dr Józef Szymczak
Politechnika Opolska
LICZBY ZESPOLONE
– notatki z wykładu cz. II
4.
Postać wykładnicza liczb zespolonych.
Dla każdej rzeczywistej liczby
ϕ
przyjmujemy następującą zależność:
ϕ
ϕ
ϕ
i
e
i
≡
+
)
sin
(cos
(
e
jest tzw. liczbą Eulera; jest to liczba niewymierna równa w przybliżeniu 2,72).
W związku z tym możemy każdą liczbę zespoloną przedstawić w postaci wykładniczej
ϕ
i
e
z
z
=
Na przykład liczbę
)
sin
(cos
2
2
2
3
2
3
π
π
i
i
z
+
=
−
=
zapiszemy w postaci wykładniczej jako
π
2
3
2
i
e
, natomiast
liczbę zespoloną
π
4
3
2
i
e
z
=
zapiszemy w postaci trygonometrycznej jako
)
sin
(cos
2
4
3
4
3
π
π
i
z
+
=
, a w
postaci algebraicznej jako
i
z
i
+
−
−
=
=
+
1
(
2
)
2
2
2
2
.
Własności symbolu
ϕ
i
e
:
2
1
2
1
)
(
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
i
i
i
e
e
e
⋅
=
+
,
ϕ
ϕ
ik
i
e
e
k
=
)
(
,
ϕ
π
ϕ
i
k
i
e
e
=
+
)
2
(
,
0
≠
ϕ
i
e
,
1
=
ϕ
i
e
.
Zauważmy też, że jeżeli
ϕ
i
e
z
z
=
, to
ϕ
i
e
z
z
−
=
.
Uzasadnić słuszność następującego wzoru:
0
)
1
(
=
+
π
i
e
.
Z postaci wykładniczej liczb zespolonych wygodnie jest korzystać w przypadku mnożenia, dzielenia czy
potęgowania tych liczb.
Przykład 7:
a)
i
i
i
e
e
i
i
i
i
e
e
2
)
0
(
2
))
sin(
(cos(
2
2
2
2
)
2
2
4
7
4
5
4
7
4
5
)
(
4
8
−
=
−
=
−
+
−
=
=
=
−
−
π
π
π
π
π
π
π
,
b)
16
16
2
)
2
(
)
2
(
)
1
(
0
6
4
8
8
8
4
24
4
3
=
=
=
=
=
+
−
e
e
e
e
i
i
i
i
π
π
π
.
Ponieważ
)
sin
(cos
ϕ
ϕ
ϕ
i
e
i
+
=
, to łatwo otrzymamy, że
)
sin
(cos
ϕ
ϕ
ϕ
i
e
i
−
=
−
. Dodając i odejmując
stronami oba wyrażenia otrzymamy, że
ϕ
ϕ
ϕ
cos
2
=
+
−
i
i
e
e
oraz
ϕ
ϕ
ϕ
sin
2
i
e
e
i
i
=
−
−
, skąd wynikają wzory
Eulera:
i
i
i
i
i
e
e
e
e
2
2
sin
;
cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
−
−
=
+
=
.
(Leonard Euler (1707-1783) to szwajcarski matematyk, fizyk i astronom).
5.
Pierwiastkowanie liczb zespolonych.
Pierwiastkiem stopnia
N
n
∈
danej liczby zespolonej
z
nazywamy każdą liczbę zespoloną
w
, spełniającą
warunek
z
w
n
=
. Zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej
z
oznaczamy symbolem
n
z
.
Symbol ten ma jednak inne znaczenie w przypadku liczb zespolonych i nie wolno go używać do obliczeń lecz tylko
do oznaczenia zbioru rozwiązań równania
z
w
n
=
.
Różnicę tę zauważymy, jeśli na przykład zapiszemy symbol
4
1
. W przypadku liczb rzeczywistych mamy
oczywiście
1
1
4
=
. Natomiast w przypadku liczb zespolonych będzie to zbiór wszystkich takich liczb zespolonych,
które podniesione do czwartej potęgi dadzą liczbę 1, czyli
}
,
1
,
,
1
{
1
4
i
i
−
−
=
.
