Podstawowe wzory
∫
dx=xC
∫
x
a
=
x
a1
a1
C , a≠−1
∫
dx
x
=
ln∣x∣C , x ≠0
∫
e
x
dx=e
x
C
∫
a
x
dx=
a
x
ln a
C
∫
cos x dx=sin xC
∫
sin x dx =−cos xC
∫
tg x=−ln∣cos x∣C
∫
ctg x=ln∣sin x∣C
∫
dx
cos
2
x
=
tg xC , cos x ≠0
∫
dx
sin
2
x
=−
ctg xC ,sin x≠0
∫
dx
1− x
2
=
arcsin xC ,−1 x1
∫
dx
x
2
1
=
arctg xC
∫
dx
x
2
a
2
=
1
a
arctg
x
a
C
∫
dx
a
2
−
x
2
=
arcsin
x
∣
a∣
C ,∣x∣∣a∣
∫
[
f xg x]dx=
∫
f x dx
∫
g x dx
∫
[
f x− g x ] dx=
∫
f x dx−
∫
g x dx
∫
kf x dx=k
∫
f x dx
Całkowanie przez części
∫
f x g ' x dx= f x g x −
∫
f ' x g x dx
∫
xcosx dx=
∣
f x =x
f ' x=1
g x=sin x g ' x =cos x
∣
=
xsin x−
∫
1sinx dx=x sin xcos xC
Całkowanie przez podstawienie
∫
f x dx=
∫
f t' t dt gdzie x=t
∫
2x−1
3
dx=
∣
2 x−1=t
2d x=dt
d x=
1
2
dt
∣
=
1
2
∫
t
3
du=
1
8
t
4
C=
1
8
2 x−1
4
C
Kilka dodatkowych wzorów wartych zapamiętania
∫
f ' x
f x
dx=ln∣ f x∣C
∫
f ' x e
f x
dx =e
f x
C
∫
f ' x
1[ f x]
2
dx=arctan f x C
∫
f ' x
f x
dx=2
f x C
∫
f ' x cos f x dx=sin f xC
Całki trygonometryczne
Podstawienie uniwersalne.
tan
x
2
=
t ⇒ x=2 arctan t
dx =
2 dt
1t
2
sin x=
2t
1t
2
cos x=
1−t
2
1t
2
Wzory redukcyjne:
n=±1,±2, ...
∫
sin
n
x dx=−
1
n
sin
n−1
x cos x
n−1
n
∫
sin
n−2
x dx
∫
cos
n
x dx=
1
n
cos
n−1
x sin x
n−1
n
∫
cos
n− 2
x dx
Przydatne wzory trygonometryczne:
sin
2
xcos
2
x=1
cos 2x=cos
2
x−sin
2
x=2cos
2
x−1=1−2 sin
2
x
cos
2
x=
1
2
cos2x1
sin
2
x=−
1
2
cos 2x−1
sin 2x=2 sin x cos x
Warto pamiętać, że:
∫
sin x cos
n
xdx=−
1
n1
cos
n1
xC
∫
cos x sin
n
xdx=
1
n1
sin
n1
xC
∫
sin nx dx=−
1
n
cosnxC
∫
cos nx dx=
1
n
sin nxC