Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych

________________________________________________________________________________________

113

XIII. MECHANIKA PŁYNÓW

1. Wprowadzenie. Podstawowe pojęcia

6

Mechanika płynów zajmuje się opisem zjawisk statycznych i dynamicznych w płynach i gazach
jak również interakcji tych ośrodków z ciałami stałymi.

Płyny i gazy charakteryzują się brakiem sztywności postaciowej w spoczynku, wykazuje tą
sztywność jedynie w ruchu. Można to określić również następująco: płyny i gazy charakteryzują
się brakiem sztywności postaciowej względem aktualnej deformacji a wykazują ją względem
historii deformacji. Płyny i gazy różnią się znacznie ściśliwością (sztywnością objętościową), w
przypadku płynów jest ona mała i często przyjmuje się, że ciecze są nieściśliwe.

Gęstość płynu

Gęstością płynu w punkcie M(x, y, z) w chwili t nazywa się granicę ilorazu

V

m

V

Δ

Δ

=

ρ

→

Δ

0

lim

,

(13.1)

Gęstość gazu i cieczy zależna jest od ciśnienia i temperatury. Charakter tych zmian jest różny dla
tych ośrodków jak to pokazano na rys. 13.1.

Ściśliwość płynu

Ściśliwością płynu nazywamy charakterystykę odkształcenia objętościowego płynu pod wpły-
wem zmiany ciśnienia. Niech płyn zajmuje objętość V i poddany jest ciśnieniu izotropowemu p.
Pod wpływem zmiany ciśnienia o dp objętość zmieniła się o dV, wówczas współczynnik ściśli-
wości definiuje się wzorem

p

V

V d

d

1

−

=

ξ

.

(13.2)

Odwrotność tego współczynnika nazywa się modułem sprężystości płynu

6

wg [9] Jeżowska-Kabsch K., Szwczyk H.: Mechanika płynów

Rys. 13.1. Zmiany gęstości gazów i cieczy w zależności od (a) ciśnienia (b) temperatury

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: styczeń 2007)
________________________________________________________________________________________

114

V

p

V

E

d

d

1 −

=

ξ

=

.

(13.3)

Korzystając z definicji gęstości masy współczynnik ściśliwości można wyrazić również przez
gęstość

p

d

d

1

ρ

ρ

−

=

ξ

.

(13.4)

Rozszerzalność cieplna

Rozszerzalność cieplna płynu charakteryzuje jego podatność na odkształcenie objętościowe przy
zmianie temperatury. Miarą tej odkształcalności jest współczynnik rozszerzalności cieplnej, wy-
rażający względną zmianę objętości przy zmianie temperatury o 1 K

T

V

V

Δ

Δ

=

β

1

,

(13.5)

lub przy

0

→

ΔT

T

V

V d

d

1

=

β

.

(13.6)

Lepkość

Istotną cechą mechaniczną płynów jest lepkość charakteryzująca się zdolnością przenoszenie
przez ciecz naprężeń stycznych w warunkach ruchu. W przypadku zmiennej prędkości sąsiadu-
jących warstewek płynu pomiędzy warstewkami występuje tarcie którego miarą są naprężenia
styczne proporcjonalne do prędkości odkształcenia postaciowego (rys. 13.2)

n

v

d

d

μ

=

τ

,

(13.7)

gdzie

μ − jest dynamicznym współczynnikiem lepkości (jednostki:

s

Pa

⋅

).

Obok dynamicznego współczynnika lepkości używa się pojęcia kinetycznego współczynnika
lepkości (jednostki: m

2

/s)

Rys. 13.2. Przepływ płynu lepkiego przy ścianie: (a) rozkład prędkości,

(b) odkształcenie elementu płynu

Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych

________________________________________________________________________________________

115

ρ

μ

=

ν

.

(13.8)

Współczynniki lepkości zależą głównie od temperatury, co ilustruje rys. 13.3.

Rodzaje przepływów
a) Przepływ laminarny i turbulentny

Przepływ jest laminarny (uwarstwiony), gdy elementy płynu poruszają się w warstwach. W
przepływie turbulentnym (burzliwym), oprócz ruchu głównego (w kierunku przepływu), wy-
stępują fluktuacje parametrów hydrodynamicznych (prędkości, ciśnienia).
Reynolds (1883) badał przepływ płynu w kołowej rurze i analizował przejścia przepływu la-
minarnego w turbulentny. Zauważył, że na charakter przepływu wpływają następujące para-
metry: prędkość średnia v, gęstość

