Szeregi przemienne

Szereg

∑

n=1

∞

u

n

nazywamy przemiennym, jeśli wyrazy jego są na przemian dodatnie i ujemne.

Przykład:

∑

n=1

∞

(−

1)

n+1

- szereg zbieżny.

Kryterium Leibniza zbieżności szeregów:

jeżeli w szeregu

∑

n=1

∞

u

n

począwszy od pewnego miejsca N bezwzględne wartości

wyrazów szeregu dążą monotonicznie do zera, to znaczy, dla każdego n>N spełnione są warunki:

1.

∣

n

n +1

∣≤∣

n

n

∣

2.

lim

n→∞

u

n

=

0

to szereg jest zbieżny.

Kryterium bezwzględnej zbieżności szeregów:

jeżeli w szeregu

∑

n=1

∞

∣

u

n

∣

, którego wyrazy są wartością bezwzględną wyrazów szeregu

∑

n=1

∞

u

n

, jest zbieżny, to i szereg

∑

n=1

∞

u

n

jest zbieżny.

Szereg

∑

n=1

∞

u

n

nazywamy szeregiem bezwzględnie zbieżnym, jeżeli szereg

∑

n=1

∞

∣

u

n

∣

jest

zbieżny.

Szereg zbieżny, który nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym.

Przykład:

∑

n=1

∞

(−

1)

n+1

n

jest warunkowo zbieżny, ponieważ

∑

n=1

∞

1
n

nie jest zbieżny.

Zadania – zbadać zbieżność podanych szeregów:

1.

∑

n=1

∞

(−

1)

n+1

1
n

(k. Leibniza – zbieżny warunkowo),

2.

∑

n=1

∞

(−

1)

n+1

n

2

(k. Leibniza - szereg bezwzględnie zbieżny),

3.

∑

n=1

∞

(−

1)

n

ln(n)

n

(k. Leibniza - zbieżny warunkowo).