LICZBY ZESPOLONE
Definicja 1 ( liczba zespolona, działania w zbiorze liczb zespolonych) Liczbą
zespoloną nazywamy
uporządkowaną parę
liczb
rzeczywistych, np. ( x, y), ( a, b).
y
y
z = ( x, y)
x
x
LICZBY ZESPOLONE 2 / 23
Zbiorem liczb zespolonych nazywamy:
def
C = {
z = ( x, y) : x, y ∈ }
R .
Niech z = ( x , y ), z = ( x , y ) i z , z
.
1
2 ∈ C
1
1
1
2
2
2
W zbiorze C wprowadzamy dwa działania:
def
1.
sumę
z + z = ( x + x , y + y ), 1
2
1
2
1
2
def
2.
iloczyn
z ⋅ z = ( x x − y y , x y + x y ).
1
2
1 2
1 2
1 2
2 1
LICZBY ZESPOLONE 3 / 23
Fakt 1 ( własności działań w zbiorze liczb zespolonych) Niech z , z , z będą dowolnymi liczbami zespolonymi.
1
2
3
Wtedy:
1.
z + z = z + z ,
1
2
2
1
2.
( z + z ) + z = z + ( z + z ), 1
2
3
1
2
3
def
3.
z + 0 = z,
gdzie 0 = ( 0
,
0 ),
def
4.
z + (− z) = 0,
gdzie − z = (− x,− y),
5.
z ⋅ z = z ⋅ z ,
1
2
2
1
LICZBY ZESPOLONE 4 / 23
( z ⋅ z ) ⋅ z = z ⋅ ( z ⋅ z ), 1
2
3
1
2
3
def
7.
z ⋅1 = z,
gdzie 1 =
0
,
1
(
),
1
1 def
x
y
8.
z ⋅ = 1,
gdzie
=
, −
z
z
2
x + 2
2
y
x + 2
y
oraz z ≠ 0,
9.
z ⋅ ( z + z ) = z ⋅ z + z ⋅ z ).
1
2
3
1
2
1
3
LICZBY ZESPOLONE 5 / 23
Definicja 2 ( róŜnica i iloraz liczb zespolonych) Niech z , z będą dowolnymi liczbami zespolonymi.
1
2
def
1.
z − z = z + (− z ),
1
2
1
2
z def
1
2.
1 = z ⋅ ,
o ile z
0.
2 ≠
1
z
z
2
2
Uwaga 1
Wszystkie reguły czterech podstawowych działań algebraicznych znane dla liczb rzeczywistych są prawdziwe równieŜ dla liczb zespolonych.
LICZBY ZESPOLONE 6 / 23
Definicja 3 ( jednostka urojona)
def
i = (
)
1
,
0
.
2
i = ?
Fakt 2 ( postać algebraiczna liczby zespolonej)
KaŜdą liczbę zespoloną moŜna jednoznacznie zapisać w postaci:
z = x + i ⋅ y , gdzie x, y ∈ R.
def
Re z = x – część rzeczywista liczby zespolonej z, def
Im z = y – część urojona liczby zespolonej z.
LICZBY ZESPOLONE 7 / 23
Definicja 4 ( sprzęŜenie liczby zespolonej) SprzęŜeniem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie x, y ∈ R
nazywamy liczbę z określoną wzorem:
z = x − iy .
Fakt 3 ( własności sprzęŜenia liczb zespolonych)
Niech z
, z
, z będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy:
1
2
1.
z + z = z + z ,
1
2
1
2
5.
( z) = z,
2.
z − z = z − z ,
− =
1
2
1
2
6.
z
z
i
2 Im z ,
3.
z ⋅ z = z ⋅ z ,
7.
z + z = 2 Re z,
1
2
1
2
= −
z
z
8.
Im( z)
Im z .
4.
1
1
=
, o ile z ≠ 0,
z
z
2
2
2
LICZBY ZESPOLONE 8 / 23
Definicja 5 ( moduł liczby zespolonej) Modułem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie x, y ∈ R nazywamy liczbę z określoną wzorem:
def
2
2
z = x + y .
