Zarządzanie jakością w logistyce

dr inż. Anna Olszewska

[e-mail]

Wykład 5

Instrumentarium zarządzania

- Karty kontrolne

Karta kontrolna (ang. control cart) jest to graficzna ilustracja pomiarów (zwykle
zagregowanych w formie wartości średnich lub innych statystyk) procesu
przemysłowego w czasie.

Amir D. Aczel

Definicja kart kontrolnych

Karta kontrolna, karta z odpowiednim wykresem zaproponowana przez Shewharta
(1924) w celu prezentacji wyników powtarzanego na małą skalę losowania z procesu
produkcyjnego. Wykres składa się z centralnej linii horyzontalnej, odpowiadającej
przeciętnej wartości badanej charakterystyki ilościowej lub jakościowej, oraz granic
kontrolnych dolnej i górnej, między którymi powinna znajdowad się określona proporcja
statystyk z próby. Każda zaznaczona rozbieżnośd powyżej lub poniżej granic kontrolnych
wskazuje, że wystąpiły w procesie nowe czynniki poza czynnikami wywołującymi
zmiennośd losową i czynnikami nieodłącznymi od produkcji na wielką skalę. Punkty poza
granicami kontrolnymi sygnalizują koniecznośd specjalnych badao w celu identyfikacji
nowych czynników. (…)

M. G. Kendalla i W. R. Bucklanda, Słownik terminów statystycznych

górna linia kontrolna
(UCL; upper control limit)

dolna linia kontrolna
(UCL; lower control limit)

linia centralna
(CL; center line)

Linie na wykresie kart kontrolnych

Rodzaje kart w zależności od typu

zmiennej

Karta kontrolna może posiadad mniej linii kontrolnych, niż to zostało zaprezentowane.
Takie karty wykorzystywane są dla zmiennych będących stymulantami i
destymulantami. Wówczas pomijana jest dolna lub górna granica kontrolna, zaś
przekroczenie jej nie sygnalizuje rozregulowania, a korzystne zmiany zachodzące w
analizowanym zjawisku. W przypadku zmiennych będących nominantami wyznaczane
są granice dwustronne. Wówczas schemat kontrolny przebiega zgodnie z podaną
definicją i przedstawieniem graficznym kart.

linia korzystnych zmian

dolna linia kontrolna
(LCL; lower control limit)

linia centralna
(CL; center line)

Linie na wykresie kart kontrolnych dla stymulanty

górna linia kontrolna
(UCL; upper control limit)

linia korzystnych zmian

linia centralna
(CL; center line)

Linie na wykresie kart kontrolnych dla

destymulanty

rozkład wartości

średnich

rozkład procesu

(populacji)



6



6



x

Rozkład całej populacji i rozkład wartości

średnich

rozkład średnich

z próbek

rozkład procesu

Różnorodność rozkładów zmiennych

na karcie kontrolnej

Proces poprawny i precyzyjny

Proces niepoprawny ale precyzyjny

Proces poprawny ale nieprecyzyjny

Proces niepoprawny i nieprecyzyjny

x

0



x

0

=



x

0

=



x

0



Typy procesów

Wydolność procesu –

badanie zgodności między wymaganiami

wynikającymi z projektu, a możliwościami procesu technologicznego,
w którym ten produkt (wyrób lub usługa) ma być wytwarzany.

Badanie to sprowadza się do sprawdzenia, czy spełniona jest
nierówność:

Q(A;Z)



Q

0

gdzie:

Q(A;Z) – oznacza poziom jakości wykonania, którego można oczekiwać
realizując projekt produktu A w procesie technologicznym Z,

Q

0

– najniższy, możliwy do zaakceptowania poziom jakości konkretnego

produktu.

