Macierz jednostkowa: I
n
=
1 0 . . .
0 0
0 1 . . .
0 0
... ...
... ...
0 0 . . .
1 0
0 0 . . .
0 1
∈ Mat
n×n
(R),
A · I
n
= I
m
· A dla A ∈ Mat
m×n
(R).
1
Macierz skalarna: c · I
n
=
c 0 . . .
0 0
0
c . . .
0 0
... ...
... ...
0 0 . . .
c 0
0 0 . . .
0
c
∈ Mat
n×n
(R), c ∈ R,
cA = A · (cI
n
) = (cI
m
)
· A dla A ∈ Mat
m×n
(R).
2
Macierz diagonalna:
c
1
0
. . .
0
0
0
c
2
. . .
0
0
...
...
...
...
0
0
. . .
c
n−1
0
0
0
. . .
0
c
n
∈ Mat
n×n
(R), gdzie
c
1
, . . . , c
n
∈ R.
3
c
1
0
. . .
0
0
c
2
. . .
0
...
...
...
0
0
. . .
c
m
·
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
=
c
1
a
11
c
1
a
12
. . .
c
1
a
1n
c
2
a
21
c
2
a
22
. . .
c
2
a
2n
...
...
...
c
m
a
m1
c
m
a
m2
. . .
c
m
a
mn
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
·
c
1
0
. . .
0
0
c
2
. . .
0
...
...
...
0
0
. . .
c
n
=
c
1
a
11
c
2
a
12
. . .
c
n
a
1n
c
1
a
21
c
2
a
22
. . .
c
n
a
2n
...
...
...
c
1
a
m1
c
2
a
m2
. . .
c
n
a
mn
4
Macierz o wymiarach n × n nazywamy kwadratową.
Macierz diagonalna jest macierzą kwadratową. Spośród macierzy
kwadratowych wyróżniamy macierze górnotrójkątna i dolnotrój-
kątne.
Macierz górnotrójkątna:
a
11
a
12
. . .
a
1,n−1
a
1n
0
a
22
. . .
a
2,n−1
a
2n
...
...
...
...
0
0
. . .
a
n−1,n−1
a
n−1,n
0
0
. . .
0
a
nn
,
gdzie a
ij
∈ R.
Macierz A =
h
a
ij
i
i,j=1,...,n
∈ Mat
n×n
(R) jest górnotrójkątna ⇔
a
ij
= 0 dla i > j.
5
Macierz dolnotrójkątna:
a
11
0
. . .
0
0
a
21
a
22
. . .
0
0
...
...
...
...
a
n−1,1
a
n−1,2
. . .
a
n−1,n−1
0
a
n1
a
n2
. . .
a
n,n−1
a
nn
,
gdzie a
ij
∈ R.
Macierz A =
h
a
ij
i
i,j=1,...,n
∈ Mat
n×n
(R) jest dolnotrójkątna ⇔
a
ij
= 0 dla i < j.
6
Niech A ∈ Mat
n×n
(R) będzie macierzą kwadratową.
Macierz B ∈ Mat
n×n
(R) nazywamy odwrotną do macierzy A, jeśli
AB = BA = I
n
.
Oznaczenie macierzy odwrotnej: A
−1
.
Przykłady.
1. Macierzą odwrotną do A =
"
1
a
0 1
#
jest macierz
"
1
−a
0
1
#
.
2. Macierz A =
"
1 2
3 6
#
nie posiada macierzy odwrotnej.
7
3. Macierzą odwrotną do macierzy diagonalnej:
A =
c
1
0
. . .
0
0
c
2
. . .
0
...
...
...
0
0
. . .
0
0
0
. . .
c
n
,
gdzie c
1
, . . . , c
n
6= 0, jest macierz
A
−1
=
c
−1
1
0
. . .
0
0
c
−1
2
. . .
0
...
...
...
0
0
. . .
0
0
0
. . .
c
−1
n
8
Niech A ∈ Mat
m×n
(R) będzie dowolną macierzą:
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
.
Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz
A
T
=
a
11
a
21
. . .
a
m1
a
12
a
22
. . .
a
m2
...
...
...
a
1n
a
2n
. . .
a
mn
,
A ∈ Mat
n×m
(R).
9
Przykłady.
1. Jeśli A =
"
1 2 3
4 5 6
#
, to A
T
=
1 4
2 5
3 6
.
2. Macierzą transponowaną do macierzy diagonalnej jest ta sama
macierz.
3. Macierz transponowana do macierzy górnotrójkątnej jest ma-
cierzą dolnotrójkątną, i na odwrót.
10
Symbolicznie możemy zapisać: A
T
=
h
b
ij
i
n×m
, gdzie b
ij
= a
ji
dla
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Dla dowolnych macierzy A, B i dowolnej liczby c zachodzą rów-
ności
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
, A, B ∈ Mat
m×n
(R),
(cA)
T
= cA
T
,
(AB)
T
= B
T
A
T
, A ∈ Mat
m×n
(R), B ∈ Mat
n×k
(R),
(A
T
)
T
= A.