Fakt 4 ( własności modułu liczb zespolonych)
Niech z , z , z będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy: 1
2
1. z = z = − z ,
5. z + z ≤ z + z ,
1
2
1
2
−
≤
−
2.
2
z ⋅ z = z ,
6. z
z
z
z ,
1
2
1
2
3. z ⋅ z = z ⋅ z ,
7. Re z ≤ z , Im z ≤ z ,
1
2
1
2
⋅
≤
⋅
z
z
8. Re( z z )
z
z .
1
2
1
2
4.
1
1
=
, o ile z ≠ 0,
z
z
2
2
2
LICZBY ZESPOLONE 9 / 23
Definicja 6 ( argument i argument główny liczby zespolonej) Argumentem liczby zespolonej z = x + iy ≠ 0, gdzie x, y ∈ R
nazywamy kaŜdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą układ równań:
ϕ = x
cos
z
.
ϕ = y
sin
z
Przyjmujemy, Ŝe argumentem dla z = 0 jest kaŜda liczba ϕ ∈ R.
LICZBY ZESPOLONE 10 / 23
Argumentem głównym (ozn. arg z) liczby zespolonej z ≠ 0
nazywamy argument ϕ tej liczby spełniający: 0 ≤ ϕ < π
2 .
Przyjmujemy, Ŝe argumentem głównym dla z = 0 jest 0.
Dla z ≠ 0 mamy zatem:
ϕ = arg z + 2 kπ , gdzie k ∈ Z .
LICZBY ZESPOLONE 11 / 23
Fakt 5 ( o argumentach z, − z, )
z
Niech z ≠ 0 będzie dowolna liczbą zespoloną. Wtedy:
1.
arg z = 2π − arg z ;
arg z + π , dla
0 ≤ arg z < π ,
2.
arg(− z) =
arg z − π , dla π ≤ arg z < 2π ;
1
3.
arg = 2π − arg z .
z
LICZBY ZESPOLONE 12 / 23
Fakt 6 ( postać trygonometryczna liczby zespolonej) KaŜdą liczbę zespoloną z moŜna przedstawić w postaci:
z = r(cosϕ + i sinϕ ),
gdzie liczba r ≥ 0 jest modułem liczby z, a ϕ ∈ R jednym z jej argumentów.
Im z
z
r
ϕ
Re z
LICZBY ZESPOLONE 13 / 23
Fakt 7 ( postać trygonometryczna – mnoŜenie i dzielenie) Niech z = r (cosϕ + i sinϕ )
z = r (cosϕ + i sinϕ
1
1
1
1 i
)
2
2
2
2
(gdzie r , r ≥ 0, ϕ ,ϕ
) będą liczbami zespolonymi.
1
2 ∈ R
1
2
Wtedy:
z ⋅ z = r ⋅ r [cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )], 1
2
1
2
1
2
1
2
z
r
1
1
= [cos(ϕ −ϕ ) + i sin(ϕ −ϕ )], o ile z ≠ 0.
1
2
1
2
z
r
2
2
2
LICZBY ZESPOLONE 14 / 23
Fakt 8 ( postać trygonometryczna – własności) Niech z = r(cosϕ + i sinϕ ), gdzie r ≥ 0 oraz ϕ ∈ R.
Wtedy:
1. z = r[cos( ϕ
− ) + i sin( ϕ
− )],
1
1
2.
= [cos( ϕ
− ) + i sin( ϕ
− )], o ile z ≠ 0,
z
r
3. − z = r[cos(ϕ + π ) + i sin(ϕ + π )], 4. zn = rn (cos nϕ + i sin ϕ
n ), gdzie n ∈ N . ( wzór Moivre’a) LICZBY ZESPOLONE 15 / 23
Fakt 9 ( o argumentach iloczynu, potęgi i ilorazu) Niech z
, z
, z
oraz n ∈ N . Wtedy:
1
2 ∈ C
1. arg( z z ) = arg z + arg z + 2 k dla k = 0 lub k = 1
− ,
1 2
1
2
π
2. arg( zn ) = n arg z + 2 kπ dla pewnego k ∈ Z ,
z
3. arg
1
= arg z − arg z + 2 k dla k = 0 lub k = 1, o ile z ≠ 0.