ρ

i lepkość

μ

cieczy oraz średnica rury d. Stwierdził, że

kryterium decydującym o rodzaju ruchu jest bezwymiarowa liczba

μ

ρ

=

/

Re

vd

utworzona z

tych parametrów i nazwana później liczbą Reynoldsa. Ta liczba pozwala scharakteryzować
przepływ w przewodzie kołowym. Jeżeli Re < 2300, przepływ pozostaje laminarny, a zatem
są tłumione ewentualne lokalne niestabilności przepływu.

b) Przepływ ustalony i nieustalony

Przepływ jest ustalony, jeśli wszystkie parametry ruchu są niezależne od czasu. Oznacza to,
że ciśnienie, prędkość, gęstość przepływu ustalonego w dowolnym punkcie przestrzeni nie
zmieniają się w czasie.
W przepływie nieustalonym parametry ruchu zależą od czasu. Do tej kategorii przepływów
należą wszystkie zjawiska rozprzestrzeniania się fal w płynie oraz przepływy w atmosferze.
Również przepływy turbulentne są w swej istocie przepływami nieustalonymi, ale przyjmuje
się, że ruch turbulentny jest quasi-ustalony, gdy tzw. średnie czasowe obliczone w ustalonym
punkcie przestrzeni nie zmieniają się z upływem czasu.

c) Przepływ jednowymiarowy

Przepływ określa się jako jednowymiarowy, gdy w przekroju poprzecznym strugi charaktery-
zujące go parametry są stałe. Oznacza to, że wartości tych parametrów zależą tylko od jednej
współrzędnej położenia. Koncepcja przepływu jednowymiarowego, umożliwiająca uprosz-
czenie wielu opisów przepływu, jest koncepcją bardzo użyteczną w zagadnieniach technicz-

Rys. 13.3. Zależność kinematycznego współczynnika lepkości wody i powietrza

od temperatury

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: styczeń 2007)
________________________________________________________________________________________

116

nych.
Przykłady przepływu przez rurę o przekroju kołowym traktowane jako jednowymiarowe po-
kazano na rys. 13.4.

d) Warstwa przyścienna

Analizując przepływ płynu w rurze, należy zwrócić uwagę na charakterystyczny rozkład
prędkości w dowolnym przekroju poprzecznym (rys. 13.4c). Na skutek działania sił przyle-
gania (adhezji) prędkości na powierzchni ściany są równe zeru. Oddalając się od ściany w
głąb strugi prędkości te gwałtownie rosną, a w części środkowej zmieniają się one łagodnie.
W analizowanym przepływie można wydzielić dwa charakterystyczne obszary:
− obszar warstw przyściennych, charakteryzujący się dużym gradientem prędkości,
− obszar leżący poza warstwami przyściennymi, w którym gradient prędkości jest zdecydo-
wanie mniejszy.

2. Kinematyka płynów

7

Rozmaitości materialne i przestrzenne

Rozmaitościami nazywamy linie, powierzchnie lub objętości ośrodka ciągłego – w tym przypad-
ku płynu. Jeżeli rozmaitości w trakcie analizowanego procesu składają się z tych samych punk-
tów materialnych to takie rozmaitości nazywane są rozmaitościami materialnymi, jeżeli nato-
miast składają się z tych samych punktów przestrzennych to nazywane są rozmaitościami prze-
strzennymi.

Przykładowo powierzchnie materialne można zapisać w postaci

3

,

2

,

1

),

,

(

=

=

α

α

α

m

l

f

X

,

(13.9)

gdzie l, m są parametrami powierzchni.

7

wg [1] Rymarz Cz.: Mechanika ośrodków ciągłych.

Rys. 13.4. Rozkłady prędkości w przepływie przez przewód kołowy: (a) równomierny,

(b) paraboliczny, (c) turbulentny

Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych

________________________________________________________________________________________

117

Równanie powierzchni (13.9) można również zapisać w postaci

0

)

,

,

(

3

2

1

=

X

X

X

F

w zapisie Lagrange’a

(13.10)

0

)

,

,

,

(

3

2

1

=

t

x

x

x

f

w zapisie Eulera

(13.11)

Liniowe rozmaitości charakterystyczne
a) Linie prądu

Linia prądu jest to linia styczna do wektora prędkości. Linia ta jest krzywą przestrzenną i nie
jest związana z określoną cząstką materialną. Linię prądu wyznaczamy z równania

s

d

d

v

r

=

,

(13.12)

gdzie linia prądu

i

i

t

s

x

t

s

g

r

)

,

(

)

,

(

=

, wektor prędkości )

,

,

,

(

3

2

1

t

x

x

x

v

, czas t traktowany jest

jako parametr.
Linie prądu można traktować jako zbiór krzywych wyznaczonych dla określonego czasu t,
które przedstawiają chwilowy obraz poruszania się cząstek materialnych jak to pokazano na
rys. 13.5.

b) Tory cząstek

Tor cząstki X

A

jest zbiorem punktów położenia tej cząstki w różnych chwilach czasu, co za-

pisujemy w postaci

)

,

(

)

,

(

t

t

A

A

X

x

X

r

=

.

