Część 2

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

1

POLITECHNIKA POZNAŃSKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI

ĆWICZENIE NR 2

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

OD OSIADANIA PODPÓR.

Agnieszka Sysak
Gr 3

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

Część 2

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

2

Dla układu

1

3

6

2

4

[m]

EJ

EJ

EJ

1,389EJ

1,389EJ

0,004 m

0,006 m

0,005 m

0,002 rad

o danych parametrach geometrycznych i fizycznych:

J =3060 cm

4

E=205 GPa

EJ =6273 kNm

2

przyjęto układ podstawowy (SGN = 3):

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

u

3

R

3

R

2

φ

3

φ

2

R

1

0,004 m

0,006 m

0,005 m

0,002 rad

Ponieważ dodaliśmy do układu podpory, zakładamy, że reakcje w tych podporach są równe zero. Rozpisując

układ równań kanonicznych otrzymamy:

R

1

=r

11

⋅Z

1

r

12

⋅Z

2

r

13

⋅Z

3

r

1

=0

R

2

=r

21

⋅Z

1

r

22

⋅Z

2

r

23

⋅Z

3

r

2 

=0

R

2

=r

31

⋅Z

1

r

32

⋅Z

2

r

33

⋅Z

3

r

3

=0

Ponieważ układ podstawowy jest identyczny jak dla obciążenia zewnętrznego wartości r

ik

pozostaną

niezmienione. Wystarczy obliczyć jedynie wartości r

i∆

.

Zadany obrót węzła 5 stanie się dodatkowym kątem obrotu φ

5

(∆ )

= -0,002 rad.

Nieznane kąty obrotu cięciwy prętów powstałe w wyniku działania zadanych osiadań obliczymy zapisując

równania łańcucha kinematycznego układu.

1

3

6

2

4

[m]

ψ

01

(∆)

0

1

2

3

4

ψ

34

(∆)

ψ

25

(∆)

ψ

23

(∆)

5

ψ

12

(∆)

0,004 m

0,006 m

0,005 m

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

Część 2

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

3

 43

0,005 4 ⋅

34



=0

⇒



34



=−0,00125 rad

 523

4 ⋅

25



=0

⇒



25



=0

 5234

−2 ⋅

25



6 ⋅

23



=0,006

⇒



23



=0,001 rad

 0125

0,004 6 ⋅

12



2 ⋅

25



=0

⇒



12



=−0,0006 rad

 0123

3 ⋅

01



1 ⋅

12



=0

⇒



01



=0,000 2rad

Podstawiając wartości Ψ

ik

(∆)

, φ

5

(∆)

, oraz EJ do wzorów transformacyjnych otrzymamy wartości momentów w

stanie ∆:

M

01



= 3 EJ

3





0



−

01





=−1,3940 [kNm]

M

21



= 3

⋅1,389 EJ



37





2



−

12





=2,8649 [kNm]

M

25



= 2 EJ



20



2 

2





5



−3 

25





=−5,6107 [kNm]

M

52



= 2 EJ



20





2



2 

5



−3 

25





=−11,2215 [kNm]

M

23



= 2

⋅1,389 EJ

6



2 

2





3



−3 

23





=−8,7132 [kNm]

M

32



= 2

⋅1,389 EJ

6





2



2 

3



−3 

23





=−8,7132 [kNm]

M

34



= 2 EJ

4



2 

3





4



−3 

34





=11,7619 [kNm]

M

43



= 2 EJ

4





3



2 

4



−3 

34





=11,7619 [kNm]

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

1

3

6

2

4

[m]

ψ

01

=

0

1

2

3

4

ψ

34

=

ψ

25

=

ψ

23

=

5

ψ

12

=-

z

3

=1

r

2∆

r

1∆

-1,3940

r

3∆

-11,2215

2,8649

-5,6107

-8,7132

11,7619

13

36

1

12

1

12

1
4

1
4

[kNm]

r

1

−−8,7132−−2,8649=0

⇒

r

1

=−11,4590 [kNm]

r

2

−11,7619 −−8,7132=0

⇒

r

2

=3,0487 [kNm]

r

3

⋅

1 −1,3940 



01

2,8649 



12

−5,6107−11,2215 



25

−8,7132−8,7132 



23



11,761911,7619 



34

=0

⇒

r

3

=0,5214 [kN ]

Obliczone wartości r

i∆

podstawiamy do układu równań kanonicznych i obliczamy wartości niewiadomych

kątów obrotu węzłów i przesuwu:

{

2,5055 EJ Z

1

0,4630 EJ Z

2

−0,3941 EJ Z

3

−11,4590 =0

0,4630 EJ Z

1

1,9260 EJ Z

2

−0,4908 EJ Z

3

3,0487 =0

−0,3941 EJ Z

1

−0,4908 EJ Z

2

0,5097 EJ Z

3

0,5214 =0

{

EJ Z

1

=5,1275

EJ Z

2

=−2,7377

EJ Z

3

=0,3054

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

Część 2

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

4

Obliczmy zatem wartości momentów przywęzłowych:

M

01

=−13

36

EJ Z

3

−1,3940 =−1,5043 [kNm]

M

21

= 4,167



37

EJ Z

1

 1,389

4



37

EJ Z

3

2,8649 =6,3949 [kNm]

M

25

= 4



20

EJ Z

1

− 1,5



20

EJ Z

3

−5,6107 =−1,1270 [kNm]

M

52

= 2



20

EJ Z

1

− 1,5



20

EJ Z

3

−11,2215 =−9,0308[kNm]