Wydolność procesu

σ

6

x

x

PCI

C

d

g

σ

6

p











d

g

x

x

PCI





σ

6

PCI

PCI

σ

σ

6



gdzie:

x

d



dolna granica przedziału tolerancji (LNL; lower naturel limit);

x

g



górna granica przedziału tolerancji (UNL; upper naturel limit);



– odchylenie standardowe obserwowanej zmiennej losowej o normalnym

rozkładzie prawdopodobieństwa.

Niska względna

zdolność procesu

PCI



<6

PCI

6



<1

Średnia względna

zdolność procesu

6<PCI



<8 1<PCI

6



<1,33

Wysoka względna

zdolność procesu

PCI



>8

PCI

6



>1,33

Znormalizowane wskaźniki wydolności procesu

1.

Dla zmiennej X będącej destymulantą jakości:

2.

Dla zmiennej X będącej stymulantą jakości :

gdzie:



– średnia obserwowanej zmiennej losowej o normalnym rozkładzie

prawdopodobieństwa

σ

3

μ

x

CPU

g





σ

3

x

μ

L

CP

d





Znormalizowane wskaźniki wydolności procesu

f(x)

x

x

0

=



x

g

x

d

f(x)

x

x

0

x

g

x

d



f(x)

x

x

0

x

g

x

d



a)

c)

b)

Przesunięcie wartości średniej i jej wpływ na

wadliwość

σ

3

)}

x

(μ

μ),

min{(x

C

d

g

pk







C

p

=1

C

pk

=1/2

x

d

x

g

1/2

Skorygowany wskaźnik wydolności procesu

Wskaźniki wydolności procesu

k

Prawdopodobieństwo zgodności

ze specyfikacją



k



Prawdopodobieństwo

niezgodności

ze specyfikacją



k



1 0,68

0,32

2 0,954

0,046

3 0,9973

0,0027

4 0,999937

0,000063

5 0,99999943

0,00000057

6 0,999999998

0,000000002

7 0,9999999999974

0,0000000000026

8 0,9999999999999988

0,0000000000000012

9 0,99999999999999999977

0,00000000000000000023

10 0,999999999999999999999985

0,000000000000000000000015

Przy ocenie liczbowej:
Karta kontrolna
Karta kontrolna

-R

Karta kontrolna

-s

Karta pojedynczych obserwacji

Karta średniej ruchomej
Karta sum skumulowanych

x

x

x

Karty kontrolne Shewharta

Przy ocenie alternatywnej:
Karta kontrolna

p

Karta kontrolna

np

Karta kontrolna

c

Karta kontrolna

u

Podział klasycznych kart kontrolnych

H

0

:



t

= x

0

H

1

:



t



x

0

n

u

x

UCL

0

2

/

0









n

u

x

LCL

0

2

/

0















n

i

ti

t

x

n

x

1

1

gdzie:



t

– wartość oczekiwana procesu w momencie t,

x

0

– wartość nominalna procesu,

n – liczebność z próby,

x

it

– kolejne elementy pobrane do próby w momencie t,



0

– maksymalna, dopuszczalna wartość odchylenia standardowego,

u



– kwantyl standaryzowanej zmiennej losowej U~N(0,1), takim że Pr(U>u



/2

)=



/2,



– prawdopodobieństwo zbędnej regulacji.

Linie kontrolne poziomu procesu

H

0

:



t





0

H

1

:



t

>



0

2

;

1

0

1

1













n

n

UCL

2

1

;

1

0

1

1















n

n

LCL











k

i

t

ti

t

x

x

n

s

1

2

)

(

1

1

gdzie:



t

– odchylenie standardowe procesu w momencie t,



0

– maksymalna, dopuszczalna wartość odchylenia standardowego,

s

t

– odchylenie standardowe policzone z próbki n-elementowej w momencie t,



2

– kwantyl standaryzowanej zmiennej losowej chi-kwadrat o (n-1) stopniach swobody,



– prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu,



– prawdopodobieństwo pojawienia się fałszywego sygnału o korzystnych zmianach

w obserwowanym procesie.

