Konspekt lekcji matematyki
Autor:
Klasa: I liceum
Dział tematyczny: Trygonometria kąta ostrego
Temat: Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30
◦
, 45
◦
i 60
◦
.
Program: Oficyna Edukacyjna*Krzysztof Pazdro
Baza:
- Uczeń zna pojęcie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kąta ostrego;
- Uczeń zna własności trójkąta równobocznego oraz kwadratu.
Cele:
- Uczeń poznaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30
◦
, 45
◦
i 60
◦
;
- Uczeń wie jak wyprowadzić wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30
◦
, 45
◦
i 60
◦
;
- Uczeń potrafi zastosować w zadaniach poznane wiadomości.
Metody:
- Podająca (naprowadzenie uczniów na sposób wyznaczania wartości funkcji trygonometrycznych
kątów 30
◦
, 45
◦
i 60
◦
);
- Poszukująca (samodzielne kroki związane z wyprowadzaniem wartości funkcji trygonometrycznych
30
◦
, 45
◦
i 60
◦
);
- Praktyczna (liczenie zadań).
Zasady:
- Trwałości wiedzy (zadanie pracy domowej);
- Świadomego i aktywnego udziału ucznia w procesie nauczania i uczenia się (samodzielne rozwiązy-
wanie zadań, samodzielne wykonywanie niektórych kroków w wyprowadzaniu wartości trygono-
metrycznych kątów 30
◦
, 45
◦
i 60
◦
);
- Przystępności (wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych do obliczenia wartości funkcji
trygonometrycznych kątów 30
◦
, 45
◦
i 60
◦
, dobór zadań według możliwości uczniów);
- Systematyczności (przypomnienie wiadomości na początku lekcji);
- Poglądowości (pomoc w rozwiązywaniu zadań oraz w obliczaniu wartości funkci trygonome-
trycznych kątów 30
◦
, 45
◦
i 60
◦
w postaci rysunku).
1
Szczegółowy przebieg lekcji:
Czynności wstępne:
Witam się z uczniami i sprawdzam obecność. Podaję temat lekcji: Wartości funkcji trygono-
metrycznych dla kątów 30
◦
, 45
◦
i 60
◦
.
Część przypominająca:
Przypominam z uczniami wiadomości dotyczące trygonometrii kąta ostrego, które poznali na
poprzedniej lekcji.
Przykładowe pytania:
— Czy jest sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym?
— Czym jest tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym?
— Czy wartości sinusa zależą od trójkąta jaki sobie wybierzemy?
— A czy wartości cosinusa, tangensa lub cotangensa zależą os trójkąta?
Część wprowadzająca:
Przypominam uczniom, że w nowym dziale - trygonometrii zajmujemy się trójkątami pros-
tokątnymi.
Mówię uczniom, że na dzisiejszej lekcji poznamy wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i
cotangens kątów 30
◦
, 45
◦
i 60
◦
.
Pytam uczniów, gdzie spotkali się z kątem 60
◦
. Oczekuję odpowiedzi, że w trójkącie równobocznym.
Rysuję trójkąt rownoboczny na tablicy:
a
a
a
60
◦
Następnie pytam uczniów, jak możemy znaleźć na rysunku trójkąt prostokątny.
Oczekuję
odpowiedzi, że wystarczy dorysować wysokość.
Dorysowujemy wysokość oraz zaznaczamy na
kolorowo trójkąt prostokątny. Pytając uczniów o długości boków tego trójkąta, uzupełniam ry-
sunek:
a
60
◦
a
a
2
a
√
3
2
Następnie proszę uczniów, aby policzyli sinus kąta 60
◦
posługując się narysowanym trójkątem.