(13.13)

Rys. 13.5. Linia prądu

Rys. 13.6. Powierzchnie i rurki prądowe

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: styczeń 2007)
________________________________________________________________________________________

118

Tor linii wyznaczamy całkując równanie

)

,

,

,

(

d

d

3

2

1

t

x

x

x

v

t

x

i

i

=

,

(13.14)

gdzie czas t jest zmienną po której całkujemy, natomiast warunkiem początkowym jest po-
łożenie cząstki X

A

w chwili początkowej t

0

.

c) Linia wysnuta

Jest to zbiór położeń cząsteczek w chwili t, które w czasie

t

≤

τ

„przechodziły” przez okre-

ślony punkt przestrzenny x

a

. Wizualnie będzie to barwna linia, jeżeli w sposób ciągły bę-

dziemy w określony punkt przestrzenny wprowadzali barwne krople płynu.
Jeżeli wyróżnionym punktem przestrzeni będzie x

a

to wówczas w chwili

τ przez ten punkt

„przechodzi” cząsteczka X

τ

, którą określa wyrażenie

)

,

(

a

1

τ

τ

x

X

−

= χ

.

(13.15)

W chwili

t cząsteczka ta znajdzie się w położeniu

)

),

,

(

(

)

),

(

(

)

,

(

a

1

t

t

t

τ

=

τ

=

−

τ

τ

x

X

X

x

χ

χ

χ

dla

t

≤

τ

. (13.16)

W powyższych wyrażeniach

t występuje jako parametr.

d) Linia wirowa

Jest to linia pola wirowości, która jest linią styczną do wektora wirowości

v

w

rot

2

1

=

.

(13.17)

Linie prądu, tory cząstek i linie wysnute na ogół nie pokrywają się. Interesujące z punktu widze-
nia analizy jest porównanie linii prądu i toru cząstki. Aby linie te pokrywały się musi być speł-
niona relacja (tw. Helmholtza-Żurawskiego)

0

=

∂

∂

×

t

v

v

,

(13.18)

stąd wynika, że linie te pokrywają się, jeżeli

– linie prądu są liniami prostymi, bo wówczas

0

=

×

⇒

=

∂

∂

v

v

v

v

C

C

t

,

– ruch jest stacjonarny, bo wówczas

0

=

∂

∂

t

v

.

Rys. 13.7. Ruch stacjonarny

Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych

________________________________________________________________________________________

119

Przykład

Wyznaczyć linię prądu, tor cząstki i linię wysnutą dla cząstki, która w chwili

t

0

=0 zajmowała

punkt x = (1,1), a pole prędkości płynu jest opisane wektorem prędkości:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

0

)

1

(

2

1

3

2

1

x

t

x

v

v

v

α

v

.

A) Linia prądu

Równanie różniczkowe linii prądu:

2

2

1

1

d

d

),

1

(

d

d

x

s

x

t

x

s

x

=

+

=

α

.

Po scałkowaniu dla

t=const otrzymujemy rozwiązanie z dokładnością do stałych całkowania

s

s

t

C

x

C

x

e

,

e

2

2

)

1

(

1

1

=

=

+

α

.

Wstawiając warunek brzegowy otrzymujemy równanie linii prądu:

s

s

t

x

x

e

,

e

2

)

1

(

1

=

=

α

+

,

a po wstawieniu warunku początkowego

t=t

0

=0

2

1

2

1

e

,

e

x

x

x

x

s

s

=

⇒

=

=

.

B) Tor cząstki

Równanie różniczkowe (4)

2

2

1

1

d

d

),

1

(

d

d

x

t

x

t

x

t

x

=

+

=

α

.

Po scałkowaniu względem czasu t

t

t

t

C

x

C

x

e

,

e

2

2

)

2

/

1

(

1

1

=

=

+

α

.

Po uwzględnieniu warunku brzegowego i eliminacji zmiennej t otrzymujemy kolejno

( )

)

ln

2

1

1

(

2

1

2

)

2

/

1

(

1

2

e

,

e

x

t

t

t

x

x

x

x

α

α

+

+

=

⇒

=

=

.

C) Linia wysnuta

Punktem startu jest tor cząstki

t

t

t

C

x

C

x

e

,

e

2

2

)

2

/

1

(

1

1

=

=

+

α

.

