Politechnika Poznańska
Poznań, dnia 01.04.2004 r.
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń
zmiany temperatury
Konsultacje:
Wykonał:
dr inż.
P.
Litewka
Piotr
Siniecki
grupa
III
2003/2004
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń – zmiana temperatury
- 2 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-01
32
1
5
6
I
I
1
I
1
I
1
I
2
2
-15 C
o
+10 C
o
+15 C
o
m
o
t =- 20 C
Układ podstawowy
32
1
5
6
u
2
r
3
I
r
I
1
I
1
I
1
I
2
2
1
-15 C
+10 C
o
+15 C
o
o
o
m
0
1
2
3
4
5
t =- 20 C
SGN = 3
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
t
t
t
r
z
r
z
r
z
r
r
z
r
z
r
z
r
r
z
r
z
r
z
r
389
,
1
240
220
2
1
2
1
⋅
Ι
=
Ι
Ι
=
Ι
Ι
=
Ι
Ι
=
Ι
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń – zmiana temperatury
- 3 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-01
Ponieważ układ podstawowy jest identyczny jak dla ramy obliczonej dla sił zewnętrznych
reakcje r
ik
pozostają takie same pozostaje tylko obliczyć r
it.
Dodatkowe informacje:
m
śr
t
t
t
t
C
−
=
°
⋅
=
−
0
5
/
10
2
,
1
α
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
C
t
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
,
32
0
,
5
35
0
,
20
30
34
5
,
17
25
23
,
12
,
01
=
=
∆
=
=
∆
=
=
∆
Obliczamy momenty od nierównomiernego ogrzania:
]
[
71082
,
1
22
,
0
5
10
2
,
1
6273
]
[
71082
,
1
22
,
0
5
10
2
,
1
6273
]
[
40950
,
9
24
,
0
30
10
2
,
1
6273
]
[
40950
,
9
24
,
0
30
10
2
,
1
6273
]
[
83114
,
12
22
,
0
25
10
2
,
1
6273
2
3
2
3
]
[
76188
,
11
24
,
0
25
10
2
,
1
6273
2
3
2
3
]
[
55409
,
8
22
,
0
25
10
2
,
1
6273
]
[
55409
,
8
22
,
0
25
10
2
,
1
6273
5
53
5
35
5
43
5
34
5
32
5
12
5
10
5
01
kNm
h
t
EI
M
kNm
h
t
EI
M
kNm
h
t
EI
M
kNm
h
t
EI
M
kNm
h
t
EI
M
kNm
h
t
EI
M
kNm
h
t
EI
M
kNm
h
t
EI
M
t
t
t
t
t
t
t
t
−
=
⋅
⋅
⋅
−
=
∆
⋅
⋅
−
=
=
⋅
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
=
−
=
⋅
⋅
⋅
−
=
∆
⋅
⋅
−
=
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
⋅
=
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
∆
⋅
⋅
⋅
−
=
=
⋅
⋅
⋅
=
∆
⋅
⋅
=
−
=
⋅
⋅
⋅
−
=
∆
⋅
⋅
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
α
α
α
α
α
α
α
α
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń – zmiana temperatury
- 4 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-01
Obliczamy momenty od stanu t
0
1
5
6
32
o
+10 C
-15 C
Ψ
12
Ψ
23
Ψ
34
Ψ
35
0
1
2
3
4
5
Ψ
01
+15 C
o
m
o
o
t =- 20 C
rad
t
t
000252
,
0
0
5
10
2
,
1
5
,
17
1
10
2
,
1
5
,
17
5
012
)
(
01
5
5
)
(
01
−
=
Ψ
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
Ψ
→
−
−
rad
t
t
00048
,
0
0
6
10
2
,
1
20
3
534
)
(
35
5
)
(
35
−
=
Ψ
=
⋅
⋅
⋅
+
Ψ
⋅
→
−
rad
t
t
000195
,
0
0
6
3
10
2
,
1
50
,
32
534
)
(
34
)
(
34
5
=
Ψ
=
Ψ
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
↓
−
rad
t
t
00072
,
0
0
2
6
10
2
,
1
20
432
)
(
23
)
(
23
5
=
Ψ
=
Ψ
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
→
−
rad
t
t
t
0000576
,
0
0
3
10
2
,
1
5
,
32
2
10
2
,
1
5
,
17
5