11
Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeśli A
T
= A,
Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną, jeśli A
T
=
−A.
1 2 3
2 4 5
3 5 6
– symetryczna,
0
1
−3
−1
0
2
3
−2
0
– antysymetryczna,
Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A + A
T
jest sy-
metryczna, a macierz A − A
T
jest antysymetryczna.
12
Zadanie. Przedstawić dowolną macierz kwadratową w postaci
sumy macierzy symetrycznej i macierzy antysymetrycznej. Uza-
sadnić, że takie przedstawienie jest jednoznaczne.
13
Permutacje
Permutacją zbioru
{1, 2, . . . , n} nazywamy bijekcję
σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.
Permutację zapisujemy w postaci tabelki:
σ =
1
2
. . .
n − 1
n
σ(1) σ(2) . . .
σ(n − 1) σ(n)
!
.
Przykład. Permutacja σ =
1 2 3 4
4 1 3 2
!
jest określona następu-
jąco: σ(1) = 4, σ(2) = 1, σ(3) = 3, σ(4) = 2.
14
Zbiór permutacji zbioru
{1, 2, . . . , n} oznaczamy przez S
n
.
Permutacje składamy jak funkcje:
(στ )(i) = σ(τ (i))
dla σ, τ ∈ S
n
, i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Przykład.
1 2 3 4 5 6
3 4 5 6 2 1
!
1 2 3 4 5 6
1 4 6 2 3 5
!
=
1 2 3 4 5 6
3 6 1 4 5 2
!
15
Cykl (a
1
a
2
. . . a
k
) długości k to permutacja σ zbioru {1, 2, . . . , n}
taka, że:
σ(a
1
) = a
2
, σ(a
2
) = a
3
, . . . , σ(a
k−1
) = a
k
, σ(a
k
) = a
1
,
σ(i) = i dla i ∈ {1, 2, . . . , n} \ {a
1
, a
2
, . . . , a
k
}.
Przykład. Cykl (1357) jako permutacja zbioru
{1, 2, . . . , n}:
(1357) =
1 2 3 4 5 6 7 8
3 2 5 4 7 6 1 8
!
.
16
Cykle (a
1
a
2
. . . a
k
) i (b
1
b
2
. . . b
l
) nazywamy rozłącznymi, jeśli zbio-
ry
{a
1
, a
2
, . . . , a
k
} i {b
1
, b
2
, . . . , b
l
} są rozłączne.
Każdą permutację można rozłożyć na cykle rozłączne.
Przykład:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 2 1 9 8 10
!
= (1357)(246)(89).
17
Rozważmy permutację
σ =
1
2
. . .
n − 1
n
c
1
c
2
. . .
c
n−1
c
n
!
.
Parę (c
k
, c
l
) taką, że k < l i c
k
> c
l
, nazywamy nieporządkiem.
Permutację nazywamy parzystą, jeśli liczba jej nieporządków jest
parzysta, a nieparzystą, jeśli ta liczba jest nieparzysta.
18
Znak permutacji σ oznaczamy symbolem sgn(σ). Jeśli σ jest
permutacją parzystą, to sgn(σ) = +1, a jeśli nieparzystą, to
sgn(σ) = −1.
Znak cyklu długości k jest równy (−1)
k−1
.
Znak złożenia permutacji jest równy iloczynowi znaków tych per-
mutacji:
sgn(σ
1
σ
2
. . . σ
m
) = sgn(σ
1
) sgn(σ
2
) . . . sgn(σ
m
).
19
Przykład. Znak permutacji
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 2 1 9 8 10
!
możemy wyznaczyć na dwa sposoby.
1. Nieporządki permutacji σ: (3, 2), (3, 1), (4, 2), (4, 1), (5, 2),
(5, 1), (6, 2), (6, 1), (7, 2), (7, 1), (2, 1), (9, 8). Liczba nieporząd-
ków: 12, znak permutacji: sgn(σ) = +1.
2. Rozkład na cykle rozłączne: σ = (1357)(246)(89),
sgn(σ) = sgn(1357) sgn(246) sgn(89) = (−1) · 1 · (−1) = 1.
20
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Algebra 0 12 permutacje
Algebra 0 12 permutacje
wykład 12 pamięć
Figures for chapter 12
Mechanika techniczna(12)
Socjologia wyklad 12 Organizacja i zarzadzanie
CALC1 L 11 12 Differenial Equations
zaaw wyk ad5a 11 12
budzet ue 11 12
zapotrzebowanie ustroju na skladniki odzywcze 12 01 2009 kurs dla pielegniarek (2)
Stomatologia czesc wykl 12
Etyka 12
RI 12 2010 wspolczesne koncepcje
więcej podobnych podstron