M

23

= 2,778

3

EJ Z

1

 1,389

3

EJ Z

2

− 1,389

12

EJ Z

3

−8,7132 =−5,2680 [kNm]

M

32

= 1,389

3

EJ Z

1

 2,778

3

EJ Z

2

− 1,389

12

EJ Z

3

−8,7132 =−8,9096 [kNm]

M

34

=EJ Z

2

− 3

8

EJ Z

3

11,7619 =8,9097 [kNm]

M

43

= 1

2

EJ Z

2

− 3

8

EJ Z

3

11,7619 =10,2785 [kNm]

Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach:

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

1,5043

8,9096

5,2680

6,3949

[kNm]

9,0308

1,1270

10,2785

8,9097

węzeł 2 :

6,3949 −1,1270 −5,2680 =−0,0001 [kNm]≈0

węzeł 3:

8,9096 −8,9097 =−0,0001 [kNm]≈0

Tnące i normalne obliczamy wycinając myślowo kolejne pręty i równoważąc węzły:

3

1,5043

T

10

N

10

T

01

N

01

0

1

∑

M

1

: 1,5043 −T

01

⋅3 =0

⇒ T

01

=0,5014 [kN ]

∑

X :T

01

=T

10

∑

Y : N

01

=N

10

10,2785

8,9097

3

4

4

N

43

N

34

T

34

T

43

∑

M

3

: 8,9097 10,2785 T

43

⋅4 =0

⇒ T

43

=−4,7971 [kN ]

∑

X :T

34

=T

43

∑

Y : N

34

=N

43

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

Część 2

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

5

2

3

8,9096

5,2680

N

23

N

32

T

23

T

32

6

∑

M

2

: 5,2680 8,9096 −T

32

⋅6 =0

⇒ T

32

=2,3629 [kN ]

∑

X :T

23

=T

32

∑

X : N

23

=N

32

N

34

4,7971

2,3629

N

32

∑

X : N

32

−4,7971 =0

⇒

N

32

=N

23

=4,7971 [kN ]

∑

Y : N

34

−2,3629 =0

⇒

N

34

=N

43

=2,3629 [kN ]

sin =

1



37

cos =

6



37

sin =

4



20

cos =

2



20

2

5

9,0308

1,1270

T

52

T

25

N

25

N

52

4

2

β

∑

M

2

: 1,1270 9,0308 −T

52

⋅



20=0

⇒ T

52

=2,2714 [kN ]

∑

∨:T

25

=T

52

∑

 : N

25

=N

52

1

2

6,3949

N

21

N

12

T

21

T

12

6

1

α

∑

M

1

: 6,3949 T

21

⋅



37=0

⇒ T

21

=−1,0513 [kN ]

∑

 :T

12

=T

21

∑

∨: N

12

=N

21

N

10

0,5014

α

N

12

1,0513

∑

X : −0,5014 N

12

⋅ 6



37

−1,0513 ⋅

1



37

=0

⇒

N

12

=0,6835 [kN ]

∑

Y : −N

10

N

12

⋅ 1



37

1,0513 ⋅

6



37

=0

⇒

N

10

=1,1491 [kN ]

2,2714

N

25

4,7971

2,3629

1,0513

0,6835

α

β

∑

X : 4,7971 1,0513 ⋅

1



37

−0,6835 ⋅

6



37

−2,2714 ⋅

4



20



N

25

⋅ 2



20

=0

⇒

N

25

=−5,0627 [kN ]

spr

∑

Y : −2,3629 −1,0513 ⋅

6



37

−0,6835 ⋅

1



37



−2,2714 ⋅

2



20

−−5,0627 ⋅

4



20

=0,0002 ≈0

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

Część 2

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

6

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

1,0513

6,3949

8,9097

1,1270

9,0308

10,2785

8,9096

5,2680

M

∆

(n)

[kNm]

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

0,5014

-1,0513

2,2714

-4,7971

2,3629

T

∆

(n)

[kN]

+

-

+

+

-

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

1,1491

0,6835

-5,0627

2,3629

4,7971

N

∆

(n)

[kN]

+

+

+

-

+

•

Kontrola kinematyczna

1⋅=

∑∫

M

n

⋅ 

M

0

EJ

dx−

∑



R⋅

Obliczmy zatem zerowy kąt obrotu φ

5

węzła 5 dla nowego układu podstawowego:

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

M

0

[ - ]

1

1

1

1

1

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

Część 2

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

7



5

= 1

6273

[

1

2

⋅9,0308 ⋅



20⋅1 −

1

2

⋅1,1270 ⋅



20⋅1 

1

1,389

⋅1

2

⋅5,2680 ⋅6 ⋅1 −

− 1

1,389

⋅1

2

⋅8,9096 ⋅6 ⋅1 

1

2

⋅8,9097 ⋅4 ⋅1 −

1

2

⋅10,2785 ⋅4 ⋅1

]

−1 ⋅0,002 =0 [m]

•

Sprawdzenie statyczne:

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

1,5043

9,0308

10,2785

0,5014

1,1491

2,3629

4,7971

2,2714

5,0627

∑

X : −0,5014 −2,2714 ⋅

4



20

−5,0627 ⋅

2



20

4,7971 =−0,00001 [kN ]≈0

∑

Y : −1,1491 −2,2714 ⋅

2



20

5,0627 ⋅

4



20

−2,3629 =0,00042 [kN ]≈0

∑

M

5

: 10,2785 −1,5043−9,0308 −1,1491 ⋅622,3629 ⋅4 =0,00220 [kNm]≈0

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19