Po chwili, pytając uczniów, zapisuję obliczenia na tablicy:
sin 60
◦
=
a
√
3
2
a
=
√
3
2
2
W analogiczny sposób obliczamy cosinusa, tangensa i cotangensa 60
◦
. Również zapisuję obliczenia
na tablicy:
cos 60
◦
=
a
2
a
=
1
2
tg 60
◦
=
a
√
3
2
a
2
=
√
3
2
·
2
1
=
√
3
ctg 60
◦
=
a
2
a
√
3
2
=
1
2
·
2
√
3
=
1
√
3
·
√
3
√
3
=
√
3
3
Następnie pytam uczniów, gdzie można znaleźć kąt 30
◦
. Jeśli uczniowie nie mają pomysłu,
to podpowiadam, że dokładnie w tym samym trójkącie, który rozpatrywaliśmy. Dochodzimy do
wniosku, że kąt 30
◦
znajduje się między wysokością, a ramieniem powyższego trójkąta
równobocznego.
Zaznaczamy ten kąt na rysunku i proszę uczniów, żeby policzyli sinus kąta 30
◦
wykorzystując
ten sam zaznaczony trójkąt:
a
60
◦
30
◦
a
a
2
a
√
3
2
Po chwili zapisuję na tablicy obliczenia, pytając o odpowiedzi uczniów:
sin 30
◦
=
a
2
a
=
1
2
W analogiczny sposób obliczamy cosinusa, tangensa i cotangensa 30
◦
. Również zapisuję obliczenia
na tablicy:
cos 30
◦
=
a
√
3
2
a
=
√
3
2
tg 30
◦
=
a
2
a
√
3
2
=
1
2
·
2
√
3
=
1
√
3
·
√
3
√
3
=
√
3
3
ctg 30
◦
=
a
√
3
2
a
2
=
√
3
2
·
2
1
=
√
3
Następnie pytam uczniów o wartościach funkcji trygonometrycznych jakiego kąta jeszcze wspo-
minałam przy podawaniu tematu lekcji. Chodzi o kąt 45
◦
. Proszę uczniów, żeby zastanowili się,
gdzie spotkali się z takim kątem. Po krotkiej dyskusji dochodzimy do wniosku, że kąt 45
◦
występuje
między bokiem a przekątną w kwadracie.
Rysuję na tablicy kwadrat, zaznaczam jego przekątną i kąt 45
◦
oraz pytam uczniów, gdzie
jest trójkąt, który nas interesuje (czyli trójkąt prostokątny, którego jeden z kątów ostrych wynosi
45
◦
). Po odpowiedzi uczniów, zaznaczam na rysunku odpowiedni trójkąt. Pytam także o dłu-
gość przekątnej kwadratu, aby uzyskać długości wszystkich boków trójkąta, który nas interesuje.
Zaznaczam tę wartość na rysunku:
3
45
◦
a
a
a
√
2
Proszę uczniów, żeby spróbowali samodzielnie policzyć wartości funkcji trygonometrycznych
dla kąta 45
◦
. Po chwili zapisuję obliczenia na tablicy, uczniowie dyktują:
sin 45
◦
=
a
a
√
2
=
1
√
2
·
√
2
√
2
=
√
2
2
cos 45
◦
=
a
a
√
2
=
1
√
2
·
√
2
√
2
=
√
2
2
tg 45
◦
=
a
a
= 1
ctg 45
◦
=
a
a
= 1
Następnie proszę uczniów, żeby narysowali tabelkę, w której zbierzemy otrzymane wyniki. Ry-
suję na tablicy tabelkę i uzupełniam ją z uczniami:
1
2
2
α
30
◦
45
◦
60
◦
1
2
sin α
1
2
√
2
2
√
3
2
1
2
cos α
√
3
2
√
2
2
1
2
1
2
tg α
√
3
3
1
√
3
1
2
ctg α
√
3
1
√
3
3
Kiedy uczniowie uzupełnią w zeszytach notatkę, przechodzimy do zadań z podręcznika. Do
każdego przykładu proszę chętnych uczniów. Zaplanowane zadania wraz z rozwiązaniami przed-
stawiam poniżej:
Zadanie 1
Oblicz:
a) 2 sin 30
◦
+ tg 45
◦
+ 3 cos 60
◦
= 2 ·
1
2
+ 1 + 3 ·
1
2
= 1 + 1 +
3
2
= 3
1
2
b) tg 30
◦
· ctg 60
◦
− ctg 45
◦
=
√
3
3
·
√
3
3
− 1 =
1
3
− 1 = −
2
3
c) sin 60
◦
· cos 30
◦
+ sin 45
◦
· cos 45
◦
=
√
3
2
·
√
3
2
+
√
2
2
·
√
2
2
=
3
4
+
2
4
=
5
4
d) (tg 30
◦
− ctg 30
◦
) : cos 30
◦
= (
√
3
3
−
√
3) :
√
3
2
= −
2
3
√
3 ·
2
√
3
= −
4
3
e) ctg 45
◦
· cos 60
◦
− sin 60
◦
· tg 60
◦
= 1 ·
1
2
−
√
3
2
·
√
3 =
1
2
−
3
2
= −1
f) 4ctg
2
30
◦
− tg
2
30
◦
= 4 · (
√
3)
2
−
√
3
3
2
= 4 · 3 −
1
3
= 11
2
3
4
Zadanie 2
W trójkącie równoramiennym ramię ma długość 12 cm, a kąt przy podstawie ma 30
◦
. Oblicz
długości wszystkich wysokości tego trójkąta.