Definicja. Każda liczba zespolona
0
≠
z
ma dokładnie n pierwiastków stopnia n.
Zbiór tych pierwiastków ma postać
}
...,
,
,
{
1
1
0
−
=
n
n
w
w
w
z
, gdzie
1
...,
,
2
,
1
,
0
dla
)
(
2
2
sin
cos
−
=
+
+
+
=
n
k
n
k
n
k
i
z
w
n
k
π
ϕ
π
ϕ
.
Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej.
Zbiór pierwiastków stopnia
3
≥
n
z liczby zespolonej
z
pokrywa się ze zbiorem wierzchołków
n
-kąta
foremnego wpisanego w okrąg o promieniu
n
z
i środku w początku układu współrzędnych. Jeden z
wierzchołków tego
n
-kąta jest w punkcie odpowiadającym liczbie zespolonej
)
(
sin
cos
0
n
n
i
z
w
n
ϕ
ϕ
+
=
, a kąt
między promieniami wodzącymi sąsiednich wierzchołków jest równy
n
π
2
.
Przykład 8:
Obliczyć następujące pierwiastki z liczb zespolonych: a)
3
i
, b)
3
8i
−
, c)
4
2
3
2
1
i
+
−
oraz określić ich
interpretację geometryczną.
Ad 1) Liczba, którą tu pierwiastkujemy, to
2
2
sin
cos
π
π
i
i
+
=
czyli mamy tu
3
,
,
1
2
=
=
=
n
i
π
ϕ
.
Zatem
}
,
,
{
2
1
0
3
w
w
w
i
=
, gdzie
=
0
w
i
2
1
2
3
+
+
+
=
=
)
sin
(cos
)
sin
(cos
1
6
6
2
2
3
3
3
π
π
π
π
i
i
,
=
1
w
i
2
1
2
3
+
+
+
−
=
=
+
+
)
sin
(cos
)
sin
(cos
6
5
6
5
3
2
3
2
2
2
π
π
π
π
π
π
i
i
,
=
2
w
i
−
=
=
+
+
+
+
)
sin
(cos
)
sin
(cos
2
3
2
3
3
4
3
4
2
2
π
π
π
π
π
π
i
i
.
Ad 2) Liczba, którą pierwiastkujemy, to
)
sin
(cos
8
8
2
3
2
3
π
π
i
i
+
=
−
czyli
3
,
,
8
8
2
3
=
=
=
−
n
i
π
ϕ
. Zatem
}
,
,
{
8
2
1
0
3
w
w
w
i
=
−
, gdzie
=
0
w
i
2
=
=
+
+
)
sin
(cos
2
)
sin
(cos
8
2
2
2
3
2
3
3
3
3
π
π
π
π
i
i
,
=
1
w
i
−
−
=
−
=
=
−
+
+
+
+
3
)
(
2
)
sin
(cos
2
)
sin
(cos
8
2
1
2
3
2
3
2
3
6
7
6
7
3
2
3
2
3
i
i
i
π
π
π
π
π
π
,
=
2
w
i
−
=
=
=
−
+
+
+
+
3
)
(
2
)
sin
(cos
2
)
sin
(cos
8
2
1
2
3
2
3
2
3
6
11
6
11
3
4
3
4
3
i
i
i
π
π
π
π
π
π
.
Ad 3) Pierwiastkowana liczba to
3
2
3
2
2
3
2
1
sin
cos
π
π
i
i
+
=
+
−
czyli
4
,
,
1
3
2
2
3
2
1
=
=
=
+
−
n
i
π
ϕ
. Zatem
}
,
,
{
3
,
2
1
0
4
2
3
2
1
w
w
w
w
i
=
+
−
, gdzie
=
0
w
i
2
1
2
3
+
+
+
=
=
6
6
3
2
3
2
sin
cos
sin
cos
4
4
π
π
π
π
i
i
,
=
1
w
i
2
3
2
1
+
+
+
−
=
=
+
+
3
2
3
2
4
2
4
2
sin
cos
sin
cos
3
2
3
2
π
π
π
π
π
π
i
i
,
=
2
w
i
2
1
2
3
−
+
+
−
=
=
+
+
6
7
6
7
4
4
4
4
sin
cos
sin
cos
3
2
3
2
π
π
π
π
π
π
i
i
,
=
3
w
i
2
3
2
1
−
+
+
=
=
+
+
3
5
3
5
4
6
4
6
sin
cos
sin
cos
3
2
3
2
π
π
π
π
π
π
i
i
.