Zakładamy, że w chwili

τ cząstka zajmowała położenie x=(1,1), co oznacza, że

τ

ατ

τ

τ

ατ

τ

−

+

−

+

=

=

⇒

=

=

e

,

e

e

1

,

e

1

2

)

2

/

1

(

1

2

)

2

/

1

(

1

C

C

C

C

i ostatecznie podstawiając stałe całkowania mamy

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: styczeń 2007)
________________________________________________________________________________________

120

τ

ατ

τ

α

−

+

−

+

=

=

t

t

t

x

x

e

,

e

2

)

2

/

1

(

)

2

/

1

(

1

.

Komentarz

Rysunki wszystkich linii pokazano na rys. 13.8. Widoczne jest, że linie te nie pokrywają się.
Jedynie dla ruchu stacjonarnego, kiedy

α=0 (prędkość nie zależy od czasu) wszystkie linie po-

krywają się i mają równanie x

1

=x

2

.

3. Modele płynów

Model płynu definiuje układ 15-cie równań:
a) równanie zachowania masy

( )

0

div

=

ρ

+

∂

ρ

∂

v

t

,

(1 równanie)

(13.19)

b) równanie zachowania pędu (równania ruchu)

0

D

D

|

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

ρ

+

t

v

f

t

i

i

j

ij

,

(3 równania)

(13.20)

c) zasada

zachowania

energii

q

h

d

t

t

e

i

i

ij

ij

ρ

+

−

=

ρ

|

D

D

, (1

równanie)

(13.21)

d) równanie konstytutywne płynu

m

l

k

m

k

l

k

l

k

l

d

d

a

d

a

a

p

t

2

1

0

)

)

,

(

(

+

+

δ

+

θ

ρ

−

=

,

(6 równań) (13.22)

e) równanie przepływu ciepła (równanie Fouriera)

j

ij

i

k

h

,

θ

−

=

. (3

równania)

(13.23)

f) postulowana definicja energii wewnętrznej zależna od typu zagadnienia (1 równ.) (13.24)

W powyższych równaniach występuje 15 niewiadomych pól:

– gęstość

ρ,

Rys. 13.8.

Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych

________________________________________________________________________________________

121

– funkcja gęstości energii wewnętrznej e,
– wektor prędkości v

i

,

– wektor strumienia ciepła h

i

,

– symetryczny tensor naprężenia t

ij

,

– temperatura

θ.

Wielkościami zadanymi są

– gęstość sił zewnętrznych f

i

,

– stałe materiałowe płynu a

0

, a

1

, a

2

,

– współczynniki przewodnictwa cieplnego k

ij

,

– źródła ciepła q.

Różne modele płynu otrzymujemy przez odpowiedni dobór stałych materiałowych płynu:
a) Płyn idealnie nielepki – a

0

= a

1

= a

2

=0

k

l

k

l

p

t

δ

θ

ρ

)

,

(

−

=

,

(13.25)

dla

ρθ

θ

ρ

R

p

=

)

,

(

– gaz idealny Clapeyrona,

dla

β

ρ

θ

ρ

C

p

=

)

,

(

– ciecz politropowa,

b) Płyn lepki niutonowski – a

2

=0

k

l

k

l

k

l

d

a

a

p

t

1

0

)

)

,

(

(

+

+

−

=

δ

θ

ρ

,

(13.26)

c) Płyn nieniutonowski

m

l

k

m

k

l

k

l

k

l

d

d

a

d

a

a

p

t

2

1

0

)

)

,

(

(

+

+

+

−

=

δ

θ

ρ

,

(13.27)

4. Zagadnienie graniczne mechaniki płynów

Zagadnienie graniczne to:

– układ 15-tu równań ewolucyjnych (19)÷(24),
– oraz warunki początkowe i brzegowe.

Warunki początkowe

Ponieważ w równaniach ewolucyjnych występują jedynie pierwsze pochodne po czasie, w
takim razie warunki początkowe określają jedynie poszukiwane wielkości w chwili począt-
kowej, i tak

)

(

)

,

(

),

(

)

,

(

),

(

)

,

(

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

e

t

e

v

t

v

t

i

i

=

=

ρ

=

ρ

. (13.28)

Funkcje

)

(

),

(

),

(

0

0

0

x

x

x

e

v

i

ρ

muszą być zadane w chwili początkowej.

