładności przekroju względem osi x

Moment bezwładności przekroju względem osi x

1

1

jest

jest

równy sumie momentu bezwładności względem osi

równy sumie momentu bezwładności względem osi

centralnej x równoległej do x

centralnej x równoległej do x

1

1

oraz iloczynu pola

oraz iloczynu pola

przekroju i kwadratu odległości miedzi tymi osiami.

przekroju i kwadratu odległości miedzi tymi osiami.

C

y

F

x

x

x

1

1

x , y- osie centralne

x , y- osie centralne

x

x

1

1

|| x

|| x

b

b

I

x1

=I

x

+b

2

F

Momenty bezwładności

Momenty bezwładności

przekrojów złożonych

przekrojów złożonych

Elementy stosowane w konstrukcjach bardzo często mają

Elementy stosowane w konstrukcjach bardzo często mają

przekroje o dowolnie złożonym kształcie, dla których nie

przekroje o dowolnie złożonym kształcie, dla których nie

można wyznaczyć momentów bezwładności w prosty

można wyznaczyć momentów bezwładności w prosty

sposób. Najczęściej stosowane w praktyce formy

sposób. Najczęściej stosowane w praktyce formy

przekrojów złożonych mają kształt teowników, kątowników,

przekrojów złożonych mają kształt teowników, kątowników,

ceowników, trapezów, itp. Takie przekroje można zawsze

ceowników, trapezów, itp. Takie przekroje można zawsze

podzielić na przekroje prostsze, a mianowicie: prostokąty,

podzielić na przekroje prostsze, a mianowicie: prostokąty,

trójkąty, koła, itd.,i można wykazać, że

trójkąty, koła, itd.,i można wykazać, że

bezwładności

bezwładności

przekroju złożonego

przekroju złożonego

jest sumą momentów

jest sumą momentów

bezwładności jego składowych przekrojów prostych.

bezwładności jego składowych przekrojów prostych.

n

Ix

Ix

Ix

Ix









...

2

1

Z podanych wiadomości

Z podanych wiadomości

wynikają następujące ważne

wynikają następujące ważne

wnioski:

wnioski:

- każda figura ma nieskończenie dużo

- każda figura ma nieskończenie dużo

osiowych i biegunowych momentów

osiowych i biegunowych momentów

bezwładności,

bezwładności,

- mówiąc o momencie bezwładności figury

- mówiąc o momencie bezwładności figury

trzeba zawsze dodać względem jakiej osi czy

trzeba zawsze dodać względem jakiej osi czy

jakiego bieguna jest ten moment obliczony,

jakiego bieguna jest ten moment obliczony,

-

-

im dalej od środka ciężkości znajduje się oś

im dalej od środka ciężkości znajduje się oś

(biegun) momentu, tym większy jest moment

(biegun) momentu, tym większy jest moment

bezwładności,

bezwładności,

- moment biegunowy jest najmniejszy, jeśli za

- moment biegunowy jest najmniejszy, jeśli za

biegun obieramy środek ciężkości figury

biegun obieramy środek ciężkości figury