12
30
◦
12
h
1
h
2
h
3
x
h
2
= h
3
x
2
+ 6
2
= 12
2
sin 30
◦
=
h
2
2x
=
h
2
12
√
3
sin 30
◦
=
h
1
12
x
2
= 144 − 36
1
2
=
h
2
12
√
3
1
2
· 12 = h
1
x
2
= 108
1
2
· 12
√
3 = h
2
h
1
= 6 [cm]
x = 6
√
3 [cm]
h
2
= 6
√
3 [cm]
Następnie przechodzimy do przykładów ze zbioru zadań:
Zadanie 1
Oblicz:
a) 4 · cos 60
◦
· sin 30
◦
− cos 30
◦
· sin 60
◦
= 4 ·
1
2
·
1
2
−
√
3
2
·
√
3
2
= 1 −
3
4
=
1
4
b) ctg 30
◦
· ctg 45
◦
: (ctg 60
◦
· tg 45
◦
) =
√
3 · 1 : (
√
3
3
· 1) = 3
c) 18 · sin 30
◦
· tg 30
◦
: (cos 30
◦
· tg 60
◦
) = 18 ·
1
2
·
√
3
3
: (
√
3
2
·
√
3) = 3
√
3 :
3
2
= 3
√
3 ·
2
3
= 2
√
3
d) 6 · (sin 30
◦
· cos 45
◦
· ctg 60
◦
) : (ctg 30
◦
· sin 45
◦
) = 6 · (
1
2
·
√
2
2
·
√
3
3
) : (
√
3 ·
√
2
2
) =
= 6 ·
√
6
12
·
2
√
6
= 1
e) 12 · (tg 60
◦
− cos 60
◦
) · (tg 30
◦
+ cos 30
◦
) = 12 · (
√
3 −
1
2
)(
√
3
3
+
√
3
2
) = 12 · (1 −
√
3
6
+
3
2
−
√
3
4
) =
= 12 · (
5
2
−
10
√
3
24
) = 30 − 5
√
3
f) (sin 45
◦
+ ctg 45
◦
)(6 · sin 60
◦
− ctg 30
◦
) = (
√
2
2
+ 1)(6 ·
√
3
2
−
√
3) = (
√
2
2
+ 1)(3
√
3 −
√
3) =
(
√
2
2
+ 1)2
√
3 =
√
6 + 2
√
3
Część podsumowująca:
Kiedy zbliża się koniec lekcji, podsumowuje z uczniami wiadomości, które poznali na dzisiejszej
lekcji. Pytam, w jaki sposób możemy policzyć wartości funkcji trygonometrycznych poszczególnych
kątów. Przypominamy również wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30
◦
, 45
◦
i 60
◦
.
Zadanie domowe:
Do domu zadaję przykłady z zadania, na którym aktualnie skończymy lekcję. Rozwiązania
przedstawiłam powyżej.
5