1
2
π
z
2
2
Liczbę k dobieramy tak, aby argument główny naleŜał do , 0 2π ).
LICZBY ZESPOLONE 16 / 23
Definicja 7 ( symbol i
e )
ϕ
Dla ϕ ∈ R liczbę zespoloną cosϕ + i sinϕ oznaczamy przez i e .
ϕ
ei = cosϕ + i sinϕ .
Im z
ϕ
i
e
ϕ
1
Re z
LICZBY ZESPOLONE 17 / 23
Fakt 10 ( własności symbolu i
e )
Niech ϕ,ϕ ,ϕ
oraz k ∈ Z . Wtedy:
1
2 ∈ R
i ϕ ϕ
+
ϕ
iϕ
1.
(
i
ϕ
1
2 )
1
i 2
e
= e ⋅ e ,
5.
e
≠ 0,
ϕ
i
ϕ
1
i
e
=
i ϕ ϕ
−
e
6.
1,
2.
( 1
2 )
e
= ϕ ,
i 2
e
iϕ
i
1
ϕ
7.
e
= e 2 ⇔ ϕ =
+
,
1
ϕ
2
2
π
l
ϕ k
3.
( ie ) i ϕ k
= e ,
gdzie l ∈ Z ,
i ϕ
( +2 kπ
ϕ
4.
)
ϕ
i
e
= e ,
8.
arg( ei ) = ϕ + 2 π
l
dla pewnego l ∈ Z .
LICZBY ZESPOLONE 18 / 23
Niech ϕ ∈ R.
Prawdziwe są wzory:
ϕ
i
− ϕ
i
ϕ
− ϕ
e
+ e
ei − e i
cosϕ =
; sinϕ =
.
2
i
2
LICZBY ZESPOLONE 19 / 23
Fakt 12 ( postać wykładnicza liczby zespolonej) KaŜdą liczbę zespoloną z moŜna przedstawić w postaci:
ϕ
i
z = re ,
gdzie liczba r ≥ 0 jest modułem liczby z, a ϕ ∈ R jednym z jej argumentów.
LICZBY ZESPOLONE 20 / 23
Fakt 13 ( postać wykładnicza – własności) ϕ
ϕ
ϕ
Niech
i
z = re ,
i 1
z = r e ,
i 2
z = r e
, gdzie r, r , r ≥ 0,
1
1
2
2
1
2
ϕ,ϕ ,ϕ
, będą liczbami zespolonymi. Ponadto niech k ∈ Z .
1
2 ∈ R
Wtedy:
−
1.
ϕ
i
z = re
,
4.
k
k ikϕ
z = r e
,
i ϕ +
2.
(
π )
− z = re
,
i ϕ ϕ
+
5.
(
)
1
2
z ⋅ z = r r e
,
1
2
1 2
1
−
z
r
3.
ϕ
i
= 1 e , o ile z ≠ 0,
ϕ ϕ
−
6.
1
2
(
)
1
2
=
i
e
, o ile z ≠ 0.
z
r
z
r
2
2
2
LICZBY ZESPOLONE 21 / 23
Definicja 8 ( pierwiastek z liczby zespolonej) Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy kaŜdą liczbę zespoloną w spełniającą równanie:
wn = z.
LICZBY ZESPOLONE 22 / 23
Fakt 14 ( wzór na pierwiastki z liczby zespolonej) KaŜda liczba zespolona z = r(cosϕ + i sinϕ ), gdzie r ≥ 0 oraz ϕ ∈ R, ma dokładnie n pierwiastków stopnia n.
Zbiór tych pierwiastków ma postać:
n z { z , z ,K
=
, z } ,
0
1
n
ϕ 2 π
ϕ 2 π
n
+ k
+ k
gdzie z
cos
sin
dla k =
,
2
,
1
,
0
K
, n −1.
k =
r
+ i
n
n
LICZBY ZESPOLONE 23 / 23