5
10
2
,
1
5
,
17
01235
)
(
12
5
5
)
(
12
5
)
(
01
−
=
Ψ
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
Ψ
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
Ψ
↓
−
−
−
]
[
69907
,
1
)
3
(
6
389
,
1
2
]
[
69907
,
1
)
3
(
6
389
,
1
2
]
[
77484
,
6
)
(
2
3
]
[
30113
,
0
)
(
5
389
,
1
3
]
[
86012
,
1
)
3
(
09902
,
5
2
]
[
86012
,
1
)
3
(
09902
,
5
2
)
(
34
)
(
43
)
(
34
)
(
34
)
(
23
)
(
32
)
(
12
)
(
12
)
(
01
)
(
10
)
(
01
)
(
01
0
0
0
0
0
0
kNm
EI
M
kNm
EI
M
kNm
EI
M
kNm
EI
M
kNm
EI
M
kNm
EI
M
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
−
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
−
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
−
=
−
⋅
⋅
=
=
−
⋅
⋅
⋅
=
=
⋅
−
⋅
⋅
=
=
⋅
−
⋅
⋅
=
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń – zmiana temperatury
- 5 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-01
]
[
02208
,
6
)
3
(
3
2
]
[
02208
,
6
)
3
(
3
2
)
(
35
)
(
53
)
(
35
)
(
35
0
0
kNm
EI
M
kNm
EI
M
t
t
t
t
=
⋅
−
⋅
⋅
=
=
⋅
−
⋅
⋅
=
ψ
ψ
Korzystając z zasady superpozycji obliczamy M
t
)
(
)
(
)
(
0
t
∆t
t
M
M
M
+
=
Stan t
32
1
5
6
-11,46075
10,41421
7,73290
-16,72800
1t
-6,69397
3t
2t
r
r
6,05630
-11,10857
7,71043
r
]
[
68063
,
2
0
73290
,
7
05630
,
6
)
10857
,
11
(
]
[
04654
,
1
0
41421
,
10
)
46075
,
11
(
]
[
23063
,
4
0
2
1
05630
,
6
25
1
)
46075
,
11
(
5
1
)
69397
,
6
41421
,
10
(
1
3
3
1
1
2
2
kNm
r
r
kNm
r
r
kN
r
r
t
t
t
t
t
t
=
=
−
−
−
−
−
=
=
−
−
−
−
=
=
⋅
+
−
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
−
−
−
Podstawiamy do równań kanonicznych
=
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
=
−
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
0
68063
,
2
75930
,
3
75
,
0
0
0
23063
,
4
75
,
0
47047
,
0
20200
,
0
0
04654
,
1
0
20200
,
0
61786
,
1
3
2
3
2
1
2
1
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
z
EI
=
⋅
=
⋅
=
⋅
86930
,
1
94393
,
12
2630
,
2
3
2
1
z
EI
z
EI
z
EI
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń – zmiana temperatury
- 6 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-01
Podstawiając wartości do równań momentowych(wzory redukcyjne), uwzględniając momenty od
temperatury otrzymujemy.
]
[
55747
,
5
31126
,
4
66667
,
0
]
[
22529
,
10
73290
,
7
33333
,
1
]
[
57592
,
8
71043
,
7
46300
,
0
]
[
37760
,
9
10857
,
11
92600
,
0
]
[
84770
,
0
05630
,
6
75
,
0
5
,
1
]
[
14322
,
9
46075
,
11
03334
,
0
83340
,
0
]
[
14322
,
9
41421
,
10
23534
,
0
78446
,
0
]
[
85258
,
8
69397
,
6
23534
,
0
39223
,
0
3
53
3
35
3
43
3
34
2
3
32
2
1
12
2
1
10
2
1
01
kNm
z
EI
M
kNm
z
EI
M
kNm
z
EI
M
kNm
z
EI
M
kNm
z
EI
z
EI
M
kNm
z
EI
z
EI
M
kNm
z
EI
z
EI
M
kNm
z
EI
z
EI
M
=
+
⋅
⋅
=
=
+
⋅
⋅
=
=
+
⋅
⋅
=
−
=
−
⋅
⋅
=
−
=
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
−
=
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
=
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
−
=
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