Warunki brzegowe

Warunki brzegowe polegają na podaniu poszukiwanych funkcji na wybranych rozmaito-
ściach (liniach, powierzchniach) materialnych lub przestrzennych w funkcji czasu.
Występuje duża różnorodność tych warunków w zależności od rozważanego zagadnienia.
Obowiązuje kilka zasad formułowania warunków brzegowych:

– Warunki kinematyczne: W przypadku kiedy płyn opływa ciało stałe, wówczas warunki

brzegowe dotyczą pola prędkości płynu na powierzchni ciała stałego. Składowa prędkości

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: styczeń 2007)
________________________________________________________________________________________

122

normalna do powierzchni winna ciała musi być „uzgodniona” z ruchem tej powierzchni.
Jeżeli płyn jest lepki, wówczas dodatkowo składowa prędkości styczna również musi być
„uzgodniona” z ruchem powierzchni co oznacza w praktyce, że płyn przy powierzchni ma
prędkość równą prędkości punktów na powierzchni. Jeżeli powierzchnia jest nieruchoma
to prędkość jest równa zeru.

– Warunki dynamiczne: Na powierzchni swobodnej naprężenia w płynie przy tej po-

wierzchni (normalne i styczne są równe zeru lub równe obciążeniu tej powierzchni.

– Warunki mieszane: Warunki takie występują na (a) powierzchniach materialnych oddziela-

jących dwa płyny o różnych własnościach lub (b) powierzchniach przestrzennych niecią-
głości pól – powierzchniach frontów (np. atmosferycznych, fali uderzeniowej, itp). W tym
przypadku mamy do czynienia z warunkami kinematycznymi i dynamicznymi. Powierzch-
nie te najczęściej są zmienne w czasie.

5. Statyka płynów

Jest to najstarszy dział mechaniki płynów. Zakłada się, że płyn znajduje się w spoczynku v=0.

Równania zagadnienia:

– równanie zachowania masy (19)

( )

0

0

div

=

∂

ρ

∂

⇒

=

ρ

+

∂

ρ

∂

t

t

v

,

(13.29)

– równanie ruchu: dla

k

l

k

l

p

t

δ

θ

ρ

)

,

(

−

=

0

,

0

D

D

|

=

ρ

+

−

⇒

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

ρ

+

i

i

i

i

j

ij

f

p

t

v

f

t

, (13.30)

a) Dla f

i

= 0 ciśnienie p = const co jest zgodne z prawem Pascala.

b) Płyn z polu ciężkości

)

,

0

,

0

(

g

ρ

−

=

f

Z równań (30) mamy

,

,

0

,

0

g

z

p

y

p

x

p

ρ

−

=

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

(13.31)

stąd po scałkowaniu trzeciego równania mamy

,

d

0

0

∫

ρ

−

=

−

z

z

z

g

p

p

(13.32)

a dla płynu jednorodnego i nieściśliwego

,

0

z

g

p

p

ρ

−

=

(13.33)

co zwykle traktuje się jako ciśnienie hydrostatyczne cieczy.

c) Gaz doskonały o równaniu Clapeyrona

ρθ

θ

ρ

R

p

=

)

,

(

. Równanie płynu ma postać

,

θ

−

=

∂

∂

R

pg

z

p

(13.34)

a po scałkowaniu

Konderla P. Mechanika ośrodków ciągłych

________________________________________________________________________________________

123

⎥

⎥
⎦

⎤

⎢

⎢
⎣

⎡

θ

−

=

∫

z

z

z

z

R

g

p

p

0

d

)

(

1

exp

0

.

(13.35)

Zwykle dla atmosfery ziemskiej przyjmuje się liniową zmianę temperatury po wysokości w
postaci funkcji

z

z

α

−

θ

=

θ

0

)

(

stąd po podstawieniu do (35) mamy

α

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

θ

α

−

=

R

g

z

p

p

/

0

0

1

.

(13.36)

6. Zagadnienie interakcji płyn-ciało stałe

8

Przepływ płynu przez zastawkę aortalną. Schemat statyczny na rys. 13.9.

Założenia:

– płyn lepki niutonowski,
– ciało stałe hipersprężyste, deformacje duże, odkształcenia skończone,
– ciśnienie zmienne w czasie, rozkład ciśnienia na rys. 13.10.

Analiza procesu została wykonana MES wykorzystując system ANSYS.
Rozkład prędkości w obszarze płynu pokazano na rys. 13.11.

8

[11] Konderla P., Patralski K.: Analysis of flow through the model of aortic valve bioprothesis

Rys. 13.9. Schemat analizowanej konstrukcji

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej (wersja: styczeń 2007)
________________________________________________________________________________________

124

Rys. 13.11. Rozkład prędkości

Rys. 13.10. Rozkład ciśnienia na wejściu do aorty