Linie kontrolne zmienności procesu (s)

H

0

:



t





0

H

1

:



t

>



0

n

n

f

u

d

UCL

0

0











min

,

max

,

t

t

t

x

x

R





gdzie:



t

– odchylenie standardowe procesu w momencie t,



0

– maksymalna, dopuszczalna wartość odchylenia standardowego,

f

n

, d

n

– parametry zależne od liczebności próbki,

u



– kwantyl standaryzowanej zmiennej losowej U~N(0,1), takim że Pr(U>u



)=



,



– prawdopodobieństwo zbędnej regulacji procesu,



– prawdopodobieństwo pojawienia się fałszywego sygnału o korzystnych zmianach

w obserwowanym procesie.

Linie kontrolne zmienności procesu (R)

n

n

f

u

d

LCL

0

0











n

2

3

4

5

6

d

2

1,128

1,693

2,059

2,534

2,704

f

2

0,853

0,888

0,880

0,848

0,833

H

0

:



t

= x

0

H

1

:



t



x

0

n

d

R

u

x

UCL

2

2

/

0







t

x

gdzie:



t

– wartość oczekiwana procesu w momencie t,

x

0

– wartość nominalna procesu,

x

t

–element pobrany w momencie t,

R – rozstęp pomiędzy kolejnymi pomiarami (pomiędzy x

t

i x

t-1

),

u



– kwantyl standaryzowanej zmiennej losowej U~N(0,1), takim że Pr(U>u



/2

)=



/2,



– prawdopodobieństwo zbędnej regulacji

d

2

– odczyt z tabeli dla próby dwu-elementowej (d

2

=1,169)

Linie kontrolne poziomu procesu

dla pojedynczych obserwacji

n

d

R

u

x

LCL

2

2

/

0







Testy konfiguracji punktów

A

A

B

B

C

C

68,2%

95,4%

99,7%

UCL

CL

LCL

Testy konfiguracji punktów

A

A

B

B

C

C

UCL

CL

LCL

Jeden punkt poza strefą A (p<0,00135) – trwałe przesunięcie średniej.

Testy konfiguracji punktów

A

A

B

B

C

C

UCL

CL

LCL

Piętnaście kolejnych punktów w strefie C – błąd przyrządu pomiarowego,
zmniejszenie rozproszenia, niewłaściwie wyznaczone linie kontrolne,
elementy próbek pochodzą z różnych populacji (p<(0,682)

15

=0,00325).

Testy konfiguracji punktów

A

A

B

B

C

C

UCL

CL

LCL

Osiem kolejnych punktów po tej samej stronie linii centralnej
(p<(0,5)

8

=0,0039) – trwałe przesunięcie średniej.

Testy konfiguracji punktów

A

A

B

B

C

C

UCL

CL

LCL

Osiem kolejnych punktów stale rosnących lub malejących
(p<(0,5)

8

= 0,0039) – przesuwanie się średniej.

Testy konfiguracji punktów

A

A

B

B

C

C

UCL

CL

LCL

Czternaście punktów przemiennie rosnących i malejących –
kolejne próbki pochodzą z różnych maszyn, od różnych operatorów
itp.

Testy konfiguracji punktów

A

A

B

B

C

C

UCL

CL

LCL

Osiem kolejnych punktów poza strefą C (p<(0,0001))

Testy konfiguracji punktów

A

A

B

B

C

C

UCL

CL

LCL

Dwa z trzech kolejnych punktów w strefie A lub poza nią

– ostrzeżenie o możliwości przesunięcia średniej































0015

,

0

9773

,

0

0227

,

0

2

3

2

p

Testy konfiguracji punktów

A

A

B

B

C

C

UCL

CL

LCL

Cztery z pięciu kolejnych punktów w strefie B lub poza nią

– ostrzeżenie o możliwości przesunięcia średniej































0027

,

0

9413

,

0

1587

,

0

4

5

4

p