Wykres momentów [kNm]
32
1
5
6
32
1
5
6
32
1
5
6
32
1
5
6
8,85258
9,14322
9,37760
8,57592
0,84770
10,22529
5,55747
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń – zmiana temperatury
- 7 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-01
Obliczanie sił tnących
5
,
0
9
9
0
2
9,14322
-8,85259
T
10
T
01
]
[
056997
,
0
0
09902
,
5
85259
,
8
14322
,
9
0
10
10
0
kN
T
T
M
−
=
=
⋅
+
−
=
∑
]
[
056997
,
0
0
09902
,
5
14322
,
9
85259
,
8
0
01
01
1
kN
T
T
M
−
=
=
⋅
+
+
−
=
∑
5
-9,14322
T
21
T
12
]
[
82864
,
1
0
5
14322
,
9
0
21
21
1
kN
T
T
M
=
=
⋅
+
−
=
∑
]
[
82864
,
1
0
5
14322
,
9
0
12
12
2
kN
T
T
M
=
=
⋅
+
−
=
∑
2
-0,84770
T
32
23
T
]
[
42385
,
0
0
84770
,
0
2
0
23
23
3
kN
T
T
M
=
=
−
⋅
=
∑
]
[
42385
,
0
0
84770
,
0
2
0
32
32
2
kN
T
T
M
=
=
−
⋅
=
∑
3
5,55747
10,22529
T
T
35
53
]
[
26092
,
5
0
55747
,
5
22529
,
10
3
0
53
53
3
kN
T
T
M
−
=
=
+
+
⋅
=
∑
]
[
26092
,
5
0
55747
,
5
22529
,
10
3
0
35
35
5
kN
T
T
M
−
=
=
+
+
⋅
=
∑
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń – zmiana temperatury
- 8 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-01
6
8,57592
-9,37760
T
T
34
43
]
[
13361
,
0
0
37760
,
9
57592
,
8
6
0
43
43
3
kN
T
T
M
=
=
−
+
⋅
=
∑
]
[
13361
,
0
0
37760
,
9
57592
,
8
6
0
34
34
4
kN
T
T
M
=
=
−
+
⋅
=
∑
Obliczanie sił normalnych
1,82864
0,42385
N
N
23
21
]
[
42385
,
0
0
42385
,
0
0
21
21
kN
N
N
X
−
=
=
−
−
=
∑
]
[
82864
,
1
0
82864
,
1
0
23
23
kN
N
N
Y
=
=
+
−
=
∑
N
N
N
32
34
35
0,42385
0,13361
-5,26092
]
[
68477
,
5
0
)
26092
,
5
(
42385
,
0
0
34
34
kN
N
N
X
−
=
=
−
−
+
=
∑
]
[
69503
,
1
0
13361
,
0
82864
,
1
0
35
35
kN
N
N
Y
=
=
−
+
−
=
∑
1,82864
-0,056997
N
10
N
12
]
[
87626
,
1
0
cos
)
056997
,
0
(
82864
,
1
sin
0
10
10
kN
N
N
Y
−
=
=
⋅
−
+
−
⋅
−
=
∑
α
α
]
[
42386
,
0
0
cos
)
87626
,
1
(
sin
)
056997
,
0
(
0
12
12
kN
N
N
X
−
=
=
⋅
−
−
⋅
−
−
=
∑
α
α
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń – zmiana temperatury
- 9 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-01
Wykres sił normalnych [kN]
32
1
5
6
32
1
5
6
32
1
5
6
32
1
5
6
-5,68477
-1,87626
-0,42385
1,82864
1,69503
Wykres sił tnących [kN]
32
1
5
6
32
1
5
6
32
1
5
6
32
1
5
6
1,82864
0,42385
-0,056997
-5,26092
0,13361
Kontrola statyczna
1
5
6
32
0,13361
5,68477
0,056997
1,87628
1,69503
8,57592
5,55747
8,85258
5,26092
I
I
1
I
1
I
1
I
2
2
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń – zmiana temperatury
- 10 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-01
kN
X
0000122
,
0
cos
87626
,
1
sin
056977
,
0
26092
,
5
68477
,
5
0
=
⋅
+
⋅
+
+
−
=
∑
α
α
%
00002
,
0
%
100
68477
,
5
0000122
,
0
=
⋅
kN
Y
000005
,
0
cos
056997
,
0
sin
87626
,
1
69503
,
1
13361
,
0
0
=
⋅
−
⋅
+
−
−
=
∑
α
α
%
0003
,
0
%
100
69503
,
1
000005
,
0
=
⋅
kNm
M
A
00000
,
0
6
69506
,
1
12
13361
,
0
3
68477
,
5
55747
,
5
57592
,
8
85258
,
8
0
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
+
+
−
=
∑
%
00000
,
0
%
100
05431
,
17
00000
,
0
=
⋅