Zwróćmy uwagę na fakt, że dla dowolnej liczby rzeczywistej
0
>
a
mamy
}
,
{
a
i
a
i
a
−
=
−
.
Czyli np.
}
,
{
1
i
i
−
=
−
,
}
3
,
3
{
9
i
i
−
=
−
,
}
5
,
5
{
5
i
i
−
=
−
.
6.
Pierwiastki wielomianów.
Liczbę rzeczywistą (zespoloną)
0
x
nazywamy pierwiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu
W,
jeżeli
0
)
(
0
=
x
W
.
(Tw. Bezouta) Liczba
0
x
jest pierwiastkiem wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P
taki, że
)
(
)
(
)
(
0
x
P
x
x
x
W
−
=
.
Liczba
0
x
jest pierwiastkiem
k
-krotnym
wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
)
(
)
(
)
(
0
x
P
x
x
x
W
k
−
=
.
(Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu)
Niech
0
1
1
1
...
)
(
a
x
a
x
a
x
a
x
W
n
n
n
n
+
+
+
+
=
−
−
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech
liczba całkowita
0
≠
p
będzie pierwiastkiem wielomianu
W. Wtedy
p
jest dzielnikiem wyrazu wolnego
0
a
.
Dla trójmianu kwadratowego
c
bz
az
z
W
+
+
=
2
)
(
o współczynnikach rzeczywistych mamy trzy przypadki
wyznaczania miejsc zerowych ze względu na wartość wyróżnika
ac
b
4
2
−
=
∆
:
1
o
. jeżeli
0
>
∆
, to wielomian
W ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
a
b
a
b
z
z
2
,
2
2
1
∆
+
−
∆
−
−
=
=
;
2
o
. jeżeli
0
=
∆
, to wielomian
W ma jeden dwukrotny pierwiastek rzeczywisty
a
b
z
z
2
2
1
−
=
=
;
3
o
. jeżeli
0
<
∆
, to wielomian
W ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone
a
i
b
a
i
b
z
z
2
,
2
2
1
∆
−
+
−
∆
−
−
−
=
=
.
Zasadnicze twierdzenie algebry: Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden
pierwiastek zespolony.
Przykład 9.
Rozwiązać dane równania w zbiorze liczb zespolonych.
a)
0
1
2
2
2
=
+
+
z
z
.
Mamy tu
4
8
4
−
=
−
=
∆
, czyli
2
4
=
=
∆
−
, zatem
i
i
2
1
2
1
2
1
2
1
+
−
=
+
−
−
−
=
−
−
=
=
4
2
2
,
4
2
2
2
1
i
i
z
z
.
(Można tu też zastosować podejście związane z oznaczeniem
}
2
,
2
{
4
i
i
−
=
−
=
∆
).
b)
0
4
8
5
2
2
3
4
=
+
−
+
−
z
z
z
z
.
Zauważmy, że
1
=
z
jest jednym z rozwiązań. Zatem możemy podzielić wielomian znajdujący się z lewej
strony równości przez dwumian
1
−
z
i wyjściowe równanie możemy zapisać w formie
0
)
1
)(
4
4
(
2
3
=
−
−
+
−
z
z
z
z
. Zwróćmy z kolei uwagę, że
1
=
z
jest również miejscem zerowym wielomianu
stopnia trzeciego. Po wykonaniu kolejnego dzielenia przez dwumian
1
−
z
otrzymamy zapis równania w
formie
0
)
1
)(
4
(
2
2
=
−
+
z
z
. Ponieważ
4
2
−
=
z
w przypadku gdy
i
z
2
−
=
lub
i
z
2
=
, a więc zbiorem
rozwiązań wyjściowego równania są trzy liczby:
1}
2
2
{
,
, i
i
−
(liczba 1 jest tu pierwiastkiem podwójnym).