Czynnik całkujący

2)

 =



 ,





−




  = 

  

3)

,  =  ∗ 



 −



 = ,  ∗  − ,  ∗


 = 

 

 = 

  

,  =  ∗ 

RÓWNANIA BERNOULLIEGO





+  = !

"



#"

= $

RÓWNANIA DRUGIEGO RZĘDU

% &', (



, ("



= " =



 = ′

2)

&(, (



, ("



=  ," =

+


∗



= ∗

+


RÓWNANIA LINIOWE 2-RZĘDU JEDNORODNE

1)

∆> ., /

%

, /

0

 = 1



∗ 

23∗

+ 1

4

∗ 

25∗

2)

∆= ., /

%

= /

0

 = 1



∗  + 1

4

 ∗ 

2

3)

∆< 0, /

%

= 8 + 9:, /

0

= 8 − 9:

 = 

;

1



∗ <=>? + 1

4

∗ >@A?

STYCZNA I NORMALNA DO KRZYWEJ PŁASKIEJ

1)

( = B'Styczna:  − 

C

= 





C

 − 

C



Normalna:

 − 

C

 + 





C

 − 

C



2)

&', ( = .Styczna: D



 − 

C

 + D



 − 

C

 = 0

Normalna:

D



 − 

C

 − D



 − 

C

 = 0

3)

' = 'E, ( = (E, '

.

= 'E

.



Styczna:

,  = 

C

, 

C

 + F



G,



GH ∗ >

Normalna:

 − 

C

 ∗ 



G +  − 

C

 ∗ 



G = 0

KRZYWIZNA I PROMIEŃ KRZYWIZNY

1)

( = B' I

J

=

[LM5]

O

5

|"|

Q =  − 



∗

1 + ′

4

" ; T =  +

1 + ′

4

"

2)

' = 'E, ( = (E I

U

=

 M5LM5

O

5

V M"-x"MV

Q =  − 



∗



4

+ 

4





-x



; T =  + 



∗



4

+ 

4





-x



OKRĄG KRZYWIZNOWY

 − Q

4

+  − T

4

= I

4

ASYMPTOTY 1)

 = 

Asymptota pozioma:

 = Y ∗  + Z

Y = lim

→_



 ; Z = lim

→_

[ − Y]

Asymptota pionowa:

 = `, lim

→;

 = ∓∞

PUNKTY OSOBLIWE

c = "





"

W<0 – pkt.węzł,, W>0 – pkt.iz., W=0 - pkt.zwr.

Styczna:

"+2dxdy*m+ y" ∗ Y

4

= 0

TRÓJŚCIAN FRENETA

-pł norm T

 − 

C





G +  − 

C





G + $ − $

C

$



G = 0

-pł ściś stycz A:

 − 

C

h



G +  − 

C

h

4

G + $ − $

C

h

i

G = 0

-pł. Prost.

 − 

C

j



G +  − 

C

j

4

G + $ − $

C

j

i

G = 0

- pr sty.:

, , $ = 

C

,

C

, $

C

 + F



G,



G, $



GH ∗ >

- normalna główna:

, , $ = 

C

, 

C

, $

C

 + Fj



G, j

4

G, j

i

GH ∗ >

- binormalna:

, , $ = 

C

, 

C

, $

C

 + Fh



G, h

4

G, h

i

GH ∗ >

KRZYWIZNA I SKRĘCENIE KRZYWEJ PRZESTRZENNEJ

I =

 M5LM5LkM5

O

5

lm35Lm55LmO5

k=1/R

Skręcenie krzywej:

n =

m3 "Lm5"LmOk"

m35Lm55LmO5

PŁASZCZYZNA I STYCZNA DO POWIERZCHNI

1)

&', (, o = .Pł. styczna: D



 − 

C

 + D



 − 

C

 + D



$$ − $

C

 = 0

Pr. normalna:

, , $ = 

C

, 

C

, $

C

 + Apq ∗ G,
$@ Apq = [D



, D



, D



$]

2)

o = &', ( Pł. styczna: $ − $

C

= D



 − 

C

 + D



 − 

C



A = [−D



, −D



, 1]

3)

' = 'E, r, ( = (E, r, o = oE, r

`q = s



G ,



G ,

$

Gt

?pq = u

v

,


v

,

v

w Apq = `q?pq = [A



, A

4

, A

i

]

A



 − 

C

 + A

4

 − 

C

 + A

i

$ − $

C

 = 0